O documento apresenta conceitos importantes sobre circunferências, incluindo: (1) um ponto só pertence à circunferência se estiver sobre ela; (2) pontos internos fazem parte do círculo mas não da circunferência; (3) uma corda une dois pontos da circunferência, diferente de um raio.

1. CIRCUNFERÊNCIA
CONCEITOS IMPORTANTES
Isabela Coelho Malaquias

2. 2PONTOS
DA
CIRCUNFERÊNCIA
● Para um ponto pertencer a
circunferência ele deve estar
sobre a circunferência!! (Ponto
B na imagem)
● Pontos interiores a
circunferência pertencem ao
círculo formado pela
circunferência mas não
pertencem a circunferência.

3. 3
NÃO!!!
Uma corda é um segmento de reta que
une DOIS PONTOS DA CIRCUNFERÊNCIA.
O raio une o centro a um ponto da
circunferência, ou seja, não une dois
pontos da circunferência.
RAIO É UMA
CORDA?

4. PARA QUAIS VALORES DE “K” A EQUAÇÃO
REPRESENTA UMA CIRCUNFERÊNCIA?
Para que represente uma circunferência o raio deve ser um valor positivo!!!
a² + b² - k = r² , conclui-se então que:
a² + b² - k > 0 (“a” e “b” = centro)
Exemplo: x² + y² - 2y + k = 0 ------- Centro (0,1)
a² + b² - k > 0
0 + 1 – k > 0
- K > -1
K < 1 Ou seja, para que essa equação represente uma circunferência, o “k” deve
assumir valores menores que 1, caso contrário o raio será negativo e a equação não
representará uma circunferência.
4

5. A reta tangente à circunferência e
a reta que passa pelo centro e
pelo ponto de tangência são
perpendiculares!!!
PROPRIEDADE RETA TANGENTE 5

6. 6
COMO
DESCOBRIR A
EQUAÇÃO DA
RETA TANGENTE
A PARTIR DA
PROPRIEDADE
ANTERIOR?
Descobrir o coeficiente angular da reta que
passa pelo centro e pelo ponto de tangência.
O coeficiente angular da reta tangente será o
oposto do inverso do coeficiente angular
achado anteriormente (São Perpendiculares)
Agora sabemos o coeficiente angular e um
ponto da reta tangente. Tendo essas duas
informações é possível calcular a equação da
reta tangente.
1
2
3

7. Equação: (x -1)² + (y – 1)² = 20 Ponto de tangência = (-3,3)
Centro (1,1)
Coeficiente angular da reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência:
Tg = ∆y/ ∆x
Tg = 2/-4
Coeficiente angular da reta tangente = -4/2 = -2 = 2 (oposto do inverso)
Y = ax + b ------- (-3,3) ; a = 2
3 = 2.(-3) + b
3 = -6 + b
B = 9 y = 2x + 9
7
EXEMPLO

8. 8
PROPRIEDADE
MEDIATRIZ DE
UMA CORDA
As mediatrizes das cordas de uma
circunferência sempre passam pelo
centro!!!

9. Descobrir o coeficiente angular das retas suportes
da cordas
As mediatrizes terão o oposto do inverso do
coeficiente angular achado anteriormente
Descobrir o ponto médio das cordas (reta suporte)
Teremos o ponto médio das cordas (que é um
ponto da mediatriz) e o coeficiente angular, com
isso é possível achar a equação das retas suportes
das mediatrizes
Tendo as equações das mediatrizes, deve-se fazer
um sistema de equações, o ponto encontrado será
o centro.
Achado o centro, usa-se um ponto da
circunferência e o centro para calcular a distância
que será o raio
Tendo o raio e o centro, monta-se a equação da
circunferência
1
2
3
4
5
9
COMO ACHAR A
EQUAÇÃO DA
CIRCUNFERÊNCIA
PARTIR DA
PROPRIEDADE
ANTERIOR?
6
7

10. 10
• Para determinar o centro da circunferência a
partir da equação geral é preciso que os
coeficientes do x² e do y² sejam iguais a 1 !!!
• Ou seja, caso a equação seja 4x² + 4y² - 16x +
8y – 2 = 0 deve-se dividir toda a equação por
4 para que os coeficientes do x² e do y² sejam
1 e só assim descobrir o centro.
• A partir disso é possível concluir que
nenhuma equação de circunferência será por
exemplo: 2x² + 3y² - 4x + 2y – 6 = 0 pois não
terá como dividir a equação de modo que os
coeficientes do x² e o y² sejam 1
CUIDADO!!!!!
ACHAR O
CENTRO A
PARTIR DA
EQUAÇÃO
GERAL.

11. EXEMPLO
2x² + 2y² - 8x + 4y – 16 = 0 (dividir a equação por 2)
x² + y² - 4x + 2y – 8 = 0
Centro: -4/2 = -2 = 2
2/2 = 1 = -1
(2,-1)
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12. SABER OS PONTOS DE INTERSECÇÃO
ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
X² + y² + 0x + 0y - 5 = 0 --------- x² + y² - 5 = 0
X² + y² - 2x – 6y + 5 = 0 (fazer o de baixo – o de cima) ____2___ + ___1___ = 3
____2____ x __1___ = 2
0 + 0 – 2x – 6y + 10 = 0 (simplificar por 2)
-x – 3y + 5 = 0
-x = 3y – 5
X = -3y + 5
X² + y² - 5 = 0
(-3y + 5)² + y² - 5 = 0
9y² - 30y + 25 + y² - 5 = 0
10y² - 30y + 20 = 0 (dividir por 10)
Y² - 3y + 2 = 0
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Y = 2 e 1
X = -3y + 5 x = -3y +5
X = -3(2) + 5 x = -3(1) + 5
X = -6 + 5 x = -3 + 5
X = -1 (-1,2) x =2 (2,1)
Pontos de Intersecção: (-1,2) e (2,1)