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Equações Modulares

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  1. 1. Equações Modulares 1 Definição e significado geométrico do mó- dulo |u| = ( u se u ≥ 0 −u se u < 0 • |a| representa a distância do ponto a até a origem das coordenadas; • |a−b| representa a distância entre os pontos a e b. Exemplo: se a = −1 e b = 3 então |a − b| = |(−1) − (3)| = | − 4| = 4. Para quaisquer números a, b ∈ R são válidas as seguintes propriedades básicas: 1. |a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0; 2. |a + b| ≤ |a| + |b|; 3. |a − b| ≥ ||a| − |b||; 4. |ab| = |a||b|; 5. |a b | = |a| |b| , b 6= 0. 1
  2. 2. 2 Equação modular elementar • |x| = c, onde c é uma constante dada; • Solução analítica: – Caso c > 0: essa equação tem duas soluções x = ±c. Realmente, se x ≥ 0, então a equação |x| = c equivale a x = c e essa é a solução da equação original uma vez que c > 0. Se x < 0, então a equação |x| = c se torna −x = c ou x = −c que é a segunda solução da equação modular, porque −c < 0. – Caso c = 0: a única solução é x = 0. – Caso c < 0: não há soluções, uma vez que |x| é uma grandeza não negativa pela definição. • Interpretação geométrica: Como ele representa a distância do ponto x até a origem das coordenadas, então, resolver a equação significa en- contrar todos os pontos na reta coordenada cuja distância até a origem é igual a c. – Caso c > 0: temos dois pontos que distanciam c unidades da origem: um a direita e outro a esquerda da origem. O primeiro tem coordenada c e o segundo −c, ou seja a solução é x = ±c. – Caso c = 0: o ponto procurado coincide com a origem, isto é, x = 0. – Caso c < 0: não há soluções, porque a distância é uma grandeza não negativa. 2
  3. 3. 3 Solução de equações modulares |ax + b| = c • |ax + b| = c, onde a 6= 0, b, c são constantes dadas (parâmetros da equação) • Solução analítica – Caso c = 0: a solução é ax + b = 0, isto é, x = −b a – Caso c < 0: obviamente não há solução – Caso c > 0: usando o método analítico, chamamos t = ax + b, |t| = c tem duas soluções t = ±c. Assim, ax + b = ±c o que leva às duas soluções x = −b±c a . Ou seja, a solução de |ax + b| = c se reduz a duas esquações lineares ax + b = ±c. • Solução geométrica – Podemos reescrever a equação na forma |x + b a | = c |a| . Como |x − d| representa, geometricamente, a distância de x até d, então temos que encontrar todos os pontos cuja distância até o ponto d = −b a é igual a c |a| . Obviamente temos dois tais pontos: um fica a direita de d e outro a esquerda (ambos na distância c |a| de d). A coordenada do primeiro é d + c |a| e do segundo d − c |a| – as soluções da equação são x = d ± c |a| = −b a ± c |a| – O tratamento analítico pode ser estendido a um grupo bem amplo de equações modulares, enquanto o geométrico é bem limitado e se usa normalmente só nos casos mais simples de equações |ax+b| = c 3
  4. 4. EXEMPLOS 1. Resolver a equação modular |x| = 2020. Essa é a equação elementar e sua solução (da investigação geral de equações elementares ou direto da definição do módulo) é x = ±2020. 2. Resolver a equação modular |2x − 1| = 5. Essa equação modular equivale às duas equações lineares: 2x−1 = ±5. Resolvendo essas duas equações, obtemos as duas soluções correspon- dentes x = 1±5 2 , ou seja, x1 = 3 e x2 = −2. Essas são as duas soluções da equação modular. 4 Solução de equações modulares |f(x)| = c . A equação |f(x)| = c equivale às duas equações sem o módulo: f(x) = ±c. EXEMPLOS 1. Resolver a equação modular |x2 − 9| = 5. Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2 − 9 = ±5, ou seja, x2 = 4 e x2 = 14. A primeira tem duas raizes x = ±2 e a segunda – mais duas raizes x = ± √ 14. Assim, a equação original tem quatro raizes: x = ±2 e x = ± √ 14. 2. Resolver a equação modular |x2 − 4x + 6| = 3. Essa equação é reduzida às duas equações quadráticas x2 −4x+6 = ±3, ou seja, x2 − 4x + 3 = 0 e x2 − 4x + 9 = 0. A primeira tem duas raizes x = 1; 3 e a segunda – não tem raizes, uma vez que o seu discriminante é negativo. Assim, a equação original tem duas raizes: x = 1; 3. 3. Resolver a equação modular
  5. 5. x−1 x+2
  6. 6. = 3. A equação modular equivale às duas equações racionais: x−1 x+2 = 3 e x−1 x+2 = −3 . Resolvendo a primeira, obtemos x − 1 = 3x + 6 e então x1 = −7 2 . Da segunda temos x − 1 = −3x − 6 e então x2 = −5 4 . Essas são as duas soluções da equação modular. 4
  7. 7. 5 Solução de equações |f(x)| = |g(x)| . O método analítico pode ser estendido também a equações com dois mó- dulos na forma |f(x)| = |g(x)|, onde f(x) e g(x) são duas expressões (funções) conhecidas de x. Nesse caso, a equação modular equivale as duas equações sem módulo f(x) = ±g(x). Isso é simples de ver, reescrevendo a equa- ção dada na forma
  8. 8. f(x) g(x)
  9. 9. = 1, chamando h(x) = f(x) g(x) e obtendo asssim a equação |h(x)| = 1, já considerada antes, que equivale a forma sem módulo h(x) = ±1, que pode ser reescrita como f(x) = ±g(x), de acordo com a definição de h(x). (Os pontos onde g(x) se anula e h(x) não está definida serão recuperados quando voltamos a forma sem g(x) no denominador.) A posterior resolução das equações f(x) = ±g(x) depende da forma de f(x) e g(x). 6 Solução de equações |f(x)| ± |g(x)| = h(x) . O último tipo a ser considerado é a equação com dois módulos na forma mais geral |f(x)| ± |g(x)| = h(x), onde f(x), g(x) e h(x) são três expressões (funções) conhecidas de x. Esse tipo é mais complicado e não se resolve da mesma maneira como as equações anteriores. O método mais usado na resolução dessa equação consiste na verificação do sinal das expressões f(x) e g(x) e consideração separada da equação dada nos conjuntos onde essas expressões tem um sinal específico, o que possibilita se livrar do módulo. Como os conjuntos que preservam o sinal de f(x) e g(x) muitas vezes são intervalos, então esse método frequentemente é chamado do método de in- tervalos. Esse é o método mais geral que o método analítico considerado antes, mas usualmente ele é mais trabalhoso tecnicamente. Em geral, o pro- cedimento pode ser muito complicado, mas em caso especial de expressões lineares f(x) = ax + b e g(x) = cx + d pode ser realizado sem problemas. Nos exemplos a seguir consideremos esse caso especial. 5
  10. 10. EXEMPLOS 1. Resolver a equação modular |2x + 3| = |3x − 7|. • Solução algébrica: Essa equação é do tipo |f(x)| = |g(x)| e pode ser reduzida ime- diatamente às duas equações lineares 2x + 3 = ±(3x − 7). A primeira, 2x + 3 = 3x − 7, tem a solução x = 10 e a segunda, 2x + 3 = −3x + 7, tem a solução x = 4 5 . Assim, as soluções da equação original são x = 10; 4 5 . • Solução por intervalos: A expressão f(x) = 2x+3 é positiva para x > −3 2 e negativa para x < −3 2 . A segunda expressão g(x) = 3x−7 é positiva para x > 7 3 e negativa para x < 7 3 . Portanto, de acordo com a definição do módulo, |2x + 3| = ( 2x + 3, x ≥ −3/2 −2x − 3, x < −3/2 e |3x − 7| = ( 3x − 7, x ≥ 7/3 −3x + 7, x < 7/3 Assim, temos dois pontos especiais x1 = −3 2 e x2 = 7 3 onde uma das expressões muda o seu sinal. Consequentemente, dividindo todo o eixo real em três partes (três intervalos) (−∞, −3 2 ], (−3 2 , 7 3 ) e [7 3 , +∞), garantimos que em cada um desses intervalos ambas as expressões não mudam o seu sinal e, por isso, podemos abrir os módulos das duas expressões (veja Fig.1). (Notamos que os pontos x = −3 2 e x = 7 3 podem ser incluídos em qualquer um dos intervalos, uma vez que uma das expressões se anula num desses pontos). 6
  11. 11. Figura 1: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares. Dessa maneira, consideremos a equação original separadamente nos três intervalos indicados. (a) se x ≤ −3 2 , então a equação original equivale a equação linear −2x − 3 = −3x + 7 cuja solução é x = 10. Mas essa solução deve ser descartada porque fica fora do intervalo (−∞, −3 2 ]. (b) se −3 2 < x < 7 3 , então a equação original equivale a equação linear 2x + 3 = −3x + 7 cuja solução é x = 4 5 . Como essa solução pertence ao intervalo (−3 2 , 7 3 ), então ela é a solução da equação modular. (c) se x ≥ 7 3 , então a equação original equivale a equação linear 2x + 3 = 3x − 7 cuja solução é x = 10. Nesse caso, essa solução fica dentro do intervalo [7 3 , +∞) e, por isso, conta como a solução da equação modular. Concluindo, obtemos as duas soluções da equação modular: x = 10; 4 5 . Claro, que elas coincidem com as soluções encontradas pelo método mais simples. 2. Resolver a equação modular |x + 3| − |2x − 1| = 1. Resolvemos essa equação usando o método de intervalos. Primeiro, resolvemos as equações x+3 = 0 e 2x−1 = 0 e encontramos os dois pontos especiais x1 = −3 e x2 = 1 2 (colocados na ordem de crescimento). Consequentemente, dividimos todo o eixo real em três intervalos (−∞, −3], (−3, 1 2 ) e [1 2 , +∞), garantindo que em cada um desses intervalos ambas as expressões não mudam o seu sinal (veja Fig.2). 7
  12. 12. Agora podemos abrir os módulos separadamente em cada um desses intervalos. (a) se x ≤ −3, então a equação original equivale a equação linear −(x + 3) + (2x − 1) = 1 que tem a solução x = 5, mas ela não pertence ao intervalo (−∞, −3] e, por isso, deve ser descartada. (b) se −3 < x < 1 2 , então a equação original equivale a equação linear x + 3 + (2x − 1) = 1 que tem a solução x = −1 3 . Como essa raiz fica dentro do intervalo (−3, 1 2 ), então ela é a solução da equação modular. (c) se x ≥ 1 2 , então a equação original equivale a equação linear x + 3 − (2x − 1) = 1 cuja solução é x = 3. Como essa raiz fica dentro do intervalo [1 2 , +∞), então ela é a solução da equação modular. Assim, a equação modular tem duas soluções: x = −1 3 ; 3. Figura 2: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares. 8
  13. 13. 3. Resolver a equação modular |5 − 2x| + |x + 3| = 2 − 3x. Resolvemos essa equação usando o método de intervalos. Primeiro, resolvemos as equações 5−2x = 0 e x+3 = 0 e encontramos os dois pontos especiais x1 = −3 e x2 = 5 2 (colocados na ordem de crescimento). Consequentemente, dividimos todo o eixo real em três intervalos (−∞, −3], (−3, 5 2 ) e [5 2 , +∞), garantindo que em cada um desses intervalos ambas as expressões não mudam o seu sinal (veja Fig.3). Agora podemos abrir os módulos separadamente em cada um desses intervalos. (a) se x ≤ −3, então a equação original equivale a equação linear 5 − 2x − (x + 3) = 2 − 3x que se simplifica a identidade 0 = 0. Isso quer dizer que qualquer x do intervalo em consideração é a soluçaõ da equação modular. (b) se −3 < x < 5 2 , então a equação original equivale a equação linear 5 − 2x + (x + 3) = 2 − 3x cuja solução é x = −3, mas ela não pertence ao intervalo (−3, 5 2 ) e, por isso, deve ser descartada. (c) se x ≥ 5 2 , então a equação original equivale a equação linear −(5− 2x) + (x + 3) = 2 − 3x cuja solução é x = 2 3 , mas ela não pertence ao intervalo [5 2 , +∞) e, por isso, deve ser descartada. Assim, encontramos o seguinte conjunto de soluções da equação modu- lar: x ∈ (−∞, −3]. Figura 3: Distribuição dos sinais das duas expressões lineares. 9

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