Este documento apresenta exemplos de exercícios para trabalhar cônicas com alunos do ensino médio, incluindo a definição e equações de elipses, hipérboles e parábolas, juntamente com exercícios para encontrar suas equações e focos e fazer seus desenhos.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)
1. Trabalhando cônicas com a o Geogebra:
O objetivo desta atividade é trabalhar cônicas com os alunos do ensino médio. São
exercícios de construção de cônicas, nos quais o aluno precisa entender conceitos e
propriedades para que a atividade se desenvolva de forma objetiva. Ou seja, esta atividade
deve ser um complemento à explicação em sala de aula, uma vez que para que o aluno
consiga executar com mais clareza as atividades propostas a seguir, ele deverá ter
conhecimento prévio.
Elipse
Sejam F1 e F2 dois pontos determinados do plano XY à distância 2c. O conjunto dos
pontos desse plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a 2a, com a c chama-se elipse.
F1 e F2 dizem-se os focos da elipse.
Equação reduzida:
a² = b² + c²
Focos: F1=(-c,0) F2=(c,0) Vértices: (±a,0),(0,±b)
Hipérbole
Sejam F1 e F2 dois pontos determinados do plano XY à distância 2c. O conjunto dos
pontos desse plano cujo módulo da diferença das distâncias a F 1 e F2 é igual a 2a, com a c
chama-se hipérbole. F1 e F2 dizem-se os focos da hipérbole.
Equação reduzida:
a² + b² = c²
Focos: F1=(-c,0) F2=(c,0) Vértices: (±a,0)
2. Parábola
Seja d uma reta do plano XY e F um ponto desse plano não pertencente a d. O conjunto
dos pontos P do plano eqüidistantes de d e de F chama-se parábola. F diz-se o foco da
parábola e d a diretriz.
Equação reduzida:
y² = 4px
Foco: (p,0) Reta diretriz: y=-p
Vértice: (0,0)
Exercícios:
1) Encontre a equação da elipse que tem focos F1=(2,0) e F2=(-2,0) e que passa pelo
ponto (0,1). E faça o desenho.
2) Encontre a equação da hipérbole que tem focos F1=(2,0) e F2=(-2,0) e que passa pelo
ponto (1,0). E faça o desenho.
3) Encontre os pontos de interseção entre a elipse do exercício 1 e a hipérbole do
exercício 2 através do desenho.
4) Encontre a parábola que satisfaça:
a) vértice na origem e foco (1,0)
b) vértice na origem e reta diretriz y=3
c) vértice na origem e que passa pelo ponto (-2,5) com concavidade para cima.
5) Faça o desenho de:
a) x²+4y²-16=0
b) x²-3y²-9=0
c) =1
d)x² - 9y²=1
e) x²=8y
6)Para os itens do exercício acima, indique os focos (a partir do desenho encontrado).
Referências:
Apostila de cálculo I
Projeto desenvolvido pelos alunos do curso de graduação Matemática-Licenciatura da UFRGS:
Igor Cunha
Priscila Moraes