1) O documento descreve como calcular a área entre curvas e o volume de sólidos de revolução usando integrais. 2) A área entre duas curvas f(x) e g(x) é calculada como a integral de |f(x)-g(x)| no intervalo considerado. 3) O volume de um sólido de revolução é calculado como a integral da área da seção transversal A(x) em relação ao eixo de rotação.

1. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Área Entre Curvas
Usaremos integrais para determinar a área de regiões entre gráficos de
duas funções.
Consideremos a região entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as
retas verticais x = a e x = b, em que as funções são contı́nuas e f(x) ≥ g(x).
Dividimos a região em retângulos, de forma que o i-ésimo retângulo possui
base ∆x e altura f(x∗
i ) − g(x∗
i ), como ilustrado nos dois gráficos a seguir.
1

2. Assim,
n
X
i=1
[f(x∗
i ) − g(x∗
i )]∆x
é uma aproximação da área da região usando somas de Riemann. Podemos
tomar o limite em que n → ∞ para obter a área da região:
A = lim
n→∞
n
X
i=1
[f(x∗
i ) − g(x∗
i )]∆x
A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas
retas x = a e x = b, onde f e g são contı́nuas e f(x) ≥ g(x) para todo x
em [a, b], é
A =
Z b
a
[f(x) − g(x)]dx
EXEMPLOS
1. Encontrar a área da região limitada acima por y = ex
, e abaixo por
y = x, e limitada nos lados por x = 0 e x = 1.
A =
Z 1
0
(ex
− x)dx = ex
−
x2
2
1
0
= e −
1
2
− 1 = e −
3
2
≈ 1, 218
2. Encontrar a área da região entre as parábolas f(x) = x2
e g(x) =
2x − x2
.
2

3. Precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção das parábolas,
resolvendo a equação f(x) = g(x):
x2
= 2x − x2
x2
− x = 0
x(x − 1) = 0
e as raı́zes são x = 0 e x = 1. Assim, os pontos de interseção são (0, 0)
e (1, 1).
Para determinar qual curva está acima, basta calcular o valor de cada
uma das funções dentro do intervalo [0, 1], por exemplo em 1/2:
f(1/2) = (1/2)2
= 1/4
e
g(1/2) = 2.1/2 − (1/2)2
= 3/4
Assim, g(x) ≥ f(x) no intervalo [0, 1]. Então,
A =
Z 1
0
[g(x) − f(x)]dx =
Z 1
0
(2x − x2
− x2
)dx =
Z 1
0
(2x − 2x2
)dx =
= 2
Z 1
0
(x − x2
)dx = 2
x2
2
−
x3
3
1
0
= 2
1
2
−
1
3
= 1 −
2
3
=
1
3
A determinação dos pontos de interseção de duas funções pode ser uma
tarefa muito difı́cil de resolver algebricamente. Por exemplo, para as
curvas definidas pelas funções y = x
√
x2+1
e y = x4
− x, terı́amos de
resolver a equação
x
√
x2 + 1
= x4
− x
que é uma equação muito difı́cil de resolver. Nestes casos, podemos bus-
car auxı́lio computacional, fazendo uso de algum aplicativo matemático
para determinar numericamente estes pontos de interseção.
3. Determinar a área entre as curvas das funções y =
√
x + 2 e y = 1
x+1
entre x = 0 e x = 2, como ilustrado na figura.
3

4. Então,
Z 2
0
√
x + 2 −
1
x + 1
dx =
Z 2
0
√
x + 2dx −
Z 2
0
dx
x + 1
Fazemos u = x + 2, du = dx, v = x + 1 e dv = dx. Assim,
• Para x = 0, u = 2 e v = 1
• Para x = 2, u = 4 e v = 3
Segue-se que
Z 2
0
√
x + 2dx −
Z 2
0
dx
x + 1
=
Z 4
2
u1/2
du −
Z 3
1
dv
v
=
2u3/2
3
4
2
− ln v|3
1 =
16
3
−
4
√
2
3
− ln 3 ≈ 2, 349
Para determinar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde
f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x e g(x) ≥ f(x) para outros valores de x,
dividimos a região S dada em regiões S1, S2, S3, . . . , com áreas A1, A2, A3, . . . ,
então A = A1 + A2 + A3 + . . . . Sabemos que
|f(x) − g(x)| =
f(x) − g(x) se f(x) ≥ g(x)
g(x) − f(x) se g(x) ≥ f(x)
Assim, podemos definir a área das regiões como segue.
4

5. A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é
Z b
a
|f(x) − g(x)|dx
EXEMPLO
Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = sinx, y = cos x,
x = 0 e x = π/2.
Os pontos de interseção das duas curvas podem ser determinados resolven-
do-se sin x = cos x. Assim, o único ponto de interseção no intervalo [0, π/2]
ocorre em x = π/4. Observe-se que cos x ≥ sin x quando 0 ≤ x ≤ π/4 e
sin x ≥ cos x quando π/4 ≤ x ≤ π/2. Então,
A =
Z π/2
0
| cos x−sin x|dx =
Z π/4
0
(cos x−sin x)dx+
Z π/2
π/4
(sin x−cos x)dx =
= [sin x + cos x]π/4
0 + [− cos x − sin x]
π/2
π/4 =
=
1
√
2
+
1
√
2
− 0 − 1
+
0 − 1 +
1
√
2
+
1
√
2
= 2
√
2 − 2 ≈ 0, 828
5

6. 2 Volumes
SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta do plano, obtemos
um sólido, que é chamado de sólido de revolução. Por exemplo, a primeira
figura mostra o cone resultante da rotação, em torno do eixo x, da região de-
limitada pela função y = x, o eixo x, x = 0 e x = 4. A segunda figura mostra
o cilı́ndro resultante da rotação, em torno do eixo y, da região delimitada
pela função y = 3, o eixo x, x = 0 e x = 1.
6

7. Na figura seguinte é ilustrado o sólido gerado por rotação em torno do
eixo x da região delimitada pela função arbitrária y = f(x), no intervalo
[a, b].
CÁLCULO DO VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
As figuras a seguir ilustram como podemos dividir o volume do sólido de
revolução em n fatias cilı́ndricas, com A(x∗
i ) como área da base do i-ésimo
cilı́ndro e altura ∆x. Assim o volume da i-ésima fatia Si é
V (Si) = A(x∗
i )∆x
O volume total pode ser aproximado pela soma do volume das n fatias:
V =
n
X
i=1
A(x∗
i )∆x
7

8. Podemos obter o volume do sólido tomando o limite para n → ∞.
DEFINIÇÃO DO VOLUME
Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da seção
transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x,
é A(x), onde A é uma função contı́nua, então o volume de S é
V = lim
n→∞
n
X
i=1
A(x∗
i )∆x =
Z b
a
A(x)dx
EXEMPLOS
1. Mostrar que o volume de uma esfera de raio r é V = 4
3
πr3
.
Assumimos que o centro da esfera está na origem. Então, o plano P,
intercepta a esfera em um cı́rculo cujo raio é y =
√
r2 − x2 (por meio
de Pitágoras, x2
+ y2
= r2
).
8

9. Então, a área da seção transversal é
A(x) = πy2
= π(r2
− x2
)
Como a esfera está centrada na origem, a = −r e b = r. Assim,
V =
Z r
−r
A(x)dx =
Z r
−r
π(r2
− x2
)dx
Pela propriedade da simetria em relação ao eixo x,
Z r
−r
π(r2
− x2
)dx = 2
Z r
0
π(r2
− x2
)dx
Logo,
V =
Z r
−r
A(x)dx = 2π
Z r
0
(r2
− x2
)dx = 2π
r2
x −
x3
3
r
0
=
= 2π
r3
−
r3
3
=
4
3
πr3
2. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x
da região sob a curva y =
√
x de 0 até 1.
A seguinte figura ilustra o problema.
9

10. As fatias são cilı́ndros de raio
√
x. A área dessa seção transversal é
A(x) = π(
√
x)2
= πx
O volume do cilı́ndro aproximante (disco de espessura ∆x) é
A(x)∆x = πx∆x
O volume do sólido é
V =
Z b
a
A(x)dx =
Z 1
0
πxdx =
πx2
2
1
0
=
π
2
3. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região
limitada por y = x3
, y = 8 e x = 0 em torno do eixo y.
A região e o sólido são ilustrados na seguinte figura.
Como a rotação foi feita ao redor do eixo y, faz mais sentido fatiar o
sólido perpendicularmente ao eixo y e integrar em relação a y, como
ilustrado na figura anterior.
O raio da fatia é x = 3
√
y. Então,
A(y) = πx2
= π( 3
√
y)2
= πy2/3
10

11. O volume do cilı́ndro aproximante é
A(y)∆y = πy2/3
∆y
Assim, o volume do sólido entre y = 0 e y = 8 é
Z 8
0
A(y)dy =
Z 8
0
πy2/3
dy = π
3
5
y5/3
8
0
=
96π
5
4. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x
da região limitada pelas curvas y = x e y = x2
.
As curvas interceptam-se nos pontos (0, 0) e (1, 1). Como podemos ver
na figura, a função y = x está acima da função y = x2
no intervalo
[0, 1]. A seção transversal no plano P, perpendicular ao eixo x, tem
o formato de arruela (ou anel) com raio interno x2
e raio externo x.
Então, a área da seção transversal pode ser obtida pela diferença entre
a área interna e a externa:
A(x) = πx2
− π(x2
)2
= π(x2
− x4
)
Assim,
V =
Z 1
0
A(x)dx =
Z 1
0
π(x2
− x4
)dx = π
x3
3
−
x5
5
1
0
=
2π
15
5. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região do exemplo
anterior em torno da reta y = 2.
O sólido e a seção trnasversal são mostrados na figura seguite.
11

12. A seção transversal é uma arruela, cujo raio interno é 2 − x e o raio
externo é 2 − x2
. Então,
A(x) = π(2 − x2
)2
− π(2 − x)2
V =
Z 1
0
A(x)dx = π
Z 1
0
[(2 − x2
)2
− (2 − x)2
]dx =
= π
Z 1
0
(x4
− 5x2
+ 4x)dx = π
x5
5
− 5
x3
3
+ 4
x2
2
1
0
=
8π
15
3 Trabalho
Trabalho é um conceito fı́sico que, em uma abordagem leiga, indica a
quantidade de esforço necessário para executar uma tarefa, como, por exem-
plo, o trabalho necessário aplicando uma força em um objeto para que o
objeto seja deslocado no espaço. A Força é definida como:
F = ma
Onde: F é a força (medida em newtons, N), m é a massa do objeto (medida
em kilogramas, Kg) e a é a aceleração (medida em metros por segundo, m/s)
12

13. Na Fı́sica, o trabalho é definido como:
W = Fd
Onde: W é o trabalho (medido em joules, J), F é a força aplicada (medida
em newtons, N) e d é a distância percorrida pelo objeto (medida em metros,
m).
Consideremos que a força aplicada no objeto possa variar ao longo do
percurso do objeto, de a até b, segundo uma função f(x), contı́nua em [a, b].
Podemos dividir o percurso em pontos amostrais x∗
i . Assim, o trabalho em
cada um destes segmentos do trajeto é
Wi ≈ f(x∗
i )∆x
Logo,
W ≈
n
X
i=1
f(x∗
i )∆x
Tomando o limite quando n → ∞:
W = lim
n→∞
n
X
i=1
f(x∗
i )∆x =
Z b
a
f(x)dx
EXEMPLO
Quando uma partı́cula está localizada a uma distância de x metros da
origem, uma força de x2
+ 2x newtons é aplicada sobre ela. Quanto trabalho
é realizado movendo a partı́cula de x = 1 a x = 3?
W =
Z 3
1
(x2
+ 2x)dx =
x3
3
+ x2
3
1
=
50
3
= 16, 67
Então, o trabalho realizado é de 16,67 J.
4 Comprimento de arco
A determinação do comprimento da curva do gráfico de uma função seria
como colocar um barbante sobre a curva e depois medir o comprimento do
barbante. Se a curva é poligonal, podemos facilmente encontrar seu compri-
mento somando os comprimentos dos segmentos que formam a curva.
13

14. Sabemos calcular a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no
plano:
d =
p
(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2
Seja a função f, definida no intervalo [0, 4], cujo gráfico é ilustrado na
figura seguinte:
f(x) =



x + 1 se 0 ≤ x 1
2x se 1 ≤ x 3
6 se 3 ≤ x ≤ 4
Observe-se que a curva desta função é poligonal. Então, podemos deter-
minar o comprimento total como sendo o comprimento dos segmentos [0, 1],
[1, 3] e [3, 4]:
L =
p
(2 − 1)2 + (1 − 0)2 +
p
(6 − 2)2 + (3 − 1)2 +
p
(6 − 6)2 + (4 − 3)2 =
=
√
2 +
√
20 + 1 ≈ 6, 886
14

15. Suponha que uma curva C seja definida pela equação y = f(x), onde f
é contı́nua em a ≤ x ≤ b. Obtemos uma poligonal de aproximação para C
dividindo o intervalo [a, b] em subintervalos com extremidades x0, x1, . . . , xn
e com larguras iguais a ∆x. Se yi = f(xi), então o ponto P(xi, yi) está em C
e a poligonal com vértices P0, P1, . . . , Pn é uma aproximação para C, como
mostra a figura seguinte.
Definimos o comprimento L da curva C, com equação y = f(x), a ≤ x ≤
b, como o seguinte limite:
L = lim
n→∞
n
X
i=1
|Pi−1Pi|
|Pi−1Pi| =
p
(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 =
p
(∆x)2 + (∆y)2
Sabemos, pelo Teorema do Valor Médio, que
f(xi) − f(xi−1) = f′
(x∗
i )(xi − xi−1)
ou seja,
∆yi = f′
(x∗
i )∆x
Então,
|Pi−1Pi| =
p
(∆x)2 + (∆yi)2 =
p
(∆x)2 + (f′(x∗
i )∆x)2 =
=
p
1 + (f′(x∗
i ))2
p
(∆x)2 =
p
1 + (f′(x∗
i ))2∆x
Portanto,
L = lim
n→∞
n
X
i=1
p
1 + (f′(x∗
i ))2∆x =
Z b
a
p
1 + (f′(x))2dx
15

16. FÓRMULA DO COMPRIMENTO DE ARCO
Se f′
for contı́nua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x),
a ≤ x ≤ b é
L =
Z b
a
s
1 +
dy
dx
2
dx
Observe-se que esta integral pode ser muito difı́cil, ou impossı́vel, de
calcular. Frequentemente faz-se uso de aproximações numéricas para evitar
estas dificuldades.
EXEMPLOS
1. Calcular o comprimento da curva de y2
= x3
entre os pontos (1, 1) e
(4, 8).
Para valores positivos de y,
y = x3/2
dy
dx
=
3
2
x1/2
Logo,
L =
Z 4
1
s
1 +
3
2
x1/2
2
dx =
Z 4
1
r
1 +
9
4
xdx
Fazemos u = 1 + 9
4
x e du = 9
4
dx.
• Para x = 1, u = 13
4
• Para x = 4, u = 10
Portanto,
L =
4
9
Z 10
13/4
√
udu =
4
9
Z 10
13/4
u1/2
du =
4
9
.
u3/2
3/2
10
13/4
=
4
9
.
2
3
u3/2
10
13/4
=
=
8
27
u3/2
10
13/4
=
1
27
(80
√
10 − 13
√
13) ≈ 7, 634
16

17. 2. Achar o comprimento da curva de y2
= 4(x + 4)3
, 0 ≤ x ≤ 2, y 0.
y = 2(x + 4)3/2
dy
dx
= 2
3
2
(x + 4)1/2
= 3(x + 4)1/2
L =
Z 2
0
p
1 + 9(x + 4)dx =
Z 2
0
√
9x + 37dx
Fazemos u = 9x + 37, du = 9dx e dx = du
9
.
• Para x = 0, u = 37
• Para x = 2, u = 55
Então,
L =
Z 55
37
√
u
du
9
=
1
9
Z 55
37
u1/2
du =
1
9
u3/2
3/2
55
37
=
2
27
u3/2
55
37
=
=
2
27
√
553 −
√
373
≈ 13, 54
17