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Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas
Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafos
Definição
Dá-se o nome de grafo a todo conjunto cujos elementos são pares
ordenados.
Portanto, se G é um grafo e z ∈ G, então existe x e existe y tais
que z = (x, y), isto é, simbolicamente
G é um grafo ⇔ (∀z)(z ∈ G ⇒ (∃x)(∃y)(z = (x, y)))
Se G é um grafo e o par ordenado (x, y) ∈ G, diz-se que “y é
correspondente de x por G”.
Prof. Liliana Jurado Semana 12
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Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
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São exemplos de grafos os conjuntos:
1 G1 = {(a, 1), (3, (3, 4))}
2 G2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 4)}
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Prof. Liliana Jurado Semana 12
Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Definição
Chama-se primeira projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos x apara os quais existe y tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr1G. Portanto,
pr1G = {x | (∃y)((x, y) ∈ G)}
Prof. Liliana Jurado Semana 12
Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
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Definição
Chama-se segunda projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos y apara os quais existe x tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr2G. Portanto,
pr2G = {y | (∃x)((x, y) ∈ G)}
Prof. Liliana Jurado Semana 12
Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
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Grafo Recı́proco
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Teorema
Todo grafo G é subconjunto do produto cartesiano das suas duas
projeções.
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Grafos
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Exemplo
O produto cartesiano A × B de dois conjuntos A e B é um
grafo tal que pr1(A × B) = A e pr2(A × B) = B.
O conjunto G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (c, 2)} é um grafo cujas
projeções são:
pr1G = {a, b, c}, pr2G = {1, 2}
Observe-se:
G ⊂ pr1G × pr2G = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
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Exemplo
O conjunto G = {(x, y) | x ∈ N e y = 2x} é um grafo cuja
primeira projeção é o conjunto N dos números naturais e cuja
segunda projeção é o conjunto dos números naturais pares, isto é:
pr1G = N, pr2G = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}
O conjunto G = {(a, (1, 2)), (b, (3, 5))} é um grafo cujas projeções
são:
pr1G = {a, b}, pr2G = {(1, 2), (3, 5)}
Observe-se que a segunda projeção de G também é um grafo cujas
projeções são:
pr1(pr2G) = {1, 3}, pr2(pr2G) = {2, 5}
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Grafos
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Sejam G e H dois grafos. Como G e H são conjuntos, podemos
efetuar sobre G e H as operações usuais de interseção, reunião e
diferença, isto é determinar G ∩ H, G ∪ H e G − H, que também
são grafos. Simbolicamente, temos:
G ∩ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ H}
G ∪ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G ou (x, y) ∈ H}
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∈ H}
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Grafo Recı́proco
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Sejam os grafos:
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onde G∆H = (G − H) ∪ (H − G)
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Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafo Recı́proco
Definição
Chama-se grafo recı́proco de um grafo G o grafo cujos elementos
são todos os pares ordenados (y, x) tais que (x, y) ∈ G.
Representa-se pela notação G−1, que se lê: “G menos um”.
Portanto, simbolicamente:
G−1
= {(y, x) | (x, y) ∈ G}
É imediato:
pr1G−1
= pr2G, pr2G−1
= pr1G
O grafo recı́proco de G−1 é o grafo G, isto é, (G−1)−1 = G
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Grafos
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Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafo Recı́proco
Em particular, se X e Y são dois conjuntos, então
(X × Y )−1 = Y × X.
Um grafo G que coincide com o seu recı́proco (G = G−1) diz-se
simétrica.
Exemplo
O grafo recı́proco de G = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5)} é:
G−1
= {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3)}
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Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem de un conjunto por un grafo
Sejam G um grafo e X um conjunto.
Definição
Chama-se imagem de X por G o conjunto de todos os elementos y
para os quais existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se por G(X). Portanto, simbolicamente:
G(X) = {y | (∃x)(x ∈ X e (x, y) ∈ G)}
Em particular, é imediato:
G(pr1G) = pr2G, G(∅) = ∅
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Grafos
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Imagem de un conjunto por un grafo
Temos:
y ∈ G(X) ⇒ (x, y) ∈ G ⇒ y ∈ pr2G
o que demonstra: G(X) ⊂ pr2G, isto é, a imagem de um conjunto
por um grafo é um subconjunto da segunda projeção do grafo.
Exemplo: Sejam o grafo:
G = {(2, 10), (3, 3), (5, 10), (7, 7), (11, 11)}
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G(X) = {3, 10, 7}, G(Y ) = {10, 3, 11}
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Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
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Propriedades da composição de grafos
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Seja G um grafo e Y um conjunto.
Definição
Chama-se imagem recı́proca de Y por G a imagem G−1(Y ) de Y
pelo grafo recı́proco G−1 de G. Simbolicamente,
G−1
(Y ) = {x | (∃y)(y ∈ Y e (x, y) ∈ G}
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Grafos
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Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Composição de Grafos
Sejam G e H dois grafos.
Definição
Chama-se grafo composto de G e H o grafo cujos elementos são
todos os pares ordenados (x, y) para os quais existe z tal que
(x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G.
Este grafo representa-se por G ◦ H, que se lê: “G cı́rculo H”.
Portanto, simbolicamente:
G ◦ H = {(x, y) | (∃z)((x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G)}
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Sejam os grafos:
G = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)}
H = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)}
Temos:
G ◦ H = {(5, 4), (5, 0), (2, 5), (2, 7)}
H ◦ G = {(2, 3), (2, 10), (3, 8), (6, 2), (3, 9), (2, 4)}
Observe-se que G ◦ H ̸= H ◦ G, isto é, a operação de composição
de grafos não goza da propriedade comutativa.
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Imagem de un conjunto por un grafo
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Sejam G, H e J grafos.
(P1) O grafo recı́proco de G ◦ H é H−1 ◦ G−1, isto é:
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= H−1
◦ G−1
(P2) Associativa: (G ◦ H) ◦ J = G ◦ (H ◦ J) = G ◦ H ◦ J
(P3) Para todo conjunto X, tem-se: (G ◦ H)(X) = G(H(X))
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Semana 12

  • 2. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Grafos Definição Dá-se o nome de grafo a todo conjunto cujos elementos são pares ordenados. Portanto, se G é um grafo e z ∈ G, então existe x e existe y tais que z = (x, y), isto é, simbolicamente G é um grafo ⇔ (∀z)(z ∈ G ⇒ (∃x)(∃y)(z = (x, y))) Se G é um grafo e o par ordenado (x, y) ∈ G, diz-se que “y é correspondente de x por G”. Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 3. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Grafos Exemplo São exemplos de grafos os conjuntos: 1 G1 = {(a, 1), (3, (3, 4))} 2 G2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 4)} 3 G3 = {(a, (1, 2)), (b, (2, 3))} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 4. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Definição Chama-se primeira projeção de um grafo G o conjunto de todos os elementos x apara os quais existe y tal que (x, y) ∈ G. Este conjunto representa-se pela notação pr1G. Portanto, pr1G = {x | (∃y)((x, y) ∈ G)} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 5. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Definição Chama-se segunda projeção de um grafo G o conjunto de todos os elementos y apara os quais existe x tal que (x, y) ∈ G. Este conjunto representa-se pela notação pr2G. Portanto, pr2G = {y | (∃x)((x, y) ∈ G)} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 6. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Teorema Todo grafo G é subconjunto do produto cartesiano das suas duas projeções. Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 7. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Exemplo O produto cartesiano A × B de dois conjuntos A e B é um grafo tal que pr1(A × B) = A e pr2(A × B) = B. O conjunto G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (c, 2)} é um grafo cujas projeções são: pr1G = {a, b, c}, pr2G = {1, 2} Observe-se: G ⊂ pr1G × pr2G = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 8. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Exemplo O conjunto G = {(x, y) | x ∈ N e y = 2x} é um grafo cuja primeira projeção é o conjunto N dos números naturais e cuja segunda projeção é o conjunto dos números naturais pares, isto é: pr1G = N, pr2G = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .} O conjunto G = {(a, (1, 2)), (b, (3, 5))} é um grafo cujas projeções são: pr1G = {a, b}, pr2G = {(1, 2), (3, 5)} Observe-se que a segunda projeção de G também é um grafo cujas projeções são: pr1(pr2G) = {1, 3}, pr2(pr2G) = {2, 5} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 9. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Operações com Grafos Sejam G e H dois grafos. Como G e H são conjuntos, podemos efetuar sobre G e H as operações usuais de interseção, reunião e diferença, isto é determinar G ∩ H, G ∪ H e G − H, que também são grafos. Simbolicamente, temos: G ∩ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ H} G ∪ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G ou (x, y) ∈ H} G − H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) / ∈ H} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 10. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Operações com Grafos Exemplo Sejam os grafos: G = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} e H = {(1, 3), (1, 4), (3, 3)} Temos: G ∩ H = {(1, 3), (1, 4)} G ∪ H = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 3)} G − H = {(2, 4)} G∆H = {(2, 4), (3, 3)} onde G∆H = (G − H) ∪ (H − G) Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 11. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Grafo Recı́proco Definição Chama-se grafo recı́proco de um grafo G o grafo cujos elementos são todos os pares ordenados (y, x) tais que (x, y) ∈ G. Representa-se pela notação G−1, que se lê: “G menos um”. Portanto, simbolicamente: G−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ G} É imediato: pr1G−1 = pr2G, pr2G−1 = pr1G O grafo recı́proco de G−1 é o grafo G, isto é, (G−1)−1 = G Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 12. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Grafo Recı́proco Em particular, se X e Y são dois conjuntos, então (X × Y )−1 = Y × X. Um grafo G que coincide com o seu recı́proco (G = G−1) diz-se simétrica. Exemplo O grafo recı́proco de G = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5)} é: G−1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3)} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 13. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Projeções de um Grafo Operações com Grafos Grafo Recı́proco Imagem de un conjunto por un grafo Imagem de un conjunto por un grafo Sejam G um grafo e X um conjunto. Definição Chama-se imagem de X por G o conjunto de todos os elementos y para os quais existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ G. Este conjunto representa-se por G(X). Portanto, simbolicamente: G(X) = {y | (∃x)(x ∈ X e (x, y) ∈ G)} Em particular, é imediato: G(pr1G) = pr2G, G(∅) = ∅ Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 14. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Composição de Grafos Propriedades da composição de grafos Imagem de un conjunto por un grafo Temos: y ∈ G(X) ⇒ (x, y) ∈ G ⇒ y ∈ pr2G o que demonstra: G(X) ⊂ pr2G, isto é, a imagem de um conjunto por um grafo é um subconjunto da segunda projeção do grafo. Exemplo: Sejam o grafo: G = {(2, 10), (3, 3), (5, 10), (7, 7), (11, 11)} e os conjuntos: X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11}. Temos: G(X) = {3, 10, 7}, G(Y ) = {10, 3, 11} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 15. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Composição de Grafos Propriedades da composição de grafos Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Seja G um grafo e Y um conjunto. Definição Chama-se imagem recı́proca de Y por G a imagem G−1(Y ) de Y pelo grafo recı́proco G−1 de G. Simbolicamente, G−1 (Y ) = {x | (∃y)(y ∈ Y e (x, y) ∈ G} Exemplo Seja o grafo G = {(a, 3), (b, 1), (c, 1)}. Temos: G−1 ({1, 2}) = {b, c}, G−1 ({1, 3}) = {a, b, c} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 16. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Composição de Grafos Propriedades da composição de grafos Composição de Grafos Sejam G e H dois grafos. Definição Chama-se grafo composto de G e H o grafo cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) para os quais existe z tal que (x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G. Este grafo representa-se por G ◦ H, que se lê: “G cı́rculo H”. Portanto, simbolicamente: G ◦ H = {(x, y) | (∃z)((x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G)} Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 17. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Composição de Grafos Propriedades da composição de grafos Composição de Grafos Exemplo Sejam os grafos: G = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)} H = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)} Temos: G ◦ H = {(5, 4), (5, 0), (2, 5), (2, 7)} H ◦ G = {(2, 3), (2, 10), (3, 8), (6, 2), (3, 9), (2, 4)} Observe-se que G ◦ H ̸= H ◦ G, isto é, a operação de composição de grafos não goza da propriedade comutativa. Prof. Liliana Jurado Semana 12
  • 18. Grafos Imagem de un conjunto por un grafo Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo Composição de Grafos Propriedades da composição de grafos Composição de Grafos Sejam G, H e J grafos. (P1) O grafo recı́proco de G ◦ H é H−1 ◦ G−1, isto é: (G ◦ H)−1 = H−1 ◦ G−1 (P2) Associativa: (G ◦ H) ◦ J = G ◦ (H ◦ J) = G ◦ H ◦ J (P3) Para todo conjunto X, tem-se: (G ◦ H)(X) = G(H(X)) Prof. Liliana Jurado Semana 12