Trigonometria no triângulo retângulo

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Material sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo
ITB - Análises Clínicas
Grupo de Estudo de matemática
Revisão sobre trigonometria
Por: Fernanda Clara, 2015.

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Trigonometria no triângulo retângulo

  1. 1. • Triângulos • Trigonometria no triângulo retângulo • Teorema de Pitágoras • Relação Fundamental • sen, cos e tg • Racionalizar • Unidade de medida de arcos • Círculo Trigonométrico • Relação Fundamental e arcos complementares • Tangente, seno, cosseno, secante, cossecante e cotangete
  2. 2. Triângulo • Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. • Triângulos isósceles: Dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. • Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. A = B = C
  3. 3. Triângulo Ângulo menor que 90º Tem um ângulo reto (90º) Ângulo maior que 90º
  4. 4. Trigonometria no triângulo retângulo
  5. 5. Teorema de Pitágoras Hip²= cat² + cat² O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Hip²= cat² + cat² Sen = 𝑐𝑜 ℎ𝑖 Cos = 𝑐𝑎 ℎ𝑖 Tg = 𝑐𝑜 𝑐𝑎
  6. 6. Teorema de Pitágoras - macete Hip²= cat² + cat² Sen = 𝑐𝑜 ℎ𝑖 Cos = 𝑐𝑎 ℎ𝑖 Tg = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 1) Decorar a palavra SOCATOA sobre as letras HH AO nas vogais S = Sem O = Cat. Oposto C = Cosseno A = Cat. Adjacente T = Tangente H = Hipotenusa Seno = co/hip (corri) Cosseno = ca/hip (caí) Tangente = co/ca (coca) Frase: Corri, caí na coca. 2) Decorar a frase ligando as três.
  7. 7. Tabela – Ângulos Notáveis 30° 45° 60° Seno 1/2 √2/2 √3/2 Cosseno √3/2 √2/2 1/2 Tangente √3/3 1 √3 Macete: Um, dois três...Três, dois um Tudo sobre dois. Raiz no três e também raiz no dois A tangente é diferente, olha só minha gente: Raiz de três sobre três, um e raiz de três
  8. 8. Triângulo retângulo - exemplos Exemplo 1. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:
  9. 9. Triângulo retângulo - exemplos Exemplo 2. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo. Solução: Temos que:
  10. 10. Triângulo retângulo - exemplos Exemplo 3. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 8cm, e um dos ângulos internos possui 30°. Qual o valor dos catetos oposto (x) e adjacente (y) desse triângulo? De acordo com as relações trigonométricas, o seno é representado pela seguinte relação: Sen = cateto oposto/hipotenusa Sen 30° = x/8 ½ = x/8 2x = 8 X = 8/2 X = 4 Logo, o cateto oposto desse triângulo retângulo mede 4 cm. A partir disso, se a hipotenusa = cateto oposto/cateto adjacente, tem-se: hip = Co/Ca 8 = 4/y 8y=4 y = ½
  11. 11. Relação Fundamental sen² α + cos² α = 1 Exemplo 4 : Sendo sen α = 3/5 , calcule cos α e tg α. sen² α + cos² α = 1 (3/5)² + cos² α = 1 9/25 + cos² α = 1 cos² α = 1 – 9/25 cos² α = 25−9 25 = 16/25 cos α =± 16/25 = 4/5 OBS: A raiz sempre pode ser positiva ou negativa tg α = 𝐒𝐄𝐍 α cos α Tg α = 3/5 : 4/5 Tg α = 3/5 . 5/4 Tg α = 3/4
  12. 12. Racionalizar Sempre que a raiz ficar em baixo, deve-se racionalizar, ou seja, utilizar um método para que essa raiz fique em cima. Suponha que, ao final da conta, seu resultado deu Para racionalizar, basta multiplicar esse resultado com a própria raiz ( 5) em forma fração. Ao multiplicar duas raízes com o mesmo número, a raiz é eliminada.
  13. 13. Unidade de medida de arcos Pode-se medir em graus ou em radianos. 360° = 2. π 180 ° = π Guardando esses valores, da para descobrir todos os outros graus/radianos do círculo. Existem 4 quadrantes, que podem ser positivos ou negativos, dependendo se estivermos falando de seno, cosseno ou tangente. O sentido é anti-horário. Decorando os 5 valores principais e seus radianos (0, 90, 180, 270 e 360) fica mais fácil identificar todo o resto.
  14. 14. Cálculo dos radianos
  15. 15. Cálculo dos radianos
  16. 16. Positivo/negativo no círculo
  17. 17. Círculo trigonométrico O maior valor é o 1 O menor valor é o -1
  18. 18. 0º 30° 45° 60° 90º Seno 0 1/2 √2/2 √3/2 1 Cosseno 1 √3/2 √2/2 1/2 0 Tangente 0 √3/3 1 √3 - Esquema básico do círculo trigonométrico Tabelas com os principais valores
  19. 19. Círculo trigonométrico O maior valor é o 1 O menor valor é o -1 S E N O COSSENO T A N G E N T E
  20. 20. Círculo trigonométrico S E N O COSSENO T A N G E N T E -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 1 √3/2 √2/2 1/2 30° 45° 60° Seno 1/2 √2/2 √3/2 Cosseno √3/2 √2/2 1/2 Tangente √3/3 1 √3 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 1/2 √2/2 √3/2 1 180 ° π 0 0π 360 ° 2. π 90 ° π/2 270 ° 3π/2
  21. 21. Relação fundamental sen² x + cos² x = 1 Arcos complementares Quando a soma dos arcos é igual a 90°. Exemplo: sen 85° e cos 5º ; sem 20º e cos 70º. sen x = cos ( π 2 − x ) cos x = sen ( π 2 − x )
  22. 22. Relação fundamental Arcos complementares Exemplo 5 - Dado sem x = 1/3, com π 2 < x < π , calcule cos x. Primeiro, vemos onde está localizado o X. Sen²x + cos² x = 1 1/3² + cos²x = 1 cos² x = 1 – 1/9 = 9-1/9 cos x =± 8/9 = −2. 2 3 O resultado final é negativo, pois o cos do 1º quadrante é negativo. π 𝛑 𝟐 Está no primeiro quadrante, onde cos é negativo e sen é positivo. Exemplo 6 – Sabendo que sen 70° = 2, calcule cos 20°. Como são arcos complementares (70+20 = 90) o resultado será o mesmo para os dois. Assim, cos 20° = 2.
  23. 23. Tg, Sec, Cotg e Cossec tg x = sen x cos x cotg x = cos x sen x sec x = 1 cos x cossec x = 1 sen x sen² x + cos² x = 1

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