APOSTILA DE GEOMETRIA
Tópicos de Geometria Plana
Noções de Geometria Espacial
Professor: Paulo Soares Batista
Nome:_______...
Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os
lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos
lados do outro.
...
Ângulo agudo

Nomenclatura

Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o
ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º.

De...
b)

Quanto aos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são
agudos.
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é r...
c)

CORRESPONDENTES:
(b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de
ângulos são congruentes.

EXEMPLOS
1- Determine...
2- Na figura, temos r // s.
Calcule a medida do ângulo b.

Casos ou critérios de semelhança
1º CASO (AA)
Se dois triângul...
3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao
mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma
sombra de 4 m. Qual a altura do ...
b)

b)

c)

Relações métricas no triângulo retângulo
Elementos
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e
conduzindo...
Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras

4- QUADRILÁTEROS

Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um
quadrado d...
Comprimento de uma circunferência

Recordando:
“A soma dos ângulos internos de um quadrilátero
convexo é igual a 360º”.

Q...
EXEMPLOS
1- Determinar o comprimento de uma circunferência
que tem 9 cm de raio.

Fácil compreender, portanto, que a área ...
EXEMPLOS

LOSANGO

S =

D .d
2

1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo,
sendo o metro a unidade das medidas in...
7- NOÇÕES
ESPACIAL

BÁSICAS

DE

GEOMETRIA

Sólidos geométricos
Denominam-se sólidos geométricos as figuras
geométricas do...
Classificação

Relação de Euler

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de
acordo com o número de faces, como por e...
a) paralelepípedo oblíquo

PRISMA
Elementos do prisma
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes
elementos:

b) par...
Determine quantos litros de água são necessários
para encher o aquário.

Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as are...
8- QUESTÕES OBJETIVAS

6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos
internos valendo 1800º?

1- Na figura, o valor de x é:
...
10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos
de um triângulo são diretamente proporcionais aos
números 2, 3e 4, tem-se ...
Com os dados acima, a pessoa conclui que a
profundidade do poço é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (

) 2,82 m
) 3,00 m
) 3,30 m
) ...
23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela
de uma televisão determina as polegadas da TV.

26- (SENAI) O sistema UTM,...
28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em
volta de uma pista de patins no gelo, como indica a
figura. Se o metro linea...
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (

)
)
)
)
)

1.440
1.320
1.280
1.200
1.180

37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale:

34...
45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm,
são levados juntos à fusão e, e...
9- QUESTÕES DISCURSIVAS

Ângulos
1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um
hexágono regular CDEFGH.

4- Em um terreno de...
outro terreno, a medida do comprimento é 80% da
medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm
a mesma área, qual a largu...
QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP
As questões a seguir foram obtidas de materiais
das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das ...
18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos
α e β dados na figura.

17- A figura mostra um dodecágono regular
dec...
Figura Questão 22

a) Quantas peças foram obtidas?
21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras
estão erradas?

b) Um...
b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e
depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos
retangulares iguais, ...
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  1. 1. APOSTILA DE GEOMETRIA Tópicos de Geometria Plana Noções de Geometria Espacial Professor: Paulo Soares Batista Nome:_______________________________________________ 1- ÂNGULOS.............................................................................................................................................01 2- POLÍGONOS.........................................................................................................................................03 3- TRIÂNGULOS E TEMAS RELACIONADOS..................................................................................04 4- QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................09 5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA.....................................................................................................10 6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS.......................................................................................................11 7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ESPACIAL........................................................................13 8- QUESTÕES OBJETIVAS....................................................................................................................17 9- QUESTÕES DISCURSIVAS................................................................................................................24 10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES........................................................................................................29 1- ÂNGULOS Um conjunto de pontos, isto é, uma figura ou uma região, é convexo se, para todos os pares de pontos do conjunto, os segmentos formados estiverem inteiramente contidos no conjunto. Dois ângulos são consecutivos se um lado de um deles é também lado do outro(um lado de um deles coincide com um lado do outro). Se uma região não é convexa ela é uma região côncava. Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares). Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns. 1
  2. 2. Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. EXEMPLOS 1- Calcule a medida do ângulo indicado por a: AÔB e CÔD são opostos pelo vértice. 2- Encontre o valor de x na figura abaixo: AÔB e CÔD são também congruentes. EXEMPLOS 1- Vamos determinar o valor de a na figura seguinte: Ângulo reto 2- Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. Ângulo reto é todo ângulo congruente com seu suplementar adjacente. Ele mede 90º. Ângulo nulo Bissetriz de um ângulo Ângulo que tem os lados coincidentes. Ele mede 0º. A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. Ângulo raso Ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Ele mede 180º. 2
  3. 3. Ângulo agudo Nomenclatura Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º. De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é: Ângulo obtuso Ângulo maior que o ângulo reto e menor que o ângulo raso. Sua medida varia entre 90º e 180º. n = 3 → triângulo n = 4 → quadrilátero n = 5 → pentágono n = 6 → hexágono n = 7 → heptágono n = 8 → octógono n = 9 → eneágono n = 10 → decágono n = 11 → undecágono n = 12 → dodecágono n = 13 → tridecágono n = 14 → tetradecágono n = 15 → pentadecágono ...... n = 20 → icoságono Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados. Ângulo de uma volta Ângulos em polígonos convexos Um ângulo de 360 graus ou ângulo de uma volta é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa, este ângulo coincide com o ângulo de zero grau, mas possui a grandeza de 360º. Soma dos ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela expressão a seguir: Si = (n - 2).180º EXEMPLOS 2- POLÍGONOS Polígono é a reunião de uma linha fechada simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna. A palavra polígono é formada por dois termos gregos: poli = vários, muitos e gonos = ângulos. Os polígonos podem ser convexos e nãoconvexos, de acordo com a sua região interna. 1-Calcule a soma das medidas dos ângulos internos do: a) pentadecágono b) octógono c) icoságono 2- Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1260o? 3- Determine o valor de x nos polígonos abaixo: a) 3
  4. 4. b) Quanto aos ângulos Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. Triângulo Obtusângulo: Um de seus ângulos é obtuso. 3- TRIÂNGULOS Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta (não alinhados ou não colineares), a união dos segmentos chamamos triângulo ABC e indicamos por ∆ ABC . Soma dos ângulos internos de um triângulo “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º”. Elementos de um triângulo VÉRTICES : são os pontos A, B e C. LADOS: são os segmentos ÂNGULOS INTERNOS: são os a + b + c = 180º ângulos EXEMPLOS Classificação dos Triângulos Encontre x nos triângulos a seguir: Quanto aos lados a) Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. b) 4
  5. 5. c) CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de ângulos são congruentes. EXEMPLOS 1- Determine o valor de x nas figuras a seguir: a) d) b) Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos determinados por elas são assim determinados: c) a // b ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e (d e e)→ esses pares de ângulos são congruentes. ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e (c e h)→ esses pares de ângulos são congruentes. d) COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e (d e f)→ esses pares de ângulos são suplementares. COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g)→ esses pares de ângulos são suplementares. 5
  6. 6. 2- Na figura, temos r // s. Calcule a medida do ângulo b. Casos ou critérios de semelhança 1º CASO (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. 2º CASO (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. Semelhança de triângulos 3º CASO (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. Definições Algumas consequências dos casos de semelhança: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes. • • • • A razão entre lados homólogos é k; A razão entre os perímetros é k; A razão entre as alturas homólogas é k; E os ângulos homólogos são congruentes. EXEMPLOS 1- Determine x e y, sabendo que os triângulos são semelhantes. 2- Se os ângulos com “marcas iguais” são congruentes, determine x. Razão de semelhança 6
  7. 7. 3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo? AB e A’B’, CD correspondentes. e C’D’ são segmentos Teorema de Tales Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que: Os segmentos proporção. correspondentes formam uma EXEMPLOS O Teorema de Tales e aplicações 1- Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a rua 1 e para a rua 2, como você vê na ilustração ao lado. As laterais dos terrenos são paralelas. Definições · Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano (coplanares) paralelas entre si. · Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe. · Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. · Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. 2- Ache o valor de x e y, sabendo que r, s e t são paralelas. a) A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes. 7
  8. 8. b) b) c) Relações métricas no triângulo retângulo Elementos Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes: d) 2- Aplique as relações métricas nos triângulos retângulos a seguir e encontre a medida x indicada: EXEMPLOS 1- Calcule o valor de x nos triângulos retângulos: a) 8
  9. 9. Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras 4- QUADRILÁTEROS Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado . Definição Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não alinhados), de modo que os segmentos interceptam-se apenas nas extremidades. A reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. TRAPÉZIO Altura do Triângulo Equilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado . Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases. Classificação do trapézio Trapézio isósceles: É o trapézio cujos lados que não são bases são congruentes. Trapézio escaleno: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são congruentes. Trapézio retângulo: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às bases. EXEMPLOS 1- Qual o comprimento da diagonal do quadrado de perímetro 24cm ? PARALELOGRAMO Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. 2- Encontre a medida do lado l de um quadrado cuja diagonal mede 8 2 3 cm. 3- Determine x nos triângulos equiláteros: a) b) 9
  10. 10. Comprimento de uma circunferência Recordando: “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360º”. Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta. 5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C) de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma mesma constante. Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios. O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar π = 3,14. Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro. 10
  11. 11. EXEMPLOS 1- Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio. Fácil compreender, portanto, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm. 2- Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento? 3- A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. S = 4.3 S = 12 cm2 PRINCIPAIS ÁREAS: Nessas condições, responda: a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? QUADRADO RETÂNGULO b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel? S=l.l =l2 6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície. Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. PARALELOGRAMO Seja “u” a unidade de área: TRIÂNGULO 11
  12. 12. EXEMPLOS LOSANGO S = D .d 2 1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas: a) Quadrado 6 TRAPÉZIO 6 CÍRCULO S = πR 2 COROA CIRCULAR S = π( R2 – r2 ) 12
  13. 13. 7- NOÇÕES ESPACIAL BÁSICAS DE GEOMETRIA Sólidos geométricos Denominam-se sólidos geométricos as figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos. Classificação dos sólidos geométricas A partir das características dos sólidos geométricos podemos fazer uma classificação: 2- Encontre o valor das áreas nos seguintes casos: (Obs.: Considere as medidas em m). Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles não rolam. Corpos redondos: apresentam partes não-planas (“arredondadas”);por isso rolam. Outros sólidos geométricos: Possuem partes não planas, mas não rolam. POLIEDRO Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. c) (Coroa Circular) 3- Calcule a área hachurada. O quadrado tem lados iguais a 6 cm. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no poliedro abaixo, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. 13
  14. 14. Classificação Relação de Euler Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V-A+F=2 • • • • • • tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. em que: V é o número de vértices A é o número de arestas F, o número de faces. Observe os exemplos: V = 8 A = 12 F= 6 8 - 12 + 6 = 2 Existem cinco poliedros regulares: Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2 Hexaedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas EXEMPLOS Octaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas Lembre-se: Nos poliedros convexos é válida a seguinte relação: V-A+F=2 Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas 1- Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas. Icosaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30arestas 2- Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares. 14
  15. 15. a) paralelepípedo oblíquo PRISMA Elementos do prisma Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos: b) paralelepípedo reto • bases:as regiões poligonais R e S. • • altura:a distância h entre os planos arestas das bases:os lados ( dos polígonos) • arestas laterais:os segmentos • faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: Classificação Um prisma pode ser: • • reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: ST = 2( ab + ac + bc) Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1: prisma reto prisma oblíquo Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter: V = abc 15
  16. 16. Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário. Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados. 3- Um determinado bloco utilizado em construções tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende- se transportar blocos desse tipo num caminhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade. No máximo, quantos blocos podem ser transportados numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a altura da carroceria? Área total A área total ST é dada pela área dos seis quadrados de lado a: ST = 6a2 Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a . a . a = a3 EXEMPLOS 4- Um reservatório em retângulo tem 10 m comprimento. Sabendo 416 m2, qual é o 1- Considerando o cubo abaixo, determine: 3 a) o seu volume, em cm . formato de paralelepípedo de largura e 12 m de que sua área total vale valor da altura deste reservatório? b) sua área total. “Lembre-se: 2- Um aquário possui o formato de paralelepípedo com as seguintes dimensões: ST = 2( ab + ac + bc) um 16
  17. 17. 8- QUESTÕES OBJETIVAS 6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos internos valendo 1800º? 1- Na figura, o valor de x é: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 50º ) 25 º ) 11 º ) 8º a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) pentágono ) hexágono ) octógono ) decágono ) dodecágono 7- (OBMEP) Falta um ângulo – Na figura dada, 2- No triângulo ABC, o ângulo B mede o triplo do ângulo C e o ângulo A mede o dobro do ângulo B. Qual é a medida do ângulo B? a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 18º ) 36º ) 48º ) 54º ) 90º 3- (SARESP) O encosto da última poltrona de um ônibus, quando totalmente reclinado, forma um ângulo de 30º com a parede do ônibus (veja a figura). O ângulo a na figura mostra o maior valor que o encosto pode reclinar. O valor de a é: a) ( b) ( c) ( d) ( a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 30 50 55 65 70 8- (ESPCAR) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x é igual a: ) 50º ) 90º ) 100º ) 120º 4- – Se o triângulo ACD é retângulo e isósceles, ˆ então o ângulo BCD mede: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ˆ TU = SV. Quanto vale o ângulo SVU , em graus? ) 100º ) 105º ) 110º ) 115º ) 120º a) ( b) ( c) ( d) ( ) 230º ) 225º ) 220º ) 210º 9- (SARESP) Na figura, o triângulo BDC é eqüilátero e o triângulo ABD é isósceles (AB = ˆ BD). A medida do ângulo interno A é igual a: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 20º ) 30º ) 45º ) 60º 5- Se um polígono é regular e tem dez lados, então cada um dos seus ângulos internos mede: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 144º ) 140º ) 135º ) 130º ) 120º 17
  18. 18. 10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3e 4, tem-se que suas medidas valem: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 40º, 60º e 80º ) 30º, 50º e 100º ) 20º, 40º e 120º ) 50º, 60º e 70º 11- (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. A medida, em graus, do ângulo a é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 36º ) 32º ) 24º ) 20º ) 18º a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 6.3 m ) 4, 5 m ) 7,8 m ) 3,6 m ) 2,7 m 15- (COVEST-PE) A figura a seguir ilustra dois terrenos planos. Suponha que os lados AB e BC são paralelos, respectivamente, a DE e EF e que A, D, F, C são pontos colineares. 12- (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 20º ) 80º ) 100º ) 120º ) 130º Qual a distância AC, em metros? 13- (UEBA) Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC = 3. Se MN é paralelo a AB , o segmento AM mede: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 75 ) 76 ) 78 ) 79 ) 80 16- (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( )8 ) 10 ) 12 )9 )6 14- (UNAMA-PA) A incidência dos raios solares faz com que os extremos das sombras do homem e da árvore coincidam. O homem tem 1,80m de altura e sua sombra mede 2 m. Se a sombra da árvore mede 5m, a altura mede: 18
  19. 19. Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 2,82 m ) 3,00 m ) 3,30 m ) 3,52 m ) 3,85 m 17- Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, AB = 30 m, AD = 10 m e AE = 12 m. A medida do segmento CE é, em metros: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 20 ) 24 ) 28 ) 32 a) ( b) ( c) ( d) ( ) 13 ) 12 ) 11 ) 10 21- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é: 18- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e DF = x + 3. A medida de x, em centímetros é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( )2 )3 )4 )6 )9 19- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF= 6 cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 4,8 )6 ) 7,2 ) 8,8 ) 9,6 a) ( b) ( c) ( d) ( ) 2,3 ) 3,0 ) 3,2 ) 3,8 22- (OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ? a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( )5 ) 10 ) 15 ) 20 ) 25 20- Qual é o valor, em cm, da medida x indicada no triângulo a seguir? 19
  20. 20. 23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. 26- (SENAI) O sistema UTM, utilizado pelos pilotos de corrida de rali, faz com que qualquer ponto da Terra possa ser identificado por um sistema cartesiano de coordenadas (x, y). Suponha que o ponto inicial de um rali seja dado pelas coordenadas A (4, 6). Ao visualizar as coordenadas B (10, 14), o piloto percorreu a distância AB, em unidades de comprimento igual a: Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm possui: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 29 polegadas ) 20 polegadas ) 18 polegadas ) 16 polegadas Lembrete: 1 polegada = 2,5 cm 24- (SENAI) A figura abaixo representa uma praça: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( Um ciclista gosta de percorrer o trecho AB, BC e CA. A cada volta completa ele percorre: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 130 m. 120 m. 110 m. 100 m. 90 m. ) ) ) ) ) 10 30 50 60 80 27- (SENAI) Imagine um sistema cartesiano de coordenadas (x, y) colocado sobre uma mesa de bilhar, conforme indica a figura. Nesse sistema, a bola que será lançada se encontra no ponto A, de coordenadas (20, 12). As coordenadas do ponto onde a bola lançada deverá bater é B (36, 0). A distância AB percorrida pela bola, em unidades de comprimento, corresponde a: 25- (SENAI) Uma fábrica de cerâmica fabrica lajotas na forma de um triângulo eqüilátero como mostra a figura. Para que a área de cada lajota seja igual a 49 3 cm2, o lado do triângulo deverá medir: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 35 cm 28 cm 21 cm 14 cm 7 cm a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 20 28 56 72 86 20
  21. 21. 28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em volta de uma pista de patins no gelo, como indica a figura. Se o metro linear construído do muro, custa R$ 300,00, o total a ser pago pela construção será: A área desse losango, em cm2, será: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) R$ 15900,00 R$ 19500,00 R$ 20600,00 R$ 22500,00 R$ 35400,00 a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 500 1000 1200 1500 2000 32- (SENAI) Um terreno quadrado com lado medindo 20 m será dividido em três lotes, conforme mostra a figura: 29- (ANRESC) No centro de uma cidade é construída uma praça circular com uma passarela central de 50 m de comprimento, como mostra a figura. A área do lote II deverá medir: a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) 25 m. 50 m. 100 m. 200 m. 30- (SARESP) Medi o comprimento da roda de minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um número entre: a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 100 m2. 150 m2. 200 m2. 250 m2. 300 m2. 33- (SENAI) Uma estufa para mudas, quando vista de cima, conforme a figura abaixo, será dividida em quadrados com 50 cm de lado, em cada quadrado da divisão serão cultivadas 18 mudas. Então, o total de mudas cultivadas nessa estufa será: 2 e 2,5 2,5 e 3 3 e 3,5 3,5 e 4 31- (SENAI)Tenho uma cartolina retangular de dimensões 50 cm x 40 cm. Com essa cartolina quero construir um losango, como indica a figura abaixo. 21
  22. 22. a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 1.440 1.320 1.280 1.200 1.180 37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale: 34- (SENAI) Uma sala em forma de L, conforme a figura abaixo, será revestida com lajotas quadradas de 40 cm de lado. Se o preço de cada lajota é R$ 1,65, o valor gasto nesse revestimento será de: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 4,0 3,5 3,0 4,5 5,0 38- (ANRESC) Quantos quilogramas de semente são necessários para semear uma área de 10 m x 24 m, observando a recomendação de aplicar 1 kg de semente por 16 m2 de terreno? a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) R$ 105,60. R$ 247,50. R$ 353,10. R$ 393,60. R$ 495,20. 35- (OBMEP) Placa decorativa – Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de quatro metros de lado, pintado de forma simétrica com partes em cinza, conforme a figura. a) ( ) 1 15 b) ( ) 1,5 c) ( ) 2,125 d) ( ) 15 39- (CEFET-MG) No retângulo ABCD os lados AB e BC medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e E e F são pontos médios dos segmentos. Qual é a fração da área da placa que foi pintada? A área do triângulo CEF, em cm2, é 36- (CPFO-SP) Se a base de um retângulo mede 7 cm e o perímetro mede 19 cm, então, a sua área vale: a) ( b) ( c) ( d) ( ) 9,5 cm2 ) 17,5 cm2 ) 35 cm2 ) 84 cm2 a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) 20 40 60 80 40- (CEFET-MG) Sabendo-se que os polígonos ABCD, EFGH e IJLM são quadrados, a área hachurada na figura abaixo, em cm2, é igual a: 22
  23. 23. 45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio é moldado como um paralelepípedo reto-retângulo de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) ) 20 ) 19 ) 18. ) 17 ) 16 46- (SENAI) Na entrada da cidade de Fluidópolis, foi construído um obelisco composto de um pedestal de concreto e cubos metálicos maciços, formando a inicial da cidade, conforme a figura a seguir. 1 2 3 4 41- Quanto medem as arestas de um cubo cuja área total é de 600 cm2? a) ( ) 6 cm b) ( ) 10 cm c) ( ) 6 cm d) ( ) 10 cm 2 42- Uma face de um cubo tem área 81cm . Seu volume é: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( 3 ) 9cm . ) 81cm3. ) 180cm3. ) 243cm3. ) 729cm3. Se cada cubo tem aresta de 50 cm, o volume de metal usado nos cubos que compõem esse obelisco foi de: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) ) ) ) ) 3,000 m3. 2,725 m3. 2,000 m3. 1,575 m3. 1,000 m3. 43- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: 47- (SENAI) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz, conforme a figura. A cruz é compacta e construída com cubos de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir somente a cruz foi de: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 3750. ) 37500. ) 375000. ) 3750000. ) 37500000. ) ) ) ) ) 5,12 m3. 4,80 m3. 4,48 m3. 4,16 m3. 3,84 m3. 44- (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual a: a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 100 cm3. ) 40 cm3. ) 144 cm3. ) 16 cm3. ) 216 cm3. 23
  24. 24. 9- QUESTÕES DISCURSIVAS Ângulos 1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um hexágono regular CDEFGH. 4- Em um terreno de forma triangular deve-se construir uma quadra retangular, de acordo com a ilustração. ˆ Determine, em graus, a medida do ângulo ADE . 2- Na figura, as retas r e s são paralelas. Determinar os valores de a, b, c e d. Se a e b representam, em metros, as dimensões da quadra, determine-os. Teorema de Pitágoras 5- (FUVEST-SP) Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada? Semelhança de triângulos 3- (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 24
  25. 25. outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, qual a largura do segundo terreno? 9- (CPFO) Qual a área da região colorida? 6- (CEFET-PR) Em um acampamento escoteiro, num certo momento, a atividade que se desenvolvia em um terreno plano visava o treinamento do uso da bússola. A escoteira Rosa Dosven Tussin partiu de um ponto A e andou no sentido Norte, 137 passos até o ponto B. Em seguida caminhou 21 passos, no sentido Oeste, até o ponto C e, depois, 165 passos, no sentido Sul, até o ponto final D. Lá chegando, encontrou um tesouro: uma caixa de chocolate “Tris”. A que distância do ponto A, de partida, estava escondido o tesouro? Use π = 3,14. Paralelepípedo Círculo e Circunferência 7- (UFMA) No relógio da torre de uma igreja, o ponteiro maior mede 2 m. Em quanto tempo a ponta desse ponteiro percorre 5 π metros? 10- A superfície lateral de um prisma de base quadrada é feita com uma folha de cartolina de 30 cm por 40 cm. Sabendo-se que a altura do sólido é 30 cm, pergunta-se: a) Quantos centímetros tem o lado do quadrado da base do prisma? b) Quantos centímetros quadrados de cartolina no total foram gastos na construção desse sólido? Áreas das figuras planas 8- As dimensões de um terreno retangular são: 80 m de comprimento por 12 m de largura. Em um 25
  26. 26. QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP As questões a seguir foram obtidas de materiais das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas. Encare as questões como desafios e persista na busca por soluções! 11- Triângulo isósceles – Na figura, o triângulo ∆ABC é isósceles, com BÂC = 20º . Sabendo que BC = BD = BE, determine a medida do ˆ ângulo BDE . 14- Ângulos em função de x – Na figura estão indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos em função de x. Quanto vale x? 12- Ângulos e perímetro – Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo ˆ ˆ que BD = BC e DBC = BCD . 15- Região sombreada - A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada? 13- Área – Um lote retangular foi divido em quatro terrenos, todos retangulares. As áreas de três deles estão dadas na figura, em km2. Qual é a área do lote? 16- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha? 26
  27. 27. 18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos α e β dados na figura. 17- A figura mostra um dodecágono regular decomposto em seis triângulos equiláteros, seis quadrados e um hexágono regular, todos com lados de mesma medida. 19- Poste elétrico – Uma companhia de eletricidade instalou um poste num terreno plano. Para fixar bem o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de 1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste, sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme a figura. a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1 cm2, qual é a área do hexágono? b) A figura abaixo foi obtida retirando doze triângulos eqüiláteros de um dodecágono regular cujo lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura? Um professor de Matemática, após analisar estas medidas, afirmou que o poste não está perpendicular ao solo. Você acha que o professor está certo? Justifique sua resposta. c) A figura abaixo foi obtida retirando dois hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura? 20- Discos de papelão – Para fabricar nove discos de papelão circulares para o Carnaval usam-se folhas quadradas de 10 cm de lado, como indicado na figura. Qual é a área (em cm2) do papel não aproveitado? (Use π = 3,1) 27
  28. 28. Figura Questão 22 a) Quantas peças foram obtidas? 21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras estão erradas? b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 kg. Qual é o peso de cada uma dessas peças? 23- Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100 cm² de superfície. a) O sólido da figura foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido? 22- Dividindo o paralelepípedo – Um bloco de madeira na forma de um paralelepípedo retângulo tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos menores, todos na forma de paralelepípedos retângulo de 80 cm de comprimento por 30 cm de largura por 15 cm de altura. 28
  29. 29. b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos? 10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES QUESTÕES OBJETIVAS 1 17 33 A C B 2 18 34 C D B 3 19 D D 35 C 4 20 B A 36 B 5 21 A C 37 D 6 22 E C 38 D 7 23 39 C D B 8 24 40 A C B 9 25 B D 41 D 10 26 A A 42 E 11 27 E A 43 D 12 28 44 C B E 13 29 D A 45 B 14 30 B C 46 C 15 31 47 A C B 16 32 D C 24- Quadrado, Pentágono e Icoságono. A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados (icoságono) ABCDEF..., um quadrado BCYZ e um pentágono regular DEVWX. QUESTÕES DISCURSIVAS 1) 150º 2) a = 70º, b = 30º, c = 80º, d = 70º 3) 20,5 m 4) a = 4 5 m e b = 4 m 5) 4 dm 6) 35 passos 8) 15 m 7) 1 hora 15 min 9) 21,5 cm2 10) a) 10 cm b) 1400 cm2 11) 60º ˆ Determine a medida do ângulo YDC . 12) Perímetro: 696 m Ângulos não indicados: 128º, 80º, 60º, 60º, 60º 13) 225 Km2 15) 4 9 14) 18º 16) 16 m2 17) a) 6 cm2 b) 6 cm2 c) 6 cm2 18) α = 120 º eβ = 85º 19) Correto.(Apresente sua justificativa !) 20) 22,5 cm2 21) Todas.(Apresente sua justificativa !) 22) a) 40 peças b) 32,4 Kg 23) a) 28 mL b) 18 mL 24) 54º 29

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