SlideShare uma empresa Scribd logo
Semana 9: Conjunto
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Definição
Segundo N.Bourbaki:”Um conjunto é formado de elementos
suscetı́veis de possuı́rem certas propriedades e de terem entre si, ou
com elementos de outros conjuntos, certas relações”.
Definição
Segundo G. Cantor: ”Chama-se conjunto grupamento num todo
de objetos, bem definidos discernı́veis, de nossa percepção ou de
nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto.”
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
São exemplos de conjuntos:
1 O conjunto dos livros de uma biblioteca,
2 O conjunto das letras da palavra “Matemática”,
3 O conjunto das vogais do alfabeto português: a,e,i,o,u,
4 O conjunto dos polinômios de grau ı́mpar.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula:
A, B, C, . . . , X, Y , Z
Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos
do conjunto, e representam-se habitualmente pelas letras latinas
minúsculas:
a, d, c, . . . , x, y, z
O conjunto A cujos elementos são a, b, c, . . . , representa-se pela
notação:
A = {a, b, c, . . .}
que se lê: “A é o conjunto cujos elementos são a, b, c, . . .”.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Noção de Conjuntos
Exemplo
1 Conjunto das vogais do alfabeto português: {a, e, i, o, u}
2 Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela
letra s:
{segunda, sexta, sábado}
3 Conjunto dos nomes dos cinco continentes:
{Europa, Ásia, África, América, Oceania}
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Definição
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A,
escreve-se: x ∈ A, notação devido ao matemático italiano
GIUSEPPE PEANO e que se lê: “x pertence a A”.
Com o mesmo significado de x ∈ A, escreve-se A ∋ x, que se lê:
“A contém x”
Definição
Para exprimir, ao invés, que um elemento x não pertence ao
conjunto A, escreve-se: x /
∈ A, que se lê: “x não pertence a A”.
Com o mesmo significado de x /
∈ A, escreve-se A ∋
/ x, que se lê: “A
não contém x”
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Relação de Pertinência
Exemplo
Seja A = {a, e, i, o, u}. Temos:
a ∈ A, b /
∈ A, e ∈ A, f /
∈ A, i, o, u ∈ A.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
As palavras “elemento”e “conjunto”têm muitas vezes significado
relativo, pois um mesmo ente pode ser elemento em relação a
certos entes e conjunto em relação a outros entes.
Assim, por exemplo, uma turma de um colégio é um elemento do
conjunto das turmas do colégio, mas também é um conjunto de
alunos do colégio; analogamente, uma reta é um elemento do
conjunto de todas as retas, mas também é um conjunto de pontos,
etc.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Nestas condições, quando se deseja estudar um assunto qualquer
com o rigor da Matemática, cumpre primeiro que tudo precisar
quais são os entes considerados nesse assunto como elementos.
Definição
Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o
conjunto de todos os entes que são sempre considerados como
elementos nessa teoria.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Universo
Assim, em Geometria o universo é o conjunto de todos os pontos,
ou seja, o espaço.
O universo também é por vezes chamado conjunto fundamental da
teoria e representa-se sempre pela letra U.
Num diagrama de VENN, os elementos do universo U são
geralmente representados por pontos internos a um quadrado (ou
retângulo) e os demais conjuntos por cı́rculos contidos no
quadrado (ou retãngulo).
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Consideremos no universo R a equação x2 − 6x + 9 = 0. É fácil
ver que existe um número real x e um só que verifica esta equação:
o número 3. Somos assim levados a escrever:
{x ∈ R | x2
− 6x + 9 = 0} = {3}
e dizer que o conjunto das soluções da equação x2 − 6x + 9 = 0
tem um único elemento.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Definição (Conjunto Unitário)
Chama-se conjunto unitário todo conjunto A constituı́do de um
único elemento, a.
Escreve-se: A = {a}, e diz-se que A é o conjunto unitário
determinado pelo elemento a.
Importa notar que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa
é o elemento que o determina. Assim, temos:
3 ∈ {3} porém não 3 = {3}
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Unitário
Exemplo
São conjuntos unitários:
1 {x ∈ N | x2 − 9 = 0}
2 {x ∈ N | 3 < x < 5}
3 {y ∈ R | y3 − 8 = 0}
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Consideremos em R a condição x + 1 = x. Trata-se, como logo se
reconhece, de uma condição impossı́vel, pois não existe nenhum
número real que a verifique. Pois bem, por comodidade de
linguagem, convenciona-se dizer que o conjunto de elementos que
verificam uma condição impossı́vel é o conjunto vazio ou o
conjunto sem elemento algum.
Prof. Liliana J. Semana 9
Conjuntos
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitário
Conjunto Vazio
Conjunto Vazio
Assim, por exemplo, em vez de dizer que não há fósforos numa
caixa, pode dizer-se que a caixa está vazia ou ainda que o conjunto
dos fósforos na caixa é vazio.
O conjunto vazio em um determinado universo designa-se pelo
sı́mbolo ∅. Assim, no universo R:
{x | x + 1 = x} = ∅
{x | x2 < 0} = ∅
{x | x ̸= x} = ∅
{x | 0x = 5} = ∅
Prof. Liliana J. Semana 9

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
Antonio Marcos
 
Matemática Discreta - Parte V relações
Matemática Discreta - Parte V relaçõesMatemática Discreta - Parte V relações
Matemática Discreta - Parte V relações
Ulrich Schiel
 
Nota aula 01
Nota aula 01Nota aula 01
Nota aula 01
Pitterpp
 
Corpo reais
Corpo reaisCorpo reais
Corpo reais
Josué Sebastian
 
33379
3337933379
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
Luciano Bittencourt de Abreu
 
Matematica discreta - estruturas algebricas
Matematica discreta -  estruturas algebricasMatematica discreta -  estruturas algebricas
Matematica discreta - estruturas algebricas
Universidade de Pernambuco
 
Relacoes matematicas
Relacoes matematicasRelacoes matematicas
Relacoes matematicas
gabaritocontabil
 
Pincipio da indução
Pincipio da induçãoPincipio da indução
Pincipio da indução
Bruno Araujo Lima
 
Relações
RelaçõesRelações
Relações
Chromus Master
 
Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1
Paulo Martins
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
W. Carvalho Carvalho
 
Diabo
DiaboDiabo
Relaçõese ordem parcial cor
Relaçõese ordem parcial corRelaçõese ordem parcial cor
Relaçõese ordem parcial cor
Universidade de Pernambuco
 
Estruturas algébricas
Estruturas algébricasEstruturas algébricas
Estruturas algébricas
Universidade de Pernambuco
 
Álgebra de Boole
Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
Álgebra de Boole
Chromus Master
 
Semana 13
Semana 13 Semana 13
Semana 13
Carlos Campani
 
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOSMATEMATICARLOS - CONJUNTOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS
CARLOS EDUARDO MORAES PIRES
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2
bonesea
 

Mais procurados (20)

Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018
 
Matemática Discreta - Parte V relações
Matemática Discreta - Parte V relaçõesMatemática Discreta - Parte V relações
Matemática Discreta - Parte V relações
 
Nota aula 01
Nota aula 01Nota aula 01
Nota aula 01
 
Corpo reais
Corpo reaisCorpo reais
Corpo reais
 
33379
3337933379
33379
 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
 
Matematica discreta - estruturas algebricas
Matematica discreta -  estruturas algebricasMatematica discreta -  estruturas algebricas
Matematica discreta - estruturas algebricas
 
Relacoes matematicas
Relacoes matematicasRelacoes matematicas
Relacoes matematicas
 
Pincipio da indução
Pincipio da induçãoPincipio da indução
Pincipio da indução
 
Relações
RelaçõesRelações
Relações
 
Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
Apostilade precalculodiferencialeintegral(1) (1)
 
Diabo
DiaboDiabo
Diabo
 
Relaçõese ordem parcial cor
Relaçõese ordem parcial corRelaçõese ordem parcial cor
Relaçõese ordem parcial cor
 
Estruturas algébricas
Estruturas algébricasEstruturas algébricas
Estruturas algébricas
 
Álgebra de Boole
Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
Álgebra de Boole
 
Semana 13
Semana 13 Semana 13
Semana 13
 
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOSMATEMATICARLOS - CONJUNTOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2
 

Semelhante a Semana 9

Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
WANDERSON JONER
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
estruturas algébricas
estruturas algébricas estruturas algébricas
estruturas algébricas
José Santos
 
Enem 1-conjunto
Enem 1-conjuntoEnem 1-conjunto
Enem 1-conjunto
Alexandre Sena
 
Analise real vol 1
Analise real vol 1Analise real vol 1
Analise real vol 1
Andreia Vilacha
 
2010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.12010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.1
Kelly Do Vale
 
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
LouandaSouzaCosta
 
Dicas quentes conjuntos
Dicas quentes conjuntosDicas quentes conjuntos
Dicas quentes conjuntos
trigono_metria
 
Conjuntos de numeros
Conjuntos de numerosConjuntos de numeros
Conjuntos de numeros
Elisa Dias
 
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
CLEAN LOURENÇO
 
Alms raciocinio logico
Alms raciocinio logicoAlms raciocinio logico
Alms raciocinio logico
Neon Online
 
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoConjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
guestbf5561
 
Conjuntos1
Conjuntos1Conjuntos1
Conjuntos1
Raquel Almeida
 
Matemática atividade 02
Matemática atividade 02Matemática atividade 02
Matemática atividade 02
dicasdubr
 
Conjuntos nuke 3ano
Conjuntos nuke 3anoConjuntos nuke 3ano
Conjuntos nuke 3ano
terceiromotivo2012
 
Slides sobre conjuntos
Slides sobre conjuntosSlides sobre conjuntos
Slides sobre conjuntos
ndribeiro
 
Números naturais 1
Números naturais 1Números naturais 1
Números naturais 1
profede
 
Conjuntos básico cleiton pinto
Conjuntos básico   cleiton pintoConjuntos básico   cleiton pinto
Conjuntos básico cleiton pinto
Cleiton Oliveira Pinto
 
Aula 1 - Matemática Aplicada
Aula 1 - Matemática AplicadaAula 1 - Matemática Aplicada
Aula 1 - Matemática Aplicada
Turma1NC
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
Carlos Campani
 

Semelhante a Semana 9 (20)

Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
estruturas algébricas
estruturas algébricas estruturas algébricas
estruturas algébricas
 
Enem 1-conjunto
Enem 1-conjuntoEnem 1-conjunto
Enem 1-conjunto
 
Analise real vol 1
Analise real vol 1Analise real vol 1
Analise real vol 1
 
2010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.12010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.1
 
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
CONJUNTOS - TIPOS DE CONJUNTOS AULA 1 E 2
 
Dicas quentes conjuntos
Dicas quentes conjuntosDicas quentes conjuntos
Dicas quentes conjuntos
 
Conjuntos de numeros
Conjuntos de numerosConjuntos de numeros
Conjuntos de numeros
 
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
 
Alms raciocinio logico
Alms raciocinio logicoAlms raciocinio logico
Alms raciocinio logico
 
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoConjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
 
Conjuntos1
Conjuntos1Conjuntos1
Conjuntos1
 
Matemática atividade 02
Matemática atividade 02Matemática atividade 02
Matemática atividade 02
 
Conjuntos nuke 3ano
Conjuntos nuke 3anoConjuntos nuke 3ano
Conjuntos nuke 3ano
 
Slides sobre conjuntos
Slides sobre conjuntosSlides sobre conjuntos
Slides sobre conjuntos
 
Números naturais 1
Números naturais 1Números naturais 1
Números naturais 1
 
Conjuntos básico cleiton pinto
Conjuntos básico   cleiton pintoConjuntos básico   cleiton pinto
Conjuntos básico cleiton pinto
 
Aula 1 - Matemática Aplicada
Aula 1 - Matemática AplicadaAula 1 - Matemática Aplicada
Aula 1 - Matemática Aplicada
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 

Mais de Carlos Campani

Técnicas de integração
Técnicas de integraçãoTécnicas de integração
Técnicas de integração
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 3
Lista de exercícios 3Lista de exercícios 3
Lista de exercícios 3
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 2
Lista de exercícios 2Lista de exercícios 2
Lista de exercícios 2
Carlos Campani
 
Aplicações da integração
Aplicações da integraçãoAplicações da integração
Aplicações da integração
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1
Carlos Campani
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
Carlos Campani
 
Semana 12
Semana 12Semana 12
Semana 12
Carlos Campani
 
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃOANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
Carlos Campani
 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕESPROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
Carlos Campani
 
Funções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráficoFunções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráfico
Carlos Campani
 
Solução de equações modulares
Solução de equações modularesSolução de equações modulares
Solução de equações modulares
Carlos Campani
 
Equações polinomiais
Equações polinomiaisEquações polinomiais
Equações polinomiais
Carlos Campani
 
PROVAS DE TEOREMAS
PROVAS DE TEOREMASPROVAS DE TEOREMAS
PROVAS DE TEOREMAS
Carlos Campani
 
Instruções de Aprendiz
Instruções de AprendizInstruções de Aprendiz
Instruções de Aprendiz
Carlos Campani
 
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Carlos Campani
 
Iezzi solcos
Iezzi solcosIezzi solcos
Iezzi solcos
Carlos Campani
 
Iezzi93 109
Iezzi93 109Iezzi93 109
Iezzi93 109
Carlos Campani
 
Iezzi24 35
Iezzi24 35Iezzi24 35
Iezzi24 35
Carlos Campani
 
Equações
EquaçõesEquações
Equações
Carlos Campani
 
Indução Matemática - Exemplos
Indução Matemática - ExemplosIndução Matemática - Exemplos
Indução Matemática - Exemplos
Carlos Campani
 

Mais de Carlos Campani (20)

Técnicas de integração
Técnicas de integraçãoTécnicas de integração
Técnicas de integração
 
Lista de exercícios 3
Lista de exercícios 3Lista de exercícios 3
Lista de exercícios 3
 
Lista de exercícios 2
Lista de exercícios 2Lista de exercícios 2
Lista de exercícios 2
 
Aplicações da integração
Aplicações da integraçãoAplicações da integração
Aplicações da integração
 
Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Semana 12
Semana 12Semana 12
Semana 12
 
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃOANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕESPROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
 
Funções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráficoFunções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráfico
 
Solução de equações modulares
Solução de equações modularesSolução de equações modulares
Solução de equações modulares
 
Equações polinomiais
Equações polinomiaisEquações polinomiais
Equações polinomiais
 
PROVAS DE TEOREMAS
PROVAS DE TEOREMASPROVAS DE TEOREMAS
PROVAS DE TEOREMAS
 
Instruções de Aprendiz
Instruções de AprendizInstruções de Aprendiz
Instruções de Aprendiz
 
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
Álgebra básica, potenciação, notação científica, radiciação, polinômios, fato...
 
Iezzi solcos
Iezzi solcosIezzi solcos
Iezzi solcos
 
Iezzi93 109
Iezzi93 109Iezzi93 109
Iezzi93 109
 
Iezzi24 35
Iezzi24 35Iezzi24 35
Iezzi24 35
 
Equações
EquaçõesEquações
Equações
 
Indução Matemática - Exemplos
Indução Matemática - ExemplosIndução Matemática - Exemplos
Indução Matemática - Exemplos
 

Semana 9

  • 1. Semana 9: Conjunto Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas
  • 2. Conjuntos Tipos de conjuntos Noção de Conjuntos Definição Segundo N.Bourbaki:”Um conjunto é formado de elementos suscetı́veis de possuı́rem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos, certas relações”. Definição Segundo G. Cantor: ”Chama-se conjunto grupamento num todo de objetos, bem definidos discernı́veis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto.” Prof. Liliana J. Semana 9
  • 3. Conjuntos Tipos de conjuntos Noção de Conjuntos São exemplos de conjuntos: 1 O conjunto dos livros de uma biblioteca, 2 O conjunto das letras da palavra “Matemática”, 3 O conjunto das vogais do alfabeto português: a,e,i,o,u, 4 O conjunto dos polinômios de grau ı́mpar. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 4. Conjuntos Tipos de conjuntos Noção de Conjuntos Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula: A, B, C, . . . , X, Y , Z Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto, e representam-se habitualmente pelas letras latinas minúsculas: a, d, c, . . . , x, y, z O conjunto A cujos elementos são a, b, c, . . . , representa-se pela notação: A = {a, b, c, . . .} que se lê: “A é o conjunto cujos elementos são a, b, c, . . .”. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 5. Conjuntos Tipos de conjuntos Noção de Conjuntos Exemplo 1 Conjunto das vogais do alfabeto português: {a, e, i, o, u} 2 Conjunto dos nomes dos dias da semana que começam pela letra s: {segunda, sexta, sábado} 3 Conjunto dos nomes dos cinco continentes: {Europa, Ásia, África, América, Oceania} Prof. Liliana J. Semana 9
  • 6. Conjuntos Tipos de conjuntos Relação de Pertinência Definição Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, escreve-se: x ∈ A, notação devido ao matemático italiano GIUSEPPE PEANO e que se lê: “x pertence a A”. Com o mesmo significado de x ∈ A, escreve-se A ∋ x, que se lê: “A contém x” Definição Para exprimir, ao invés, que um elemento x não pertence ao conjunto A, escreve-se: x / ∈ A, que se lê: “x não pertence a A”. Com o mesmo significado de x / ∈ A, escreve-se A ∋ / x, que se lê: “A não contém x” Prof. Liliana J. Semana 9
  • 7. Conjuntos Tipos de conjuntos Relação de Pertinência Exemplo Seja A = {a, e, i, o, u}. Temos: a ∈ A, b / ∈ A, e ∈ A, f / ∈ A, i, o, u ∈ A. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 8. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Universo As palavras “elemento”e “conjunto”têm muitas vezes significado relativo, pois um mesmo ente pode ser elemento em relação a certos entes e conjunto em relação a outros entes. Assim, por exemplo, uma turma de um colégio é um elemento do conjunto das turmas do colégio, mas também é um conjunto de alunos do colégio; analogamente, uma reta é um elemento do conjunto de todas as retas, mas também é um conjunto de pontos, etc. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 9. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Universo Nestas condições, quando se deseja estudar um assunto qualquer com o rigor da Matemática, cumpre primeiro que tudo precisar quais são os entes considerados nesse assunto como elementos. Definição Chama-se conjunto universo ou apenas universo de uma teoria o conjunto de todos os entes que são sempre considerados como elementos nessa teoria. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 10. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Universo Assim, em Geometria o universo é o conjunto de todos os pontos, ou seja, o espaço. O universo também é por vezes chamado conjunto fundamental da teoria e representa-se sempre pela letra U. Num diagrama de VENN, os elementos do universo U são geralmente representados por pontos internos a um quadrado (ou retângulo) e os demais conjuntos por cı́rculos contidos no quadrado (ou retãngulo). Prof. Liliana J. Semana 9
  • 11. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Unitário Consideremos no universo R a equação x2 − 6x + 9 = 0. É fácil ver que existe um número real x e um só que verifica esta equação: o número 3. Somos assim levados a escrever: {x ∈ R | x2 − 6x + 9 = 0} = {3} e dizer que o conjunto das soluções da equação x2 − 6x + 9 = 0 tem um único elemento. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 12. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Unitário Definição (Conjunto Unitário) Chama-se conjunto unitário todo conjunto A constituı́do de um único elemento, a. Escreve-se: A = {a}, e diz-se que A é o conjunto unitário determinado pelo elemento a. Importa notar que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa é o elemento que o determina. Assim, temos: 3 ∈ {3} porém não 3 = {3} Prof. Liliana J. Semana 9
  • 13. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Unitário Exemplo São conjuntos unitários: 1 {x ∈ N | x2 − 9 = 0} 2 {x ∈ N | 3 < x < 5} 3 {y ∈ R | y3 − 8 = 0} Prof. Liliana J. Semana 9
  • 14. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Vazio Consideremos em R a condição x + 1 = x. Trata-se, como logo se reconhece, de uma condição impossı́vel, pois não existe nenhum número real que a verifique. Pois bem, por comodidade de linguagem, convenciona-se dizer que o conjunto de elementos que verificam uma condição impossı́vel é o conjunto vazio ou o conjunto sem elemento algum. Prof. Liliana J. Semana 9
  • 15. Conjuntos Tipos de conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Vazio Assim, por exemplo, em vez de dizer que não há fósforos numa caixa, pode dizer-se que a caixa está vazia ou ainda que o conjunto dos fósforos na caixa é vazio. O conjunto vazio em um determinado universo designa-se pelo sı́mbolo ∅. Assim, no universo R: {x | x + 1 = x} = ∅ {x | x2 < 0} = ∅ {x | x ̸= x} = ∅ {x | 0x = 5} = ∅ Prof. Liliana J. Semana 9