Semana 13

Relações Binárias
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

Relação Recı́proca
Operações com relações
Dominio e imagem de uma relação
Sejam A e B dois conjuntos.
Definição
Chama-se relação binária de A em B ou apenas relação binária de
A em B toda a terna ordenada R = (G, A, B), onde G é um grafo
tal que G ⊂ A × B.
Diz-se que G é o grafo de R, A o conjunto de partida e B o
conjunto de chegada de R.
Se (x, y) ∈ G, diz-se que “y é correspondente de x pela relação
R”, o que se indica pela notação xRy. Portanto,
(x, y) ∈ G ⇔ xRy
Se, ao invés, (x, y) /
∈ G, escreve-se também xR
/y.
Portanto, (x, y) /
∈ G ⇔ xR
/y
Prof. Liliana Jurado Semana 13

Definição
No caso particular em que B = A, isto é, em que R = (G, A, A),
diz-se que R é uma relação binária em A ou apenas que R é uma
relação em A.
Duas relações, R = (G, A, B) e S = (H, C, D) dizem-se iguais se, e
somente se, G = H e A = C e B = D.
Exemplo
A terna ordenada R = ((A × B), A, B) é uma relação de A em
B, cujo grafo é o produto cartesiano A × B(G = A × B).

Exemplo
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. A terna
ordenada R = (G, A, B), onde G é o grafo:
G = {(x, y) ∈ A × B | x + 1 < y}
é uma relação de A em B, que também pode escrever-se:
R = ({(x, y) ∈ A × B | x + 1 < y}, A, B)
Como (1, 3) ∈ G, (2, 3) /
∈ G, (2, 4) ∈ G e (3, 3) /
∈ G, temos:
1R3, 2R
/3, 2R4, 3R
/3

Sejam R e S relações de A em B cujos grafos respectivos são G e
H:
R = (G, A, B) e S = (H, A, B)
Sobre R e S efetuam-se as operações usuais de interseção, reunião,
complementação e diferença.
R ∩ S = (G ∩ H, A, B) , R ∪ S = (G ∪ H, A, B)
CA×BR = (CA×BG, A, B) , R − S = (G − H, A, B)
R∆S = (G∆H, A, B)

Exemplo
Sejam as relações R e S de A = {1, 2, 3} em B = {3, 4} cujos
grafos respectivos são:
G = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} H = {(1, 3), (1, 4), (3, 3)}
Temos:
R ∩ S = ({1, 3), (1, 4)}, A, B)
R ∪ S = ({(1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 3)}, A, B)
R − S = ({(2, 4)}, A, B)
R∆S = ({(2, 4), (3, 3)}, A, B)
CA×BR = ({(2, 3), (3, 3), (3, 4)}, A, B)

Definição
Chama-se dominio de uma relação R = (G, A, B) de A em B a
primeira projeção do seu grafo G.
Representa-se pela notação D(R). Portanto, D(R) = pr1G, isto é,
simbolicamente
D(R) = {x ∈ A | (∃y)(y ∈ B e (x, y) ∈ G)}
Em outras palavras,
D(R) = {x | (x, y) ∈ G}
Como pr1G ⊂ A, segue-se que D(R) ⊂ A.

Definição
Chama-se imagem de uma relação R = (G, A, B) de A em B a
segunda projeção do seu grafo G.
Representa-se pela notação I(R). Portanto, I(R) = pr2G, isto é,
simbolicamente
I(R) = {y ∈ B | (∃x)(x ∈ A e (x, y) ∈ G)}
Em outras palavras,
I(R) = {y | (x, y) ∈ G}
Como pr2G ⊂ B, segue-se que I(R) ⊂ B.

Exemplo
1 Seja a relação R de A = {1, 2, 3, 4} em B = {a, b, c} definida
pelo grafo:
G = {(2, a), (4, a), (4, c)}
Temos: D(R) = {2, 4}, I(R) = {a, c}
2 Seja a relação S no conjunto R dos números reais cujo grafo é:
G = {(x, y) ∈ R × R | 4x2
+ 9y2
= 36}
Temos aqui: 0 ≤ 4x2 ≤ 4x2 + 9y2 = 36, 0 ≤ x2 ≤ 9
D(S) = {x ∈ R | − 3 ≤ x ≤ 3} = [−3, 3]
I(S) = {y ∈ R | − 2 ≤ y ≤ 2} = [−2, 2]

Propriedades da relação recı́proca
Imagem recı́proca de um conjunto por uma relação
Seja R = (G, A, B) uma relação de A em B. Como o grafo
recı́proco G−1 de G está contido em B × A ( G−1 ⊂ B × A), a
terna ordenada (G−1, B, A) é uma relação de B em A.
Definição
Chama-se relação recı́proca de uma relação R = (G, A, B) de A
em B, a relação (G−1, B, A) de B em A.
A relação recı́proca de R representa-se pela notação R−1.
Portanto, temos R−1 = (G−1, B, A), onde
G−1 = {(y, x)|(x, y) ∈ G}

(P1) A relação recı́proca de R−1 é a relação R, isto é:
(R−1)−1 = R.
(P2) O dominio de R−1 é igual à imagem de R, isto é:
D(R−1) = I(R).
(P3) A imagem de R−1 é igual ao dominio de R, isto é:
I(R−1) = D(R).

Exemplo
1 Seja a relação R de A = {1, 2, 3} e, B = {a, b} cujo grafo é:
G = {(1, a), (1, b), (3, a)}
A relação recı́proca de R é a relação R−1
de B em A cujo grafo é:
G−1
= {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}

Imagem de um conjunto por uma relação
Seja R = (G, A, B) uma relação de A em B e seja X uma parte de
A(X ⊂ A).
Definição
Chama-se imagem de X pela relação R o conjunto de todos os
elementos y de B para os quais existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação R(X). Portanto,
simbolicamente:
R(X) = {y ∈ B | (∃x)(x ∈ X e (x, y) ∈ G)}

Imagem de um conjunto por uma relação
Exemplo
Sejam os conjuntos:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 19, 33}, B = {1, 3, 7, 10, 11, 13, 17}
e as duas partes de A:
X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11}
Consideremos a relação R de A em B definida pelo grafo:
G = {(x, y) ∈ A × B | x|y}
= {(2, 10), (3, 3), (5, 10), (7, 7), (11, 11)}
Temos:
R(X) = {3, 7, 10} e R(Y ) = {3, 10, 11}

Seja R = (G, A, B) uma relação de A em B e seja Y uma parte de
B(Y ⊂ B).
Definição
Chama-se imagem recı́proca de Y pela relação R a imagem
R−1(Y ) de Y pela relação recı́proca R−1 = (G−1, B, A) de R.
Em outros termos, a imagem recı́proca R−1(Y ) de Y pela relação
R é o conjunto de todos os elementos x ∈ A para os quais existe
y ∈ Y tal que (y, x) ∈ G−1 ou (x, y) ∈ G.
Simbolicamente,
R−1
(Y ) = {x ∈ A | (∃y)(y ∈ Y e (x, y) ∈ G)}

Exemplo
Seja a relação R de A = {1, 2, 3} em B = {a, b, c, d} cujo grafo é:
G = {(1, a), (2, b), (3, c), (3, d)}
Considerando as partes de B: Y = {b, c, d} e Z = {c, d}, temos:
R−1
(Y ) = {2, 3} e R−1
(Z) = {3}
Pois G−1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)}

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