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MATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTALMATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTAL
AULA 2AULA 2
Exemplo:
Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?
                      mas
   
Assim, podemos dizer que a:b = 3:2 ou
Exemplo:
Determine o valor de x na proporção:
  
Para resolver esse exemplo e encotrar o valor de x na proporção vamos utilizar 
regra de três simples. Assim, pela relação fundamental, temos:
  
Existem algumas
maneiras de analisarmos
esses resultados: as
medidas de tendência
central.
Ela é um ramo
importantíssimo da Matemática,
onde representamos as
informações de uma pesquisa por
meio de tabelas e gráficos.
Com 600 g de farinha de trigo, eu e meu
irmão fazemos 50 biscoitos. Quantos
biscoitos poderemos fazer com 1800 g de
trigo?
A regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos
três deles.
Solução
Primeiro, vamos organizar os dados da questão em uma tabela,
separando as grandezas:
Gramas de trigo Quantidade de biscoitos
600 g 50
1800 g ?
Na tabela, utilizamos o “x” para representar o valor desconhecido que descobriremos
com a regra de três simples. Mas antes precisamos saber se essas grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais.
Como será que
vamos fazer
isso?
Gramas de trigo Quantidade de biscoitos
600 g 50
1800 g ?
É muito simples! Vamos comparar as duas grandezas
através do raciocínio lógico.
Com 600 gramas de farinha de trigo produzimos 50 biscoitos. Então, logicamente, com
mais farinha de trigo, produziremos mais biscoitos.
Gramas de trigo Quantidade de biscoitos
600 g 50
1800 g ?
600 50
1800 x
_____ = ____
6 50
18 x
___ = ____
6x = 18 . 50 6x = 900 x = 900 : 6 x = 150
Logo, poderemos produzir 150 biscoitos.
Com uma velocidade de 80 km/h, um
carro faz um percurso em 50 minutos. Se a
velocidade aumentar para 100 km/h,
quanto tempo ele levará para fazer o
mesmo percurso?
Solução
Primeiro, vamos organizar os dados da questão em uma tabela, separando as
grandezas:
Velocidade (km/h) Tempo
(min)
80 50
100 x
Comparando as grandezas, observamos que,
aumentando-se a velocidade, o tempo para
fazer o mesmo percurso será menor.
Logo, se uma grandeza cresce enquanto a outra
diminui, elas são inversamente proporcionais.
Velocidade (km/h) Tempo (min)
80 50
100 x
Simplificando 10 50
8 x
___ = ___
100 50
80 x
____ = ___100 50
80 x
____ = ___Invertemos
os valores
10x = 50 . 8
400
10
____x = x = 40
Logo, o carro fará o percurso em 40 minutos.
10x = 400
PercentagemPercentagem
Símbolo %
Conteúdo que relaciona uma grandeza a 100, representada em forma de
fração e /ou decimal.
ExemploExemplo : A cada 100 pessoas consultadas, 25 gostam de política.
Significa que 25 por 100 ( 25 por cento) gostam de política.
Representação de porcentagem:
_25 ; 0,25 ; 25%
100
Matemática , 1o
Ano
Porcentagem
Matemática , 1o
Ano
Porcentagem
Aplicações do dia a dia
Vamos determinar percentuais dos valores abaixo:
20% de 60?
20 é 80% de quanto?
12:60
100
20
==⋅ xLogo
25........20
100
80
==⋅ xx
12 é quanto por cento de 30? %401230
100
=→=⋅ x
x
8
Alguns exemplos:
– O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo
de R$ 25,00
– O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em
cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00
Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa– dos
funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.
Existem dois tipos de juros, os JUROS SIMPLES e os JUROS COMPOSTOS. A
maioria das operações financeiras são realizadas utilizando juros compostos.
Juros Simples são sempre calculados em relação ao
valor inicial (capital inicial). O valor dos juros é
constante em cada período de tempo.
JUROS
SIMPLES
Juros Compostos são os juros produzidos em cada
período e depois somados ao valor anterior (capital)
para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes.
JUROS
COMPOSTOS
O cálculo dos juros de cada mês é realizado multiplicando-se o valor inicial
(capital) pela taxa de juros e pelo tempo, ou seja:
Juros (J) = capital(c) . taxa(i) . tempo(t)
A taxa é dada em porcentagem, por isso podemos
reescrever a expressão anterior da seguinte forma:
100
.. tic
J =
j = juros ; C = Capital ; i = taxa (%) e t = tempo
Observação ImportanteObservação Importante : Para aplicação dessa fórmula precisamos ter a taxa
e o tempo sob a mesma unidade de tempo.
Se a taxa for ao ano ( a.a. ) o tempo será dado em anos.
Se a taxa for ao mes ( a.m. ) o tempo será dado em meses.
Se a taxa for ao dia ( a.d. ) o tempo será dado em dias.
MontanteMontante
Chamamos Montante à soma do Capital com os juros por ele obtido:
M = C + j
ExemploExemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 60.000,00
empregado à taxa de 8% a.a. ao fim de 3 anos.
Resolução: Pelo enunciado temos : C = R$ 60.000,00 ; i = 8% a.a. e t = 3 anos
Como taxa e tempo estão sob a mesma unidade de tempo, podemos aplicar a
fórmula: j = 60.000 x 8 x 3 600 x 8 x 3 j = 14.400
100
Se pretendêssemos calcular o Montante, este seria igual a : M = R$ 60.000,00 +
R$ 14.400,00 = R$ 74.400,00.
A origem da palavra Estatística está
associada à palavra Estado, do latim:
Status. Há indícios de que a
estatística já era usada antes de
Cristo uma vez que se faziam censos
na Babilônia, na China e no Egito.
A origem da ESTATÍSTICAA origem da ESTATÍSTICA
As ideias sobre estatística foram utilizadas inicialmente com o intuito de
realizar levantamentos de dados cuja finalidade era orientar o Estado em
suas decisões, como por exemplo, para determinar o valor dos impostos,
para elaborar estratégias de guerra etc.
 A amostra corresponde a um grupo representativo de uma
determinada população em estudo, ou seja, corresponde a uma parte
do universo analisado.
 O universo é qualquer conjunto que constitua a totalidade de
informações de que se deseja realizar um determinado estudo.
Para determinar, estatisticamente, o
percentual de pessoas que possuem ou
não bicicletas na cidade do Recife, por
exemplo, não é necessário entrevistar
todos os recifenses. É preciso apenas
entrevistar uma parte dessa população.
A essa parte de pessoas entrevistadas,
denomina-se: amostra e ao total de
recifenses é chamado: universo.
Exemplo: AMOSTRA e UNIVERSO
Média Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável
pelo número deles:
n
x...xx
x n21 +++
=
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana,
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 litros
7 7
Um aluno obteve as seguintes notas na
disciplina de matemática nos 4 bimestres:
Média aritmética = 7=
+++
4
9685
Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2
nota 2: 8 – 7 = 1
nota 3: 6 – 7 = - 1
nota 4: 9 – 7 = 2
Bim 1º 2º 3º 4º
notas 5 8 6 9
Variância
Desvio Padrão:
É a raiz quadrada da variância
VDp =
2,5
4
21)(1(-2)
V
2222
=
+−++
=
1,582,5Dp ==
É a média aritmética dos
quadrados dos desvios.
Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.
N 1 N 2 N 3 N 4
Paulo 5 2 5 8
João 4 8 3 5
Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?
Média aritmética =
Paulo
5
4
8525
=
+++ Média aritmética =
João
5
4
5384
=
+++
Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0
Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3
nota 3: 5 – 5 = 0
nota 4: 8 – 5 = 3
Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1
João nota 2: 8 – 5 = 3
nota 3: 3 – 5 = -2
nota 4: 5 – 5 = 0
4,5
4
232023)(20
PauloVariância =
++−+
=
2,124,5VPadrãoDesvio ===
3,5
4
2022)(232(-1)
JoãoVariância =
+−++
=
1,873,5VPadrãoDesvio ===
Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.
O campo de futebol tem 2x + 10 de largura e
3x – 5 de comprimento.
Sabendo que o perímetro (medida do
contorno) do campo é de 130 metros, qual é
a medida (em metros) do comprimento e da
largura deste campo?
2x + 10
3x-5
Sabemos que o perímetro é a medida do contorno de uma figura. Então,
somando as medidas dos lados do campo, temos:
2x + 10 + 3x – 5 +2x + 10 + 3x – 5 = 130
130)53.(2)102.(2 =−++ xx
10x + 10 = 130 10x = 130 – 10 10x = 120 x = 120: 10 x = 12
4x + 20 + 6 x – 10 = 130
LARGURA = 2x + 10 ... 2 x 12 + 10 =
34
COMPRIMENTO = 3x - 5 ... 3 x 12 - 5 = 31
CÁLCULO ALGÉBRICOCÁLCULO ALGÉBRICO
As letras, na matemática, são usadas para representar números desconhecidos
ou para generalizar propriedades e fórmulas da Geometria.
As expressões que apresentam letras, além de operações e números são
denominadas de EXPRESSÕES ALGÉBRICAS e as letras são chamadas de
variáveis.
Valor numérico de uma expressão Para calcular o valor numérico de uma
expressão algébrica, basta substituir as letras por números dados e efetuar as
operações indicadas.
Exemplo: Calcular o valor numérico da expressão abaixo para os valores
indicados.
2a + 3b, para a = 3 e b = 5
2 x 3 + 3 x 5 = 6 + 15 = 21
Exemplo: Calcular o valor numérico da expressão abaixo para os valores
indicados.
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  • 1. MATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTALMATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTAL AULA 2AULA 2
  • 2.
  • 4. Existem algumas maneiras de analisarmos esses resultados: as medidas de tendência central. Ela é um ramo importantíssimo da Matemática, onde representamos as informações de uma pesquisa por meio de tabelas e gráficos. Com 600 g de farinha de trigo, eu e meu irmão fazemos 50 biscoitos. Quantos biscoitos poderemos fazer com 1800 g de trigo? A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Solução Primeiro, vamos organizar os dados da questão em uma tabela, separando as grandezas: Gramas de trigo Quantidade de biscoitos 600 g 50 1800 g ?
  • 5. Na tabela, utilizamos o “x” para representar o valor desconhecido que descobriremos com a regra de três simples. Mas antes precisamos saber se essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Como será que vamos fazer isso? Gramas de trigo Quantidade de biscoitos 600 g 50 1800 g ? É muito simples! Vamos comparar as duas grandezas através do raciocínio lógico. Com 600 gramas de farinha de trigo produzimos 50 biscoitos. Então, logicamente, com mais farinha de trigo, produziremos mais biscoitos. Gramas de trigo Quantidade de biscoitos 600 g 50 1800 g ? 600 50 1800 x _____ = ____ 6 50 18 x ___ = ____ 6x = 18 . 50 6x = 900 x = 900 : 6 x = 150 Logo, poderemos produzir 150 biscoitos.
  • 6. Com uma velocidade de 80 km/h, um carro faz um percurso em 50 minutos. Se a velocidade aumentar para 100 km/h, quanto tempo ele levará para fazer o mesmo percurso? Solução Primeiro, vamos organizar os dados da questão em uma tabela, separando as grandezas: Velocidade (km/h) Tempo (min) 80 50 100 x Comparando as grandezas, observamos que, aumentando-se a velocidade, o tempo para fazer o mesmo percurso será menor. Logo, se uma grandeza cresce enquanto a outra diminui, elas são inversamente proporcionais.
  • 7. Velocidade (km/h) Tempo (min) 80 50 100 x Simplificando 10 50 8 x ___ = ___ 100 50 80 x ____ = ___100 50 80 x ____ = ___Invertemos os valores 10x = 50 . 8 400 10 ____x = x = 40 Logo, o carro fará o percurso em 40 minutos. 10x = 400 PercentagemPercentagem Símbolo % Conteúdo que relaciona uma grandeza a 100, representada em forma de fração e /ou decimal. ExemploExemplo : A cada 100 pessoas consultadas, 25 gostam de política. Significa que 25 por 100 ( 25 por cento) gostam de política.
  • 8. Representação de porcentagem: _25 ; 0,25 ; 25% 100 Matemática , 1o Ano Porcentagem Matemática , 1o Ano Porcentagem Aplicações do dia a dia Vamos determinar percentuais dos valores abaixo: 20% de 60? 20 é 80% de quanto? 12:60 100 20 ==⋅ xLogo 25........20 100 80 ==⋅ xx 12 é quanto por cento de 30? %401230 100 =→=⋅ x x 8 Alguns exemplos: – O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00 – O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00 Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa– dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.
  • 9. Existem dois tipos de juros, os JUROS SIMPLES e os JUROS COMPOSTOS. A maioria das operações financeiras são realizadas utilizando juros compostos. Juros Simples são sempre calculados em relação ao valor inicial (capital inicial). O valor dos juros é constante em cada período de tempo. JUROS SIMPLES Juros Compostos são os juros produzidos em cada período e depois somados ao valor anterior (capital) para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes. JUROS COMPOSTOS O cálculo dos juros de cada mês é realizado multiplicando-se o valor inicial (capital) pela taxa de juros e pelo tempo, ou seja: Juros (J) = capital(c) . taxa(i) . tempo(t) A taxa é dada em porcentagem, por isso podemos reescrever a expressão anterior da seguinte forma: 100 .. tic J =
  • 10. j = juros ; C = Capital ; i = taxa (%) e t = tempo Observação ImportanteObservação Importante : Para aplicação dessa fórmula precisamos ter a taxa e o tempo sob a mesma unidade de tempo. Se a taxa for ao ano ( a.a. ) o tempo será dado em anos. Se a taxa for ao mes ( a.m. ) o tempo será dado em meses. Se a taxa for ao dia ( a.d. ) o tempo será dado em dias. MontanteMontante Chamamos Montante à soma do Capital com os juros por ele obtido: M = C + j ExemploExemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 60.000,00 empregado à taxa de 8% a.a. ao fim de 3 anos. Resolução: Pelo enunciado temos : C = R$ 60.000,00 ; i = 8% a.a. e t = 3 anos Como taxa e tempo estão sob a mesma unidade de tempo, podemos aplicar a fórmula: j = 60.000 x 8 x 3 600 x 8 x 3 j = 14.400 100 Se pretendêssemos calcular o Montante, este seria igual a : M = R$ 60.000,00 + R$ 14.400,00 = R$ 74.400,00.
  • 11. A origem da palavra Estatística está associada à palavra Estado, do latim: Status. Há indícios de que a estatística já era usada antes de Cristo uma vez que se faziam censos na Babilônia, na China e no Egito. A origem da ESTATÍSTICAA origem da ESTATÍSTICA As ideias sobre estatística foram utilizadas inicialmente com o intuito de realizar levantamentos de dados cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões, como por exemplo, para determinar o valor dos impostos, para elaborar estratégias de guerra etc.  A amostra corresponde a um grupo representativo de uma determinada população em estudo, ou seja, corresponde a uma parte do universo analisado.  O universo é qualquer conjunto que constitua a totalidade de informações de que se deseja realizar um determinado estudo.
  • 12.
  • 13. Para determinar, estatisticamente, o percentual de pessoas que possuem ou não bicicletas na cidade do Recife, por exemplo, não é necessário entrevistar todos os recifenses. É preciso apenas entrevistar uma parte dessa população. A essa parte de pessoas entrevistadas, denomina-se: amostra e ao total de recifenses é chamado: universo. Exemplo: AMOSTRA e UNIVERSO
  • 14. Média Aritmética Simples Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: n x...xx x n21 +++ = Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana: X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 litros 7 7 Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres: Média aritmética = 7= +++ 4 9685 Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2 Bim 1º 2º 3º 4º notas 5 8 6 9 Variância Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância VDp = 2,5 4 21)(1(-2) V 2222 = +−++ = 1,582,5Dp == É a média aritmética dos quadrados dos desvios.
  • 15. Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo. N 1 N 2 N 3 N 4 Paulo 5 2 5 8 João 4 8 3 5 Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular? Média aritmética = Paulo 5 4 8525 = +++ Média aritmética = João 5 4 5384 = +++ Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0 Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3 Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1 João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0 4,5 4 232023)(20 PauloVariância = ++−+ = 2,124,5VPadrãoDesvio === 3,5 4 2022)(232(-1) JoãoVariância = +−++ = 1,873,5VPadrãoDesvio === Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.
  • 16. O campo de futebol tem 2x + 10 de largura e 3x – 5 de comprimento. Sabendo que o perímetro (medida do contorno) do campo é de 130 metros, qual é a medida (em metros) do comprimento e da largura deste campo? 2x + 10 3x-5 Sabemos que o perímetro é a medida do contorno de uma figura. Então, somando as medidas dos lados do campo, temos: 2x + 10 + 3x – 5 +2x + 10 + 3x – 5 = 130 130)53.(2)102.(2 =−++ xx 10x + 10 = 130 10x = 130 – 10 10x = 120 x = 120: 10 x = 12 4x + 20 + 6 x – 10 = 130 LARGURA = 2x + 10 ... 2 x 12 + 10 = 34 COMPRIMENTO = 3x - 5 ... 3 x 12 - 5 = 31
  • 17. CÁLCULO ALGÉBRICOCÁLCULO ALGÉBRICO As letras, na matemática, são usadas para representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmulas da Geometria. As expressões que apresentam letras, além de operações e números são denominadas de EXPRESSÕES ALGÉBRICAS e as letras são chamadas de variáveis. Valor numérico de uma expressão Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, basta substituir as letras por números dados e efetuar as operações indicadas. Exemplo: Calcular o valor numérico da expressão abaixo para os valores indicados. 2a + 3b, para a = 3 e b = 5 2 x 3 + 3 x 5 = 6 + 15 = 21
  • 18.
  • 19. Exemplo: Calcular o valor numérico da expressão abaixo para os valores indicados.