Trigonometria y

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Trigonometria y

  1. 1. Trigonometria Page 1 of 15TrigonometriaConstrução de um dispositivo de medição do ânguloLinha de visão é chamada a linha imaginária que une o olho de um observador com o local observado.Chamamos o ângulo de elevação que formam a localização horizontal do observador e do observado quandoele está localizado acima do observador. Quando o observador é maior ângulo irá chamá-lo de depressão.Razões trigonométricas de um ângulo agudoTangente de um ânguloMarta, que mora na praia, você vê uma depressão pedal quebrado em um ângulo de 10 °. Ela estima que aaltura do apartamento é de 20 m, ea distância a partir do portal para as ondas é de 15 m.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  2. 2. Trigonometria Page 2 of 15Porque você quer saber o que os seus ocupantes devem nadar até chegar à costa, com a ajuda de umtransferidor, desenhe um triângulo semelhante e então mediram suas pernas. Sendo proporcional ao triânguloreal, Marta consegue descobrir o que os ocupantes devem nadar para chegar à praia.Faça o seu notebook é feito Marta.DefiniçãoConsiderar tanto um ângulo agudo e desenhar um raio de base perpendicular, obtendo o triângulo ABC, chameum tan com a relação BC / AC.Teorema de Thales garante que o lugar que eu chamar a perpendicular é irrelevante para o cálculo de umatangente:Em geral, um triângulo, dizer que a tangente do ângulo é a razão lado oposto / lado adjacente.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  3. 3. Trigonometria Page 3 of 15Da mesma forma, dizemos que o co-seno do ângulo é a razão hipotenusa adjacentes lado /e dentro deste é o lado oposto / hipotenusa.Também utilizado o inverso da tangente, cosseno e seno, respectivamente chamados cotangente, secante ecossecante:A tangente, cosseno, seno e suas funções trigonométricas inversas são chamados ângulo " Estimativas, servindo-se um transferidor e medir os segmentos correspondentes nos desenhos, as razões trigonométricas de ângulos de 40 ° e 60 °.Obtenção de índices trigonométricas utilizando uma calculadoraAnteriormente estimamos as relações dos ângulos medindo segmentos. A imprecisão dos resultados da mediçãoobtida com valores de precisão baixa. Existem técnicas matemáticas que permitem fina o suficiente para sabero valor da tangente, cosseno e seno de um ângulo, mas não estudados neste curso. No entanto, você pode usar asua calculadora para obter uma boa estimativa usando as teclas de TAN, COS e SIN.Passos para encontrar o valor da tangente do ângulo de 40 º:TAN 40 = 0,8390996.Em modelos de outra calculadora fica tão em primeiro lugar e em seguida, digite 40.Também é possível, chamado a tangente do ângulo, encontrar o ângulo a partir do qual se trata. Suponha que atangente de um ângulo vale 2,75:TAN 2,75 -1 = 70,016893, é de aproximadamente um ângulo de 70 °. Em outras calculadoras é introduzidaapós SO 2,75 -1 .-------------------------------------------------- --------------------------------------Se Marta tinha estudado e preparado a tangente de uma calculadora, eu não deveria ter usado o desenho paracalcular a distância entre o pedal para a porta de sua casa:tan (80 °) = X/20, x = 20. tan (80 °) = 20. 56712818 11342 = m aproximadamente.-------------------------------------------------- --------------------------------------APLICAÇÕES1) Estimativa da Terra-Luahttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  4. 4. Trigonometria Page 4 of 15Você sabe que o raio lunar de 1738 km pode ser verificado que, se observar a Lua da Terra, vemos o disco emum ângulo de meio grau.Se x, que é a distância ao centro da lua, tomamos o raio de 1738 km obter uma estimativa da distância entre aTerra ea Lua de 396,579 km.(Sem sair de casa, poderíamos ter uma idéia de quão longe estamos da lua. Sabe-se, através do envio de feixesde laser, a distância média à superfície lunar é 384,403 km)2) Estimativa da distância Terra-SolAristarco (s. III a. J.), um famoso astrônomo de Alexandria, tentou calcular quantas vezes foi maior a distânciada Terra em torno do Sol que a Lua. Quando observamos a Lua crescente na linha Terra-Lua e Lua-Sol em umângulo de 90 °. Aristarco mediu o ângulo formado pela terra com a lua eo sol estimar o seu valor em 87 º.Desta maneira:Aristarco foi a distância da Terra ao Sol era cerca de vinte vezes maior que a Lua. Se substituirmos o valor (TL)discutido acima, temos uma distância solar de 7344920 kmhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  5. 5. Trigonometria Page 5 of 15Voltando ao nosso astrônomo, falta comentar que fez um pequeno erro na medição do ângulo cujo valor real ébastante próximo a 89 ° 50 . Esta pequena diferença na medição do ângulo resultou em uma diferença real paraa separação Terra-SolMais precisamente foi estabelecido que o Sol é de aproximadamente 150 milhões quilômetro Como você poderecordar, este valor é chamado de unidade astronômica (UA).3) MedidasQueremos construir uma ponte sobre um rio, medindo 10 m de largura, de modo que seja a uma altura de 2 macima da água e rampas de acesso têm uma inclinação de 20E . Qual deve ser o comprimento do trilho?, Quecanal está posicionado longe do início da rampa?o ferroviário é de cerca de 21 m 70 cm.A escada começa cerca de cinco metros da pista.4) Cálculo das alturasVocê quer calcular a altura da torre, isso vai medir os ângulos de elevação do ponto A ao ponto B. Com osdados na figura temos:Resolvendo para h e igualar as duas equações são:(10 + x) · · x 0839 = 196, 839 +0839 · x · x = 196, 839 = 1121 · x, x = 7484 m, aproximadamente .h = 196 = 7484 14668 ·. A torre é de cerca de 14 metros de altura. Encontrar a altura da ponte, sabendo que é de 17 m de comprimento.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  6. 6. Trigonometria Page 6 of 15PROPRIEDADESConsidere o triângulo retângulo da figura:1) Em qualquer triângulo retângulo a hipotenusa é maior que as pernas, se considerarmos a definição de seno ecosseno é claro que:0 <cos " <1 e 0 pecado < " <1 para qualquer ângulo agudo " .2)3) propriedade fundamental:É comum termos que aparecem na trigonometria (sin " ) 2 e (cos ) 2 , porobservou sua escrita, muitas vezes abreviado como pecado 2 " e cos 2 " ..Assim, o teorema fundamental aparece como4) mostrou que :http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  7. 7. Trigonometria Page 7 of 155) Dizemos que " e $ são complementares se " + $ 90 = E . Isso acontece com ângulos agudos de um triângulo.Podemos ver na figura acima lado adjacente ao " oposto coincide com o $ ea hipotenusa é comum a ambos osângulos, então cos = b / c = sin $ . Da mesma forma que temosQual é a relação entre as tangentes " e $ ?Determinada atividadeA partir de um ângulo agudo " sabemos que o coração vale 0,8. Encontrar o cosseno e tangente: . Substituindo: ; . Tomando raizEmbora seja desejável a conhecer muito bem o procedimento acima, também é possível para resolver oproblema com a ajuda da calculadora:0,8 = 53,130120, devolve-nos o ângulo aproximado cujo seno vale 0,8.Abaixo é apenas encontrar o seu cosseno e tangente à própria máquina. Um ângulo " Sabemos que sua tangente vai 73. Find, usando a propriedade 4, o co-seno e seno do ângulo.Cálculo exacto do ângulo RAZÕES de 45 º 30 º e 60 ºA calculadora fornece um valor aproximado das razões para um ângulo com um erro muito pequena. Noentanto, quando operamos com valores aproximados, os erros aumentam após cada operação e, portanto, énecessário saber o seu valor exato.Cálculo das relações trigonométricas do ângulo de 45 .-Uma vez que o triângulo é isósceles, as duas pernas são iguais.Cálculo das relações trigonométricas de ângulos de 30 º e 60 º .-http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  8. 8. Trigonometria Page 8 of 15Se nós construímos triângulo auxiliar indicado no tracejadas, obtemos um triângulo equilátero de lado c.Como complementares 60 ° 30 °:Você pode obter o valor exato de ângulos muito mais utilizando fórmulas trigonométricas que vai estudar estecurso.Do círculo unitárioÉ chamado círculo unitário (S 1 ), que é centrada na origem e cujo raio é a unidade.A figura mostra que o ângulo " determina um ponto P (x, y) no círculo.sen " lado oposto .= / hipotenusa = y / 1 = ycos .= lado adjacente / hipotenusa = x / 1 = xtg " lado .= oposto / lado adjacente = y / x.Determinação geométrica da tangentehttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  9. 9. Trigonometria Page 9 of 15A tangente coincide com o comprimento do segmento determinado pelo ângulo t no raio do desenho. O queacontece quando o ângulo se aproxima de 90 graus? Verifique com a sua calculadora.Razões trigonométricas de qualquer ângulo Para ângulos agudos verifica-se que o co-seno e seno são determinados pelo ponto definido no S 1 , isso vai permitir-nos definir em qualquer ângulo, não necessariamente afiada, o co-seno como a primeira coordenada (abscissa) do ponto de associados e da mama como a segunda coordenada (y) da mesma. Exemplo: estimativa de relações trigonométricas do ângulo de 120 º.Seu peito é de cerca de 0,87 e cosseno de 5 -0. A calculadora confirma o valor do cosseno e seno dá um valorde igual 086602 ...Tg 120 º = sen 120 º / 120 º = cos -1 732 ... Estimado, utilizando o modelo no final do capítulo, as razões trigonométricas de ângulos de 220 ° e 295 °.Sinal das razões de acordo com os quadrantes : o sinal das coordenadas do ponto determinado pelo ângulo.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  10. 10. Trigonometria Page 10 of 15 Olhe para os pontos no círculo unitário determinar os ângulos de 0 º, 90 º, 180 º e 270 º, e calcula o valor de seus senos e cossenos. Desenhar dois ângulos cujo seno vale 0,4. No círculo unitário, desenhe: dois ângulos cujo seno é -0 7. dois ângulos cujo cosseno é 0,5. dois ângulos cuja tangente vale 3.Comentários sobre as propriedades1) O seno e cosseno de qualquer ângulo não pode ser maior que 1 ou menor que -1.2) Se a propriedade fundamental apuradas dentro, temos de quadrante, dependendo do sinal do ângulo a que pertence. O mesmo vai acontecer com .O mesmo cuidado ser tomado quando se trabalha com a igualdade .Isso ainda permite calcular as proporções trigonométricas de um ângulo, um conhecido eo quadrante queocupa.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  11. 11. Trigonometria Page 11 of 15 Em um ângulo de segundo quadrante, sabemos que seu coração está no valor de 1 / 5. Encontrar o seu cosseno e tangente. No quarto quadrante dos ângulos da tangente sei que 8 -2. Calcule seu peito e co-seno.Redução ao primeiro quadranteVamos ver o suficiente para saber as razões trigonométricas de ângulos do primeiro quadrante para determinaros outros ângulos.O segundo quadrante ângulosFigura você pode ver que se o ângulo de " nós adicionamos o $ completou um setor de 180 º:" + $ = 180 °, ou dito de outra forma, $ = 180 - " . Quando dois ângulos adicionar até um nível, podemos dizerque são complementares.O desenho é possível deduzir que as relações se verifiquem as seguintes: cos = - cos (180 ° - ) sin = sin (180 ° - " )De acordo com o acima exposto, conclui-se que tg = - tan (180 ° - " ). Calculado com precisão, relacionadas com os seus rácios de complementar trigonométricas de ângulos de 120 º, 135 º e 150 º.Ângulos do terceiro quadranteSe um ângulo " do terceiro quadrante subtrair um apartamento, ter um outro ângulo $ no primeiro quadrante: $http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  12. 12. Trigonometria Page 12 of 15= " -180 °.Desenho leva a as seguintes relações: cos = - cos ( - 180 °) sin = - sin ( " - 180 º)De acordo com isso, você precisará tan " = - tan ( " -180 °). Com base no exposto, calcular as razões exatas para os ângulos de 210 º, 225 º e 240 º. Olhe para a foto abaixo e descubra as relações entre as razões trigonométricas de um ângulo "quarto quadrante" eo ângulo $ = 360 º - " . Determina, então os ângulos de 300 º, 315 º e 330 º.Ângulos positivos e negativosAté agora temos apenas ângulos considerados "unoriented". Se estiver interessado em rever o significado de umsinal será fornecido com o ângulo de viragem.São consideradas ângulos positivos cujo sentido de rotação é anti-horário.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  13. 13. Trigonometria Page 13 of 15Trabalhando com a calculadora Se soubermos o valor aproximado do ângulo cujo seno vale 6 -0, procedemos da maneira que você já sabe: NÃO -0,6 -1 = -36 º 8698: a calculadora responderá que é um ângulo de -37 °, aproximadamente. Para encontrar um ângulo positivo é subtraído dentro do 37 º mesmo a 360 º e obter o ângulo de 323 º. Então você só tem que determinar a outra mama comângulo positivo igual como descrito acima. Estimar o ângulo de terceiro quadrante cujo seno vale 056. Estimar o ângulo cuja tangente é -1 5. Desenhá-los. Estimar o ângulo cujo cosseno vale a pena terceiro quadrante -0 156.Outras atividades: Verifique se as igualdades cos = - cos (180 ° - ) sin = sin (180 ° - " ) Sabendo que " é positivo, resolver as equações: sen " = sen 35 ° cos = cos (-115 °) cos = cos 20 º tg = tan 36 ° sen " = sin 310 ° tg " = - tan 25 ° cos = cos 145 º. pecado o ​pecado = (-25 °)Medida de um ângulo em radianosQualquer ângulo inscrito em um círculo, determina um arco sobreela.É possível mostrar que verifica-se que , isto é, a relaçãoentre o arco determinado eo raio do círculo é sempre o mesmo.Dizemos que este valor é a medida do ângulo em radianos.Um ângulo de 360 ° determina um arco igual ao perímetro do círculo, se substituirmos na expressão acima,temos que a sua medida é radianos.Considere um ângulo arbitrário para medir graus g:http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  14. 14. Trigonometria Page 14 of 15Em particular, se substituirmos r por 1 e resolver para g, vemos que1 raio igual a cerca de 573 °. Encontrar o valor em radianos do ângulo de 30 º, 45 º, 60 º, 90 º, 180 º e 270 º. Um ângulo, um círculo de raio 10 cm, um arco de 29 cm. Calcular o valor em graus. Encontrar o comprimento do arco de um ângulo de 110 graus em um círculo de raio de 20 m.************************************************** *****************************http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011
  15. 15. Trigonometria Page 15 of 15http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/trigon... 6/12/2011

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