[1] O documento descreve as propriedades e elementos fundamentais da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias aos focos é constante, [2] sua equação geral e reduzida quando o centro está na origem, e [3] as formas da equação quando o eixo principal está no eixo das abscissas ou ordenadas.

1. Cônicas: Hipérbole
GET 003 – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Prof. Kátia Dionísio de Oliveira - FAMAT / UFU
Maio - 2012

2. Cônicas: Hipérbole
Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor
absoluto da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 e uma
constante positiva menor do que a distância entre os pontos F1
a F2.

3. Hipérbole: Propriedade
É a curva plana formada pelo módulo da diferença das
distâncias de cada um de seus pontos P aos pontos fixos F1 e
F2 . Assim é que temos por definição:
d d ( P, F1 ) d ( P, F2 ) 2a a c
  
d PF1 PF2 2a

4. Hipérbole: Elementos
B1 B2 eixo não transverso ou eixo conjugado
A1 A2 eixo real ou eixo transverso
Centro
Distância Focal
ca excentricidade da hipérbole
Focos

5. Hipérbole: Equação
“Se P1 é um ponto da hipérbole,
existem os pontos P2, P3 e P4,
tais que: P2 é o simétrico de P,
em relação à reta horizontal, P3
é o simétrico de P, em relação à
reta vertical, P4 é o simétrico de
P, em relação ao ponto C”.

6. Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam
F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante
com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
 

d PF1 PF2 2a
2 2 2 2
x c y 0 x c y 0 2a
2 2 2 2
x c y 0 2a x c y 0

7. Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem
2 2
2 2 2 2
x c y 0 2a x c y 0
2 2 2 2 2 2 2
x c y 4a 4a x c y 0 x c y
2 2 2 2 2
x 2 xc c 4a 4a x c y 0 x2 2 xc c2
2 2
4 xc 4a 2 4a x c y 0
2 2 2
4( xc a ) 4a x c y 0 2 2 2
c b a
2
2 2 2
( xc a2 ) a x c y 0
2
x 2c 2 2 xca 2 a4 a2 x c y2
x 2c 2 2 xca 2 a4 a2 x2 2 xc c2 y2

8. Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem
1 Caso: O eixo da Hipérbole está no eixo das abscissas
x2 y2
1
a2 b2

9. Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem
2 Caso: O eixo da Hipérbole está no eixo das ordenadas
y2 x2
1
a2 b2

10. Hipérbole: Equação Reduzida da hipérbole do centro na origem
2 Caso: O eixo da Hipérbole está no eixo das ordenadas
y2 x2
1
a2 b2