Este documento discute a motivação e aplicações da Transformada Laplace para resolver equações diferenciais que modelam movimentos amortecidos como o de um carro passando por uma lombada ou um pêndulo oscilando. A Transformada Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas simplificadas que podem ser resolvidas mais facilmente. Exemplos demonstram como usar a Transformada Laplace para analisar a estabilidade de sistemas e calcular soluções de equações diferenciais.

1. Disciplina: Sistemas de Controle I
Prof. Mário Uliani Neto
Aula 03: Transformada Laplace
Motivação
Alguém já viu uma Brasília amarela passar em uma
lombada em alta velocidade?
O que irá acontecer?

2. Motivação
Independente do carro ser uma Brasília, se um carro com o
amortecedor velho passar em uma lombada em alta velocidade,
ele ficará “pulando” por alguns instantes e, de forma gradativa,
deixará de balançar. A figura abaixo ilustra este movimento no
tempo.
Por que isto ocorre?
O amortecedor têm a função de amortecer o impacto provocado
pela lombada; se ele não funcionar da maneira adequada por
estar velho, o amortecimento do impacto será mais lento.
Motivação
Outro problema clássico de dinâmica de amortecimento é o
balanço de um pêndulo.
Exercício 1: Amarrar um objeto com peso entre 200 e 500 gramas
na ponta de um barbante de 50 cm, segurar a outra ponta em
uma das mãos, elevar o objeto mantendo o barbante esticado e
soltar. Descrever o que irá acontecer durante os próximos 5 min.

3. Motivação
O problema do carro e do pêndulo são exemplos de movimentos
amortecidos, cuja dinâmica pode ser modelada matematicamente
por equações diferenciais.
Para a análise e estudo do amortecedor ou pêndulo, faz-se
necessária suas representações através de equações diferenciais.
Exercício 2: Pesquisar (na internet ou em livros) e apresentar a
equação de movimento do pêndulo.
Desafio 1: Existem vários jogos de corrida para videogame que
permitem você ajustar a configuração do amortecedor do carro
de acorto com o tipo de circuito. É possível montar um sistema
para o controle automático do amortecedor de um carro de
corrida de verdade, de acordo, por exemplo, com a velocidade,
saliências da pista, etc? Proponha e descreva uma solução.
Transformada Laplace
Objetivo da Transformada Laplace
A resolução de equações diferenciais como a produzida pelo
pêndulo ou amortecedor do carro são, em geral, de relativa
complexidade.
A transformada de Laplace é um método que pode ser utilizado
para solucionar equações diferenciais lineares. Funções comuns
(por exemplo, senoidais, exponenciais) podem ser convertidas em
funções algébricas de uma variável. Operações de integração e
derivação também podem ser substituídas por operações
algébricas.
Uma equação diferencial pode ser transformada em uma
equação algébrica com uma variável.

4. Transformada Laplace
Vantagens da Transformada Laplace
A solução de uma equação diferencial pode ser obtida por meio
da tabela das transformadas de Laplace ou por expansão em
frações parciais (este último será discutido em outro momento do
curso).
A transformada Laplace permite o uso de técnicas gráficas para
prever o desempenho do sistema, sem necessidade de solucionar a
equação diferencial.
Transformada Laplace
Definição da Transformada Laplace
∞
F (s ) = f (t ) e − st dt
0
onde: f(t) = função do tempo
funç
s = variável
variá
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
Definição da Transformada Inversa de Laplace
c + j∞
1
f (t ) = F (s ) e st ds
2πj c − j∞
onde: c = constante real

5. Transformada Laplace
Exemplo: considere o exemplo do carro passando em velocidade
por uma lombada. O movimento do carro no domínio do tempo
representa uma forma senoidal amortecida
a envoltória deste movimento pode ser representada por uma
função exponencial, conforme representado na linha azul
tracejada. Esta equação exponencial é definida como:
f (t ) = Ae −αt , para t ≥ 0
onde A e são constantes.
Transformada Laplace
Solução:
O cálculo da transformada Laplace da função exponencial é
realizado da seguinte maneira:
Pegue a equação de Laplace:
∞
F (s ) = f (t ) e − st dt
0
Substitua f(t) pela equação exponencial:
∞ ∞
F (s ) = Ae −αt e − st dt = A e −( s +α ) t dt
0 0
Resolva a integral da exponencial:
1 −( s +α ) t
F (s ) = − A e ∞
0
s +α

6. Transformada Laplace
Solução:
Substitua os limites 0 e infinito no termo t da exponencial
resultante:
F (s ) = − A
1 −( s +α ) t
s +α
e ∞
0 =−
A
s +α
(
e −( s +α ) ∞ − e −( s +α ) 0 )
A
F (s ) = − (0 − 1)
s +α
Com isso, chegamos à transformada Laplace da função
exponencial:
A
F (s ) =
s +α
Transformada Laplace
Solução:
Percebe-se que a função exponencial foi substituída por uma
função algébrica simples com uma única variável s.
A
F (s ) =
s +α
Operações com equações diferenciais tornam-se mais simples
realizando os seguintes passos:
- calcular a transformada Laplace;
- realizar operações algébricas simples;
- calcular a transformada inversa de Laplace, obtendo a
solução da equação diferencial.

7. Transformada Laplace
Solução: análise de estabilidade.
O sinal f (t ) = Ae −αt (função exponencial) assume diferentes formas
dependendo do valor de . Se > 0, f(t) é um sinal decrescente:
Se < 0, f(t) é um sinal crescente:
Transformada Laplace
Solução: análise de estabilidade.
Para o caso do amortecedor do carro e do pêndulo, fica claro o
fato de que o sinal deve ser decrescente, pois a oscilação tende a
parar com o passar do tempo, ou seja, > 0. Caso contrário, se o
sinal for crescente, teremos uma condição de instabilidade, pois o
carro tenderia a pular cada vez mais após passar pela lombada.

8. Transformada Laplace
Exercício 3: A transformada Laplace das funções mais comuns,
como as funções exponencial e senoidal, são conhecidas e
encontram-se disponíveis na internet. Pesquise a transformada
Laplace das funções mais comuns e crie sua tabela de
transformadas de Laplace.
Exercício 4: Calcule a transformada Laplace da função
cossenoidal com o auxílio de sua tabela de transformadas
construída no exercício 3:
f (t ) = 0, para t < 0
f (t ) = cos(ω t ) para t ≥ 0
Transformada Laplace
Desafio 2: propor um problema prático de seu cotidiano que
possa ser resolvido por meio da Transformada Laplace. Modelar
este problema e indicar como aplicar a transformada Laplace
para resolvê-lo.