Semana 14

Propriedades das Relações em um Conjunto
Estructuras Lógicas- Dedutivas

Relações de Equivalência
Relação de Ordem
Funções
Propriedade Reflexiva
Propriedade Simétrica
Propriedade Transitiva
Uma relação R = (G, A, A) num conjunto A pode possuir as
propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e que vamos definir e
exemplificar.
Prof. Liliana Olga Jurado Cerron Semana 14

Funções
Definição
Uma relação R = (G, A, A) em A diz-se reflexiva se, e somente se,
para todo elemento x de A se tem (x, x) ∈ G. Simbolicamente,
R é reflexiva ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ xRx)
Uma relação R = (G, A, A) em A não é reflexiva se, e somente se,
existe ao menos um elemento x em A tal que xR
/x.

Funções
Exemplo
1) A relação R em A = {1, 2, 3} definida pelo grafo:
G = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
é reflexiva, porque 1R1 2R2 e 3R3.
2) A relação R em N definida por
xRy ⇔ x|y
é reflexiva, porque x|x, qualquer que seja o número natural x.

Funções
Propriedade das Relações Reflexivas
Propriedade das Relações Reflexivas
(P1) Uma relação R = (G, A, A) é reflexiva se, e somente se,
DA ⊂ G, onde DA é a diagonal de A × A.
(P2) Uma relação R = (G, A, A) é reflexiva se, e somente se, a
relação reciproca R−1 = (G−1, A, A) é reflexiva.

Funções
Definição
Uma relação R = (G, A, A) em A diz-se simétrica se, e somente se,
quaisquer que sejam os elementos x e y de A, se (x, y) ∈ G, então
(y, x) ∈ G. Simbolicamente:
R é simétrica ⇔ (∀x)(∀y)(x, y ∈ A e xRy ⇒ yRx)
Segundo está definição, uma relação R = (G, A, A) não é simétrica
se, e somente se, existe ao menos um par ordenado (x, y) de G
cujo par ordenado recı́proco (y, x) não pertence a G, isto é:
R não é simétrica ⇔ (∃x)(∃y)(x, y ∈ A, e xRy e yR
/ x)

Funções
Exemplo
1) Sejam as relações R e S em A = {1, 2, 3, 4} cujos grafos
respectivos são:
G = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 2)}
H = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 4)}
A relação R é simétrica, mas a relação S não é simétrica,
porque 3S4 e 4S
/3.
2) A relação R em N tal que
xRy ⇔ x|y (x divide y)
não é simétrica, porque, por exemplo, 3 divide 6, mas 6 não
divide 3, isto é, 3R6, mas 6R
/3

Funções
Propriedades das relações simétricas
Propriedades das relações simétricas
(P1) Uma relação R = (G, A, A) é simétrica se, e somente se,
R = R−1, onde R−1 = (G−1, A, A)
(P2) Se a relação R = (G, A, A) é simétrica, então
R−1 ◦ R = R ◦ R−1

Funções
Definição
Uma relação R = (G, A, A) em A diz-se transitiva se, e somente
se, quaisquer que sejam os elementos x, y e z de A, se (x, y) ∈ G
e (y, z) ∈ G então (x, z) ∈ G. Simbolicamente:
R é transitiva ⇔ (∀x)(∀y)(∀z)(x, y, z ∈ A e xRy e yRz ⇒ xRz)

Funções
Exemplo
1) Sejam as relações R e S em A = {a, b, c, d} cujos grafos
respectivos são:
G = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}
H = {(a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b), (d, c)}
A relação R é transitiva, mas a relação S não é transitiva, porque
(d, c) ∈ H e (c, a) ∈ H, mas (d, a) /
∈ H.
2) A relação S em R definida por
xRy ⇔ x < y
é transitiva, porque, se x < y e y < z, então x < z, quaisquer que
sejam os números reais x, y e z.

Funções
Propriedades das Relações Transitivas
Propriedades das Relações Transitivas
(P1) Se a relação R = (G, A, A) é transitiva, então a relação
recı́proca R−1 também é transitiva.
(P2) Se as relações R = (G, A, A) e S = (H, A, A)) são transitivas,
então a relação R ∩ S também é transitiva.

Funções
Relação de Equivalência
Definição
Chama-se relação de equivalência em A a toda relação
R = (G, A, A) em A que é reflexiva, simétrica e transitiva.
Em outros termos, uma relação R = (G, A, A) em A é uma relação
de equivalência se possui as seguintes propriedades:
(R) (∀x)(x ∈ A ⇒ xRx)
(S) (∀x)(∀y)(x, y ∈ A e xRy ⇒ yRx)
(T) (∀x)(∀y)(∀z)(x, y, z ∈ A e xRy e yRz ⇒ xRz)

Funções
Notação
Seja R = (G, A, A) é uma relação de equivalência em A. Se x e y
são dois elementos de A tais que x está na relação R com y, em
lugar de escrever (x, y) ∈ G ou xRy costuma-se escrever:
x ≡ y (mod. R) ou x ≡ y(R)
x ∼ y (mod.R) ou x ∼ y(R)
que se lê: “x é equivalente a y módulo R”.
Se, ao invés, os elementos x e y de A não estão na relação R,
escreve-se:
x ̸≡ y (mod. R) ou x ̸≡ y(R)
x ̸∼ y (mod.R) ou x ̸∼ y(R)

Funções
Exemplo
3) Seja a relação R em Z assim definida:
xRy ⇔ 5|(x − y)
Vamos mostrar com detalhe que R é uma relação de
equivalẽncia em Z.

Funções
Definição
Chama-se relação de ordem ou apenas ordem num conjunto não
vazio A a toda relação R = (G, A, A) em A que é reflexiva,
anti-simétrica e transitiva. Em outras palavras, uma relação
R = (G, A, A) em A é uma relação de ordem se possui as seguintes
propriedades:
(R) (∀x)(x ∈ A ⇒ xRx)
(AS) Anti-simétrica
(∀x)(∀y)(x, y ∈ A e xRy e yRx ⇒ x = y)
(T) (∀x)(∀y)(∀z)(x, y, z ∈ A e xRy e yRz ⇒ xRz)

Funções
Exemplo
1) A relação no conjunto R dos números reais definida por
“x ≤ y”é uma ordem em R, denominada ordem natural, pois
possui as três propriedades:
(R) (∀x)(x ∈ R ⇒ x ≤ x)
(AS) (∀x)(∀y)(x, y ∈ R e x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y)
(T)(∀x)(∀y)(∀z)(x, y, z ∈ R e x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z)

Funções
Exemplo
2) A relação no conjunto N dos números naturais definida por
“x|y”( x divide y) é uma ordem em N. Com efeito, x|y
significa que existe um número natural q tal que y = xq, isto
é, simbolicamente:
x|y ⇔ (∃q)(q ∈ N e y = xq)
Por outra parte, subsistem as três propriedades:
(R) (∀x)(x ∈ N ⇒ x|x), porque x = x · 1 (q = 1 ∈ N).
(AS) (∀x)(∀y)(x, y ∈ N e x|y e y|x ⇒ x = y). De fato:
x|y e y|x ⇒ y = xq e x = yq′ ⇒ x = (xq)q′ = x(qq′) ⇒
qq′ = 1 ⇒ q = q′ = 1 ⇒ x = y.

Funções
Grafo Funcional
Conceito de Função
Grafo Funcional
Definição
Diz-se que um grafo F é um grafo funcional se, para todo x, os
pares ordenados (x, y1) e (x, y2) são elementos de F, então
y1 = y2.
Por exemplo, F = {(1, 2), (2, 5), (3, 2), (4, 7)} é um grafo funcional.

Funções
Grafo Funcional
Definição
Diz-se que uma relação binária f = (F, A, B) de A em B é uma
função de A em B se e somente se as duas seguintes condições são
verificadas:
i) O conjunto de partida A de f é igual ao seu domı́nio D(f ),
isto é:
A = D(f ) = pr1F
Segundo esta condição, para todo x ∈ A existe y ∈ B tal que
(x, y) ∈ F:
(∀x)(∃y)(x ∈ A, y ∈ B e (x, y) ∈ F)

Funções
Grafo Funcional
Definição
ii) O grafo F de f é um grafo funcional, isto é:
(x, y1) ∈ F e (x, y2) ∈ F ⇒ y1 = y2
Segundo esta condição, é único o correspondente y ∈ B de
x ∈ A por f .
Uma função f de A em B diz-se também função f definida em A
e como valores em B ou aplicação f de A em B.

Funções
Grafo Funcional
Exemplos de Função
Exemplo
1) Sejam os conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} e o grafo
F = {(a, 2), (b, 2), (c, 1)}
A relação binária f = (F, A, B) é uma função f de A em B,
porque D(f ) = A e F é um grafo funcional.

Funções
Grafo Funcional
Observe-se que:
f
A B
a
b
c
1
2
3
i) cada elemento do conjunto A é a origem de uma única flecha;
ii) todo elemento do conjunto B não é necessariamente
extremidade de flecha;
iii) um mesmO elemento do conjunto B pode ser extremidade de
mais de uma flecha.

Funções
Grafo Funcional
Exemplo
2) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, e, i, o, u} e o grafo
F = {(1, a), (2, i), (3, e), (2, u)}
A relação binária f = (F, A, B) não é uma função f de A em
B, porque F não é um grafo funcional

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