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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line   Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos
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                      EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – POLÍGONOS

    1. CONSTRUIR A ESCALA DE "DELAISTRE" PARA CONSTRUÇÃO
       DE POLÍGONOS REGULARES.

         Seja o segmento AB igual ao lado do polígono. Sendo AB=Lado, centralizar a
         ponta seca do compasso em A e com abertura igual ao lado traçar um arco. Em
         seguida centralizara ponta seca do compasso em B e com igual abertura traçar
         outro arco encontrando o ponto O6 que será o centro do hexágono.




         Com centro em O6 e raio igual ao lado AB traçar uma circunferência. Traçar a
         mediatriz do lado AB. Onde a mediatriz cortar a circunferência de centro O6
         marcar o centro O12.




         Para encontrar os centros dos outros polígonos, dividir o raio O6O12 em seis
         partes iguais. Para tanto, utilize o processo de divisão de segmentos em seis
         partes iguais. Em seguida, marque nas divisões os centros encontrados.
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    2. CONSTRUIR UM HEXÁGONO REGULAR DADO O LADO.

         Seja o segmento AB igual ao lado do hexágono. Com centro em A e abertura
         igual ao valor de AB trace um arco. Depois com centro em B e mesmo valor de
         raio trace outro arco encontrando no cruzamento dos dois arcos o ponto O6 que
         é o centro do hexágono. Com centro em O6 e raio AB trace uma circunferência.




         Transportar L6 para a circunferência. Coloque a ponta seca do compasso em A e
         com abertura igual à AB corte a circunferência uma vez. Depois com centro em
         B e mesmo raio corte a circunferência mais uma vez. Coloque aponta seca do
         compasso nos pontos marcados e corte a circunferência mais duas vezes
         obtendo assim os vértices do hexágono. Ligue os pontos marcados na
         circunferência. Ligando os pontos obtemos o hexágono regular.
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    3. CONSTRUIR UM PENTÁGONO REGULAR DADO O LADO.

         Seja AB o lado do pentágono. Sendo AB=L5, fazer duas circunferências com
         centros A e B com raio AB. Marque o ponto C no cruzamento das duas
         circunferências.




         Marque o ponto D no cruzamento das duas circunferências. Coloque a ponta
         seca do compasso em D e com abertura igual à DB ou DA. Construa um arco
         que encontra as duas circunferências em D e F. Em seguida construa a
         mediatriz de AB que passa pelos pontos C e D. Depois marque o ponto G na
         interseção da mediatriz com o arco EABF. Ligue os pontos EG e prolongue até a
         circunferência de centro B encontrando o ponto I na interseção da reta com a
         circunferência. Em seguida, ligue os pontos F e G e prolongue até a
         circunferência de centro A encontrando o ponto H na interseção da reta com a
         circunferência.




         Coloque a ponta seca do compasso no ponto H e com abertura igual à AB trace
         um arco que intersecta a mediatriz no ponto J. Da mesma forma, coloque a
         ponta seca do compasso em I e com abertura igual à AB trace outro arco que
         intersecta a mediatriz no mesmo ponto J. Os pontos A,B,I,J e H são vértices do
         pentágono regular.




    4. CONSTRUIR UM HEPTÁGONO REGULAR DADO O LADO.
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         Seja AB o lado do heptágono. Sendo AB=L7, prolongue AB para a direita.
         Construa uma semicircunferência com centro em A e raio Ab, encontrando
         assim o ponto B'.




         Coloque a ponta seca do compasso no ponto B' encontrado e com abertura
         igual a BB' trace um arco. Depois, centre o compasso em B e com mesma
         abertura trace outro arco que corta o primeiro arco no ponto C. Construa um
         triângulo eqüilátero de lado BB’ com vértices em C, B e B’.




         Construa as bissetrizes dos ângulos CBB' e CB’B, encontrando assim o ponto O1
         na intersecção dessas duas bissetrizes. Em seguida, construa duas
         circunferências de centros B e A e com raio igual a BO1, encontrando na
         interseção dessas duas circunferências o ponto N.
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         Depois, construa uma circunferência de centro N e raio NB ou NA. Em seguida,
         transporte AB sobre a circunferência.




Ligue os pontos encontrados obtendo assim o heptágono regular. Veja no desenho
abaixo o processo completo.
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5. CONSTRUIR UM OCTÓGONO REGULAR DADO O LADO.

         Seja o lado AB do octógono. Sendo AB=L8, encontrar mediatriz de AB,
         encontrar M.




         Construa uma circunferência de centro M e raio MA ou MB, encontrando o ponto
         N onde a reta mediatriz corta a circunferência. Construa uma circunferência
         com centro em N e raio NA ou NB. Em seguida, marque o ponto O onde a
         circunferência corta a mediatriz de AB. Depois construa outra circunferência
         com centro em O e raio OA ou OB.




         Esta circunferência de centro O e raio OA ou OB contém todos os vértices do
         octógono regular. Transporte com o compasso a medida do valor do lado AB
         sobre a circunferência de centro O encontrando os vértices e depois ligue-os
         formando assim o octógono.
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         Abaixo vemos a construção completa do octógono regular.




6. CONSTRUIR UM DECÁGONO REGULAR DADO O LADO.

         Seja o lado AB do decágono. Sendo AB=L10, construa a mediatriz de AB,
         encontrando assim o ponto médio M de AB.
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         Construa pelo ponto A uma reta perpendicular ao segmento AB. Em seguida,
         construa uma semicircunferência com centro em A e com raio AB, encontrando
         assim, os pontos N e P no prolongamento de AB e na perpendicular que passa
         por A respectivamente.




         Agora, construa uma semicircunferência com centro em M e com raio MP
         encontrando assim, o ponto R no prolongamento de AB. Em seguida, construa
         uma semicircunferência com centro em B e com raio BR encontrando assim o
         ponto O na mediatriz de AB.




         E finalmente, construa uma circunferência com centro em O e com raio OA ou
         OB. Transporte com o compasso a medida AB (L10) sobre a circunferência de
         centro O.
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         Ligue os pontos marcados na circunferência de centro O, obtendo assim, o
         decágono regular. Observe abaixo o processo completo de construção do
         decágono regular.




7. CONSTRUIR UM DODECÁGONO REGULAR DADO O LADO.

         Seja o segmento AB igual ao lado do dodecágono. Sendo AB=L12, construa a
         mediatriz de AB, encontrando o ponto médio M de AB. Em seguida, construa
         dois arcos de circunferências com centro nos pontos A e B e com raio AB,
         encontrando assim o ponto N no cruzamento dos dois arcos.
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         Agora, construa uma circunferência com centro em N e com raio NA ou NB,
         encontrando assim o ponto P no cruzamento dessa circunferência com a
         mediatriz de AB. E finalmente construa uma circunferência com centro em P e
         com raio PA ou PB. Transporte com o compasso a medida do segmento AB (L12)
         sobre a circunferência de centro P.




         Ligue os pontos marcados na circunferência obtendo assim o dodecágono
         regular. Veja abaixo a construção completa do dodecágono regular.




8. DESENHAR OS POLÍGONOS ESTRELADOS POSSÍVEIS DE SE
   CONSTRUIR A PARTIR DO OCTÓGONO.
         A partir do octógono regular é
         possível construir três polígonos
         estrelados:

         - ligando dois vértices e pulando um,

         - ligando dois vértices e pulando dois,

         - ligando dois vértices e pulando três.




9. COMPLETAR A TABELA ABAIXO.
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                                           NÚMERO              ÂNGULO                NÚMERO DE
                    POLÍGONO
                                           DE LADOS            INTERNO               DIAGONAIS
                      TRIÂNGULO                   3                  60                        0
                      QUADRADO                    4                  90                        2
                     PENTÁGONO                    5                 108                        5
                      HEXÁGONO                    6                 120                        9
                     HEPTÁGONO                    7               128,57                      14
                      OCTÓGONO                    8                 135                       20
                      ENEÁGONO                    9                 140                       27
                      DECÁGONO                   10                 144                       35
                    UNDECÁGONO                   11               147,27                      44
                    DODECÁGONO                   12                 150                       54
                    TRIDECÁGONO                  13                152,3                      65
                  PENTADECÁGONO                  15                 156                       90
                      ICOSÁGONO                  20                 162                      170




BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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  • 1. 1 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – POLÍGONOS 1. CONSTRUIR A ESCALA DE "DELAISTRE" PARA CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES. Seja o segmento AB igual ao lado do polígono. Sendo AB=Lado, centralizar a ponta seca do compasso em A e com abertura igual ao lado traçar um arco. Em seguida centralizara ponta seca do compasso em B e com igual abertura traçar outro arco encontrando o ponto O6 que será o centro do hexágono. Com centro em O6 e raio igual ao lado AB traçar uma circunferência. Traçar a mediatriz do lado AB. Onde a mediatriz cortar a circunferência de centro O6 marcar o centro O12. Para encontrar os centros dos outros polígonos, dividir o raio O6O12 em seis partes iguais. Para tanto, utilize o processo de divisão de segmentos em seis partes iguais. Em seguida, marque nas divisões os centros encontrados.
  • 2. 2 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 2. CONSTRUIR UM HEXÁGONO REGULAR DADO O LADO. Seja o segmento AB igual ao lado do hexágono. Com centro em A e abertura igual ao valor de AB trace um arco. Depois com centro em B e mesmo valor de raio trace outro arco encontrando no cruzamento dos dois arcos o ponto O6 que é o centro do hexágono. Com centro em O6 e raio AB trace uma circunferência. Transportar L6 para a circunferência. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual à AB corte a circunferência uma vez. Depois com centro em B e mesmo raio corte a circunferência mais uma vez. Coloque aponta seca do compasso nos pontos marcados e corte a circunferência mais duas vezes obtendo assim os vértices do hexágono. Ligue os pontos marcados na circunferência. Ligando os pontos obtemos o hexágono regular.
  • 3. 3 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 3. CONSTRUIR UM PENTÁGONO REGULAR DADO O LADO. Seja AB o lado do pentágono. Sendo AB=L5, fazer duas circunferências com centros A e B com raio AB. Marque o ponto C no cruzamento das duas circunferências. Marque o ponto D no cruzamento das duas circunferências. Coloque a ponta seca do compasso em D e com abertura igual à DB ou DA. Construa um arco que encontra as duas circunferências em D e F. Em seguida construa a mediatriz de AB que passa pelos pontos C e D. Depois marque o ponto G na interseção da mediatriz com o arco EABF. Ligue os pontos EG e prolongue até a circunferência de centro B encontrando o ponto I na interseção da reta com a circunferência. Em seguida, ligue os pontos F e G e prolongue até a circunferência de centro A encontrando o ponto H na interseção da reta com a circunferência. Coloque a ponta seca do compasso no ponto H e com abertura igual à AB trace um arco que intersecta a mediatriz no ponto J. Da mesma forma, coloque a ponta seca do compasso em I e com abertura igual à AB trace outro arco que intersecta a mediatriz no mesmo ponto J. Os pontos A,B,I,J e H são vértices do pentágono regular. 4. CONSTRUIR UM HEPTÁGONO REGULAR DADO O LADO.
  • 4. 4 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Seja AB o lado do heptágono. Sendo AB=L7, prolongue AB para a direita. Construa uma semicircunferência com centro em A e raio Ab, encontrando assim o ponto B'. Coloque a ponta seca do compasso no ponto B' encontrado e com abertura igual a BB' trace um arco. Depois, centre o compasso em B e com mesma abertura trace outro arco que corta o primeiro arco no ponto C. Construa um triângulo eqüilátero de lado BB’ com vértices em C, B e B’. Construa as bissetrizes dos ângulos CBB' e CB’B, encontrando assim o ponto O1 na intersecção dessas duas bissetrizes. Em seguida, construa duas circunferências de centros B e A e com raio igual a BO1, encontrando na interseção dessas duas circunferências o ponto N.
  • 5. 5 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Depois, construa uma circunferência de centro N e raio NB ou NA. Em seguida, transporte AB sobre a circunferência. Ligue os pontos encontrados obtendo assim o heptágono regular. Veja no desenho abaixo o processo completo.
  • 6. 6 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 5. CONSTRUIR UM OCTÓGONO REGULAR DADO O LADO. Seja o lado AB do octógono. Sendo AB=L8, encontrar mediatriz de AB, encontrar M. Construa uma circunferência de centro M e raio MA ou MB, encontrando o ponto N onde a reta mediatriz corta a circunferência. Construa uma circunferência com centro em N e raio NA ou NB. Em seguida, marque o ponto O onde a circunferência corta a mediatriz de AB. Depois construa outra circunferência com centro em O e raio OA ou OB. Esta circunferência de centro O e raio OA ou OB contém todos os vértices do octógono regular. Transporte com o compasso a medida do valor do lado AB sobre a circunferência de centro O encontrando os vértices e depois ligue-os formando assim o octógono.
  • 7. 7 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Abaixo vemos a construção completa do octógono regular. 6. CONSTRUIR UM DECÁGONO REGULAR DADO O LADO. Seja o lado AB do decágono. Sendo AB=L10, construa a mediatriz de AB, encontrando assim o ponto médio M de AB.
  • 8. 8 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Construa pelo ponto A uma reta perpendicular ao segmento AB. Em seguida, construa uma semicircunferência com centro em A e com raio AB, encontrando assim, os pontos N e P no prolongamento de AB e na perpendicular que passa por A respectivamente. Agora, construa uma semicircunferência com centro em M e com raio MP encontrando assim, o ponto R no prolongamento de AB. Em seguida, construa uma semicircunferência com centro em B e com raio BR encontrando assim o ponto O na mediatriz de AB. E finalmente, construa uma circunferência com centro em O e com raio OA ou OB. Transporte com o compasso a medida AB (L10) sobre a circunferência de centro O.
  • 9. 9 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Ligue os pontos marcados na circunferência de centro O, obtendo assim, o decágono regular. Observe abaixo o processo completo de construção do decágono regular. 7. CONSTRUIR UM DODECÁGONO REGULAR DADO O LADO. Seja o segmento AB igual ao lado do dodecágono. Sendo AB=L12, construa a mediatriz de AB, encontrando o ponto médio M de AB. Em seguida, construa dois arcos de circunferências com centro nos pontos A e B e com raio AB, encontrando assim o ponto N no cruzamento dos dois arcos.
  • 10. 10 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 Agora, construa uma circunferência com centro em N e com raio NA ou NB, encontrando assim o ponto P no cruzamento dessa circunferência com a mediatriz de AB. E finalmente construa uma circunferência com centro em P e com raio PA ou PB. Transporte com o compasso a medida do segmento AB (L12) sobre a circunferência de centro P. Ligue os pontos marcados na circunferência obtendo assim o dodecágono regular. Veja abaixo a construção completa do dodecágono regular. 8. DESENHAR OS POLÍGONOS ESTRELADOS POSSÍVEIS DE SE CONSTRUIR A PARTIR DO OCTÓGONO. A partir do octógono regular é possível construir três polígonos estrelados: - ligando dois vértices e pulando um, - ligando dois vértices e pulando dois, - ligando dois vértices e pulando três. 9. COMPLETAR A TABELA ABAIXO.
  • 11. 11 Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre polígonos www.mat.uel.br/geometrica regulares em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.11c. 2005 NÚMERO ÂNGULO NÚMERO DE POLÍGONO DE LADOS INTERNO DIAGONAIS TRIÂNGULO 3 60 0 QUADRADO 4 90 2 PENTÁGONO 5 108 5 HEXÁGONO 6 120 9 HEPTÁGONO 7 128,57 14 OCTÓGONO 8 135 20 ENEÁGONO 9 140 27 DECÁGONO 10 144 35 UNDECÁGONO 11 147,27 44 DODECÁGONO 12 150 54 TRIDECÁGONO 13 152,3 65 PENTADECÁGONO 15 156 90 ICOSÁGONO 20 162 170 BIBLIOGRAFIA BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951. RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.