Trigonometria

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Comprimento da Circunferência;
Medida de um Arco de Circunferência;
Medidas Entre Arcos e Cordas de uma Circunferência;
Condição de existência de um triângulo;
Relações Métricas de uma Circunferência;
Polígonos Regulares;
Relações Métricas nos Polígonos Regulares;
Área de um Polígono Regular;
Área Do Círculo;
Coroa Circular;
Entre Outros assuntos.

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Trigonometria

  1. 1. Comprimento da CircunferênciaQuando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares nãopodemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida docomprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente.Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo π. Em qualquer região circular bastadividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente.Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressãomatemática C = 2 * π * r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 metros, seu comprimento será calculado daseguinte maneira:C=2*3,14*8C=50,24mA descoberta desse número constante, relacionado às regiões circulares, é atribuída ao matemático grego Arquimedes. Na fórmula,temos que:C: comprimento da região circularπ: aproximadamente igual a 3,14r: medida do raio da região circular.Exemplos:a ) Qual o comprimento de uma circunferencia cujo raio mede 8 cm ?C= 2 *π*rC= 2*3,14*8C= 50,24
  2. 2. Medida de um Arco de CircunferênciaDada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, iremos marcar dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em duaspartes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes,temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:Nela podemos notar a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferênciatemos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor doângulo central.Na medição de arcos e ângulos usamos duas unidades: o grau e o radiano.Medidas em GrauSabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º, se a dividirmos em 360 arcos teremos arcos unitários medindo1º grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma voltacompleta ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1º grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Damesma forma podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).Medidas em RadianosDada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar amedida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos amedida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco.Portanto:Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter asmedidas dos arcos. Veja:360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
  3. 3. 180º → π radiano (aproximadamente 3,14)90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)medida em medida emgraus radianosx Α180 ΠExemplos de conversões:a) 270º em radianosb) 5π/12 em graus
  4. 4. Medidas Entre Arcos e Cordas de uma CircunferênciaUma CORDA de uma CIRCUNFERÊNCIA é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma cordanão são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arcomaior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremosque especificar.OBSERVAÇÕESSe um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquersegmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centrodo arco é o centro da circunferência que contém o arco.Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto Tobtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distânciaentre o ponto e a reta.Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcoscongruentes possuem cordas congruentes. (FIGURA 1).Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (FIGURA2 2).Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.(FIGURA 3).
  5. 5. Propriedade da Medida Relativa à Hipotenusa de um Triângulo R.No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e trêsângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulosgeodésicos e têm propriedades diferentes.O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo internoadjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de regiãoconvexa e a região externa de região côncava.A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outramaneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtidacalculando:Outra forma de calcular a área é , onde a e b são dois lados quaisquer do triângulo e alfa é o ângulo entre eles.Tipos de triângulosUm triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulosinternos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes échamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuemmedidas diferentes.Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.EqüiláteroIsóscelesEscalenoUm triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
  6. 6. Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Osdemais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.RetânguloObtusânguloAcutânguloCondição de existência de um triânguloPara que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dosoutros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.|b-c|<a<b+c|a-c|<b<a+c|a-b|<c<a+Fatos BásicosFatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300a.C..Um triângulo é um polígono.Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seusângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos aesse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado deum triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que omenor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo.Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outrotriângulo.Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essassão funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos a, ß e ?e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e aoângulo a, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo ß e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo ?.Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a doisângulos retos (180° ou p radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidasdos outros dois ângulos.
  7. 7. Ex:Triângulo com vértices, lados e ângulos representadosExiste um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dosângulos internos não-adjacentes.Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = a + ßOs ângulos A e A são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B são iguais por serem alternos internos. Osângulos C e C são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180oUm teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusaé igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso daseguinte maneira:c2 = a2 + b2Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado —propriedade única dos triângulos retângulos.O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados eângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.Teorema de PitágorasEssa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ?não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados eângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (umacírcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de umtriângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
  8. 8. Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possuiângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidase a proporção de seus lados é: .Pontos, linhas e círculos associados a um triânguloMEDIATRIZO circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo seencontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vérticesdo triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto.Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiverlocalizado fora do triângulo, este será obtusângulo.AlturaO ponto de interseção das alturas é o ortocentroAltura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado échamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno aotriângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntoscom o ortocentro formam um sistema ortocêntrico.MedianaO ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Mediana é o segmento de reta que une cada vértice dotriângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em doissegmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice.No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, noescaleno, nenhuma delas.O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Bissetriz
  9. 9. O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em quepartiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento dolado oposto.As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelosquais passam essas retas.Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados dotriângulo, é denominado círculo ex-inscrito.Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados dotriângulo, é denominado círculo ex-inscrito.Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.Reta de EulerÉ a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro.Círculo dos Nove PontosÉ o círcunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem oortocentro aos vértices.Relações de desigualdades entre lados e ângulos1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se omenor ângulo.3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
  10. 10. Relações Métricas de uma CircunferênciaA circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessasrelações obtemos as medidas procuradas.Cruzamento entre duas cordasO cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes deuma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:AP * PC = BP * PDExemplo 1x * 6 = 24 * 86x = 192x = 192/6x = 32Dois segmentos secantes partindo de um mesmo pontoEm qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida deum deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa.Observe:RP * RQ = RT * RSExemplo 2x * (42 + x) = 10 * (30 + 10)x2 + 42x = 400x2 + 42x – 400 = 0
  11. 11. Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x =8.Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo pontoNesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de suaparte externa.(PQ)2 = PS * PRExemplo 3x2 = 6 * (18 + 6)x2 = 6 * 24x2 = 144√x2 = √144x = 12
  12. 12. Polígonos RegularesConceito de um polígono regular:Um polígono é chamado equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equiláterosquando possui todos os ladoscongruentes. Um polígono é REGULAR quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes.Exemplos:O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.Logo, o retângulo é equiângulo.O losango tem todos os lados congruentes.Logo, o losango é equilátero.O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.Elementos de um Polígono Regular:Se um polígono é regular, consideramos:Centro do polígono: é o centro da circunferência circunscrita (ponto o).
  13. 13. Raio do polígono: é o raio da circunferência circunscritaApótema do polígono: é a distância entre o centro e cada um dos lados do polígonoÂngulo Central: é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos
  14. 14. Relações Métricas nos Polígonos Regulares:Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta queparte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado dopolígono.A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, aovalor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito nacircunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma,temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmovalor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:a²+2²=4²a²+4=16a²=16–4a²=12a=√12a = 2√3 cmExemplo2: Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10cm.Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:
  15. 15. Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).tg45º=5/a1=5/aa = 5 cmDeterminando o raio através do Teorema de Pitágoras:r²=a²+5²r²=5²+5²r²=25+25r²=50r=√50r=5√2cmExemplo3:Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida doraio.Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.Onde a é o apótema do triângulo equilátero.O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor daaltura do triângulo. Ou seja,Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
  16. 16. Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:A = base x alturaPara o triângulo equilátero, sabemos que:Logo, a área do triângulo equilátero será:Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:Daí, obtemos a seguinte igualdade:Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:Vejamos alguns exemplos de aplicação.Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-se somente o valor do raio. Segue que:
  17. 17. Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessacircunferência.Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado dotriângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
  18. 18. Área de um Polígono RegularTodo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares,então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos.Obs.: O número de lados da figura é igual ao número de triângulos que compõem a figura.No pentágono inscrito abaixo podemos notar que a altura de cada triângulo que o compõe corresponde ao apótema do polígono,podemos substituir a altura h pelo apótema a, na expressão que calcula a área de cada triângulo:Para calcular a área total basta multiplicarmos a expressão da área de cada triângulo pelo perímetro do polígono e dividir por doiscomo demonstra a expressão final:Vamos calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m.Já vimos que o pentágono é formado por cinco triângulos e vale lembrarmos que em qualquer polígono a soma dos ângulos externos ésempre igual a 360º. Para calcularmos o apótema deste triângulo devemos recorrer à relação trigonométrica tangente. Veja que oapótema divide a base em duas partes iguais.
  19. 19. A área total de um pentágono cujo lado mede 4 metros é de 27,5 m2.
  20. 20. Área Do CírculoA área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área docírculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14.A = π * r²O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta,mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12lados) e icoságono (20 lados).Vamos determinar a área de algumas regiões circulares.Exemplo 1Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros.A = π * r²A = 3,14 * 20²A = 3,14 * 400A = 1256 m²Serão necessários 1256 m² de grama.Exemplo 2Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10metros, e a região menor, raio medindo 3 metros.Área da região com raio medindo 10 metrosA = π * r²A = 3,14 * 10²
  21. 21. A = 3,14 * 100A = 314 m²Área da região com raio medindo 3 metrosA = π * r²A = 3,14 * 3²A = 3,14 * 9A = 28,26 m²Área da região em destaqueA = 314 – 28,26A = 285,74 m²Exemplo 3Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadradosde ladrilhos devem ser comprados.Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros.A = π * r²A = 3,14 * 6²A = 3,14 * 36A = 113,04 m²Calculando 10%10% = 10/10010/100 * 113,0411,30Total de ladrilhos a serem comprados113,04 + 11,30124,34 m²Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos.Coroa CircularQuando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio detamanhos diferentes. Observe:Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas édenominada coroa circular. Observe:
  22. 22. A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, áreado círculo maior menos a área do círculo menor.Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menorÁrea da coroa = (π * R²) – (π * r²)Área da coroa = π * (R² – r²)Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14.Exemplo 1Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio dacircunferência menor igual a 8 metros.A = π * (R² – r²)A = π * (10² – 8²)A = π * (100 – 64)A = π * 36A = 36π m²ouA = 36 * 3,14A = 113,04 m²Exemplo 2Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação docavalo.A = π * (50² – 20²)A = π * (2500 – 400)A = π * (2100)A = π * 2100A = 2100π m²ouA = 2100 * 3,14A = 6594 cm²Setor Circular
  23. 23. A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r éa medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo).Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação quecalcularemos a área de um segmento circular.Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r².Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de umasimples regra de três. Observe:360º ------------- π * r²θº ------------------ xonde:π = 3,14r = raio do círculoθº = medida do ângulo centralx = área do arcoExemplo 1Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.Resolução:360º ------------- π * r²32º ------------------ x360x = 32 * π * r²x = 32 * π * r² / 360x = 32 * 3,14 * 2² / 360x = 32 * 3,14 * 4 / 360x = 401,92 / 360x = 1,12A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².Exemplo 2Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.360º ------------- π * r²120º ------------------ x360x = 120 * π * r²x = 120 * π * r² / 360x = 120 * 3,14 * 12² / 360x = 120 * 3,14 * 144 / 360x = 54259,2 / 360x = 150,7A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².
  24. 24. TRABALHO DEMATEMÁTICA Escola Adventista de Jardim Metrópole Alunos: Isabelly Viana, Priscila Graziela, Gabriela Cristina e Higor Vieira. Professor: André Ano: 9°ano Data: 01 de Dezembro de 2011

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