Semana 9

Semana 9: Conjunto
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Definição
Segundo N.Bourbaki:”Um conjunto é formado de elementos
suscetı́veis de possuı́rem certas propriedades e de terem entre si, ou
com elementos de outros conjuntos, certas relações”.
Definição
Segundo G. Cantor: ”Chama-se conjunto grupamento num todo
de objetos, bem definidos discernı́veis, de nossa percepção ou de
nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto.”
Prof. Liliana J. Semana 9

Conjuntos
Tipos de conjuntos
São exemplos de conjuntos:
1 O conjunto dos livros de uma biblioteca,
2 O conjunto das letras da palavra “Matemática”,
3 O conjunto das vogais do alfabeto português: a,e,i,o,u,
4 O conjunto dos polinômios de grau ı́mpar.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula:
A, B, C, . . . , X, Y , Z
Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos
do conjunto, e representam-se habitualmente pelas letras latinas
minúsculas:
a, d, c, . . . , x, y, z
O conjunto A cujos elementos são a, b, c, . . . , representa-se pela
notação:
A = {a, b, c, . . .}
que se lê: “A é o conjunto cujos elementos são a, b, c, . . .”.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Exemplo
1 Conjunto das vogais do alfabeto português: {a, e, i, o, u}
2 Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela
letra s:
{segunda, sexta, sábado}
3 Conjunto dos nomes dos cinco continentes:
{Europa, Ásia, África, América, Oceania}

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Definição
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A,
escreve-se: x ∈ A, notação devido ao matemático italiano
GIUSEPPE PEANO e que se lê: “x pertence a A”.
Com o mesmo significado de x ∈ A, escreve-se A ∋ x, que se lê:
“A contém x”
Definição
Para exprimir, ao invés, que um elemento x não pertence ao
conjunto A, escreve-se: x /
∈ A, que se lê: “x não pertence a A”.
Com o mesmo significado de x /
∈ A, escreve-se A ∋
/ x, que se lê: “A
não contém x”

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Exemplo
Seja A = {a, e, i, o, u}. Temos:
a ∈ A, b /
∈ A, e ∈ A, f /
∈ A, i, o, u ∈ A.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
As palavras “elemento”e “conjunto”têm muitas vezes significado
relativo, pois um mesmo ente pode ser elemento em relação a
certos entes e conjunto em relação a outros entes.
Assim, por exemplo, uma turma de um colégio é um elemento do
conjunto das turmas do colégio, mas também é um conjunto de
alunos do colégio; analogamente, uma reta é um elemento do
conjunto de todas as retas, mas também é um conjunto de pontos,
etc.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Nestas condições, quando se deseja estudar um assunto qualquer
com o rigor da Matemática, cumpre primeiro que tudo precisar
quais são os entes considerados nesse assunto como elementos.
Definição
Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o
conjunto de todos os entes que são sempre considerados como
elementos nessa teoria.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Assim, em Geometria o universo é o conjunto de todos os pontos,
ou seja, o espaço.
O universo também é por vezes chamado conjunto fundamental da
teoria e representa-se sempre pela letra U.
Num diagrama de VENN, os elementos do universo U são
geralmente representados por pontos internos a um quadrado (ou
retângulo) e os demais conjuntos por cı́rculos contidos no
quadrado (ou retãngulo).

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Consideremos no universo R a equação x2 − 6x + 9 = 0. É fácil
ver que existe um número real x e um só que verifica esta equação:
o número 3. Somos assim levados a escrever:
{x ∈ R | x2
− 6x + 9 = 0} = {3}
e dizer que o conjunto das soluções da equação x2 − 6x + 9 = 0
tem um único elemento.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Definição (Conjunto Unitário)
Chama-se conjunto unitário todo conjunto A constituı́do de um
único elemento, a.
Escreve-se: A = {a}, e diz-se que A é o conjunto unitário
determinado pelo elemento a.
Importa notar que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa
é o elemento que o determina. Assim, temos:
3 ∈ {3} porém não 3 = {3}

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Exemplo
São conjuntos unitários:
1 {x ∈ N | x2 − 9 = 0}
2 {x ∈ N | 3 < x < 5}
3 {y ∈ R | y3 − 8 = 0}

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Consideremos em R a condição x + 1 = x. Trata-se, como logo se
reconhece, de uma condição impossı́vel, pois não existe nenhum
número real que a verifique. Pois bem, por comodidade de
linguagem, convenciona-se dizer que o conjunto de elementos que
verificam uma condição impossı́vel é o conjunto vazio ou o
conjunto sem elemento algum.

Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Assim, por exemplo, em vez de dizer que não há fósforos numa
caixa, pode dizer-se que a caixa está vazia ou ainda que o conjunto
dos fósforos na caixa é vazio.
O conjunto vazio em um determinado universo designa-se pelo
sı́mbolo ∅. Assim, no universo R:
{x | x + 1 = x} = ∅
{x | x2 < 0} = ∅
{x | x ̸= x} = ∅
{x | 0x = 5} = ∅

Semana 9

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Semelhante a Semana 9

Mais de Carlos Campani

Semana 9