1) A Transformada de Laplace é um método operacional para solucionar equações diferenciais lineares através de simplificações. 2) Funções de transferência caracterizam as relações de entrada e saída de sistemas, geralmente representadas por equações diferenciais lineares invariantes no tempo. 3) O espaço de estados define o estado mínimo de variáveis que determinam completamente o comportamento de um sistema através de equações de estado e saída.

1. Estudos de Controle
– Revisão
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2. Transformada de Laplace
• Método operacional para solucionar equações
diferenciais linerares porque fornece
simplificações.
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
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3. Transformada de Laplace
• Propriedades importantes:
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠)
• 𝑇𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
• 𝑇𝐿 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑠
𝑠
+
𝑓−1(0)
𝑠
• 𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ) = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠
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4. Função de Transferência
• Caracterizam as relações de entrada e saída dos
sistemas.
• Geralmente escritas por equações diferenciais
lineares invariantes no tempo.
𝐺 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
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5. Diagrama de Blocos
• Representação gráfica das funções desempenhadas por
cada componente e o fluxo de sinais entre eles.
• Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada:
• Função de transferência de malha aberta:
𝐵(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
• Função de transferência de malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
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6. Espaço de Estados
• Estado é o menor conjunto de variáveis de
estado que determinam completamente o
comportamento do sistema.
• Equação de estado:
𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡
• Equação de saída:
𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡
• Linearização:
𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖(𝑡)
𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡) 6

7. Espaço de Estados
• Para sistemas invariantes no tempo:
𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡)
𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡)
• Podemos obter a função de transferência:
𝐺 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷
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8. Exemplo: Controle de Pitch
• Forças e sistemas de coordenadas de um avião:
• Assumindo:
• Movimento estacionário (cruzeiro) com
velocidade e altitude constante;
• Mudanças no pitch não afetam a velocidade da
aeronave;
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9. Exemplo: Controle de Pitch
• Com as simplificações, as equações que descrevem o
pitch ficam da seguinte forma:
𝛼 = 𝜇𝜏𝜎 − 𝐶𝐿 + 𝐶 𝐷 𝛼 +
1
𝜇 − 𝐶𝐿
𝑞 − 𝐶 𝑊 sin 𝛾 𝜃 + 𝐶𝐿
𝑞 =
𝜇𝜏
2𝑖 𝑦𝑦
𝐶 𝑀 − 𝜗 𝐶𝐿 + 𝐶 𝐷 𝛼
+ 𝐶 𝑀 + 𝜎𝐶 𝑀 1 − 𝜇𝐶𝐿 𝑞 + 𝜗𝐶 𝑊 sin 𝛾 𝛿
𝜃 = 𝜏𝑞
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10. Exemplo: Controle de Pitch
• Para simplificar vamos usar valores numéricos
das constantes do avião da Boeing:
𝛼 = −0.313𝛼 + 56.7𝑞 + 0.232𝛿
𝑞 = −0.0139𝛼 − 0.426𝑞 + 0.203𝛿
𝜃 = 56.7𝑞
• Com isso, encontrar a função de transferência e
construir o modelo do espaço de estados.
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11. Exemplo: Controle de Pitch
• Função de Transferência:
𝐺 𝑠 =
𝜃(𝑠)
𝛿(𝑠)
=
1.151𝑠 + 0.1774
𝑠3 + 0.739𝑠2 + 0.921𝑠
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12. Exemplo: Controle de Pitch
• Modelo de estados:
𝛼
𝑞
𝜃
=
−0.313 56.7 0
−0.0139 −0.426 0
0 56.7 0
𝛼
𝑞
𝜃
+
0.232
0.0203
0
𝛿
𝑦 = 0 0 1
𝛼
𝑞
𝜃
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13. Linearização
• Permite analisar a resposta para duas entradas
simultâneas considerando entradas
individualmente e somando os resultados
(princípio da superposição).
• Aproximação de um sistema não-linear para um
sistema linear pode ser feita se:
• O sistema operar em torno de um ponto de
equilíbrio;
• Sinais envolvidos forem pequenos.
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14. Linearização
• Utilização da expansão da série de Taylor e
retenção apenas do termo linear:
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑥 +
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥 − 𝑥
𝑦 = 𝑦 + 𝐾 𝑥 − 𝑥 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 =
𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑥=𝑥
(𝑦 − 𝑦) = 𝐾 𝑥 − 𝑥
• A equação final fornece um modelo matemático
linear próximo do ponto de operação
𝑥 − 𝑥 𝑒(𝑦 − 𝑦)
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15. Linearização
• O mesmo vale para duas entradas:
𝑦 − 𝑦 = 𝐾1 𝑥1 − 𝑥1 + 𝐾2 𝑥2 − 𝑥2
onde,
𝐾1 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1 𝑥1=𝑥1,𝑥2=𝑥2
𝐾2 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥2 𝑥1=𝑥1,𝑥2=𝑥2
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16. Obrigada!
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