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A Elipse
Quando um cone circular reto ´e interceptado por um plano secante que n˜ao ´e paralelo
a nenhuma geratriz do cone e, neste caso, o plano intercepta todas as geratrizes, ´e gerada
uma cˆonica chamada de elipse. Um caso particular da elipse ´e a circunferˆencia, formada
quando o plano secante que intercepta o cone for perpendicular ao eixo do cone.
Defini¸c˜ao. Uma elipse ´e o conjunto dos pontos em um plano cuja soma das distˆancias a
dois pontos fixos ´e constante. Os pontos fixos s˜ao chamados de focos.
A reta que passa pelos focos ´e chamada de eixo principal da elipse. Os pontos de
interse¸c˜ao da elipse com seu eixo principal s˜ao chamados de v´ertices. O ponto sobre o
eixo principal no ponto m´edio entre os dois v´ertices ´e chamado de centro da elipse. O
segmento do eixo principal entre os dois v´ertices ´e chamado de eixo maior da elipse e o
segmento de reta perpendicular ao eixo principal que passa pelo centro com extremidades
em pontos sobre a elipse ´e chamado de eixo menor.
1
Para deduzir a equa¸c˜ao de uma elipse de modo que tenha a forma mais simples poss´ıvel,
colocamos a origem sobre o centro e escolhemos o eixo x como o eixo principal.
Seja 2c a distˆancia n˜ao orientada entre os focos, onde c > 0. As coordenadas dos focos
ser˜ao F1(−c, 0) e F2(c, 0). Seja 2a a soma constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse.
2
Ent˜ao a > c. Um ponto P(x, y) estar´a sobre a elipse se e somente se
|PF| + |PF | = 2a
Como
|PF| = (x − c)2 + y2 e |PF | = (x + c)2 + y2
P est´a sobre a elipse se e somente se
(x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a
Reescrevemos esta ´ultima equa¸c˜ao sob a forma
(x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2
Elevando ao quadrado ambos os membros da equa¸c˜ao acima, obtemos
(x − c)2
+ y2
= 4a2
− 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2
+ y2
x2
− 4cx + c2
+ y2
= 4a2
− 4a (x + c)2 + y2 + x2
+ 4cx + c2
+ y2
4a (x + c)2 + y2 = 4a2
+ 4cx
(x + c)2 + y2 = a +
c
a
x
x2
+ 2cx + c2
+ y2
= a2
+ 2cx +
c2
a2
x2
x2
1 −
c2
a2
+ y2
= a2
− c2
(a2
− c2
)x2
+ a2
y2
= a2
(a2
− c2
)
x2
a2
+
y2
a2 − c2
= 1
Como a > c, a2
− c2
> 0 e podemos fazer
b2
= a2
− c2
Obtemos assim
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Mostramos assim que as coordenadas (x, y) de qualquer ponto P sobre elipse satisfazem
esta ´ultima equa¸c˜ao. Precisamos mostrar tamb´em que se as coordenedas (x, y) do ponto
P satisfazem esta equa¸c˜ao, ent˜ao P est´a sobre a elipse. Suponha ent˜ao que as coordenadas
3
(x, y) de P satisfazem
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
onde b2
= a2
− c2
. Multiplicando a equa¸c˜ao acima por a2
− c2
e simplificando, obtemos
x2
+ 2cx + c2
+ y2
= a2
+ 2cx +
c2
a2
x2
Note que,
a +
c
a
x ≥ 0
Logo, obtemos
(x + c)2 + y2 = a +
c
a
x
Podemos escrever esta ´ultima equa¸c˜ao na forma
(x − c)2
+ y2
= 4a2
− 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2
+ y2
Um simples c´alculo mostra que
2a − (x + c)2 + y2 ≥ 0
Podems ent˜ao extrair a raiz quadrada na equa¸c˜ao
(x − c)2
+ y2
= 4a2
− 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2
+ y2
para obter
(x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2
ou seja,
(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a
e portanto, P pertenca `a elipse. Provamos assim o teorema a seguir.
Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse com focos nos pontos
(−c, 0) e (c, 0), ent˜ao para b2
= a2
− c2
, a equa¸c˜ao da elipse ´e
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Se a elipse tiver seu centro na origem e seu eixo principal sobre o eixo y, teremos o
teorema seguinte.
Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse com focos nos pontos
(0, −c) e (0, c), ent˜ao para b2
= a2
− c2
, a equa¸c˜ao da elipse ´e
x2
b2
+
y2
a2
= 1
4
Devido ao fato que a elipse tem um centro, ela ´e chamada de cˆonica central.
Para a elipse de equa¸c˜ao
x2
a2
+
y2
b2
= 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(−a, 0) e
V2(a, 0) e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(0, −b) e B2(0, b). Por outro lado, para
a elipse de equa¸c˜ao
x2
b2
+
y2
a2
= 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(0, −a) e V2(0, a)
e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(−b, 0) e B2(b, 0). Para ambas as equa¸c˜oes, o
comprimento do eixo maior ´e 2a e o comprimento do eixo menor ´e 2b. Note que, em
ambos os casos, a > b.
Exemplo. Encontre os v´ertices, os focos e as extremidades do eixo menor da elipse com
equa¸c˜ao
x2
25
+
y2
16
= 1
Fa¸ca um esbo¸co de elipse mostrando os focos.
Solu¸c˜ao. Da equa¸c˜ao da elipse, como a > b, temos a2
= 25 e b2
= 16; assim a = 5 e
b = 4. Logo os v´ertices est˜ao nos pontos V1(−5, 0) e V2(5, 0) e as extremidades do eixo
menor est˜ao nos pontos B1(0, −4) e B2(0, 4). Temos que
c2
= b2
− a2
= 25 − 16 = 9
Logo, c = 3 e assim os focos est˜ao em F1(−3, 0) e F2(3, 0). O gr´afico da elipse com os
focos est´a esbo¸cado na figura abaixo.
5
Se o centro de uma elipse estiver no ponto (h, k) e se o eixo principal for paralelo ao
eixo x, ent˜ao, se x e y forem os eixos coordenados ap´os uma transla¸c˜ao de eixos tal que
o ponto (h, k) seja a nova origem, a equa¸c˜ao da elipse em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e
x 2
a2
+
y 2
b2
= 1
Substituindo x por x − h e y por y − k, obtemos
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
Temos ent˜ao o teorema a seguir.
Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse cuja distˆancia n˜ao-
orientada entre os focos ´e 2c, ent˜ao para b2
= a2
− c2
, a equa¸c˜ao da elipse com centro em
(h, k) e com eixo principal paralelo ao eixo x ´e
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
Uma elipse com centro em (h, k) e com eixo principal paralelo ao eixo y tem por equa¸c˜ao
(x − h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1
6
Para a elipse de equa¸c˜ao
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao
V1(h − a, k) e V2(h + a, k), as coordenadas dos focos s˜ao F1(h − c, k) e F2(h + c, k) e
as extremidades do eixo menor s˜ao B1(h, k − b) e B2(h, k + b). Por outro lado, para a
elipse de equa¸c˜ao
(x − h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(h, k − a) e
V2(h, k + a), as coordenadas dos focos s˜ao F1(h, k − c) e F2(h, k + c) e as extremidades do
eixo menor s˜ao B1(h − b, k) e B2(h + b, k).
Exemplo. Dada a elipse com equa¸c˜ao
4x2
+ 3y2
− 32x + 6y − 77 = 0
encontre os v´ertices, os focos e as extremidades do eixo menor. Fa¸ca um esbo¸co de elipse
mostrando os focos.
Solu¸c˜ao. Completando os quadrados em x e y, obtemos
4(x2
− 8x + 16) + 3(y2
+ 2y + 1) = 77 + 64 + 3
4(x − 4)2
+ 3(y + 1)2
= 144
4(x − 4)2
144
+
3(y + 1)2
144
= 1
(x − 4)2
36
+
(y + 1)2
48
= 1
O centro da elipse est´a em (4, −1) e o eixo principal ´e paralelo ao eixo y. Temos que
a2
= 48 e b2
= 36; assim a = 4
√
3 e b = 6. Os v´ertices est˜ao nos pontos V1(4, −1 − 4
√
3)
e V2(4, −1 + 4
√
3). As extremidades do eixo menor s˜ao B1(−2, −1) e B2(10, −1). Temos
que
c2
= a2
− b2
= 48 − 36 = 12
Logo, c = 2
√
3. Assim, a distˆancia do centro a cada um dos focos ´e 2
√
3 e, portanto, os
focos est˜ao nos pontos F1(4, −1 − 2
√
3) e F2(4, −1 + 2
√
3). Um esbo¸co da elipse com os
focos est´a na figura abaixo.
7
A circunferˆencia ´e uma forma limite de elipse, a qual ocorre quando os dois focos da
elipse coincidem. Da rela¸c˜ao entre a, b e c:
b2
= a2
− c2
vemos que `a medida que c tende a zero, b2
tende a a2
. Se b2
= a2
, as equa¸c˜oes da elipse
tornam-se
(x − h)2
+ (y − k)2
= a2
que ´e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia com centro em (h, k) e raio a.
As ´orbitas dos planetas ao redor do Sol s˜ao elipses, com o Sol localizado em um dos
focos. As elipses tamb´em s˜ao usadas para fazer engrenagens de m´aquinas. Muitas vezes
na constru¸c˜ao de pontes s˜ao utilizados arcos em forma de semi-elipse.
Existe uma propriedade reflexiva da elipse que ´e an´aloga a da par´abola. Raios de luz
emitidos de uma fonte colocada em um foco de um espelho el´ıptico atingindo o espelho
´e refletido numa reta que passa pelo outro foco. Essa propriedade das elipses ´e usada
8
nas chamadas ”galerias dos cochichos”, onde o teto tem se¸c˜oes transversais que s˜ao arcos
de elipse com focos em comum. Pessoas localizadas nas proximidades de um foco podem
ouvir melhor sons emitidos no outro foco, enquanto que pessoas localizadas na regi˜ao
intermedi´aria aos dois focos praticamente n˜ao escutam os sons emitidos.
Referˆencias
[1] LEITHOLD, Louis. O C´alculo com geometria anal´ıtica. 3. ed. S˜ao Paulo, SP:
Harbra, c1994. 2 v. ISBN 8529400941 v.1
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Elipse

  • 1. A Elipse Quando um cone circular reto ´e interceptado por um plano secante que n˜ao ´e paralelo a nenhuma geratriz do cone e, neste caso, o plano intercepta todas as geratrizes, ´e gerada uma cˆonica chamada de elipse. Um caso particular da elipse ´e a circunferˆencia, formada quando o plano secante que intercepta o cone for perpendicular ao eixo do cone. Defini¸c˜ao. Uma elipse ´e o conjunto dos pontos em um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos ´e constante. Os pontos fixos s˜ao chamados de focos. A reta que passa pelos focos ´e chamada de eixo principal da elipse. Os pontos de interse¸c˜ao da elipse com seu eixo principal s˜ao chamados de v´ertices. O ponto sobre o eixo principal no ponto m´edio entre os dois v´ertices ´e chamado de centro da elipse. O segmento do eixo principal entre os dois v´ertices ´e chamado de eixo maior da elipse e o segmento de reta perpendicular ao eixo principal que passa pelo centro com extremidades em pontos sobre a elipse ´e chamado de eixo menor. 1
  • 2. Para deduzir a equa¸c˜ao de uma elipse de modo que tenha a forma mais simples poss´ıvel, colocamos a origem sobre o centro e escolhemos o eixo x como o eixo principal. Seja 2c a distˆancia n˜ao orientada entre os focos, onde c > 0. As coordenadas dos focos ser˜ao F1(−c, 0) e F2(c, 0). Seja 2a a soma constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse. 2
  • 3. Ent˜ao a > c. Um ponto P(x, y) estar´a sobre a elipse se e somente se |PF| + |PF | = 2a Como |PF| = (x − c)2 + y2 e |PF | = (x + c)2 + y2 P est´a sobre a elipse se e somente se (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a Reescrevemos esta ´ultima equa¸c˜ao sob a forma (x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2 Elevando ao quadrado ambos os membros da equa¸c˜ao acima, obtemos (x − c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 x2 − 4cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + x2 + 4cx + c2 + y2 4a (x + c)2 + y2 = 4a2 + 4cx (x + c)2 + y2 = a + c a x x2 + 2cx + c2 + y2 = a2 + 2cx + c2 a2 x2 x2 1 − c2 a2 + y2 = a2 − c2 (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ) x2 a2 + y2 a2 − c2 = 1 Como a > c, a2 − c2 > 0 e podemos fazer b2 = a2 − c2 Obtemos assim x2 a2 + y2 b2 = 1 Mostramos assim que as coordenadas (x, y) de qualquer ponto P sobre elipse satisfazem esta ´ultima equa¸c˜ao. Precisamos mostrar tamb´em que se as coordenedas (x, y) do ponto P satisfazem esta equa¸c˜ao, ent˜ao P est´a sobre a elipse. Suponha ent˜ao que as coordenadas 3
  • 4. (x, y) de P satisfazem x2 a2 + y2 b2 = 1, onde b2 = a2 − c2 . Multiplicando a equa¸c˜ao acima por a2 − c2 e simplificando, obtemos x2 + 2cx + c2 + y2 = a2 + 2cx + c2 a2 x2 Note que, a + c a x ≥ 0 Logo, obtemos (x + c)2 + y2 = a + c a x Podemos escrever esta ´ultima equa¸c˜ao na forma (x − c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 Um simples c´alculo mostra que 2a − (x + c)2 + y2 ≥ 0 Podems ent˜ao extrair a raiz quadrada na equa¸c˜ao (x − c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 para obter (x − c)2 + y2 = 2a − (x + c)2 + y2 ou seja, (x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a e portanto, P pertenca `a elipse. Provamos assim o teorema a seguir. Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse com focos nos pontos (−c, 0) e (c, 0), ent˜ao para b2 = a2 − c2 , a equa¸c˜ao da elipse ´e x2 a2 + y2 b2 = 1 Se a elipse tiver seu centro na origem e seu eixo principal sobre o eixo y, teremos o teorema seguinte. Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse com focos nos pontos (0, −c) e (0, c), ent˜ao para b2 = a2 − c2 , a equa¸c˜ao da elipse ´e x2 b2 + y2 a2 = 1 4
  • 5. Devido ao fato que a elipse tem um centro, ela ´e chamada de cˆonica central. Para a elipse de equa¸c˜ao x2 a2 + y2 b2 = 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(−a, 0) e V2(a, 0) e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(0, −b) e B2(0, b). Por outro lado, para a elipse de equa¸c˜ao x2 b2 + y2 a2 = 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(0, −a) e V2(0, a) e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(−b, 0) e B2(b, 0). Para ambas as equa¸c˜oes, o comprimento do eixo maior ´e 2a e o comprimento do eixo menor ´e 2b. Note que, em ambos os casos, a > b. Exemplo. Encontre os v´ertices, os focos e as extremidades do eixo menor da elipse com equa¸c˜ao x2 25 + y2 16 = 1 Fa¸ca um esbo¸co de elipse mostrando os focos. Solu¸c˜ao. Da equa¸c˜ao da elipse, como a > b, temos a2 = 25 e b2 = 16; assim a = 5 e b = 4. Logo os v´ertices est˜ao nos pontos V1(−5, 0) e V2(5, 0) e as extremidades do eixo menor est˜ao nos pontos B1(0, −4) e B2(0, 4). Temos que c2 = b2 − a2 = 25 − 16 = 9 Logo, c = 3 e assim os focos est˜ao em F1(−3, 0) e F2(3, 0). O gr´afico da elipse com os focos est´a esbo¸cado na figura abaixo. 5
  • 6. Se o centro de uma elipse estiver no ponto (h, k) e se o eixo principal for paralelo ao eixo x, ent˜ao, se x e y forem os eixos coordenados ap´os uma transla¸c˜ao de eixos tal que o ponto (h, k) seja a nova origem, a equa¸c˜ao da elipse em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e x 2 a2 + y 2 b2 = 1 Substituindo x por x − h e y por y − k, obtemos (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 Temos ent˜ao o teorema a seguir. Teorema. Se 2a for a constante mencionada na defini¸c˜ao da elipse cuja distˆancia n˜ao- orientada entre os focos ´e 2c, ent˜ao para b2 = a2 − c2 , a equa¸c˜ao da elipse com centro em (h, k) e com eixo principal paralelo ao eixo x ´e (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 Uma elipse com centro em (h, k) e com eixo principal paralelo ao eixo y tem por equa¸c˜ao (x − h)2 b2 + (y − k)2 a2 = 1 6
  • 7. Para a elipse de equa¸c˜ao (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(h − a, k) e V2(h + a, k), as coordenadas dos focos s˜ao F1(h − c, k) e F2(h + c, k) e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(h, k − b) e B2(h, k + b). Por outro lado, para a elipse de equa¸c˜ao (x − h)2 b2 + (y − k)2 a2 = 1, as coordenadas dos v´ertices s˜ao V1(h, k − a) e V2(h, k + a), as coordenadas dos focos s˜ao F1(h, k − c) e F2(h, k + c) e as extremidades do eixo menor s˜ao B1(h − b, k) e B2(h + b, k). Exemplo. Dada a elipse com equa¸c˜ao 4x2 + 3y2 − 32x + 6y − 77 = 0 encontre os v´ertices, os focos e as extremidades do eixo menor. Fa¸ca um esbo¸co de elipse mostrando os focos. Solu¸c˜ao. Completando os quadrados em x e y, obtemos 4(x2 − 8x + 16) + 3(y2 + 2y + 1) = 77 + 64 + 3 4(x − 4)2 + 3(y + 1)2 = 144 4(x − 4)2 144 + 3(y + 1)2 144 = 1 (x − 4)2 36 + (y + 1)2 48 = 1 O centro da elipse est´a em (4, −1) e o eixo principal ´e paralelo ao eixo y. Temos que a2 = 48 e b2 = 36; assim a = 4 √ 3 e b = 6. Os v´ertices est˜ao nos pontos V1(4, −1 − 4 √ 3) e V2(4, −1 + 4 √ 3). As extremidades do eixo menor s˜ao B1(−2, −1) e B2(10, −1). Temos que c2 = a2 − b2 = 48 − 36 = 12 Logo, c = 2 √ 3. Assim, a distˆancia do centro a cada um dos focos ´e 2 √ 3 e, portanto, os focos est˜ao nos pontos F1(4, −1 − 2 √ 3) e F2(4, −1 + 2 √ 3). Um esbo¸co da elipse com os focos est´a na figura abaixo. 7
  • 8. A circunferˆencia ´e uma forma limite de elipse, a qual ocorre quando os dois focos da elipse coincidem. Da rela¸c˜ao entre a, b e c: b2 = a2 − c2 vemos que `a medida que c tende a zero, b2 tende a a2 . Se b2 = a2 , as equa¸c˜oes da elipse tornam-se (x − h)2 + (y − k)2 = a2 que ´e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia com centro em (h, k) e raio a. As ´orbitas dos planetas ao redor do Sol s˜ao elipses, com o Sol localizado em um dos focos. As elipses tamb´em s˜ao usadas para fazer engrenagens de m´aquinas. Muitas vezes na constru¸c˜ao de pontes s˜ao utilizados arcos em forma de semi-elipse. Existe uma propriedade reflexiva da elipse que ´e an´aloga a da par´abola. Raios de luz emitidos de uma fonte colocada em um foco de um espelho el´ıptico atingindo o espelho ´e refletido numa reta que passa pelo outro foco. Essa propriedade das elipses ´e usada 8
  • 9. nas chamadas ”galerias dos cochichos”, onde o teto tem se¸c˜oes transversais que s˜ao arcos de elipse com focos em comum. Pessoas localizadas nas proximidades de um foco podem ouvir melhor sons emitidos no outro foco, enquanto que pessoas localizadas na regi˜ao intermedi´aria aos dois focos praticamente n˜ao escutam os sons emitidos. Referˆencias [1] LEITHOLD, Louis. O C´alculo com geometria anal´ıtica. 3. ed. S˜ao Paulo, SP: Harbra, c1994. 2 v. ISBN 8529400941 v.1 9