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Módulo                                                                       f)   | x | = | y | ↔ x = y ou x = -y

    Definição: Seja x um número Real. Definimos o                       Exemplo 1
módulo de x e representamos por | x |, como sendo:
                                                                        |x + 3| = 5
                             x; se x  0
                         x                                            Condições:
                             x; se x  0
Exemplos:                                                               x + 3 = 5 ou x + 3 = – 5

      a) | -2 | = - (-2) = 2                                            Resolução:
      b) | 4 | = 4
      c) | 0 | = 0                                                      x+3=5→x=5–3→x=2
                                                                        x+3=–5→x=–5–3→x=–8
      Dado um número real x, tem-se sempre que                𝑥2 =
 𝑥.                                                                     S = {– 8; 2}

Exemplos:                                                               Exemplo 2

                                                                        |8x – 16| = 2x + 2
a)     (3)2  9  3  3
                                                                        Condições:
b)      22       2 2
                                                                        |8x – 16| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se 2x + 2
Considere π = 3,1415..                                                  ≥ 0, 2x ≥ –2, x ≥ –1

                                                                        |8x – 16| = 2x + 2
c)         2− 𝜋   2   = 2 – π (isto é uma proposição falsa)             8x – 16 = 2x + 2 ou 8x – 16 = – (2x + 2)

     2− 𝜋    2   = 2 – π = π − 2, pois π é maior que 2.                 Resolução:
                                                                        8x – 16 = 2x + 2 → 8x – 2x = 2 + 16 → 6x = 18 → x =
Equações e inequações modulares                                         18/6 → x = 3

Definição: São equações e inequações que apresentam                     8x – 16 = – (2x + 2) → 8x – 16 = – 2x – 2 → 8x + 2x = – 2
variável em módulos de boa parte delas são resolvidas,                  + 16 → 10x = 14 → x = 7/5 → x = 1,4
utilizando as seguintes propriedades:
                                                                        Verifique que x = 3 e x = 1,4, satisfazem a condição x ≥ –
      a)    | x |  0, ∀ x  R                                          1, portanto o conjunto solução é {1,4; 3}

      b) | x | = 0 ↔ x = 0
                                                                        Exemplo 3
      c)    Se k > 0, | x | = k ↔ x = - k ou x = k
                                                                        |x + 1| = |x – 3|
      d) Se k > 0, | x |  k ↔ - k  x  k
                                                                        x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (Não é
                                                                        possível)

                                                                        x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x =
      e)    Se k > 0, | x |  k ↔ x  - k ou x  k                      2→x=1

                                                                        Solução: {1}



                 Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Professor Cristiano Marcell

Exemplo 4
                                                             Agora, esboçaremos f(x) = 𝑥 2 − 1
|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0
(Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0
(Bháskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}

Função Modular

   Definição: uma função de R em R recebe o nome de          Após...𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 − 2
Função Modular, quando se associa a cada x  R, o
elemento | x |  R, Isto é:

                           f = R→R
                           x→|x|

   O gráfico da Função Modular é constituído pela união
de duas semirretas, como mostra a figura:

Vejamos:

f(x) = x   x; se x  0
           
            x; se x  0




Vamos construir o gráfico de f(x) = 𝑥 2 − 1 − 2

Primeiro faremos o gráfico de y = x2 – 1.




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  • 1. Professor Cristiano Marcell Colégio Pedro II – Unidade Realengo II RESUMO FUNÇÃO MODULAR Matemática Professor Cristiano Marcell Módulo f) | x | = | y | ↔ x = y ou x = -y Definição: Seja x um número Real. Definimos o Exemplo 1 módulo de x e representamos por | x |, como sendo: |x + 3| = 5  x; se x  0 x  Condições:  x; se x  0 Exemplos: x + 3 = 5 ou x + 3 = – 5 a) | -2 | = - (-2) = 2 Resolução: b) | 4 | = 4 c) | 0 | = 0 x+3=5→x=5–3→x=2 x+3=–5→x=–5–3→x=–8 Dado um número real x, tem-se sempre que 𝑥2 = 𝑥. S = {– 8; 2} Exemplos: Exemplo 2 |8x – 16| = 2x + 2 a) (3)2  9  3  3 Condições: b)  22  2 2 |8x – 16| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se 2x + 2 Considere π = 3,1415.. ≥ 0, 2x ≥ –2, x ≥ –1 |8x – 16| = 2x + 2 c) 2− 𝜋 2 = 2 – π (isto é uma proposição falsa) 8x – 16 = 2x + 2 ou 8x – 16 = – (2x + 2) 2− 𝜋 2 = 2 – π = π − 2, pois π é maior que 2. Resolução: 8x – 16 = 2x + 2 → 8x – 2x = 2 + 16 → 6x = 18 → x = Equações e inequações modulares 18/6 → x = 3 Definição: São equações e inequações que apresentam 8x – 16 = – (2x + 2) → 8x – 16 = – 2x – 2 → 8x + 2x = – 2 variável em módulos de boa parte delas são resolvidas, + 16 → 10x = 14 → x = 7/5 → x = 1,4 utilizando as seguintes propriedades: Verifique que x = 3 e x = 1,4, satisfazem a condição x ≥ – a) | x |  0, ∀ x  R 1, portanto o conjunto solução é {1,4; 3} b) | x | = 0 ↔ x = 0 Exemplo 3 c) Se k > 0, | x | = k ↔ x = - k ou x = k |x + 1| = |x – 3| d) Se k > 0, | x |  k ↔ - k  x  k x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (Não é possível) x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = e) Se k > 0, | x |  k ↔ x  - k ou x  k 2→x=1 Solução: {1} Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
  • 2. Professor Cristiano Marcell Exemplo 4 Agora, esboçaremos f(x) = 𝑥 2 − 1 |x² – 5x + 6| = 2 x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) x’ = 1 e x” = 4 x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) Solução: {1,4} Função Modular Definição: uma função de R em R recebe o nome de Após...𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 − 2 Função Modular, quando se associa a cada x  R, o elemento | x |  R, Isto é:  f = R→R  x→|x| O gráfico da Função Modular é constituído pela união de duas semirretas, como mostra a figura: Vejamos: f(x) = x   x; se x  0   x; se x  0 Vamos construir o gráfico de f(x) = 𝑥 2 − 1 − 2 Primeiro faremos o gráfico de y = x2 – 1. Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)