Este documento apresenta os principais conceitos e propriedades da Transformada de Laplace, incluindo sua definição, como aplicá-la a diferentes funções, teoremas úteis e como realizar a Transformada Inversa de Laplace.

1. Estudos de Controle
- Laplace
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2. Transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
onde c é a abscissa de convergência, uma
constante real escolhida com valor superior à
parte real de todos os pontos singulares de F(s).
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3. Transformada de Laplace
• Função transladada:
• Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e a
função transladada 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 , onde
𝛼 ≥ 0
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 = 𝑒−𝛼𝑠
𝐹(𝑠)
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4. Transformada de Laplace
• Função pulso retangular:
𝑓 𝑡 =
𝐴
𝑡0
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑡0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 =
𝐴
𝑡0 𝑠
(1 − 𝑒−𝑠𝑡0)
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5. Transformada de Laplace
• Função impulso:
𝑓 𝑡 =
lim
𝑡0→0
𝐴
𝑡0
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑡0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐴
𝑇𝐿 𝛿 𝑡 = 1
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6. Transformada de Laplace
• Multiplicação por 𝑒−𝛼𝑡
:
𝑇𝐿 𝑒−𝛼𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝛼)
• Mudança de escala de tempo:
𝑇𝐿 𝑓
𝑡
𝛼
= 𝛼𝐹(𝛼𝑠)
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7. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da derivação real
𝑇𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
• De forma análoga, para a derivada de ordem n
𝑇𝐿
𝑑 𝑛
𝑑𝑡 𝑛 𝑓 𝑡 = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓 0 − 𝑠 𝑛−2 𝑓 0 … − 𝑠0 𝑓 𝑛−1 (0)
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8. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema do valor final
• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por
Laplace e se lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) existir, então
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠)
• Ou seja, o comportamento em regime
estacionário de f(t) é o mesmo que o
comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0.
Conseguimos obter o valor de f(t) em t = ∞
diretamente de F(s). 8

9. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema do valor inicial
• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por
Laplace e se lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠) existir, então
𝑓 0+
= lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠)
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10. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da integração real
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑠
𝑠
+
𝑓−1(0)
𝑠
onde 𝑓−1
0 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 avaliada em t=0.
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11. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da derivada complexa
• Se f(t) for transformável por Laplace, então,
exceto nos pólos de F(s)
𝑇𝐿(𝑡𝑓 𝑡 ) = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠)
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12. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Convolução
𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
• Integral de Convolução
𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ) = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠
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13. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Produto de duas funções no tempo
𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ) =
1
2𝜋𝑗
𝐹1 𝑠 − 𝑝 𝐹2 𝑝 𝑑𝑝
𝑐+∞
𝑐−∞
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14. Transformada Inversa de
Laplace
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
• Outra maneira, é utilizar métodos para a
obtenção a partir de transformadas de Laplace
conhecidas.
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15. Transformada Inversa de
Laplace
• Método de expansão em frações parciais
• 𝐹 𝑠 =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
, onde A(s) e B(s) são polinômios
em s.
• A maior potência de s em A(s) deve ser maior
do que a maior potência de s em B(s)
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
= 𝐾
𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 … (𝑠 + 𝑧 𝑚)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 … (𝑠 + 𝑝 𝑛)
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 < 𝑛
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16. Transformada Inversa de
Laplace
• Quando F(s) possui apenas pólos distintos,
temos
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑎1
𝑠 + 𝑝1
+
𝑎2
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝑎 𝑛
𝑠 + 𝑝 𝑛
• Os coeficientes 𝑎 𝑘são chamados de resíduo do
pólo
𝑎 𝑘 = (𝑠 + 𝑝 𝑘)
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠 𝑠=−𝑝 𝑘
=
𝑎1(𝑠 + 𝑝 𝑘)
𝑠 + 𝑝1
+
𝑎2(𝑠 + 𝑝 𝑘)
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝑎 𝑛(𝑠 + 𝑝 𝑘)
𝑠 + 𝑝 𝑛 𝑠=−𝑝 𝑘 16

17. Transformada Inversa de
Laplace
• Como
𝑇𝐿−1
𝑎 𝑘
𝑠 + 𝑝 𝑘
= 𝑎 𝑘 𝑒−𝑝 𝑘 𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑇𝐿−1 𝐹(𝑠)
= 𝑎1 𝑒−𝑝1 𝑡
+𝑎2 𝑒−𝑝2 𝑡
+ ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑒−𝑝 𝑛 𝑡
para 𝑡 ≥ 0.
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18. Transformada Inversa de
Laplace
• Quando inclui pólos múltiplos
• Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter os
resíduos.
• Exemplo:
𝐹 𝑠 =
𝑠2
+ 2𝑠 + 3
(𝑠 + 1)3
𝐹 𝑠 =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑏1
𝑠 + 1
+
𝑏2
(𝑠 + 1)2
+
𝑏3
(𝑠 + 1)3
(𝑠 + 1)3
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
= 𝑏1(𝑠 + 1)2+𝑏2(𝑠 + 1) + 𝑏3 18

19. Transformada Inversa de
Laplace
• Quando inclui pólos múltiplos
(𝑠 + 1)3
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠) 𝑠=−1
= 𝑏3
𝑑
𝑑𝑠
(𝑠 + 1)3
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠) 𝑠=−1
= 𝑏2 + 2𝑏1(𝑠 + 1)
𝑑
𝑑𝑠
(𝑠 + 1)3
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠) 𝑠=−1
= 𝑏2
𝑑2
𝑑𝑠2
(𝑠 + 1)3
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠) 𝑠=−1
= 2𝑏1
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20. MATLAB
• Expansão em frações parciais no MATLAB:
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑛𝑢𝑚
𝑑𝑒𝑛
=
𝑏0 𝑠 𝑛
+ 𝑏1 𝑠 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑏 𝑛
𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 𝑛
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑟(1)
𝑠 − 𝑝(1)
+
𝑟(2)
𝑠 − 𝑝(2)
+ ⋯ +
𝑟 𝑛
𝑠 − 𝑝 𝑛
+ 𝑘(𝑠)
𝑟, 𝑝, 𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒(𝑛𝑢𝑚, 𝑑𝑒𝑛)
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21. Obrigada!
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