1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008

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1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008

  1. 1. Trigonometria no Triângulo Retângulo
  2. 2. Relacionando lados e ângulos <ul><li>A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. </li></ul><ul><li>a hipotenusa BC = a </li></ul>A B C a b c <ul><li>o cateto AC = b </li></ul><ul><li>o cateto AB = c </li></ul><ul><li>A = 90º </li></ul><ul><li>B + C = 90º </li></ul>
  3. 3. Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ cateto oposto a ⍺ hipotenusa = sen ⍺ = c a cateto adjacente a ⍺ hipotenusa = cos ⍺ = b a 
  4. 4. Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ cateto oposto a ⍺ = tg ⍺ = c b cateto adjacente a ⍺  <ul><li>os números sen ⍺ , cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺ . </li></ul>
  5. 5. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B. </li></ul>12 16 A B C Teorema de Pitágoras BC 2 = AB 2 + AC 2 x 2 = 16 2 + 12 2 x 2 = 256 + 144 x 2 = 400 x = 20 20
  6. 6. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. </li></ul>cateto oposto a B hipotenusa sen B = = 12 20 = 3 5 = 0,6 cateto adjac. a B hipotenusa cos B = = 16 20 = 4 5 = 0,8 12 16 A B C 20
  7. 7. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. </li></ul>cateto oposto a B cateto adjac. a B tg B = = 12 16 = 3 4 = 0,75 12 16 A B C 20
  8. 8. Exemplos <ul><li>Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. </li></ul>5 cm 16 6 cm x y tg y = 6 5 = 1,2 ⇒ y ≈ 50º x + y = 90º ⇒ x ≈ 40º
  9. 9. Outras razões trigonométricas
  10. 10. Outras razões trigonométricas  A B C a b c ⍺ cateto oposto a ⍺ hipotenusa = cosec ⍺ = a c cateto adjacente a ⍺ hipotenusa = sec ⍺ = a b = 1 sen ⍺ = 1 cos ⍺
  11. 11. Outras razões trigonométricas  A B C a b c ⍺ cateto oposto a ⍺ = cotg ⍺ = b c cateto adjacente a ⍺ = 1 tg ⍺
  12. 12. Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares
  13. 13. Ângulos complementares  A B C 5 4 3 ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 3 4 ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = 3 5 cos ⍺ = 4 5 tg  = 4 3 sen  = 4 5 cos  = 3 5
  14. 14. Ângulos complementares  A B C a b c ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 1 tg  ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen  sec ⍺ = cosec  cosec ⍺ = sec  cotg ⍺ = tg 
  15. 15. Exemplo <ul><li>No triângulo retângulo da figura, temos: </li></ul>1 cm 2 cm t I. sen t = ½ II. sec t = √ 5 2 III. tg t = 2 A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são): a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
  16. 16. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
  17. 17. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 1 tg ½ cos ½ sen 60º 45º 30º √ 2/2 √ 2/2 √ 3/2 √ 3/2 √ 3/3 √ 3
  18. 18. Exemplos <ul><li>A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. </li></ul>x 16 y 30º sen 30º = x 12 12 cm ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm cos 30º = y 12 ⇒ x = 12 . √ 3 /2 ⇒ x = 6 √ 3 cm
  19. 19. Exemplos <ul><li>Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. </li></ul>30º A B C D x y z 2 cm 60º
  20. 20. Identidades trigonométricas
  21. 21. Identidades trigonométricas <ul><li>Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para: </li></ul><ul><li>Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido. </li></ul><ul><li>Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo. </li></ul>
  22. 22. Identidades trigonométricas <ul><li>A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. </li></ul> A C B a c b ⍺ b 2 + c 2 = a 2 ( : a 2 ) b 2 a 2 + c 2 a 2 = a 2 a 2 b a + c a = 1 2 2 sen ⍺ + cos ⍺ = 1 2 2 ⇒ sen 2 x + cos 2 x = 1
  23. 23. Identidades trigonométricas <ul><li>A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. </li></ul>b/a c/a  A C B a c b ⍺ sen ⍺ cos ⍺ = = b a . a c = b c = tg ⍺ tg x = sen x cos x
  24. 24. Identidades trigonométricas <ul><li>A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. </li></ul>c/a b/a  A C B a c b ⍺ cos ⍺ sen ⍺ = = c a . a b = c b = cotg ⍺ cotg x = cos x sen x
  25. 25. Identidades trigonométricas - Resumo 1) sen 2 x + cos 2 x = 1 <ul><li>Relação fundamental </li></ul>2) tg x = sen x cos x 3) cotg x = cos x sen x <ul><li>(cos x ≠ 0) </li></ul><ul><li>(sen x ≠ 0) </li></ul>= 1 tg x 4) sec x = 1 cos x 5) cosec x = 1 sen x <ul><li>(cos x ≠ 0) </li></ul><ul><li>(sen x ≠ 0) </li></ul>
  26. 26. Exemplos <ul><li>Demonstre que sec 2 x = 1 + tg 2 x. </li></ul>sec x = 1 cos x ⇒ sec 2 x = 1 cos 2 x ⇒ sec 2 x = sen 2 x + cos 2 x cos 2 x ⇒ sec 2 x = sen 2 x cos 2 x + cos 2 x cos 2 x ⇒ sec 2 x = tg 2 x + 1
  27. 27. Exemplos <ul><li>Demonstre que cosec 2 x = 1 + cotg 2 x. </li></ul>cosec x = 1 sen x ⇒ cosec 2 x = 1 sen 2 x ⇒ cosec 2 x = sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ⇒ cosec 2 x = sen 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ⇒ sec 2 x = 1 + cotg 2 x
  28. 28. Exemplos <ul><li>Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. </li></ul>sen 2 x + cos 2 x ⇒ 3 5 + 2 cos 2 x = 1 ⇒ 9 25 + cos 2 x = 1 ⇒ 9 25 – cos 2 x = 1 = 25 – 9 25 ⇒ cos x = = 16 25 ± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
  29. 29. Exemplos <ul><li>Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. </li></ul>tg x = sen x cos x = 3 5 4 5 = 3 4 cotg x = 1 tg x = 1 3 4 = 4 3
  30. 30. Exemplos <ul><li>Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. </li></ul>sec x = 1 cos x = 1 4 5 = 5 4 cosec x = 1 sen x = 1 3 5 = 5 3
  31. 31. Exemplos <ul><li>Simplificar as expressões: </li></ul>a) E 1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x b) E 2 = cotg x . sec x cosec 2 x E 1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x E 1 = sen x cos x + cos x sen x – 1 cos x 1 sen x . E 1 = sen 2 x sen x . cos x + cos 2 x – 1 = sen x . cos x 1 – 1 = 0
  32. 32. Exemplos <ul><li>Simplificar as expressões: </li></ul>cos x sen x 1 cos x 1 sen 2 x a) E 1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x b) E 2 = cotg x . sec x cosec 2 x E 2 = cotg x . sec x cosec 2 x = . = 1 sen x 1 sen 2 x E 2 = 1 sen x . sen 2 x 1 = sen x
  33. 33. Ângulos e arcos na circunferência
  34. 34. Circunferência O A B C D E P r r r r r r
  35. 35. Elementos B A B A O O Corda AB Diâmetro AB
  36. 36. Elementos A B Arco AB Arco BA
  37. 37. Arcos e ângulos A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo
  38. 38. Arcos e ângulos A B Arco de meia volta O Arco AB Arco BA
  39. 39. Arco e ângulo central A B O C  D E F   <ul><li>m(AB) = ⍺ </li></ul><ul><li>m(CD) =  </li></ul><ul><li>m(EF) =  </li></ul>
  40. 40. O grau como unidade de medida 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o
  41. 41. O grau como unidade de medida 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o
  42. 42. O grau como unidade de medida 0 o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o 1 o 1º = 360 1
  43. 43. Exemplos <ul><li>Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes. </li></ul>A B O C  D E F  AB = 360º 6 = 60º CE = 2 . 60º = 120º ⍺ = 60º e  = 120º
  44. 44. Exemplos <ul><li>A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2  m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente. </li></ul>A B O  2  m 12 m Arco (em graus) 2  m ⍺ = 360 . 2  24 Arco (em metros) 360º 24  m ⍺ = 30º C = 2  r C = 2.  .12 C = 24 
  45. 45. O radiano como unidade de medida A R O R  R B Comprimento do arco (AB) = R ⇓ m(AB) = 1 radiano ⇓  = m(AB) = 1 rad
  46. 46. Exemplo A R O R  1,5R B Comprimento do arco (AB) = 1,5 R ⇓ m(AB) = 1,5 rad ⇓  = m(AB) = 1,5 rad  = m(AB) = comprimento R
  47. 47. Arco completo  = comprimento R  = 2  R R R A ≡ B O   = 2  rad
  48. 48. Exemplos <ul><li>A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. </li></ul>9 cm B 10,8 cm O A  = comprimento R  = 10,8 cm 9 cm = 1,2 rad
  49. 49. Exemplos <ul><li>O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. </li></ul>4 cm B 30º O A ângulo x x = 2  .4.30 360 comprimento 360º 2  R 30º 2  3 = ≈ 2, 1 cm
  50. 50. Exemplos <ul><li>Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. </li></ul>R B 40 cm O A R  = comprimento R 5 = 40 cm R 5R = 40  ⇒ R = 8 cm
  51. 51. Arcos especiais 0 0 o Arco nulo  /2 90º Arco de ¼ de volta  180º Arco de meia-volta 2  360º Arco completo Medida em radianos Medida em graus Represen-tação O O O O
  52. 52. Transformando unidades <ul><li>As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. </li></ul>180º correspondem a  rad
  53. 53. Exemplos <ul><li>Transformar 72º em radianos. </li></ul>2  5 180º  rad 72º x x = 72 .  180 = rad
  54. 54. Exemplos <ul><li>Exprimir rad em graus. </li></ul>5. 180  rad equivale a 180º. x = 4 = 225º 5.  4 = 5  4

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