1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
1) O resumo aborda questões sobre matemática, incluindo sistemas de equações, progressões geométricas, probabilidade e geometria.
2) São fornecidos 10 exercícios que vão desde cálculo de volumes e porcentagens até representações gráficas e determinação de raízes.
3) Os exercícios requerem vários conceitos e técnicas matemáticas como álgebra, geometria analítica, trigonometria e cálculo.
Este documento apresenta 20 exercícios de geometria envolvendo circunferências, como determinar equações de circunferências tangentes ou secantes a retas, pontos de interseção, centros e raios. As respostas são fornecidas no "Gabarito".
Questões para testes e provas 8a série 9 ano Helen Dias
O documento apresenta uma coleção de 226 exercícios de matemática para testes e provas do 8o ano/9o ano. Os exercícios abrangem tópicos como expressões algébricas, sistemas de equações, geometria plana e espacial, números racionais e irracionais. As questões variam entre cálculos, resolução de equações, interpretação de gráficos e situações problemas.
O documento apresenta 24 problemas resolvidos utilizando a lei dos cossenos em triângulos. Os problemas envolvem calcular ângulos, lados e áreas de triângulos a partir de dados como medidas de lados e ângulos. As resoluções demonstram a aplicação da fórmula da lei dos cossenos para encontrar as grandezas desconhecidas nos diferentes problemas propostos.
F ficha de revisões nº 3 9º janeiro2017Susana Chaves
O documento apresenta 15 questões sobre vários tópicos matemáticos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões abordam cálculos, resolução de sistemas de equações e inequações, determinação de áreas e volumes, análise de gráficos de funções e interpretação de dados apresentados em tabelas.
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
Este documento fornece instruções para alunos responderem a um questionário e prova de matemática. As instruções incluem: preencher o nome e escola no caderno; ler todas as questões antes de responder; usar lápis preto ou caneta preta para marcar as respostas; e conferir se o nome está na folha de respostas. O documento também contém 25 questões de matemática sobre tópicos como geometria, álgebra e estatística.
Este documento contém 30 questões sobre progressões aritméticas, progressões geométricas e razões e proporções. As questões abordam tópicos como determinar termos, razões e somatórias de PAs e PGs, além de dividir quantidades em partes proporcionais.
1) O resumo aborda questões sobre matemática, incluindo sistemas de equações, progressões geométricas, probabilidade e geometria.
2) São fornecidos 10 exercícios que vão desde cálculo de volumes e porcentagens até representações gráficas e determinação de raízes.
3) Os exercícios requerem vários conceitos e técnicas matemáticas como álgebra, geometria analítica, trigonometria e cálculo.
Este documento apresenta 20 exercícios de geometria envolvendo circunferências, como determinar equações de circunferências tangentes ou secantes a retas, pontos de interseção, centros e raios. As respostas são fornecidas no "Gabarito".
Questões para testes e provas 8a série 9 ano Helen Dias
O documento apresenta uma coleção de 226 exercícios de matemática para testes e provas do 8o ano/9o ano. Os exercícios abrangem tópicos como expressões algébricas, sistemas de equações, geometria plana e espacial, números racionais e irracionais. As questões variam entre cálculos, resolução de equações, interpretação de gráficos e situações problemas.
O documento apresenta 24 problemas resolvidos utilizando a lei dos cossenos em triângulos. Os problemas envolvem calcular ângulos, lados e áreas de triângulos a partir de dados como medidas de lados e ângulos. As resoluções demonstram a aplicação da fórmula da lei dos cossenos para encontrar as grandezas desconhecidas nos diferentes problemas propostos.
F ficha de revisões nº 3 9º janeiro2017Susana Chaves
O documento apresenta 15 questões sobre vários tópicos matemáticos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões abordam cálculos, resolução de sistemas de equações e inequações, determinação de áreas e volumes, análise de gráficos de funções e interpretação de dados apresentados em tabelas.
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
Este documento fornece instruções para alunos responderem a um questionário e prova de matemática. As instruções incluem: preencher o nome e escola no caderno; ler todas as questões antes de responder; usar lápis preto ou caneta preta para marcar as respostas; e conferir se o nome está na folha de respostas. O documento também contém 25 questões de matemática sobre tópicos como geometria, álgebra e estatística.
Este documento contém 30 questões sobre progressões aritméticas, progressões geométricas e razões e proporções. As questões abordam tópicos como determinar termos, razões e somatórias de PAs e PGs, além de dividir quantidades em partes proporcionais.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
1) O documento apresenta 16 questões de geometria plana resolvidas, abordando tópicos como ângulos na circunferência, relações métricas em figuras planas e polígonos.
2) As questões envolvem cálculos e aplicação de propriedades geométricas para encontrar medidas de ângulos, lados, áreas e perímetros de figuras planas.
3) As resoluções demonstram os passos para chegar à resposta correta aplicando fórmulas e raciocínios geométricos.
Este documento discute geometria plana, especificamente polígonos. Aborda conceitos como nomenclatura, número de lados e diagonais, soma dos ângulos internos e externos, polígonos regulares, e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento contém 35 questões de matemática sobre geometria, conjuntos e lógica. As questões envolvem cálculos de ângulos, comprimentos, perímetros e áreas de figuras geométricas. Algumas questões também abordam conceitos básicos de conjuntos como união, interseção e pertinência.
Este documento fornece instruções para alunos responderem um questionário e prova de matemática. As instruções incluem: 1) ler cuidadosamente as questões antes de responder; 2) escolher apenas uma resposta para cada questão; 3) responder todas as questões; 4) usar lápis ou caneta preta ao responder; 5) conferir se o nome está identificado corretamente na folha de respostas. O objetivo da avaliação é melhorar o ensino na escola.
Este documento contém 10 questões sobre geometria, incluindo triângulos, hexágonos e círculos. A questão 6 descreve um desfile de moda em um salão circular e pede para calcular a distância percorrida pelos modelos e o número de ingressos vendidos. A questão 9 mostra um projeto de ferramenta para encaixar em uma porca hexagonal e pede para calcular medidas relacionadas. A questão 10 envolve triângulos retângulos usados para formar hexágonos.
1. O documento fornece instruções sobre uma prova de Matemática III, incluindo o número e tipo de questões, como preencher o cartão de respostas e o tempo de duração da prova.
2. Os candidatos devem assinar o cartão de respostas, marcar apenas uma alternativa por questão e não dobrar, amassar ou rasgar o cartão.
3. A prova terá duração de 2 horas, entre 19h e 21h, e é proibida qualquer comunicação entre os candidatos.
1) O documento apresenta uma proposta de teste intermédio de Matemática para o 9o ano, dividido em duas partes. A primeira parte permite o uso da calculadora e contém 7 questões. A segunda parte não permite o uso da calculadora e contém 8 questões.
2) A proposta aborda tópicos como sequências numéricas, volumes, porcentagens, funções, geometria plana e espacial, trigonometria e álgebra.
3) Inclui também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos exercícios
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria espacial. As questões abordam tópicos como poliedros regulares, volumes de sólidos geométricos e propriedades de figuras planas e espaciais.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
(a) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 32 questões sobre conjuntos numéricos, geometria plana e trigonometria. (b) As questões abordam tópicos como interseção e união de conjuntos, coordenadas de pontos no plano cartesiano, simetria, arcos trigonométricos e identidades trigonométricas. (c) Há também exercícios propostos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
Este documento fornece o gabarito da primeira fase da XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática de nível 2, contendo as respostas corretas para as 25 questões, além de informações sobre a nota de corte para a segunda fase.
1) O documento contém 22 questões de matemática sobre geometria, álgebra e estatística do Exame Nacional do Ensino Médio (SAEB).
2) As questões envolvem cálculos com figuras geométricas, equações de retas e circunferências, proporcionalidade direta, interpretação de gráficos e séries numéricas.
3) Os enunciados fornecem informações sobre objetos geométricos, tabelas de dados, expressões algébricas e gráficos para que os alunos poss
1. O documento apresenta uma tabela de especificação para matemática no ensino médio, com 30 itens avaliando habilidades em números, funções, geometria, análise de dados e probabilidade.
2. Os itens avaliam habilidades como operações com números reais, porcentagens, juros, variação de grandezas, funções polinomiais, trigonométricas, progressões, sistemas lineares, geometria analítica e estatística.
3. A tabela fornece um gabarito para cada item com as
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria sobre arcos, redução ao primeiro quadrante e relações trigonométricas.
2) Os exercícios envolvem cálculos de arcos, seno, cosseno e tangente para ângulos em graus e radianos.
3) As questões abordam conceitos como relógio, pista circular, sombras e expressões trigonométricas.
Este documento apresenta 12 problemas de matemática, com afirmações para cada um. O resumo é:
1) Os problemas envolvem táxis, sólidos geométricos, vitaminas, funções polinomiais, triângulos, probabilidade e progressões aritméticas e geométricas. As respostas indicam se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
O documento apresenta 9 questões de múltipla escolha sobre matemática e raciocínio lógico, resolvidas passo a passo. As questões envolvem cálculos, proporcionalidade, interpretação de gráficos e tabelas.
1) O documento discute a importância de resolver problemas e fazer exercícios para aprender matemática, embora não haja uma quantidade definida que deva ser feita.
2) É oferecida uma seção complementar com problemas e exercícios adicionais para aqueles que tiverem tempo após garantir os fundamentos.
3) Esta seção é opcional, considerando que escolas e alunos possuem diferentes interesses e dedicações à matemática.
Este documento fornece instruções para alunos responderem uma prova de matemática e um questionário. Inclui 11 instruções gerais sobre como preencher a prova e a folha de respostas corretamente, e fornece 25 questões de matemática para os alunos responderem.
Este documento contém 10 questões da prova Fuvest de 2009, cobrindo tópicos como probabilidade, geometria plana e espacial, lógica, juros compostos e progressão aritmética. As questões propõem cálculos e raciocínios para identificar alternativas corretas entre 5 opções.
Este documento fornece 5 testes de matemática do 11o ano sobre trigonometria, funções trigonométricas e geometria. Inclui os testes, respostas e oferece o material ao aluno.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
1) O documento apresenta 16 questões de geometria plana resolvidas, abordando tópicos como ângulos na circunferência, relações métricas em figuras planas e polígonos.
2) As questões envolvem cálculos e aplicação de propriedades geométricas para encontrar medidas de ângulos, lados, áreas e perímetros de figuras planas.
3) As resoluções demonstram os passos para chegar à resposta correta aplicando fórmulas e raciocínios geométricos.
Este documento discute geometria plana, especificamente polígonos. Aborda conceitos como nomenclatura, número de lados e diagonais, soma dos ângulos internos e externos, polígonos regulares, e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento contém 35 questões de matemática sobre geometria, conjuntos e lógica. As questões envolvem cálculos de ângulos, comprimentos, perímetros e áreas de figuras geométricas. Algumas questões também abordam conceitos básicos de conjuntos como união, interseção e pertinência.
Este documento fornece instruções para alunos responderem um questionário e prova de matemática. As instruções incluem: 1) ler cuidadosamente as questões antes de responder; 2) escolher apenas uma resposta para cada questão; 3) responder todas as questões; 4) usar lápis ou caneta preta ao responder; 5) conferir se o nome está identificado corretamente na folha de respostas. O objetivo da avaliação é melhorar o ensino na escola.
Este documento contém 10 questões sobre geometria, incluindo triângulos, hexágonos e círculos. A questão 6 descreve um desfile de moda em um salão circular e pede para calcular a distância percorrida pelos modelos e o número de ingressos vendidos. A questão 9 mostra um projeto de ferramenta para encaixar em uma porca hexagonal e pede para calcular medidas relacionadas. A questão 10 envolve triângulos retângulos usados para formar hexágonos.
1. O documento fornece instruções sobre uma prova de Matemática III, incluindo o número e tipo de questões, como preencher o cartão de respostas e o tempo de duração da prova.
2. Os candidatos devem assinar o cartão de respostas, marcar apenas uma alternativa por questão e não dobrar, amassar ou rasgar o cartão.
3. A prova terá duração de 2 horas, entre 19h e 21h, e é proibida qualquer comunicação entre os candidatos.
1) O documento apresenta uma proposta de teste intermédio de Matemática para o 9o ano, dividido em duas partes. A primeira parte permite o uso da calculadora e contém 7 questões. A segunda parte não permite o uso da calculadora e contém 8 questões.
2) A proposta aborda tópicos como sequências numéricas, volumes, porcentagens, funções, geometria plana e espacial, trigonometria e álgebra.
3) Inclui também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos exercícios
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria espacial. As questões abordam tópicos como poliedros regulares, volumes de sólidos geométricos e propriedades de figuras planas e espaciais.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
(a) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 32 questões sobre conjuntos numéricos, geometria plana e trigonometria. (b) As questões abordam tópicos como interseção e união de conjuntos, coordenadas de pontos no plano cartesiano, simetria, arcos trigonométricos e identidades trigonométricas. (c) Há também exercícios propostos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
Este documento fornece o gabarito da primeira fase da XXXIII Olimpíada Brasileira de Matemática de nível 2, contendo as respostas corretas para as 25 questões, além de informações sobre a nota de corte para a segunda fase.
1) O documento contém 22 questões de matemática sobre geometria, álgebra e estatística do Exame Nacional do Ensino Médio (SAEB).
2) As questões envolvem cálculos com figuras geométricas, equações de retas e circunferências, proporcionalidade direta, interpretação de gráficos e séries numéricas.
3) Os enunciados fornecem informações sobre objetos geométricos, tabelas de dados, expressões algébricas e gráficos para que os alunos poss
1. O documento apresenta uma tabela de especificação para matemática no ensino médio, com 30 itens avaliando habilidades em números, funções, geometria, análise de dados e probabilidade.
2. Os itens avaliam habilidades como operações com números reais, porcentagens, juros, variação de grandezas, funções polinomiais, trigonométricas, progressões, sistemas lineares, geometria analítica e estatística.
3. A tabela fornece um gabarito para cada item com as
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria sobre arcos, redução ao primeiro quadrante e relações trigonométricas.
2) Os exercícios envolvem cálculos de arcos, seno, cosseno e tangente para ângulos em graus e radianos.
3) As questões abordam conceitos como relógio, pista circular, sombras e expressões trigonométricas.
Este documento apresenta 12 problemas de matemática, com afirmações para cada um. O resumo é:
1) Os problemas envolvem táxis, sólidos geométricos, vitaminas, funções polinomiais, triângulos, probabilidade e progressões aritméticas e geométricas. As respostas indicam se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
O documento apresenta 9 questões de múltipla escolha sobre matemática e raciocínio lógico, resolvidas passo a passo. As questões envolvem cálculos, proporcionalidade, interpretação de gráficos e tabelas.
1) O documento discute a importância de resolver problemas e fazer exercícios para aprender matemática, embora não haja uma quantidade definida que deva ser feita.
2) É oferecida uma seção complementar com problemas e exercícios adicionais para aqueles que tiverem tempo após garantir os fundamentos.
3) Esta seção é opcional, considerando que escolas e alunos possuem diferentes interesses e dedicações à matemática.
Este documento fornece instruções para alunos responderem uma prova de matemática e um questionário. Inclui 11 instruções gerais sobre como preencher a prova e a folha de respostas corretamente, e fornece 25 questões de matemática para os alunos responderem.
Este documento contém 10 questões da prova Fuvest de 2009, cobrindo tópicos como probabilidade, geometria plana e espacial, lógica, juros compostos e progressão aritmética. As questões propõem cálculos e raciocínios para identificar alternativas corretas entre 5 opções.
Este documento fornece 5 testes de matemática do 11o ano sobre trigonometria, funções trigonométricas e geometria. Inclui os testes, respostas e oferece o material ao aluno.
O documento apresenta 20 questões sobre áreas de figuras planas como trapézios, triângulos, circunferências e outros. As questões envolvem cálculo de áreas dessas figuras a partir de dados numéricos fornecidos sobre suas medidas. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
1. As retas r e s são paralelas se k = 7/3.
2. As retas são paralelas se p = -1/9.
3. A equação geral da reta perpendicular à reta s e que passa por P(1,5) é x - 2y + 9 = 0.
O documento apresenta 15 questões sobre geometria plana envolvendo conceitos como segmentos proporcionais, áreas de figuras planas, circunferências inscritas em triângulos e quadriláteros. As questões abordam cálculos e raciocínios geométricos para determinar medidas como perímetros, áreas e razões entre grandezas.
Este documento contém 15 exercícios sobre retas no plano cartesiano. Os exercícios envolvem conceitos como coeficiente angular de retas, equações de retas, interseção entre retas e curvas, áreas de polígonos formados por retas e triângulos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada um dos 15 exercícios propostos.
Este documento apresenta uma proposta de prova modelo de Matemática A para o 12o ano de escolaridade. A prova é constituída por dois cadernos, com duração total de 150 minutos. O Caderno 1 contém 7 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos. O Caderno 2 contém 5 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos, não sendo permitido o uso de calculadora. Cada questão possui uma cotação específica e o total da prova é de 200 pontos
1) O documento apresenta uma ficha de apoio ao estudo da matemática para o 11o ano, com exercícios sobre ângulos, planos, funções e gráficos.
2) Inclui questões sobre ângulos formados por retas, equações de planos tangentes a esferas e perpendiculares a outros planos, e resolução de sistemas de equações.
3) Também aborda cálculo de áreas de triângulos, determinação de coordenadas de pontos, estudos de funções e resolução analítica de desig
Este documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2013 da UFBA, contendo 6 questões de matemática. As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, sistemas de equações, funções e círculos.
O documento contém 38 exercícios de matemática sobre geometria analítica, geometria plana e espacial, números complexos e polinômios. Os alunos devem resolver as questões sem o uso de calculadora.
I) O documento fornece instruções e definições sobre o trabalho de férias de matemática para o 8o ano, incluindo fatoração de expressões algébricas e resolução de exercícios.
II) Os alunos devem realizar os exercícios com antecedência e tirar dúvidas antes da data de entrega na plataforma online.
III) O trabalho contém 33 exercícios de álgebra, geometria e trigonometria.
1) O documento apresenta 12 questões sobre cônicas (circunferências, parábolas e elipses) e seus sistemas de equações analíticas no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como interseção entre curvas, propriedades geométricas como distância entre pontos e centros de figuras, e sistemas de equações e inequações.
3) Há também uma questão sobre a modelagem matemática da iluminação de ruas por meio de elipses.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A interseção de A e B é o conjunto {1,3,5,7} e subtraindo C resta apenas o elemento 5, cujo produto é 15.
I. O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) - C é igual a 15.
II. O ponto de interseção da reta AB com o eixo x tem abscissa igual a a - 2.
III. As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a 5 e 7.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A figura representa uma reta que passa pelos pontos A e B. O ponto de interseção da reta com o eixo x tem abscissa igual a a - 2. As dimensões x e y do retângulo de área máxima são, respectivamente, 5 e 7.
I. A função expressa a área de um triângulo retângulo em função da distância x de um dos vértices ao lado oposto. As opções a) e b) expressam corretamente esta área.
II. É solicitado determinar um triângulo isósceles com perímetro e área dados, sabendo que os lados são inteiros. A única solução possível é um triângulo com um lado de 8 cm e os outros de 5 cm.
III. No triângulo dado, calcula-se a altura h e a área, concluindo
Este documento apresenta três questões sobre geometria plana. A primeira questão descreve uma situação em que uma folha de papel é dobrada formando um triângulo e calcula a área desse triângulo em função de x, a distância entre dois vértices. A segunda questão pede para determinar um triângulo isósceles com perímetro e área dados. A terceira questão apresenta uma situação envolvendo um triângulo retângulo e calcula um dos catetos usando o teorema de Pitágoras.
O triângulo ABD é retângulo, logo AF é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 25 e 7. Pelo teorema de Pitágoras, AF2 = 252 + 72, ou seja, AF = 28.
Trigonometria é o estudo das relações entre os lados e ângulos de triângulos retângulos e círculos. O documento apresenta um resumo sobre os principais tópicos de trigonometria como seno, cosseno e tangente de ângulos, funções trigonométricas e suas propriedades, fórmulas de adição e subtração e identidades trigonométricas. O resumo foi preparado pelo professor Guilherme Augusto Abdalla.
Resolução II - Relações binárias e funçõesFeefelipeeRS
O documento apresenta gabaritos comentados de exercícios sobre relações binárias e funções, incluindo identificar se são funções, calcular imagens e contra-domínios, domínios de funções, propriedades de funções e identificar se são sobrejetoras, injetoras ou bijetoras.
Resolução I - Polinômios e números complexosFeefelipeeRS
1) O documento apresenta resumos comentados de questões sobre polinômios e números complexos de uma lista.
2) São abordados tópicos como demonstração de igualdade entre polinômios, determinação de raízes, resolução de sistemas lineares, aplicação do algoritmo de Briot-Ruffini, entre outros.
3) Cita teoremas como o fundamental da álgebra e das raízes complexas para auxiliar na resolução dos exercícios.
O documento apresenta exercícios sobre relações binárias e funções, incluindo determinar elementos que satisfaçam equações de relações, identificar quais relações são funções a partir de esquemas, construir esquemas de relações dadas e identificar se são funções, calcular valores de funções dadas por expressões algébricas e gráficas, e identificar propriedades como domínio, conjunto imagem e tipos de funções.
O documento apresenta 10 questões sobre polinômios e números complexos. As questões abordam tópicos como derivadas de polinômios, raízes de equações polinomiais, representação gráfica de funções polinomiais e operações com números complexos.
1. MACVEST
MATEMÁTICA E
Lista FUVEST 2ª fase - Parte I – Provas de 2008/2009
Lista de exercícios II – FUVEST 1ª fase – Prova de 2009
Provas Fuvest 2008/2009 – 2ª Fase
01 (2008) Na figura ao lado, a reta r tem equação y=2 √ 2 x +1 no
plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r,
sendo B0(0,1) . Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com
A0 =O(0,0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1≤i≤3. Os
segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos
B0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1
é igual a 9, para 0≤i≤2 .
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3 .
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 Di+1, para 0≤i≤2 ,
calcule a soma das áreas dos retângulos R0 , R1 e R2 .
02 (2008) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2,
e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento PQ .
2. OP=1, OQ=√2.
3. A e B são pontos da circunferência, AP é perpendicular a PQ e BQ é
perpendicular a PQ.
Assim sendo, determine:
a) A área do triângulo APO .
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
c) A área da região hachurada.
03 (2008) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y dado por:
{2mx4x +2m²y=0
+(2m−1) y=0
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m=1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma
(x,y)=(α,1), sendo α um número irracional.ﺨĜĜĜ
04 (2008) O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e G
pertencem, respectivamente, aos lados AB , AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos
AFE e CĜF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x .
b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto
05 (2008) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é 1/2 . Além
disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas
condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
06 (2008) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas
da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da
França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e,
pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
1
2. 07 (2008) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação
4x-3y-2=0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C .
c) Calcule a área do triângulo APQ.
08 (2008) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x)=x²+mx+2.
Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f (x) .
b) Determine os valores de m ϵ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ϵ IR : y ≥1} .
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ϵ IR : y ≥1} e, além disso, f é
crescente no conjunto {x ϵ IR : x ≥ 0} .
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y≥2 , o único valor de x≥0 tal
que f(x)=y.
2 3
09 (2008) Seja x no intervalo ]0,π/2[ satisfazendo a equação tg x+ sec x= .
√5 2
Assim, calcule o valor de:
a) sec x.
b) sen(x + π/4).
10 (2008) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o
retângulo ABCD. Sabe-se que
AB=CD= √
3
2
AD =BC =AE=BE=CE= DE=1
1
AP=DQ =
2
Nessas condições, determine:
a) A medida de BP .
b) A área do trapézio BCQP .
c) O volume da pirâmide BPQCE .
11 (2009) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando
R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando
R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza
R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
12 (2009) No triângulo ABC , tem-se que AB > AC, AC = 4 e cosĈ = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao
segmento BC e é tal que AR=AC e BR/BC = 4/7, calcule:
a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC .
b) a área do triângulo ABR .
13 (2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma
progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o
quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
14 (2009) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo eqüilátero
DEF . Um círculo de raio r está no interior do
triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do
triângulo, conforme a figura.
Assim, determine
a) a razão entre R e r .
b) a área do triângulo DEF em função de r .
2
3. 15 (2009) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação:
sen(x)+sen(2x)+sen(3x)=0.
Assim,
a) determine x.
b) calcule cos(x)+cos(2x)+cos(3x).
16 (2009) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x²+y²=5, o ponto P (1, √ 3 ) e
a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a
circunferência. Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
17 (2009) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma
única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os
algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a
diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos
participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a
probabilidade de
a) Pedro vencer na primeira rodada.
b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.
c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.
18 (2009) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de
comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do
solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo,
conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces (1) e
(2), mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque
duas arestas da face (1) em pontos R e B, conforme a figura.
Nessas condições,
a) calcule PR.
b) calcule AB.
−1+i √ 3
19 (2009) A figura representa o número ω= no plano complexo, sendo i= √−1 unidade
2
imaginária. Nessas condições:
a) determine as partes real e imaginária de 1 e de ω3 .
ω
b) represente a resposta da alternativa a na figura.
c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0.
3
4. 20 (2009) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:
– apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
– os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 √ 3 cm, determine o volume da parte do cubo que
ficou no interior do copo.
Lista de exercícios II – Fuvest 1ª fase – Prova de 2009
01 (2009) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 03 (2009) O polinômio p(x)=x³+ax²+bx, em que a e b são
50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x–2
de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo e x–1 respectivamente. Assim, o valor de a é:
devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% (a )−6 (b)−7 (c)−8 (d )−9 ( e)−10
e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3%
durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno 04 (2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo
vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o
Carlos, o seu lucro foi de: perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120º,
(a ) R $ 400,00 então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:
(b) R$ 500,00 (a )25 ( b)45 (c) 75 ( d )105 (e)125
(c )R $ 600,00
(d ) R$ 700,00 05 (2009) O número real a é o menor dentre os valores
de x que satisfazem a equação:
(e )R $ 800,00
2 log 2( 1+ √ 2 x)−log 2 ( √ 2 x)=3 .
02 (2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da 2a + 4
circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Então , log 2 ( 3 ) é igual a:
Além disso: 1 1 3
(1) A, B,C e A,O, D são colineares; (a ) (b) ( c)1 (d ) (e )2
(2) AB=OB ; 4 2 2
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de ABO , em radianos, é 06 (2009) A figura
igual a: representa sete
hexágonos regulares
(a ) π−α de lado 1 e um
4
α hexágono maior, cujos
(b)π− vértices coincidem
2
com os centros de
α seis dos hexágonos
(c )π−2
3 menores. Então, a
(d )π−3 α área do pentágono
4 hachurado é igual a:
(e )π−3 α
3 √3
( d ) √ 3 (e) √
2 3
(a )3 √ 3 (b)2 √ 3 ( c)
2 2
4
5. 08 (2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de
07 (2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no
circunferência C de equação (x+2)²+(y+2)²=4 e sejam P formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, formato de um cone reto de base circular de raio 2r e
respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de
em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível. base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as
Então, a área de PQR é igual a: taças dos três tipos, quando completamente cheias,
comportam a mesma quantidade de vinho, é correto
afirmar que a razão x/h é igual a:
(a ) √ (b) √ (c) √ ( d ) √ 3 (e) √
3 3 2 3 4 3
6 3 3 3
09 (2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal
que tg θ tg θ=
√5 . O ponto P pertence a β e a
5
distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta
intersecção de α e β é igual a:
(a ) √ 3 (b) √5 ( c) √ 6 (d ) √ 7 (e) √8
(a ) 2 √ 2−2
10 (2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces
(b)2 √ 2−1 numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A
(c )2 √ 2 probabilidade de que sejam sorteados dois números
(d )2 √ 2+2 consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:
2 1 4 5 2
(e )2 √ 2+ 4 (a ) (b) (c ) ( d ) (e )
9 3 9 9 3
5