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PROVAS DE TEOREMAS: LÓGICA
MATEMÁTICA
Prof. Dr. Carlos Campani
PROVA DIRETA (IMPLICAÇÃO)
Para provar P → Q (se P então Q), lançar como hipótese P e deduzir Q.
EXEMPLOS
A) Provar que se x é par então y = x + 5 é ı́mpar.
O enunciado é uma implicação P → Q, onde P = “x é par” e Q =
“y = x + 5 é ı́mpar”.
Prova:
1. Assumimos que x é par (hipótese)
2. Então, x = 2k, para k ∈ Z (definição de par)
3. y = x + 5 = 2k + 5 = (2k + 4) + 1 = 2(k + 2) + 1
4. Fazemos n = k + 2, com n ∈ Z
5. Assim, y = 2n + 1, e 2n + 1 é ı́mpar (definição de ı́mpar)
6. Logo, o enunciado está provado.
B) Provar que se um número é ı́mpar então seu quadrado também é ı́mpar,
ou seja, se x é ı́mpar então x2
é ı́mpar.
Prova:
1. Assumimos que x é ı́mpar (hipótese)
2. Então, x = 2k + 1, para k ∈ Z (definição de ı́mpar)
3. x2
= (2k + 1)2
= 4k2
+ 4k + 1 = 2(2k2
+ 2k) + 1
1
4. Como 2k2
e 2k são inteiros, 2k2
+ 2k é um número inteiro. Fazemos
2k2
+ 2k = n, n ∈ Z
5. Assim, x2
= 2n + 1, com n ∈ Z. Então, x2
é ı́mpar.
6. Logo, o enunciado está provado
PROVA DE “SE E SOMENTE SE” (BICONDICIONAL)
Sabemos que P ≡ Q (P se e somente se Q) é o mesmo que
P → Q ∧ Q → P
Ou seja, a prova de P ≡ Q se reduz a duas provas diretas das implicações
P → Q e Q → P.
EXEMPLO
Provar que x é ı́mpar se e somente se x2
+ 2x + 1 é par.
Sentença do tipo P ≡ Q, onde P é “x é ı́mpar” e Q é “x2
+2x+1 é par”.
Neste caso, devemos provar:
1ª parte. Se x é ı́mpar então x2
+ 2x + 1 é par.
2ª parte. Se x2
+ 2x + 1 é par então x é ı́mpar.
Prova:
1ª parte. Assumimos que x é ı́mpar
1. x é ı́mpar [hipótese]
2. x = 2k + 1, k ∈ Z [definição de ı́mpar]
3. x2
+2x+1 = (2k +1)2
+2(2k +1)+1 = 4k2
+8k +4 = 2(2k2
+4k +2).
Como 2k2
∈ Z e 4k ∈ Z, 2k2
+ 4k + 2 = m, m ∈ Z
4. Assim, x2
+ 2x + 1 = 2m, m ∈ Z e x2
+ 2x + 1 é par
2ª parte. Assumimos que x2
+ 2x + 1 é par
1. x2
+ 2x + 1 é par [hipótese]
2. x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
= (x + 1)(x + 1) é par
3. Como o produto de dois números ı́mpares só pode resultar em um
número ı́mpar (provar a parte!), x + 1 deve ser par e x é ı́mpar
2
Logo, o enunciado está provado.
PROVA POR REDUÇÃO AO ABSURDO
Para provar P, assumimos como hipótese ¬P e deduzir uma contradição
A ∧ ¬A.
EXEMPLOS
A) Provar que se x é par então y = x + 5 é ı́mpar.
O enunciado é uma implicação, “se P então Q”, ou P → Q, onde P = “x
é par” e Q = “y = x+5 é ı́mpar”. Sabemos que a negação de uma implicação
P → Q é P ∧ ¬Q. Então, a negação do enunciado a ser provado é “x é par
e y = x + 5 é par”.
Prova:
1. Assumimos x é par e y é par (hipótese)
2. Então, y = x + 5 = 2m, com m ∈ Z (definição de par)
3. Segue-se que x = 2m − 5 = (2m − 6) + 1 = 2(m − 3) + 1
4. Fazemos k = m − 3, com k ∈ Z
5. Assim, x = 2k +1 e x é ı́mpar, o que é uma contradição com a hipótese
que x é par.
6. Logo, o enunciado está provado.
B) Provar que se x2
é ı́mpar então x é ı́mpar.
Prova:
1. x2
é ı́mpar e x é par.
2. Assim, x = 2k, com k ∈ Z
3. x2
= (2k)2
= 4k2
= 2(2k2
)
4. Fazemos 2k2
= n, com n ∈ Z.
5. Então, x2
= 2n e x2
é par, o que contradiz a hipótese que x2
é ı́mpar.
6. Logo, o enunciado está provado.
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PROVAS DE TEOREMAS

  • 1. PROVAS DE TEOREMAS: LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Dr. Carlos Campani PROVA DIRETA (IMPLICAÇÃO) Para provar P → Q (se P então Q), lançar como hipótese P e deduzir Q. EXEMPLOS A) Provar que se x é par então y = x + 5 é ı́mpar. O enunciado é uma implicação P → Q, onde P = “x é par” e Q = “y = x + 5 é ı́mpar”. Prova: 1. Assumimos que x é par (hipótese) 2. Então, x = 2k, para k ∈ Z (definição de par) 3. y = x + 5 = 2k + 5 = (2k + 4) + 1 = 2(k + 2) + 1 4. Fazemos n = k + 2, com n ∈ Z 5. Assim, y = 2n + 1, e 2n + 1 é ı́mpar (definição de ı́mpar) 6. Logo, o enunciado está provado. B) Provar que se um número é ı́mpar então seu quadrado também é ı́mpar, ou seja, se x é ı́mpar então x2 é ı́mpar. Prova: 1. Assumimos que x é ı́mpar (hipótese) 2. Então, x = 2k + 1, para k ∈ Z (definição de ı́mpar) 3. x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 1
  • 2. 4. Como 2k2 e 2k são inteiros, 2k2 + 2k é um número inteiro. Fazemos 2k2 + 2k = n, n ∈ Z 5. Assim, x2 = 2n + 1, com n ∈ Z. Então, x2 é ı́mpar. 6. Logo, o enunciado está provado PROVA DE “SE E SOMENTE SE” (BICONDICIONAL) Sabemos que P ≡ Q (P se e somente se Q) é o mesmo que P → Q ∧ Q → P Ou seja, a prova de P ≡ Q se reduz a duas provas diretas das implicações P → Q e Q → P. EXEMPLO Provar que x é ı́mpar se e somente se x2 + 2x + 1 é par. Sentença do tipo P ≡ Q, onde P é “x é ı́mpar” e Q é “x2 +2x+1 é par”. Neste caso, devemos provar: 1ª parte. Se x é ı́mpar então x2 + 2x + 1 é par. 2ª parte. Se x2 + 2x + 1 é par então x é ı́mpar. Prova: 1ª parte. Assumimos que x é ı́mpar 1. x é ı́mpar [hipótese] 2. x = 2k + 1, k ∈ Z [definição de ı́mpar] 3. x2 +2x+1 = (2k +1)2 +2(2k +1)+1 = 4k2 +8k +4 = 2(2k2 +4k +2). Como 2k2 ∈ Z e 4k ∈ Z, 2k2 + 4k + 2 = m, m ∈ Z 4. Assim, x2 + 2x + 1 = 2m, m ∈ Z e x2 + 2x + 1 é par 2ª parte. Assumimos que x2 + 2x + 1 é par 1. x2 + 2x + 1 é par [hipótese] 2. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) é par 3. Como o produto de dois números ı́mpares só pode resultar em um número ı́mpar (provar a parte!), x + 1 deve ser par e x é ı́mpar 2
  • 3. Logo, o enunciado está provado. PROVA POR REDUÇÃO AO ABSURDO Para provar P, assumimos como hipótese ¬P e deduzir uma contradição A ∧ ¬A. EXEMPLOS A) Provar que se x é par então y = x + 5 é ı́mpar. O enunciado é uma implicação, “se P então Q”, ou P → Q, onde P = “x é par” e Q = “y = x+5 é ı́mpar”. Sabemos que a negação de uma implicação P → Q é P ∧ ¬Q. Então, a negação do enunciado a ser provado é “x é par e y = x + 5 é par”. Prova: 1. Assumimos x é par e y é par (hipótese) 2. Então, y = x + 5 = 2m, com m ∈ Z (definição de par) 3. Segue-se que x = 2m − 5 = (2m − 6) + 1 = 2(m − 3) + 1 4. Fazemos k = m − 3, com k ∈ Z 5. Assim, x = 2k +1 e x é ı́mpar, o que é uma contradição com a hipótese que x é par. 6. Logo, o enunciado está provado. B) Provar que se x2 é ı́mpar então x é ı́mpar. Prova: 1. x2 é ı́mpar e x é par. 2. Assim, x = 2k, com k ∈ Z 3. x2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2 ) 4. Fazemos 2k2 = n, com n ∈ Z. 5. Então, x2 = 2n e x2 é par, o que contradiz a hipótese que x2 é ı́mpar. 6. Logo, o enunciado está provado. 3