1) O documento apresenta a desigualdade de Markov, demonstrando-a matematicamente e aplicando-a para resolver uma questão sobre a renda dos trabalhadores brasileiros em 2006. 2) É mostrado que, usando a desigualdade de Markov e dados estatísticos, o primeiro quartil da distribuição de renda naquele ano foi estimado em R$154,06, menor que R$160,00. 3) No final, é anunciado um lançamento de um conjunto de questões sobre estatística com descontos na Black Friday.

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3. Agenda
Desigualdade de Markov;
Preliminares;
Demonstração da Desigualdade de Markov;
Resolução de uma questão do concurso do INSS (Cespe).

4. §
¦
¤
¥
Desigualdade de Markov
Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x) e h(x) uma função da
v.a X, tal que h(x) r, r não negativo. Então
P(X ≥ r) ≤
E(X)
r

5. Preliminares
Função de densidade (podemos usar f.p.);
f(x) 0, ∀x ∈ R

6. Preliminares
Valor Esperado;
E(X) =
∞
−∞
x · f(x) dx
Valor Esperado de uma função da variável aleatória h(X)
E [h(X)] =
∞
−∞
h(X) · f(x) dx

7. Prova
Valor Esperado (descomposição);
E [h(X)] =
∞
−∞
h(x)f(x) dx =
a
−∞
h(x)f(x)dx+
∞
a
h(x)f(x)dx

8. Prova
Partindo de
E [h(X)] =
∞
−∞
h(x)f(x) dx =
a
−∞
h(x)f(x)dx+
∞
a
h(x)f(x)dx
Podemos escrever
E [h(X)] ≥
∞
a
h(x)f(x)dx

9. Prova
Agora de
E [h(X)] ≥
∞
a
h(x)f(x)dx
Suponha que h(a) = r;
E [h(X)] ≥
∞
r
rf(x)dx
Finalmente
E [h(X)] ≥ r
∞
r
f(x)dx

10. Prova
E [h(X)] ≥ r
∞
r
f(x)dx

11. Prova
Temos
E [h(X)] ≥ r
∞
r
f(x)dx
Com isso
E [h(X)] ≥ rP(h(X) r)
Finalmente
P(h(X) r) ≤
E(h(X))
r

12. Prova
Tome h(X) = X em
P(h(X) r) ≤
E(h(X))
r
Obtenha a Desigualdade de Markov
P(X r) ≤
E(X)
r

13. INSS/2008 Cespe/Cebraspe

14. INSS/2008 Cespe/Cebraspe

15. INSS/2008 Cespe/Cebraspe
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens que
se seguem.
115. Em 2006, estima-se pela desigualdade de Markov que o primeiro quartil
da distribuição de renda dos trabalhadores seja inferior a R$ 160, 00.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
É fato que o primeiro quartil, r, é tal que r ∈ 50% mais pobres.
É fato que o primeiro quartil, r, é a mediana dos 50% mais pobres.
Queremos saber quem é r, de tal sorte que P(X ≤ r) = 0, 5. Logo:
P(X r) ≤ 0, 5
P(X r) ≤
E(X)
r
77, 03
r
= 0, 50 ⇔ r = 154, 06
Com isso concluímos que o primeiro quartil, r = 154, 06 160.

16. Lançamento!
§
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52 Questões de Estatística
Desigualdade de Chebyshev, Convergências, Leis dos Grandes
Números e Teorema Central do Limite
Black Friday: de R$150 por R$ 30.

17. Conteúdo Exclusivo
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