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Aplicações da integração

polígrafo

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APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Área Entre Curvas
Usaremos integrais para determinar a área de regiões entre gráficos de
duas funções.
Consideremos a região entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as
retas verticais x = a e x = b, em que as funções são contı́nuas e f(x) ≥ g(x).
Dividimos a região em retângulos, de forma que o i-ésimo retângulo possui
base ∆x e altura f(x∗
i ) − g(x∗
i ), como ilustrado nos dois gráficos a seguir.
1
Assim,
n
X
i=1
[f(x∗
i ) − g(x∗
i )]∆x
é uma aproximação da área da região usando somas de Riemann. Podemos
tomar o limite em que n → ∞ para obter a área da região:
A = lim
n→∞
n
X
i=1
[f(x∗
i ) − g(x∗
i )]∆x
A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas
retas x = a e x = b, onde f e g são contı́nuas e f(x) ≥ g(x) para todo x
em [a, b], é
A =
Z b
a
[f(x) − g(x)]dx
EXEMPLOS
1. Encontrar a área da região limitada acima por y = ex
, e abaixo por
y = x, e limitada nos lados por x = 0 e x = 1.
A =
Z 1
0
(ex
− x)dx = ex
−
x2
2
1
0
= e −
1
2
− 1 = e −
3
2
≈ 1, 218
2. Encontrar a área da região entre as parábolas f(x) = x2
e g(x) =
2x − x2
.
2
Precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção das parábolas,
resolvendo a equação f(x) = g(x):
x2
= 2x − x2
x2
− x = 0
x(x − 1) = 0
e as raı́zes são x = 0 e x = 1. Assim, os pontos de interseção são (0, 0)
e (1, 1).
Para determinar qual curva está acima, basta calcular o valor de cada
uma das funções dentro do intervalo [0, 1], por exemplo em 1/2:
f(1/2) = (1/2)2
= 1/4
e
g(1/2) = 2.1/2 − (1/2)2
= 3/4
Assim, g(x) ≥ f(x) no intervalo [0, 1]. Então,
A =
Z 1
0
[g(x) − f(x)]dx =
Z 1
0
(2x − x2
− x2
)dx =
Z 1
0
(2x − 2x2
)dx =
= 2
Z 1
0
(x − x2
)dx = 2

x2
2
−
x3
3
1
0
= 2

1
2
−
1
3

= 1 −
2
3
=
1
3
A determinação dos pontos de interseção de duas funções pode ser uma
tarefa muito difı́cil de resolver algebricamente. Por exemplo, para as
curvas definidas pelas funções y = x
√
x2+1
e y = x4
− x, terı́amos de
resolver a equação
x
√
x2 + 1
= x4
− x
que é uma equação muito difı́cil de resolver. Nestes casos, podemos bus-
car auxı́lio computacional, fazendo uso de algum aplicativo matemático
para determinar numericamente estes pontos de interseção.
3. Determinar a área entre as curvas das funções y =
√
x + 2 e y = 1
x+1
entre x = 0 e x = 2, como ilustrado na figura.
3
Então,
Z 2
0

√
x + 2 −
1
x + 1

dx =
Z 2
0
√
x + 2dx −
Z 2
0
dx
x + 1
Fazemos u = x + 2, du = dx, v = x + 1 e dv = dx. Assim,
• Para x = 0, u = 2 e v = 1
• Para x = 2, u = 4 e v = 3
Segue-se que
Z 2
0
√
x + 2dx −
Z 2
0
dx
x + 1
=
Z 4
2
u1/2
du −
Z 3
1
dv
v
=
2u3/2
3
4
2
− ln v|3
1 =
16
3
−
4
√
2
3
− ln 3 ≈ 2, 349
Para determinar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde
f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x e g(x) ≥ f(x) para outros valores de x,
dividimos a região S dada em regiões S1, S2, S3, . . . , com áreas A1, A2, A3, . . . ,
então A = A1 + A2 + A3 + . . . . Sabemos que
|f(x) − g(x)| =

f(x) − g(x) se f(x) ≥ g(x)
g(x) − f(x) se g(x) ≥ f(x)
Assim, podemos definir a área das regiões como segue.
4
A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é
Z b
a
|f(x) − g(x)|dx
EXEMPLO
Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = sinx, y = cos x,
x = 0 e x = π/2.
Os pontos de interseção das duas curvas podem ser determinados resolven-
do-se sin x = cos x. Assim, o único ponto de interseção no intervalo [0, π/2]
ocorre em x = π/4. Observe-se que cos x ≥ sin x quando 0 ≤ x ≤ π/4 e
sin x ≥ cos x quando π/4 ≤ x ≤ π/2. Então,
A =
Z π/2
0
| cos x−sin x|dx =
Z π/4
0
(cos x−sin x)dx+
Z π/2
π/4
(sin x−cos x)dx =
= [sin x + cos x]π/4
0 + [− cos x − sin x]
π/2
π/4 =
=

1
√
2
+
1
√
2
− 0 − 1

+

0 − 1 +
1
√
2
+
1
√
2

= 2
√
2 − 2 ≈ 0, 828
5
2 Volumes
SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta do plano, obtemos
um sólido, que é chamado de sólido de revolução. Por exemplo, a primeira
figura mostra o cone resultante da rotação, em torno do eixo x, da região de-
limitada pela função y = x, o eixo x, x = 0 e x = 4. A segunda figura mostra
o cilı́ndro resultante da rotação, em torno do eixo y, da região delimitada
pela função y = 3, o eixo x, x = 0 e x = 1.
6
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  • 1. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO Prof. Dr. Carlos A. P. Campani 1 Área Entre Curvas Usaremos integrais para determinar a área de regiões entre gráficos de duas funções. Consideremos a região entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais x = a e x = b, em que as funções são contı́nuas e f(x) ≥ g(x). Dividimos a região em retângulos, de forma que o i-ésimo retângulo possui base ∆x e altura f(x∗ i ) − g(x∗ i ), como ilustrado nos dois gráficos a seguir. 1
  • 2. Assim, n X i=1 [f(x∗ i ) − g(x∗ i )]∆x é uma aproximação da área da região usando somas de Riemann. Podemos tomar o limite em que n → ∞ para obter a área da região: A = lim n→∞ n X i=1 [f(x∗ i ) − g(x∗ i )]∆x A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas retas x = a e x = b, onde f e g são contı́nuas e f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b], é A = Z b a [f(x) − g(x)]dx EXEMPLOS 1. Encontrar a área da região limitada acima por y = ex , e abaixo por y = x, e limitada nos lados por x = 0 e x = 1. A = Z 1 0 (ex − x)dx = ex − x2 2 1 0 = e − 1 2 − 1 = e − 3 2 ≈ 1, 218 2. Encontrar a área da região entre as parábolas f(x) = x2 e g(x) = 2x − x2 . 2
  • 3. Precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção das parábolas, resolvendo a equação f(x) = g(x): x2 = 2x − x2 x2 − x = 0 x(x − 1) = 0 e as raı́zes são x = 0 e x = 1. Assim, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1). Para determinar qual curva está acima, basta calcular o valor de cada uma das funções dentro do intervalo [0, 1], por exemplo em 1/2: f(1/2) = (1/2)2 = 1/4 e g(1/2) = 2.1/2 − (1/2)2 = 3/4 Assim, g(x) ≥ f(x) no intervalo [0, 1]. Então, A = Z 1 0 [g(x) − f(x)]dx = Z 1 0 (2x − x2 − x2 )dx = Z 1 0 (2x − 2x2 )dx = = 2 Z 1 0 (x − x2 )dx = 2 x2 2 − x3 3 1 0 = 2 1 2 − 1 3 = 1 − 2 3 = 1 3 A determinação dos pontos de interseção de duas funções pode ser uma tarefa muito difı́cil de resolver algebricamente. Por exemplo, para as curvas definidas pelas funções y = x √ x2+1 e y = x4 − x, terı́amos de resolver a equação x √ x2 + 1 = x4 − x que é uma equação muito difı́cil de resolver. Nestes casos, podemos bus- car auxı́lio computacional, fazendo uso de algum aplicativo matemático para determinar numericamente estes pontos de interseção. 3. Determinar a área entre as curvas das funções y = √ x + 2 e y = 1 x+1 entre x = 0 e x = 2, como ilustrado na figura. 3
  • 4. Então, Z 2 0 √ x + 2 − 1 x + 1 dx = Z 2 0 √ x + 2dx − Z 2 0 dx x + 1 Fazemos u = x + 2, du = dx, v = x + 1 e dv = dx. Assim, • Para x = 0, u = 2 e v = 1 • Para x = 2, u = 4 e v = 3 Segue-se que Z 2 0 √ x + 2dx − Z 2 0 dx x + 1 = Z 4 2 u1/2 du − Z 3 1 dv v = 2u3/2 3 4 2 − ln v|3 1 = 16 3 − 4 √ 2 3 − ln 3 ≈ 2, 349 Para determinar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x e g(x) ≥ f(x) para outros valores de x, dividimos a região S dada em regiões S1, S2, S3, . . . , com áreas A1, A2, A3, . . . , então A = A1 + A2 + A3 + . . . . Sabemos que |f(x) − g(x)| = f(x) − g(x) se f(x) ≥ g(x) g(x) − f(x) se g(x) ≥ f(x) Assim, podemos definir a área das regiões como segue. 4
  • 5. A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é Z b a |f(x) − g(x)|dx EXEMPLO Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = sinx, y = cos x, x = 0 e x = π/2. Os pontos de interseção das duas curvas podem ser determinados resolven- do-se sin x = cos x. Assim, o único ponto de interseção no intervalo [0, π/2] ocorre em x = π/4. Observe-se que cos x ≥ sin x quando 0 ≤ x ≤ π/4 e sin x ≥ cos x quando π/4 ≤ x ≤ π/2. Então, A = Z π/2 0 | cos x−sin x|dx = Z π/4 0 (cos x−sin x)dx+ Z π/2 π/4 (sin x−cos x)dx = = [sin x + cos x]π/4 0 + [− cos x − sin x] π/2 π/4 = = 1 √ 2 + 1 √ 2 − 0 − 1 + 0 − 1 + 1 √ 2 + 1 √ 2 = 2 √ 2 − 2 ≈ 0, 828 5
  • 6. 2 Volumes SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta do plano, obtemos um sólido, que é chamado de sólido de revolução. Por exemplo, a primeira figura mostra o cone resultante da rotação, em torno do eixo x, da região de- limitada pela função y = x, o eixo x, x = 0 e x = 4. A segunda figura mostra o cilı́ndro resultante da rotação, em torno do eixo y, da região delimitada pela função y = 3, o eixo x, x = 0 e x = 1. 6
  • 7. Na figura seguinte é ilustrado o sólido gerado por rotação em torno do eixo x da região delimitada pela função arbitrária y = f(x), no intervalo [a, b]. CÁLCULO DO VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO As figuras a seguir ilustram como podemos dividir o volume do sólido de revolução em n fatias cilı́ndricas, com A(x∗ i ) como área da base do i-ésimo cilı́ndro e altura ∆x. Assim o volume da i-ésima fatia Si é V (Si) = A(x∗ i )∆x O volume total pode ser aproximado pela soma do volume das n fatias: V = n X i=1 A(x∗ i )∆x 7
  • 8. Podemos obter o volume do sólido tomando o limite para n → ∞. DEFINIÇÃO DO VOLUME Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contı́nua, então o volume de S é V = lim n→∞ n X i=1 A(x∗ i )∆x = Z b a A(x)dx EXEMPLOS 1. Mostrar que o volume de uma esfera de raio r é V = 4 3 πr3 . Assumimos que o centro da esfera está na origem. Então, o plano P, intercepta a esfera em um cı́rculo cujo raio é y = √ r2 − x2 (por meio de Pitágoras, x2 + y2 = r2 ). 8
  • 9. Então, a área da seção transversal é A(x) = πy2 = π(r2 − x2 ) Como a esfera está centrada na origem, a = −r e b = r. Assim, V = Z r −r A(x)dx = Z r −r π(r2 − x2 )dx Pela propriedade da simetria em relação ao eixo x, Z r −r π(r2 − x2 )dx = 2 Z r 0 π(r2 − x2 )dx Logo, V = Z r −r A(x)dx = 2π Z r 0 (r2 − x2 )dx = 2π r2 x − x3 3 r 0 = = 2π r3 − r3 3 = 4 3 πr3 2. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = √ x de 0 até 1. A seguinte figura ilustra o problema. 9
  • 10. As fatias são cilı́ndros de raio √ x. A área dessa seção transversal é A(x) = π( √ x)2 = πx O volume do cilı́ndro aproximante (disco de espessura ∆x) é A(x)∆x = πx∆x O volume do sólido é V = Z b a A(x)dx = Z 1 0 πxdx = πx2 2 1 0 = π 2 3. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por y = x3 , y = 8 e x = 0 em torno do eixo y. A região e o sólido são ilustrados na seguinte figura. Como a rotação foi feita ao redor do eixo y, faz mais sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e integrar em relação a y, como ilustrado na figura anterior. O raio da fatia é x = 3 √ y. Então, A(y) = πx2 = π( 3 √ y)2 = πy2/3 10
  • 11. O volume do cilı́ndro aproximante é A(y)∆y = πy2/3 ∆y Assim, o volume do sólido entre y = 0 e y = 8 é Z 8 0 A(y)dy = Z 8 0 πy2/3 dy = π 3 5 y5/3 8 0 = 96π 5 4. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = x e y = x2 . As curvas interceptam-se nos pontos (0, 0) e (1, 1). Como podemos ver na figura, a função y = x está acima da função y = x2 no intervalo [0, 1]. A seção transversal no plano P, perpendicular ao eixo x, tem o formato de arruela (ou anel) com raio interno x2 e raio externo x. Então, a área da seção transversal pode ser obtida pela diferença entre a área interna e a externa: A(x) = πx2 − π(x2 )2 = π(x2 − x4 ) Assim, V = Z 1 0 A(x)dx = Z 1 0 π(x2 − x4 )dx = π x3 3 − x5 5 1 0 = 2π 15 5. Encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região do exemplo anterior em torno da reta y = 2. O sólido e a seção trnasversal são mostrados na figura seguite. 11
  • 12. A seção transversal é uma arruela, cujo raio interno é 2 − x e o raio externo é 2 − x2 . Então, A(x) = π(2 − x2 )2 − π(2 − x)2 V = Z 1 0 A(x)dx = π Z 1 0 [(2 − x2 )2 − (2 − x)2 ]dx = = π Z 1 0 (x4 − 5x2 + 4x)dx = π x5 5 − 5 x3 3 + 4 x2 2 1 0 = 8π 15 3 Trabalho Trabalho é um conceito fı́sico que, em uma abordagem leiga, indica a quantidade de esforço necessário para executar uma tarefa, como, por exem- plo, o trabalho necessário aplicando uma força em um objeto para que o objeto seja deslocado no espaço. A Força é definida como: F = ma Onde: F é a força (medida em newtons, N), m é a massa do objeto (medida em kilogramas, Kg) e a é a aceleração (medida em metros por segundo, m/s) 12
  • 13. Na Fı́sica, o trabalho é definido como: W = Fd Onde: W é o trabalho (medido em joules, J), F é a força aplicada (medida em newtons, N) e d é a distância percorrida pelo objeto (medida em metros, m). Consideremos que a força aplicada no objeto possa variar ao longo do percurso do objeto, de a até b, segundo uma função f(x), contı́nua em [a, b]. Podemos dividir o percurso em pontos amostrais x∗ i . Assim, o trabalho em cada um destes segmentos do trajeto é Wi ≈ f(x∗ i )∆x Logo, W ≈ n X i=1 f(x∗ i )∆x Tomando o limite quando n → ∞: W = lim n→∞ n X i=1 f(x∗ i )∆x = Z b a f(x)dx EXEMPLO Quando uma partı́cula está localizada a uma distância de x metros da origem, uma força de x2 + 2x newtons é aplicada sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo a partı́cula de x = 1 a x = 3? W = Z 3 1 (x2 + 2x)dx = x3 3 + x2 3 1 = 50 3 = 16, 67 Então, o trabalho realizado é de 16,67 J. 4 Comprimento de arco A determinação do comprimento da curva do gráfico de uma função seria como colocar um barbante sobre a curva e depois medir o comprimento do barbante. Se a curva é poligonal, podemos facilmente encontrar seu compri- mento somando os comprimentos dos segmentos que formam a curva. 13
  • 14. Sabemos calcular a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano: d = p (y2 − y1)2 + (x2 − x1)2 Seja a função f, definida no intervalo [0, 4], cujo gráfico é ilustrado na figura seguinte: f(x) =    x + 1 se 0 ≤ x 1 2x se 1 ≤ x 3 6 se 3 ≤ x ≤ 4 Observe-se que a curva desta função é poligonal. Então, podemos deter- minar o comprimento total como sendo o comprimento dos segmentos [0, 1], [1, 3] e [3, 4]: L = p (2 − 1)2 + (1 − 0)2 + p (6 − 2)2 + (3 − 1)2 + p (6 − 6)2 + (4 − 3)2 = = √ 2 + √ 20 + 1 ≈ 6, 886 14
  • 15. Suponha que uma curva C seja definida pela equação y = f(x), onde f é contı́nua em a ≤ x ≤ b. Obtemos uma poligonal de aproximação para C dividindo o intervalo [a, b] em subintervalos com extremidades x0, x1, . . . , xn e com larguras iguais a ∆x. Se yi = f(xi), então o ponto P(xi, yi) está em C e a poligonal com vértices P0, P1, . . . , Pn é uma aproximação para C, como mostra a figura seguinte. Definimos o comprimento L da curva C, com equação y = f(x), a ≤ x ≤ b, como o seguinte limite: L = lim n→∞ n X i=1 |Pi−1Pi| |Pi−1Pi| = p (xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 = p (∆x)2 + (∆y)2 Sabemos, pelo Teorema do Valor Médio, que f(xi) − f(xi−1) = f′ (x∗ i )(xi − xi−1) ou seja, ∆yi = f′ (x∗ i )∆x Então, |Pi−1Pi| = p (∆x)2 + (∆yi)2 = p (∆x)2 + (f′(x∗ i )∆x)2 = = p 1 + (f′(x∗ i ))2 p (∆x)2 = p 1 + (f′(x∗ i ))2∆x Portanto, L = lim n→∞ n X i=1 p 1 + (f′(x∗ i ))2∆x = Z b a p 1 + (f′(x))2dx 15
  • 16. FÓRMULA DO COMPRIMENTO DE ARCO Se f′ for contı́nua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x), a ≤ x ≤ b é L = Z b a s 1 + dy dx 2 dx Observe-se que esta integral pode ser muito difı́cil, ou impossı́vel, de calcular. Frequentemente faz-se uso de aproximações numéricas para evitar estas dificuldades. EXEMPLOS 1. Calcular o comprimento da curva de y2 = x3 entre os pontos (1, 1) e (4, 8). Para valores positivos de y, y = x3/2 dy dx = 3 2 x1/2 Logo, L = Z 4 1 s 1 + 3 2 x1/2 2 dx = Z 4 1 r 1 + 9 4 xdx Fazemos u = 1 + 9 4 x e du = 9 4 dx. • Para x = 1, u = 13 4 • Para x = 4, u = 10 Portanto, L = 4 9 Z 10 13/4 √ udu = 4 9 Z 10 13/4 u1/2 du = 4 9 . u3/2 3/2 10 13/4 = 4 9 . 2 3 u3/2 10 13/4 = = 8 27 u3/2 10 13/4 = 1 27 (80 √ 10 − 13 √ 13) ≈ 7, 634 16
  • 17. 2. Achar o comprimento da curva de y2 = 4(x + 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2, y 0. y = 2(x + 4)3/2 dy dx = 2 3 2 (x + 4)1/2 = 3(x + 4)1/2 L = Z 2 0 p 1 + 9(x + 4)dx = Z 2 0 √ 9x + 37dx Fazemos u = 9x + 37, du = 9dx e dx = du 9 . • Para x = 0, u = 37 • Para x = 2, u = 55 Então, L = Z 55 37 √ u du 9 = 1 9 Z 55 37 u1/2 du = 1 9 u3/2 3/2 55 37 = 2 27 u3/2 55 37 = = 2 27 √ 553 − √ 373 ≈ 13, 54 17