1) O documento discute hipérboles, definindo-as como conjuntos de pontos cuja diferença das distâncias focais é constante. 2) Fornece as equações da hipérbole na posição-padrão, com focos em (c,0) e (c,0) e ponto genérico (x,y). 3) Explica que as assíntotas de uma hipérbole são as retas para as quais os pontos da curva se aproximam quando x se aproxima do infinito.

2. Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta
ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se
hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que
1F 2F
   1 2, ,d P F d P F é constante.
P
ORIGEM

3. Equações da hipérbole na posição-padrão
 
c c
a a1F 2F
Focos: os pontos F1 e F2

4.  
1F 2F
a
c
Do triângulo retângulo obtido no
esquema ao lado, chamaremos
de b o cateto ainda indefinido e
escreveremos que
2 2 2
b c a 
b
2 2
b c a 

2 2
c a b 

5.  
a a

c a c a
Pela definição de hipérbole
   1 2, , constante:dist P F dist P F 
   1 2, , 2dist P F dist P F a 
para    1 2, ,dist P F dist P F
P

V
  2c a a     c a  2a
daí
•Focos: F1 e F2
•Ponto Genérico: P (x, y)
•Distância Focal: d(F1, F2)

6.  
a a

 ,P x y

V
 ,0c ,0c
   1 2, , 2 ,dist P F dist P F a 
sabemos que
então vale que
   
2 22 2
2x c y x c y a     

7. 2 2
   
   
   
   
2 22 2
2x c y x c y a     
 
22 2 2 2 2 2
( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y        
2 2
   
   
   
 
2 2 2 2
2 ( )x c y a x c y     
2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c        
2 2 2
( )a x c y xc a   
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2a x a xc a c a y x c a xc a     
   2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a y a a c   
2 2 2 2 2 2 4 2 2
a x x c a y a a c   

8. 2 2 2 2 2 2
b x a y a b   
2 2 2 2 2 2
a b a b a b  
 
2 2 2 2 2 2
b x a y a b 
lembrando que resulta2 2 2
,c a b 
2 2
2 2
1
x y
a b
 
   2 2 2 2 2 2
b x a y a b   
   2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a y a a c   

9. y
x
.
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
 0,c
 0, c
a
a
bb
2 2
2 2
1
x y
a b
 
2 2
2 2
1
y x
a b
 
aa
b
b
. ,0c  ,0c
y
x
.
.
b
y x
a
b
y x
a
 
a
y x
b

a
y x
b
 
..
.
.

10. Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .
Determine os valores e e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o
gráfico da hipérbole.
x y
a b

11. Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
2 2
1
4 16
x y
 (a) 2 2
1y x (b)

12. Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
e assíntotas 0, 8
4
.
3
y x 

13. Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o
eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas
em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai
ficando muito grande, os valores de x2 – a2 vão se
aproximando de x2 porque a2 vai se tornando desprezível.
Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e
III, mas nunca as tocará. As retas II e III são as assíntotas da
hipérbole.
22
(I) ax
a
b
y  x
a
b
y (II) x
a
b
y (III)
Assíntotas da hipérbole

14. Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem,
as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole.
Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro
está na origem, a é igual a b e suas assíntotas são y =  x.
x
b
a
y (IV) x
b
a
y (V)
Assíntotas da hipérbole

15. Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às
assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal)
e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole
equilátera de centro qualquer são y – yo = (x – xo).
Assíntotas da hipérbole
)((VI) oo xx
a
b
yy  )((VII) oo xx
b
a
yy 

16. Equações das Assíntotas
Considerando a hipérbole ao lado,
temos: Centro (X𝑐, Yc).
Sua representação algébrica é:
(X−X𝑐)² _ (Y−Y𝑐)²
𝑎² 𝑏²
=1

17. TEOREMA (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta
tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com
as retas que unem P aos focos.

..

Reta tangente em P
P
.