Este documento apresenta um resumo sobre seções cônicas. Ele define e discute as principais propriedades geométricas e algébricas da elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações canônicas. O documento também mostra como essas curvas podem ser obtidas através da interseção de um cone com um plano e caracteriza-as em termos de distâncias fixas em relação a focos e diretrizes.
O documento descreve as principais curvas cônicas: parábola, elipse e hipérbole. A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta. A elipse é o lugar onde a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. A hipérbole é onde a diferença das distâncias a dois pontos é constante.
1) O documento discute identificação de curvas do segundo grau no plano, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. 2) Fornece as definições geométricas dessas curvas e deriva suas equações algébricas canônicas por meio de mudanças de coordenadas. 3) Explica como os coeficientes nas equações se relacionam com características geométricas como focos, vértices e assíntotas.
O documento descreve as propriedades geométricas e algébricas da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Detalha como obter a equação da hipérbole colocando os focos no eixo x e determinar as coordenadas dos vértices e assíntotas. Apresenta exemplos resolvidos de encontrar focos, vértices e assíntotas dadas equações de hipérboles.
A hipérbole é uma curva plana definida pela diferença das distâncias de um ponto a dois focos fixos. Possui elementos como semi-eixos real e imaginário, focos, semidistância e distância focal. Sua equação geral relaciona essas grandezas e permite representá-la algebraicamente.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
O documento descreve as principais curvas cônicas: parábola, elipse e hipérbole. A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta. A elipse é o lugar onde a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. A hipérbole é onde a diferença das distâncias a dois pontos é constante.
1) O documento discute identificação de curvas do segundo grau no plano, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. 2) Fornece as definições geométricas dessas curvas e deriva suas equações algébricas canônicas por meio de mudanças de coordenadas. 3) Explica como os coeficientes nas equações se relacionam com características geométricas como focos, vértices e assíntotas.
O documento descreve as propriedades geométricas e algébricas da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Detalha como obter a equação da hipérbole colocando os focos no eixo x e determinar as coordenadas dos vértices e assíntotas. Apresenta exemplos resolvidos de encontrar focos, vértices e assíntotas dadas equações de hipérboles.
A hipérbole é uma curva plana definida pela diferença das distâncias de um ponto a dois focos fixos. Possui elementos como semi-eixos real e imaginário, focos, semidistância e distância focal. Sua equação geral relaciona essas grandezas e permite representá-la algebraicamente.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cônicas com 10 questões sobre parábolas, 20 sobre elipses e hipérboles, e as demais sobre diversos tópicos relacionados a cônicas.
2) São solicitados elementos como equações, vértices, focos, diretrizes, eixos e outros itens geométricos de várias curvas como parábolas, elipses e hipérboles.
3) Há também exercícios sobre lugares geométricos relacionados a distâncias e âng
Este documento fornece o gabarito de uma prova de geometria analítica sobre circunferências. Nele, são resolvidos exercícios que envolvem determinar as coordenadas do centro e o raio de circunferências dadas por equações, encontrar a equação de circunferências com dados centro e raio, e analisar a posição de pontos em relação a circunferências.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
O documento descreve as propriedades e equações das parábolas. Uma parábola é definida como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma reta (diretriz). A equação geral de uma parábola é dada em termos de seu vértice, foco e diretriz. Exemplos e exercícios ilustram como encontrar estas características e traçar parábolas a partir de suas equações.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
O documento descreve os sistemas de coordenadas cartesianas e polares. Explica como representar pontos no plano usando cada sistema e fornece as equações de transformação entre os sistemas. Também apresenta as equações polares das principais cônicas - circunferência, elipse, hipérbole e parábola - em termos da distância polar ρ e do ângulo polar θ.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
Este documento analiza el concepto de m-learning y su aplicación en el sistema educativo. Explica que el m-learning complementa al e-learning permitiendo el aprendizaje en cualquier momento y lugar a través de dispositivos móviles. También describe la evolución de las consolas portátiles y cómo estas pueden usarse con fines educativos, ofreciendo ventajas como la motivación de los estudiantes.
In deze presentatie leggen Tom Claus en Stijn Janssen uit hoe dat je jezelf transformeert van luie nerd tot actieve runner. We vertellen ons verhaal hoe we trainen voor een marathon en hoe wij (en jij dus ook!) ons motiveren om elke keer opnieuw te gaan lopen met behulp van onze smartphone.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cônicas com 10 questões sobre parábolas, 20 sobre elipses e hipérboles, e as demais sobre diversos tópicos relacionados a cônicas.
2) São solicitados elementos como equações, vértices, focos, diretrizes, eixos e outros itens geométricos de várias curvas como parábolas, elipses e hipérboles.
3) Há também exercícios sobre lugares geométricos relacionados a distâncias e âng
Este documento fornece o gabarito de uma prova de geometria analítica sobre circunferências. Nele, são resolvidos exercícios que envolvem determinar as coordenadas do centro e o raio de circunferências dadas por equações, encontrar a equação de circunferências com dados centro e raio, e analisar a posição de pontos em relação a circunferências.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
O documento descreve as propriedades e equações das parábolas. Uma parábola é definida como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma reta (diretriz). A equação geral de uma parábola é dada em termos de seu vértice, foco e diretriz. Exemplos e exercícios ilustram como encontrar estas características e traçar parábolas a partir de suas equações.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
O documento descreve os sistemas de coordenadas cartesianas e polares. Explica como representar pontos no plano usando cada sistema e fornece as equações de transformação entre os sistemas. Também apresenta as equações polares das principais cônicas - circunferência, elipse, hipérbole e parábola - em termos da distância polar ρ e do ângulo polar θ.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
Este documento analiza el concepto de m-learning y su aplicación en el sistema educativo. Explica que el m-learning complementa al e-learning permitiendo el aprendizaje en cualquier momento y lugar a través de dispositivos móviles. También describe la evolución de las consolas portátiles y cómo estas pueden usarse con fines educativos, ofreciendo ventajas como la motivación de los estudiantes.
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This document shows examples of using the rdfapi.js library to work with RDF data. It demonstrates parsing RDF/Turtle strings into a graph, adding and filtering triples, serializing a graph back into Turtle strings, creating RDF objects from JavaScript objects, getting data types of RDF terms, working with lists, and merging RDF graphs.
The document contains a list of useful expressions in English for 5th grade students compiled by their English teacher, Mrs. Anabel Montes, from the I.E.P. Nuestra Señora de Guadalupe. The expressions are presented without definitions or translations and include common classroom instructions and requests such as "listen carefully", "open your book", "may I go to the toilet?" and "draw". There is also a short multiple choice exercise asking students to complete expressions like "be silent please" and "go to the board".
Bab 4 membahas pengguna dan pengembang sistem informasi dalam organisasi. Terjadi perubahan dari struktur fisik ke struktur maya, dengan pengguna menjadi sumber daya informasi berharga. Komputasi pengguna akhir memungkinkan pengguna berperan aktif dalam pengembangan sistem. Organisasi juga bergeser dari struktur tersentralisasi ke desentralisasi, serta mengadopsi model sekutu, platform, dan skalabel.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Gerencia de proyectos de tecnología educativaANCIZAR8
Este documento presenta una actividad para un módulo sobre gerencia de proyectos de tecnología educativa. La actividad requiere que el estudiante lea dos capítulos, construya un mapa conceptual respondiendo preguntas sobre el rol del gerente de proyectos, los elementos necesarios para garantizar el ciclo de vida de un proyecto y quiénes son los responsables de establecer el ciclo de vida. Finalmente, incluye una bibliografía de tres fuentes relacionadas con la gestión de proyectos educativos y el rol del gerente.
Bat-Yam North Vatikim ch3 Mixed Use and Populations 18Jan2011Nachman Shelef
Merhav - the Movement for Israeli Urbanism (www.miu.org.il)
Presented as part of the Urban Empowerment Lab that seeks to develop tools for the transformation of aging and decaying Israeli public housing complexes - built in the 1950s-1970s - into places with a high quality of life.
Social media sudah menjadi keseharian kita, sehingga keterlibatan secara emosional tidak terhindarkan. Kadang keterlibatan emosional itu membuat kita lalai dengan bahaya ranjau hukum yang mengintai
1) O documento apresenta informações sobre um professor de matemática e biologia do ensino médio, incluindo sua formação acadêmica e sites sobre ensino de matemática. 2) Em seguida, explica conceitos geométricos como circunferência, elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações e elementos. 3) Fornece detalhes sobre como determinar a posição de pontos e retas em relação a circunferências.
Este documento fornece informações sobre geometria analítica, incluindo definições e equações de circunferências, elipses, hipérboles e parábolas. É apresentado o graduado em Matemática e Ciências Naturais da UFBA e seus endereços online.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
1) Quando um plano intersecta uma superfície cônica, forma uma seção cônica que pode ser uma elipse, hipérbole ou parábola dependendo do ângulo entre o plano e a base do cone.
2) As elipses, hipérboles e parábolas são definidas em termos dos elementos focais e da soma ou diferença das distâncias de um ponto a esses focos.
3) São apresentadas as equações reduzidas de cada uma dessas curvas cônicas em função dos seus elementos principais.
1) Uma elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante. 2) A equação de uma elipse geral é (x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1, onde (h,k) é o centro e 2a e 2b são os comprimentos dos eixos maior e menor. 3) As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elipses, com o Sol localizado em um dos focos.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
Este documento fornece instruções sobre cônicas (elipses, hipérboles e parábolas). Explica como obter as equações reduzidas de cada cônica a partir de seus elementos geométricos, como focos, vértices e eixos. Também mostra como identificar o tipo de cônica a partir de sua equação.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
1) Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.
2) Uma elipse possui dois eixos, maior e menor, e centro localizado no ponto médio entre os focos.
3) O documento apresenta a dedução da equação de uma elipse quando seu eixo maior é paralelo aos eixos coordenados ou quando seu centro está deslocado da origem.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exercícios sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Inclui definições dessas curvas, equações reduzidas e como encontrar seus elementos como focos e vértices. Há também exercícios para construir essas curvas geometricamente e identificar seus focos a partir dos gráficos.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exercícios sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Inclui definições dessas curvas, equações reduzidas e focos. Há exercícios para encontrar equações de curvas passando por pontos dados e interseções entre elipses e hipérboles, além de identificar focos a partir de equações e desenhos de curvas.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exemplos de exercícios para trabalhar cônicas com alunos do ensino médio, incluindo a definição e equações de elipses, hipérboles e parábolas, juntamente com exercícios para encontrar suas equações e focos e fazer seus desenhos.
Este documento fornece uma breve revisão sobre elipses, definindo-as como o lugar geométrico cuja soma das distâncias de um ponto até dois focos fixos é constante. Explica os elementos básicos de uma elipse, como focos, eixos, vértices e excentricidade. Também mostra como obter a equação reduzida de uma elipse a partir de sua definição.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.
O documento apresenta três problemas envolvendo equações de hipérboles. O primeiro problema pede para determinar a equação de uma hipérbole com centro na origem e eixo real coincidente com o eixo x, passando pelo ponto (2,1). Os outros problemas pedem para determinar as equações de hipérboles dados seus focos e comprimento do eixo real ou a partir de uma equação dada.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento descreve as características de três curvas cônicas: elipse, hipérbole e parábola. A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. A hipérbole é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias aos focos é constante. A parábola é obtida ao seccionar um cone circular reto obliquamente.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano e no espaço, incluindo definição de coordenadas cartesianas para pontos, distância entre pontos, equações de retas e circunferências.
2) É explicado o sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço, definindo quadrantes, octantes, fórmulas para cálculo de distâncias.
3) São apresentadas as equações paramétricas, simétricas, gerais e reduzidas que representam retas no plano cartesiano.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
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A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
Conicas cordpolar parametrizada
1. Se¸oes Cˆnicas
c˜
o
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´tica-ICEx
a
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
regi@mat.ufmg.br
11 de dezembro de 2001
Estudaremos as (se¸oes) cˆnicas, curvas planas que s˜o obtidas da interse¸ao de um cone
c˜
o
a
c˜
circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hip´rbole e a par´bola, que s˜o chamadas
e
a
a
de cˆnicas n˜o degeneradas. Vamos defini-las em termos de lugares geom´tricos. As outras
o
a
e
cˆnicas, que incluem um unico ponto, um par de retas, s˜o chamadas cˆnicas degeneradas.
o
´
a
o
1
1.1
Cˆnicas N˜o Degeneradas
o
a
Elipse
Defini¸˜o 1.1. Uma elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das
ca
e
distˆncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) ´ constante, ou seja, se dist(F1 , F2 ) = 2c,
a
e
ent˜o a elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
a
e
dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a,
Proposi¸˜o 1.1.
ca
em que b =
em que a > c.
(a) A equa¸ao de uma elipse cujos focos s˜o F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) ´
c˜
a
e
√
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
(1)
a2 − c 2 .
(b) A equa¸ao de uma elipse cujos focos s˜o F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) ´
c˜
a
e
em que b =
√
x2 y 2
+ 2 = 1,
b2
a
a2 − c 2 .
1
(2)
2. y
y
A2
F2
B2
A1
B1
A2
F1
F2
B2
x
x
B1
A1 = (−a, 0)
B1 = (−b, 0)
F1 = (−c, 0)
A2 = (a, 0)
B2 = (b, 0)
F2 = (c, 0)
A1 = (0, −a)
B1 = (−b, 0)
F1 = (0, −c)
Figura 1: Elipse com focos nos pontos F1 =
(−c, 0) e F2 = (c, 0)
F1
A1
A2 = (0, a)
B2 = (b, 0)
F2 = (0, c)
Figura 2: Elipse com focos nos pontos F1 =
(0, −c) e F2 = (0, c)
Demonstra¸ao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exerc´
c˜
ıcio, a
demonstra¸ao da segunda parte. A elipse ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
c˜
e
dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a ,
ou seja,
que neste caso ´
e
−→
−→
|| P F1 || + || P F1 || = 2a,
(x + c)2 + y 2 +
(x − c)2 + y 2 = 2a
ou
(x + c)2 + y 2 = 2a −
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos
(x − c)2 + y 2 .
a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx .
Elevando novamente ao quadrado e simplificando, obtemos
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
√
Como a > c, ent˜o a2 − c2 > 0. Assim, podemos definir b = a2 − c2 e dividir e equa¸ao acima
a
c˜
por a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtendo (1).
Nas Figuras 1 e 2, os pontos A1 e A2 s˜o chamados v´rtices da elipse. Os segmentos A1 A2
a
e
e B1 B2 s˜o chamados eixos da elipse. A reta que passa pelos focos ´ chamada eixo focal.
a
e
c
A excentricidade da elipse ´ o n´mero e = . Como, c < a, a excentricidade de uma elipse ´
e
u
e
a
um n´mero real n˜o negativo menor que 1. Observe que se F1 = F2 , ent˜o a elipse reduz-se a
u
a
a
`
circunferˆncia de raio a. Al´m disso, como c = 0, ent˜o e = 0. Assim, uma circunferˆncia ´
e
e
a
e
e
uma elipse de excentricidade nula.
A elipse ´ a curva que se obt´m seccionando-se um cone com um plano que n˜o passa pelo
e
e
a
v´rtice, n˜o ´ paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma
e
a e
a ger´-lo) e que corta apenas uma das folhas da superf´
a
ıcie.
2
3. Figura 3: Elipse obtida seccionando-se um
cone com um plano
1.2
Figura 4: Hip´rbole obtida seccionando-se
e
um cone com um plano
Hip´rbole
e
Defini¸˜o 1.2. Uma hip´rbole ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que o m´dulo
ca
e
e
o
da diferen¸a entre as distˆncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) ´ constante, ou seja,
c
a
e
se dist(F1 , F2 ) = 2c, ent˜o a hip´rbole ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
a
e
e
|dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 2a,
Proposi¸˜o 1.2.
ca
´
e
em que a < c.
(a) A equa¸ao de uma hip´rbole cujos focos s˜o F 1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)
c˜
e
a
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
e das ass´
ıntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞),
em que b =
√
(3)
b
y = ± x,
a
c2 − a2 .
(b) A equa¸ao de uma hip´rbole cujos focos s˜o F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) ´
c˜
e
a
e
y 2 x2
− 2 =1
a2
b
e das ass´
ıntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando x → ±∞),
a
x = ± y,
b
√
em que b = c2 − a2 .
3
(4)
4. y
b
y = −ax
y
b
y = ax
y = −ax
b
y = ax
b
F2
A2
A1
F1
A2
F2
x
x
A1
F1
A1 = (−a, 0)
A2 = (a, 0)
F1 = (−c, 0)
F2 = (c, 0)
A1 = (0, −a)
F1 = (0, −c)
Figura 5: Hip´rbole com focos nos pontos
e
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)
A2 = (0, a)
F2 = (0, c)
Figura 6: Hip´rbole com focos nos pontos
e
F1 = (0, −c) e F2 = (0, c)
ıcio, a
Demonstra¸ao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exerc´
c˜
demonstra¸ao da segunda parte. A hip´rbole ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
c˜
e
e
dist(P, F1 ) − dist(P, F2 ) = ±2a ,
ou seja,
que neste caso ´
e
ou
−→
−→
|| P F1 || − || P F2 || = ±2a,
(x + c)2 + y 2 −
(x − c)2 + y 2 = ±2a
(x + c)2 + y 2 = ±2a +
Elevando ao quadrado e simplificando, temos
±a
(x − c)2 + y 2 .
(x − c)2 + y 2 = a2 − cx .
Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
√
Como a < c, ent˜o c2 − a2 > 0. Assim, podemos definir b = c2 − a2 e dividir e equa¸ao acima
a
c˜
por −a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtendo (3).
√
b
Se a equa¸ao (3) ´ resolvida em y obtemos y = ± a x2 − a2 que, para x > 0, pode ser
c˜
e
escrita como
a2
b
y = ± x 1 − 2.
a
x
Se x tende a +∞, ent˜o o radical no segundo membro se aproxima de 1 e a equa¸ao tende a
a
c˜
b
y = ± x.
a
O mesmo ocorre para x < 0, quando x tende a −∞ (verifique!).
4
5. Nas Figuras 5 e 6, os pontos A1 e A2 s˜o chamados v´rtices da hip´rbole. A reta que
a
e
e
c
passa pelos focos ´ chamada eixo focal. A excentricidade da hip´rbole ´ o n´mero e = .
e
e
e
u
a
Como, c > a, a excentricidade de uma hip´rbole ´ um n´mero real maior que 1. A hip´rbole ´
e
e
u
e
e
a curva que se obt´m seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo que n˜o passa
e
a
pelo v´rtice.
e
1.3
Par´bola
a
Figura 7: Par´bola obtida seccionando-se um cone com um plano
a
Defini¸˜o 1.3. Uma par´bola ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano eq¨idistantes de
ca
a
e
u
uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), n˜o pertencente a r, ou seja, a par´bola ´ o
a
a
e
conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
dist(P, F ) = dist(P, r) .
Proposi¸˜o 1.3.
ca
x = −p ´
e
(a) A equa¸ao de uma par´bola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r :
c˜
a
y 2 = 4px .
(5)
(b) A equa¸ao de uma par´bola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = −p ´
c˜
a
e
x2 = 4py .
5
(6)
6. y
r : x = −p
y
P0
F
x
F = (0, p)
P0 = (0, 0)
F = (p, 0)
P0 = (0, 0)
x
r : y = −p
a
Figura 8: Par´bola com foco no ponto F =
(p, 0) e p > 0
Figura 9: Par´bola com foco no ponto F =
a
(0, p) e p > 0
ıcio, a
Demonstra¸ao. Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exerc´
c˜
demonstra¸ao da segunda parte. A par´bola ´ o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
c˜
a
e
dist(P, F ) = dist(P, r) ,
que neste caso ´
e
(x − p)2 + y 2 = |x + p| ,
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (5).
y
r : x = −p
y
r : y = −p
P0
x
F
F
P0
x
F = (p, 0)
P0 = (0, 0)
F = (0, p)
P0 = (0, 0)
a
Figura 10: Par´bola com foco no ponto F =
(p, 0) e p < 0
a
Figura 11: Par´bola com foco no ponto F =
(0, p) e p < 0
Nas Figuras 8, 9, 10 e 11, o ponto P0 ´ o ponto da par´bola mais pr´ximo da reta diretriz
e
a
o
e ´ chamado de v´rtice da par´bola. A par´bola ´ a curva que se obt´m seccionando-se um
e
e
a
a
e
e
cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone conforme a Figura 7 na p´gina 5.
a
6
7. 1.4
Caracteriza¸˜o das Cˆnicas
ca
o
Vamos mostrar a seguir que todas as cˆnicas n˜o degeneradas, com exce¸ao da circunferˆncia,
o
a
c˜
e
podem ser descritas de uma mesma maneira.
y
e
e
s:x= p
2
s:x= p
2
y
F
(p, 0)
F
(p, 0)
x
Figura 12: Elipse, um de seus focos e a reta
diretriz a direita
`
x
Figura 13: Hip´rbole, um de seus focos e a
e
reta diretriz a direita
`
Proposi¸˜o 1.4. Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) n˜o pertencente a
ca
a
s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que
dist(P, F ) = e dist(P, s),
(7)
em que e > 0 ´ uma constante fixa, ´ uma cˆnica.
e
e
o
(a) Se e = 1, ent˜o a cˆnica ´ uma par´bola.
a
o
e
a
(b) Se 0 < e < 1, ent˜o a cˆnica ´ uma elipse.
a
o
e
(c) Se e > 1, ent˜o a cˆnica ´ uma hip´rbole.
a
o
e
e
Reciprocamente, toda cˆnica que n˜o seja uma circunferˆncia pode ser descrita por uma equa¸ao
o
a
e
c˜
da forma (7).
Demonstra¸ao. Se e = 1, a equa¸ao (7) ´ a pr´pria defini¸ao da par´bola. Vamos considerar
c˜
c˜
e
o
c˜
a
o caso em que e > 0, com e = 1. Seja d = dist(F, s). Sem perda de generalidade podemos
p
tomar o foco como sendo o ponto F = (p, 0) e a diretriz como sendo a reta vertical s : x = 2 ,
e
2
de2
`
em que p = 1−e2 se a reta s estiver a direita do foco F (Figuras 12 e 13) e p = ede se a reta s
2 −1
estiver a esquerda do foco F (Figuras 14 e 15).
`
Assim o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
dist(P, F ) = e dist(P, s) ,
7
8. y
e
e
s:x= p
2
s:x= p
2
y
F
F
(p, 0)
(p, 0) x
x
Figura 14: Elipse, um de seus focos e a reta
diretriz a esquerda
`
Figura 15: Hip´rbole, um de seus focos e a
e
reta diretriz a esquerda
`
pode ser descrito como sendo o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
(x − p)2 + y 2 = e x −
p
,
e2
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos
(1 − e2 )x2 + y 2 = p2
que pode ainda ser escrito como
x2
p2
e2
+
y2
p2 (1−e2 )
e2
1
−1
e2
= 1.
(8)
Se 0 < e < 1, esta ´ a equa¸ao de uma elipse. Se e > 1, ´ a equa¸ao de uma hip´rbole.
e
c˜
e
c˜
e
Para mostrar a rec´
ıproca, considere uma elipse ou hip´rbole com excentricidade e > 0 e
e
´ a
e
c˜
o
um dos focos em F = (p, 0). E f´cil verificar que (8) ´ a equa¸ao desta cˆnica e portanto (7)
p
tamb´m o ´, com a reta diretriz sendo s : x = 2 .
e
e
e
8
9. Exerc´
ıcios Num´ricos
e
1.1. Reduzir cada uma das equa¸oes de forma a identificar a cˆnica que ela representa e fa¸a
c˜
o
c
um esbo¸o do seu gr´fico:
c
a
(a) 4x2 + 2y 2 = 1
(c) x2 − 9y 2 = 9
2
(b) x + y = 0
1.2. Escreva as equa¸oes das seguintes elipses:
c˜
(a) Os focos s˜o F1 = (−1, 2) e F2 = (3, 2) e satisfaz dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 6;
a
(b) Os focos s˜o F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 4;
a
1.3. Escreva as equa¸oes das seguintes hip´rboles:
c˜
e
(a) Os focos s˜o F1 = (3, −1) e F2 = (3, 4) e satisfaz |dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 3;
a
(b) Os focos s˜o F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz |dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 2;
a
1.4. Escreva as equa¸oes das seguintes par´bolas:
c˜
a
(a) O foco ´ F = (0, 2) e diretriz y = −2;
e
(b) O foco ´ F = (0, 0) e diretriz x + y = 2;
e
Exerc´
ıcios Te´ricos
o
1.5. Mostre que a equa¸ao da elipse com focos nos pontos F1 = (x0 − c, y0 ) e F2 = (x0 + c, y0 )
c˜
e satisfaz
dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a, em que a > c
´
e
em que b =
√
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
= 1,
a2
b2
a2 − c 2 .
1.6. Mostre que a equa¸ao da hip´rbole com focos nos pontos F1 = (x0 −c, y0 ) e F2 = (x0 +c, y0 )
c˜
e
e satisfaz
|dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 2a, em que a < c
´
e
em que b =
√
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
= 1,
a2
b2
c2 − a2 .
1.7. Mostre que a equa¸ao da par´bola com foco no ponto F = (x0 + p, y0 ) e reta diretriz
c˜
a
r : x = x0 − p ´
e
(y − y0 )2 = 4p(x − x0 ).
p
1.8. Seja uma elipse ou hip´rbole com um dos focos em F = (p, 0). Definindo a reta r : x = 2 ,
e
e
em que e ´ a excentricidade.
e
9
10. (a) Mostre que
x2
p2
e2
+
y2
p2 (1−e2 )
e2
=1
´ a equa¸ao desta cˆnica.
e
c˜
o
(b) Mostre que esta cˆnica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P = (x, y) tais que
o
dist(P, F ) = e dist(P, r).
10
11. 2
Coordenadas Polares e Equa¸oes Param´tricas
c˜
e
y
P
y
r
θ
O
x
x
Figura 16: Ponto P do plano em coordenadas polares (r, θ) e cartesianas (x, y)
At´ agora vimos usando o chamado sistema de coordenadas cartesianas, em que um
e
ponto do plano ´ localizado em rela¸ao a duas retas fixas perpendiculares entre si. Vamos
e
c˜
definir um outro sistema de coordenadas chamado de sistema de coordenadas polares em
que um ponto do plano ´ localizado em rela¸ao a um ponto e a uma reta que passa por esse
e
c˜
ponto.
Escolhemos um ponto O (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado polo e uma
reta orientada passando pelo polo chamada eixo polar (usualmente tomamos o pr´prio eixo
o
x do sistema cartesiano). No sistema de coordenadas polares um ponto no plano ´ localizado
e
−→
dando-se a distˆncia do ponto ao polo, r = dist(P, O) e o angulo, θ, entre os vetores OP e um
a
ˆ
vetor na dire¸ao e sentido do eixo polar, com a mesma conven¸ao da trigonometria, ou seja,
c˜
c˜
ele ´ positivo se medido no sentido anti-hor´rio a partir do eixo polar e negativo se medido no
e
a
sentido hor´rio a partir do eixo polar. As coordenadas polares de um ponto P do plano s˜o
a
a
escritas na forma (r, θ).
Segue facilmente as rela¸oes entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares.
c˜
Proposi¸˜o 2.1. Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincica
dem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente. Ent˜o a
a
transforma¸ao entre os sistemas de coordenadas polares e o de coordenadas cartesianas podem
c˜
ser realizadas pelas equa¸oes
c˜
x = r cos θ e y = r sen θ
x2 + y 2 ,
y
e sen θ =
,
x2 + y 2
r=
cos θ =
x
x2
+
y2
11
se x2 + y 2 = 0.
12. y
(|r|, θ)
θ+π
θ
x
(r, θ) = (|r|, θ + π)
Figura 17: Para r < 0, (r, θ) = (|r|, θ + π)
Estendemos as coordenadas polares para o caso no qual r ´ negativo da seguinte forma:
e
para r < 0, (r, θ) = (|r|, θ + π).
Assim, (r, θ) e (−r, θ) est˜o na mesma reta que passa pelo polo, a distˆncia |r| do polo, mas
a
`
a
em lados opostos em rela¸ao ao polo.
c˜
3
y
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 18: Circunferˆncia com equa¸ao em coordenadas polares r − 2 cos θ − 2 sen θ = 0
e
c˜
Exemplo 2.1. Vamos determinar a equa¸ao em coordenadas polares da circunferˆncia cuja
c˜
e
equa¸ao em coordenadas retangulares ´
c˜
e
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 2
ou simplificando
x2 + y 2 − 2x − 2y = 0.
12
13. Substituindo-se x por r cos θ e y por r sen θ obtemos
r2 − 2r cos θ − 2r sen θ = 0.
Dividindo-se por r ficamos com
r − 2 cos θ − 2 sen θ = 0.
y
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
0.5
Figura 19: Par´bola com equa¸ao em coordenadas polares r =
a
c˜
1
1 − cos θ
c˜
e
Exemplo 2.2. Vamos determinar a equa¸ao em coordenadas retangulares do lugar geom´trico
cuja equa¸ao em coordenadas polares ´
c˜
e
r=
Substituindo-se r por
x2 + y 2 e cos θ por
1
.
1 − cos θ
x
x2 + y 2
x2 + y 2 =
1
1− √
obtemos
x
x2 +y 2
ou simplificando
x2 + y 2 − x = 1.
Somando-se x a ambos os membros obtemos
x2 + y 2 = 1 + x.
Elevando-se ao quadrado obtemos
x2 + y 2 = (1 + x)2 .
Simplificando-se obtemos ainda
y 2 = 1 + 2x = 2(x + 1/2),
que ´ uma par´bola com foco na origem F = (0, 0) e reta diretriz x = −1 (verifique!).
e
a
13
14. 2.1
Cˆnicas em Coordenadas Polares
o
A equa¸ao polar de uma cˆnica, que n˜o ´ uma circunferˆncia, assume uma forma simples
c˜
o
a e
e
quando um foco F est´ no polo e a reta diretriz s ´ paralela ou perpendicular ao eixo polar.
a
e
Seja d = dist(F, s). Para deduzir a equa¸ao polar das cˆnicas vamos usar a caracteriza¸ao dada
c˜
o
c˜
na Proposi¸ao 1.4 na p´gina 7, ou seja, que uma cˆnica ´ o lugar geom´trico dos pontos P que
c˜
a
o
e
e
satisfazem
dist(P, F ) = e dist(P, s)
Como o foco F est´ no polo, temos que dist(P, F ) = r, em que (r, θ) s˜o as coordenadas polares
a
a
de P .
(a) Se a reta diretriz, s, ´ perpendicular ao eixo polar.
e
(i) Se a reta s est´ a direita do polo, obtemos que dist(P, r) = d − r cos θ. Assim a
a `
equa¸ao da cˆnica fica sendo
c˜
o
r = e(d − r cos θ).
Isolando r obtemos
r=
de
.
1 + e cos θ
(ii) Se a reta s est´ a esquerda do polo, obtemos que dist(P, s) = d + r cos θ. Assim a
a`
equa¸ao da cˆnica fica sendo
c˜
o
r = e(d + r cos θ).
Isolando r obtemos
r=
de
.
1 − e cos θ
(b) Se a reta diretriz, s, ´ paralela ao eixo polar.
e
(i) Se a reta s est´ acima do polo, obtemos que dist(P, r) = d−r sen θ. Assim a equa¸ao
a
c˜
da cˆnica fica sendo
o
r = e(d − r sen θ).
Isolando r obtemos
r=
de
.
1 + e sen θ
(ii) Se a reta s est´ abaixo do polo, obtemos que dist(P, r) = d+r sen θ. Assim a equa¸ao
a
c˜
da cˆnica fica sendo
o
r = e(d + r sen θ).
Isolando r obtemos
r=
Isto prova o seguinte resultado
14
de
.
1 − e sen θ
15. Proposi¸˜o 2.2. Considere uma cˆnica com excentricidade e > 0 (que n˜o ´ uma circunca
o
a e
ferˆncia), que tem um foco F no polo e a reta diretriz s ´ paralela ou perpendicular ou eixo
e
e
polar, com d = dist(s, F ).
(a) Se a reta diretriz correspondente a F ´ perpendicular ao eixo polar e est´ ` direita do
e
aa
polo, ent˜o a equa¸ao polar da cˆnica ´
a
c˜
o
e
r=
de
1 + e cos θ
e se est´ ` esquerda do polo, ent˜o a equa¸ao polar da cˆnica ´
aa
a
c˜
o
e
r=
de
1 − e cos θ
(b) Se a reta diretriz correspondente a F ´ paralela ao eixo polar e est´ acima do polo, ent˜o
e
a
a
a equa¸ao polar da cˆnica ´
c˜
o
e
de
r=
1 + e sen θ
e se est´ abaixo do polo, ent˜o a equa¸ao polar da cˆnica ´
a
a
c˜
o
e
r=
y
de
1 − e sen θ
s
y
s
P
P
|r|
r
=
−r
θ
θ
x
x
o
Figura 20: Parte de uma cˆnica com foco
no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo
polar a direita
`
Figura 21: Hip´rbole com foco no polo e reta
e
diretriz perpendicular ao eixo polar a direita
`
15
16. y
s
y
s
P
r
θ
θ
x
=
|r|
x
−r
P
Figura 22: Parte de uma cˆnica com foco
o
no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo
polar a esquerda
`
Figura 23: Hip´rbole com foco no polo e reta
e
diretriz perpendicular ao eixo polar a esquer`
da
y
y
P
=
−r
s
|r|
P
r
θ
x
s
θ
x
o
Figura 24: Parte de uma cˆnica com foco
no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar
acima
Figura 25: Hip´rbole com foco no polo e reta
e
diretriz paralela ao eixo polar acima
16
17. y
y
θ
x
θ
=
r
−r
s
|r|
x
P
s
P
Figura 26: Parte de uma cˆnica com foco
o
no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar
abaixo
Figura 27: Hip´rbole com foco no polo e reta
e
diretriz paralela ao eixo polar abaixo
o
c˜
e
Exemplo 2.3. Vamos identificar a cˆnica cuja equa¸ao em coordenadas polares ´
r=
4
.
2 + cos θ
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro da equa¸ao por 2 obtemos
c˜
r=
2
,
1 + cos θ
1
2
que ´ a equa¸ao em coordenadas polares de uma elipse com excentricidade igual a 1/2, um
e
c˜
dos focos no polo, reta diretriz x = 4 (coordenadas cartesianas) ou r cos θ = 4 (coordenadas
polares). Vamos encontrar as coordenadas polares dos v´rtices. Para isso, fazemos θ = 0 e
e
θ = π na equa¸ao polar da elipse obtendo r = 4/3 e r = 4, respectivamente.
c˜
2.2
Circunferˆncia em Coordenadas Polares
e
A forma mais simples da equa¸ao de uma circunferˆncia em coordenadas polares ocorre quando
c˜
e
seu centro est´ no polo. Neste caso a equa¸ao ´ simplesmente r = a, em que a ´ o raio da
a
c˜ e
e
circunferˆncia. Al´m deste caso, a equa¸ao polar de uma circunferˆncia assume uma forma
e
e
c˜
e
simples quando ela passa pelo polo e o seu centro est´ no eixo polar ou na reta perpendicular
a
ao eixo polar que passa pelo polo.
(a) Se o centro est´ no eixo polar.
a
(i) Se o raio ´ igual a a e o centro em coordenadas polares ´ C = (a, 0). Se P ´ um
e
e
e
ponto qualquer da circunferˆncia, ent˜o
e
a
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
a2 = || CP ||2 = || OP − OC ||2 = || OP ||2 + || OC ||2 − 2 OP · OC
= r2 + a2 − 2ra cos θ.
17
18. y
y
P
P
r
r
θ
θ
C
C
x
Figura 28: Circunferˆncia que passa pelo poe
lo com centro no eixo polar a direita
`
x
Figura 29: Circunferˆncia que passa pelo poe
lo com centro no eixo polar a esquerda
`
Assim,
r2 = 2ra cos θ
ou
r(r − 2a cos θ) = 0
Logo a equa¸ao em coordenadas polares da circunferˆncia ´
c˜
e
e
r = 2a cos θ.
(ii) Se o raio ´ igual a a e o centro em coordenadas polares ´ C = (a, π). Se P ´ um
e
e
e
ponto qualquer da circunferˆncia, ent˜o
e
a
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
a2 = || CP ||2 = || OP − OC ||2 = || OP ||2 + || OC ||2 − 2 OP · OC
= r2 + a2 − 2ra cos(π − θ).
Assim,
r2 = −2ra cos θ
ou
r(r + 2a cos θ) = 0
Logo a equa¸ao em coordenadas polares da circunferˆncia ´
c˜
e
e
r = −2a cos θ.
(b) Se o centro est´ na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.
a
(i) Se o raio ´ igual a a e o centro em coordenadas polares ´ C = (a, π/2). Se P ´ um
e
e
e
ponto qualquer da circunferˆncia, ent˜o
e
a
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
a2 = || CP ||2 = || OP − OC ||2 = || OP ||2 + || OC ||2 − 2 OP · OC
= r2 + a2 − 2ra cos(π/2 − θ).
18
19. y
y
θ
x
P
r
C
C
r
P
θ
x
Figura 31: Circunferˆncia que passa pelo poe
lo com centro abaixo do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo
Figura 30: Circunferˆncia que passa pelo poe
lo com centro acima do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo
Assim,
r2 = 2ra sen θ
ou
r(r − 2a sen θ) = 0
Logo a equa¸ao em coordenadas polares da circunferˆncia ´
c˜
e
e
r = 2a sen θ.
(ii) Se o raio ´ igual a a e o centro em coordenadas polares ´ C = (a, −π/2). Se P ´ um
e
e
e
ponto qualquer da circunferˆncia, ent˜o
e
a
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
a2 = || CP ||2 = || OP − OC ||2 = || OP ||2 + || OC ||2 − 2 OP · OC
= r2 + a2 − 2ra cos(−π/2 − θ).
Assim,
r2 = −2ra sen θ
ou
r(r + 2a sen θ) = 0
Logo a equa¸ao em coordenadas polares da circunferˆncia ´
c˜
e
e
r = −2a sen θ.
19
20. Proposi¸˜o 2.3. Considere uma circunferˆncia de raio a que passa pelo polo cujo centro est´
ca
e
a
no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.
(a) Se o centro est´ no eixo polar e ` direita do polo, ent˜o a equa¸ao polar da circunferˆncia
a
a
a
c˜
e
´ dada por
e
r = 2a cos θ
e se o centro est´ ` esquerda do polo, ent˜o a equa¸ao polar da circunferˆncia ´ dada
aa
a
c˜
e
e
por
r = −2a cos θ.
(b) Se o centro est´ na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo e acima do polo,
a
ent˜o a equa¸ao polar ´ dada por
a
c˜
e
r = 2a sen θ,
e se est´ abaixo do polo, ent˜o a equa¸ao polar da circunferˆncia ´ dada por
a
a
c˜
e
e
r = −2a sen θ.
Exemplo 2.4. Uma circunferˆncia cuja equa¸ao em coordenadas polares ´
e
c˜
e
r = −3 cos θ
passa pelo polo, tem raio igual a 3/2 e as coordenadas polares do seu centro s˜o (3/2, π).
a
2.3
Equa¸oes Param´tricas
c˜
e
Seja
F (x, y) = 0
(9)
a equa¸ao de uma curva plana C em coordenadas retangulares. Sejam x e y fun¸oes de uma
c˜
c˜
terceira vari´vel t em um subconjunto, I, do conjunto dos n´meros reais, R, ou seja,
a
u
x = f (t) e y = g(t),
para todo t ∈ I.
(10)
Se para qualquer valor da vari´vel t no conjunto I, os valores de x e y determinados pelas
a
equa¸oes (10) satisfazem (9), ent˜o as equa¸oes (10) s˜o chamadas equa¸oes param´tricas da
c˜
a
c˜
a
c˜
e
curva C e a vari´vel independente t ´ chamada parˆmetro. Dizemos tamb´m que as equa¸oes
a
e
a
e
c˜
(10) formam uma representa¸˜o param´trica da curva C. A representa¸ao param´trica de
ca
e
c˜
e
curvas tem um papel importante no tra¸ado de curvas pelo computador.
c
Exemplo 2.5. Seja a um n´mero real positivo fixo. A circunferˆncia de equa¸ao
u
e
c˜
x2 + y 2 = a 2
(11)
pode ser representada parametricamente pelas equa¸oes
c˜
x = a cos t e y = a sen t,
20
para todo t ∈ [0, 2π].
(12)
21. Pois elevando ao quadrado cada uma das equa¸oes (12) e somando os resultados obtemos
c˜
x2 + y 2 = a2 cos2 t + a2 sen2 t = a2 .
e
A circunferˆncia definida por (11) pode tamb´m ser representada parametricamente por
e
√
x = t e y = a2 − t2 , para todo t ∈ [0, a2 ].
(13)
ou por
√
x = t e y = − a2 − t 2 ,
para todo t ∈ [0, a2 ].
(14)
Apenas que com (13) obtemos somente a parte de cima da circunferˆncia e com (14) obtemos
e
somente a parte de baixo.
y
y
(a cos t, a sen t)
(cos t, sen t)
(b cos t, b sen t)
t
t
x
(a cos t, b sen t)
x
e
Figura 32: Circunferˆncia parametrizada
Figura 33: Elipse parametrizada
Exemplo 2.6. A elipse de equa¸ao
c˜
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
pode ser representada parametricamente pelas equa¸oes
c˜
x = a cos t e y = b sen t,
para todo t ∈ [0, 2π].
(15)
(16)
Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equa¸ao em (16), elevando ao quadrado
c˜
2
e dividindo por b a segunda equa¸ao em (16) e somando os resultados obtemos
c˜
x2 y 2
+ 2 = cos2 t + sen2 t = 1.
a2
b
21
22. Exemplo 2.7. A hip´rbole de equa¸ao
e
c˜
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(17)
pode ser representada parametricamente pelas equa¸oes
c˜
x = a sec t e y = b tan t,
para todo t ∈ [0, 2π], t = π/2, 3π/2.
(18)
Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equa¸ao em (18), elevando ao quadrado
c˜
e dividindo por b2 a segunda equa¸ao em (18) e subtraindo os resultados obtemos
c˜
x2 y 2
− 2 = sec2 t − tan2 t = 1.
a2
b
Vamos apresentar uma outra representa¸ao param´trica da hip´rbole. Para isso vamos
c˜
e
e
definir duas fun¸oes
c˜
et + e−t
et − e−t
f1 (t) =
e f2 (t) =
.
(19)
2
2
e
A hip´rbole definida por (17) pode, tamb´m, ser representada parametricamente por
e
x = af1 (t) e y = bf2 (t),
para todo t ∈ R.
(20)
Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equa¸ao em (20), elevando ao quadrado
c˜
2
e dividindo por b a segunda equa¸ao em (20) e subtraindo os resultados obtemos
c˜
1 2t
x2 y 2
1 2t
− 2 = (f1 (t))2 − (f2 (t))2 =
e + 2 + e−2t −
e − 2 + e−2t = 1.
2
a
b
4
4
y
(21)
y
(0, 1/2)
(0, 1)
x
(0, 1/2)
(0, −1/2)
x
Figura 34: Cosseno hiperb´lico
o
Figura 35: Seno hiperb´lico
o
As fun¸oes f1 (t) e f2 (t) definidas por (19) recebem o nome de cosseno hiperb´lico e seno
c˜
o
hiperb´lico, respectivamente e s˜o denotadas por cosh t e senh t. De (21) segue a seguinte
o
a
rela¸ao fundamental entre o cosseno e o seno hiperb´licos
c˜
o
cosh2 t − senh2 t = 1.
22
(22)
23. e a representa¸ao param´trica (20) pode ser escrita como
c˜
e
x = a cosh t e y = b senh t,
para todo t ∈ R.
Tamb´m
e
x = −a cosh t e y = b senh t,
para todo t ∈ R.
(23)
´ uma representa¸ao param´trica da hip´rbole (17). Apenas que com (20) obtemos somente o
e
c˜
e
e
ramo direito da hip´rbole e com (23), somente o ramo esquerdo.
e
y
y
(a cos t, a sen t)
(b, b tan t)
(a sec t, b tan t)
(−a cosh t, b senh t)
(a cosh t, b senh t)
t
x
x
Figura 36: Hip´rbole parametrizada usando
e
secante e tangente
Figura 37: Hip´rbole parametrizada usando
e
as fun¸oes hiperb´licas
c˜
o
c˜
c˜
Exemplo 2.8. Vamos mostrar que a parametriza¸ao de uma curva em rela¸ao a qual sabemos
sua equa¸ao em coordenadas polares r = f (θ) pode ser feita da seguinte forma
c˜
x = f (t) cos t e y = f (t) sen t.
(24)
A equa¸ao da curva em coordenadas cartesianas ´
c˜
e
ou
x2 + y 2 = f (θ(x, y)),
se f (θ(x, y)) ≥ 0
2 + y 2 = f (θ(x, y)), se f (θ(x, y)) < 0.
− x
x2 + y 2 = |f (θ(x, y))|.
(25)
Para a parametriza¸ao (24) temos que
c˜
x2 + y 2 − |f (θ(x, y))| =
(f (t))2 cos2 t + (f (t))2 sen2 t − |f (t)| = 0.
e
c˜
O que mostra que (24) ´ uma parametriza¸ao para (25) e portanto para r = f (θ). Por exemplo,
x=
e cos t
1 + e cos t
e y=
e sen t
1 + e cos t
´ uma parametriza¸ao de uma cˆnica com excentricidade e > 0, reta diretriz localizada a direita
e
c˜
o
`
a uma distˆncia igual a 1 e um dos focos na origem.
a
23
24. y
y
e cos t
e sen t
( 1+e cos t , 1+e cos t )
e cos t
e sen t
( 1+e cos t , 1+e cos t )
t
t
x
x
Figura 38: Elipse com foco na origem parametrizada usando a sua f´rmula em coordeo
nadas polares
Figura 39: Hip´rbole com foco na origem pae
rametrizada usando a sua f´rmula em cooro
denadas polares
24
25. Exerc´
ıcios Num´ricos
e
2.1. Transformar a equa¸ao em coordenadas retangulares em uma equa¸ao em coordenadas
c˜
c˜
polares:
(a) x2 + y 2 = 4
(c) x2 + y 2 − 2y = 0
(b) x2 − y 2 = 4
(d) x2 − 4y − 4 = 0
2.2. Transformar a equa¸ao em coordenadas polares em uma equa¸ao em coordenadas retanc˜
c˜
gulares:
2
(c) r = 9 cos θ
(a) r =
3
1 − 3 cos θ
(d) r =
(b) r = 4 sen θ
2 + sen θ
2.3. Identificar a cˆnica cuja equa¸ao em coordenadas polares ´ dada. Determine a excentricio
c˜
e
dade, a equa¸ao da diretriz, a distˆncia da diretriz ao foco e as coordenadas polares do(s)
c˜
a
v´rtice(s):
e
5
3
(a) r =
(c) r =
2 − 2 cos θ
2 + 4 cos θ
4
6
(d) r =
(b) r =
2 − 3 cos θ
3 + sen θ
2.4. Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunferˆncia cuja equa¸ao em
e
c˜
coordenadas polares ´ dada:
e
(c) r = 3 cos θ
(a) r = 4 cos θ
2
(d) r = − 4 sen θ
(b) r = −3 sen θ
3
2.5. A equa¸ao da trajet´ria de uma part´
c˜
o
ıcula lan¸ada do ponto P0 = (0, 0), com velocidade
c
v0 , fazendo um angulo α com o eixo x e sujeita apenas a a¸ao da acelera¸ao da gravidade
ˆ
c˜
c˜
g ´ dada por
e
g
x2 .
y = (tan α)x − 2
2v0 cos2 α
Mostre que
g
x = (v0 cos α)t e y = (v0 sen α)t − t2
2
s˜o equa¸oes param´tricas da trajet´ria da part´
a
c˜
e
o
ıcula.
Exerc´
ıcios Te´ricos
o
2.6. Se o centro de uma circunferˆncia que passa pelo polo ´ (a, α), mostre que sua equa¸ao
e
e
c˜
em coordenadas polares ´
e
r = 2a cos(θ − α).
de
representa uma par´bola, determine as coordenadas
a
1 − e cos θ
polares do seu v´rtice e a equa¸ao em coordenadas polares da reta diretriz.
e
c˜
2.7. Se a cˆnica de equa¸ao r =
o
c˜
2.8. Se a cˆnica de equa¸ao r =
o
c˜
do seu eixo menor ´ √
e
de
representa uma elipse, mostre que o comprimento
1 + e cos θ
2de
.
1 − e2
25
26. 2.9. Mostre que a equa¸ao em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo,
c˜
que tem eixo maior igual a 2a e excentricidade e ´
e
r=
a(1 − e2 )
.
1 − e cos θ
Referˆncias
e
´
[1] Howard Anton and Chris Rorres. Algebra Linear com Aplica¸oes. Bookman, S˜o Paulo, 8a.
c˜
a
edition, 2000.
[2] Paulo Boulos and Ivan de C. e Oliveira. Geometria Anal´
ıtica - um tratamento vetorial. Mc
Graw-Hill, S˜o Paulo, 2a. edition, 1987.
a
[3] Charles H. Lehmann. Geometria Anal´
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[4] Louis Leithold. C´lculo com geometria anal´
a
ıtica, Vol. 2. Ed. Harbra Ltda., S˜o Paulo, 3a.
a
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[5] Reginaldo J. Santos. Matrizes Vetores e Geometria Anal´
ıtica. Imprensa Universit´ria da
a
UFMG, Belo Horizonte, 2001.
[6] James Stewart. C´lculo, Vol. 2. Pioneira, S˜o Paulo, 4a. edition, 2001.
a
a
[7] Israel Vainsecher. Notas de Geometria Anal´
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UFPe, Recife, 2001.
26