1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade. 2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas. 3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.

1. MACVEST
MATEMÁTICA E
Lista FUVEST 2ª fase - Parte I – Provas de 2008/2009
Lista de exercícios II – FUVEST 1ª fase – Prova de 2009
Provas Fuvest 2008/2009 – 2ª Fase
01 (2008) Na figura ao lado, a reta r tem equação y=2 √ 2 x +1 no
plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r,
sendo B0(0,1) . Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com
A0 =O(0,0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1≤i≤3. Os
segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos
B0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1
é igual a 9, para 0≤i≤2 .
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3 .
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 Di+1, para 0≤i≤2 ,
calcule a soma das áreas dos retângulos R0 , R1 e R2 .
02 (2008) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2,
e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento PQ .
2. OP=1, OQ=√2.
3. A e B são pontos da circunferência, AP é perpendicular a PQ e BQ é
perpendicular a PQ.
Assim sendo, determine:
a) A área do triângulo APO .
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
c) A área da região hachurada.
03 (2008) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y dado por:
{2mx4x +2m²y=0
+(2m−1) y=0
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m=1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma
(x,y)=(α,1), sendo α um número irracional.‫ﺨ‬ĜĜĜ
04 (2008) O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e G
pertencem, respectivamente, aos lados AB , AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos
AFE e CĜF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x .
b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto
05 (2008) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é 1/2 . Além
disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas
condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
06 (2008) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas
da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da
França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e,
pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
1

2. 07 (2008) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação
4x-3y-2=0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C .
c) Calcule a área do triângulo APQ.
08 (2008) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x)=x²+mx+2.
Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f (x) .
b) Determine os valores de m ϵ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ϵ IR : y ≥1} .
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ϵ IR : y ≥1} e, além disso, f é
crescente no conjunto {x ϵ IR : x ≥ 0} .
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y≥2 , o único valor de x≥0 tal
que f(x)=y.
2 3
09 (2008) Seja x no intervalo ]0,π/2[ satisfazendo a equação tg x+ sec x= .
√5 2
Assim, calcule o valor de:
a) sec x.
b) sen(x + π/4).
10 (2008) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o
retângulo ABCD. Sabe-se que
AB=CD= √
3
2
AD =BC =AE=BE=CE= DE=1
1
AP=DQ =
2
Nessas condições, determine:
a) A medida de BP .
b) A área do trapézio BCQP .
c) O volume da pirâmide BPQCE .
11 (2009) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando
R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando
R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza
R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
12 (2009) No triângulo ABC , tem-se que AB > AC, AC = 4 e cosĈ = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao
segmento BC e é tal que AR=AC e BR/BC = 4/7, calcule:
a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC .
b) a área do triângulo ABR .
13 (2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma
progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o
quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
14 (2009) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo eqüilátero
DEF . Um círculo de raio r está no interior do
triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do
triângulo, conforme a figura.
Assim, determine
a) a razão entre R e r .
b) a área do triângulo DEF em função de r .
2

3. 15 (2009) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação:
sen(x)+sen(2x)+sen(3x)=0.
Assim,
a) determine x.
b) calcule cos(x)+cos(2x)+cos(3x).
16 (2009) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x²+y²=5, o ponto P (1, √ 3 ) e
a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a
circunferência. Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
17 (2009) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma
única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os
algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a
diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos
participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a
probabilidade de
a) Pedro vencer na primeira rodada.
b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.
c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.
18 (2009) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de
comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do
solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo,
conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces (1) e
(2), mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque
duas arestas da face (1) em pontos R e B, conforme a figura.
Nessas condições,
a) calcule PR.
b) calcule AB.
−1+i √ 3
19 (2009) A figura representa o número ω= no plano complexo, sendo i= √−1 unidade
2
imaginária. Nessas condições:
a) determine as partes real e imaginária de 1 e de ω3 .
ω
b) represente a resposta da alternativa a na figura.
c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0.
3

4. 20 (2009) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:
– apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
– os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 √ 3 cm, determine o volume da parte do cubo que
ficou no interior do copo.
Lista de exercícios II – Fuvest 1ª fase – Prova de 2009
01 (2009) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 03 (2009) O polinômio p(x)=x³+ax²+bx, em que a e b são
50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x–2
de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo e x–1 respectivamente. Assim, o valor de a é:
devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% (a )−6 (b)−7 (c)−8 (d )−9 ( e)−10
e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3%
durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno 04 (2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo
vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o
Carlos, o seu lucro foi de: perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120º,
(a ) R $ 400,00 então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:
(b) R$ 500,00 (a )25 ( b)45 (c) 75 ( d )105 (e)125
(c )R $ 600,00
(d ) R$ 700,00 05 (2009) O número real a é o menor dentre os valores
de x que satisfazem a equação:
(e )R $ 800,00
2 log 2( 1+ √ 2 x)−log 2 ( √ 2 x)=3 .
02 (2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da 2a + 4
circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Então , log 2 ( 3 ) é igual a:
Além disso: 1 1 3
(1) A, B,C e A,O, D são colineares; (a ) (b) ( c)1 (d ) (e )2
(2) AB=OB ; 4 2 2
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de ABO , em radianos, é 06 (2009) A figura
igual a: representa sete
hexágonos regulares
(a ) π−α de lado 1 e um
4
α hexágono maior, cujos
(b)π− vértices coincidem
2
com os centros de
α seis dos hexágonos
(c )π−2
3 menores. Então, a
(d )π−3 α área do pentágono
4 hachurado é igual a:
(e )π−3 α
3 √3
( d ) √ 3 (e) √
2 3
(a )3 √ 3 (b)2 √ 3 ( c)
2 2
4

5. 08 (2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de
07 (2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no
circunferência C de equação (x+2)²+(y+2)²=4 e sejam P formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no
e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, formato de um cone reto de base circular de raio 2r e
respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de
em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível. base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as
Então, a área de PQR é igual a: taças dos três tipos, quando completamente cheias,
comportam a mesma quantidade de vinho, é correto
afirmar que a razão x/h é igual a:
(a ) √ (b) √ (c) √ ( d ) √ 3 (e) √
3 3 2 3 4 3
6 3 3 3
09 (2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal
que tg θ tg θ=
√5 . O ponto P pertence a β e a
5
distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta
intersecção de α e β é igual a:
(a ) √ 3 (b) √5 ( c) √ 6 (d ) √ 7 (e) √8
(a ) 2 √ 2−2
10 (2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces
(b)2 √ 2−1 numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A
(c )2 √ 2 probabilidade de que sejam sorteados dois números
(d )2 √ 2+2 consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:
2 1 4 5 2
(e )2 √ 2+ 4 (a ) (b) (c ) ( d ) (e )
9 3 9 9 3
5