O documento explica as diferenças entre equações e inequações do 1o grau, como resolver inequações usando propriedades de adição e multiplicação, e fornece exemplos resolvidos. As propriedades incluem: adicionar/subtrair o mesmo número a ambos os membros sem alterar o sinal, e multiplicar por um número positivo/negativo pode requerer inverter o sinal.

1. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
1 - Linguagem das inequações
Qual a diferença entre uma equação do 1º grau e uma inequação do 1º grau ?
Como se sabe, uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o
sinal de igual entre eles. Para termos uma inequação, basta termos, em vez de um sinal de
igual, sinais de:
maior >
menor <
maior ou igual ≥≥≥≥
menor ou igual ≤≤≤≤
Assim :
x + 2 =
7
3
− é uma equação (porque usa o sinal =)
3x + 5 > 8 é uma inequação (porque usa o sinal >)
6,4x – 9 <
9
5
é uma inequação (porque usa o sinal <)
3
9 12
4
x + ≥ − é uma inequação (porque usa o sina l≤)
5 – 12x ≤≤≤≤ 0,14 é uma inequação (porque usa o sinal ≥)
Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: membro, termo, incógnita,
solução e resolução.
Assim, para a inequação: x + 2 > 4
temos:
incógnita ⇒ x
1º membro ⇒ x + 2
2º membro ⇒ 4
termos ⇒ x , 2 e 4
Numa inequação, normalmente, temos muitas soluções:
5 é solução ; 5 + 2 > 4 ( verdadeiro )
3 é solução ; 3 + 2 > 4 ( verdadeiro )
– 2 não é solução ; –2 + 2 > 4 ( falso )
Uma inequação está resolvida quando se determinou o conjunto das soluções
(conjunto-solução).
Duas inequações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução.

2. 2 - Resolução de inequações
Na resolução de inequações usam-se duas propriedades da relação > ou < e que são a
Monotonia da adição e a Monotonia parcial da multiplicação.
1ª – Monotonia da adição
Se numa balança tivermos 5 kg num prato e 3 kg no outro, e se acrescentarmos 2 kg a
cada um dos pratos, a situação não se altera.
Matematicamente escrevíamos:
5 > 3 ⇔
⇔ 2 + 5 > 2 + 3
O mesmo se passa se subtrairmos:
5 > 3 ⇔
⇔ 5 – 2 > 3 – 2
Diz-se, por isso, que:
Podemos adicionar ou subtrair a ambos os membros de uma inequação um
mesmo número, que obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Assim: 2x –5 > 8 ⇔ 2x –5 +5 > 8 +5 ⇔ 2x > 8 +5
Na prática e simplificadamente, podemos dizer que podemos passar um termo de um
membro para o outro desde que se troque o sinal, tal como se faz nas equações: o –5 mudou
de membro trocando de sinal
Exemplos:
a) 4x – 5 < 8 ⇔ 4x < 8 + 5
b) 12 + x > 25 ⇔ x > 25 – 12
2ª - Monotonia parcial da multiplicação
• Multiplicação por um número positivo
Observemos: 2 é menor que 3 e matematicamente escrevemos:
2 < 3
Podemos multiplicar ambos os membros por qualquer número positivo, que a
desigualdade contínua a ser verdadeira:
2 x 6 < 3 x 6 ⇔ 12 < 18
2 x 25 < 3 x 25 ⇔ 50 < 75
2 x 0,01 < 3 x 0,01 ⇔ 0,02 < 0,03 etc.

3. Diz-se, por isso, que:
Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º positivo,
mantendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira.
• Multiplicação por um número negativo
Observemos novamente:
2 < 3
Mas se multiplicarmos ambos os membros por – 1 verifica-se que:
– 1 x 2 dá – 2 e – 1 x 3 dá – 3
Ora – 2 é maior que – 3 e por isso temos de inverter o sinal da desigualdade:
2 < 3 ⇔
⇔ – 1 x 2 > – 1 x 3 ⇔
⇔ – 2 > – 3
Ao multiplicarmos ambos os membros por um n.º negativo tivemos de inverter o sinal
da desigualdade.
Diz-se, por isso, que:
Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º
negativo, invertendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à
primeira.
A Monotonia parcial da Multiplicação é usada para a resolução de inequações, quando
se pretende eliminar o coeficiente da variável. O coeficiente da variável é o número que
multiplica a variável; exemplos:
3x a variável é x e o seu coeficiente é 3
– 0,8 y a variável é y e o seu coeficiente é – 0,8
– a a variável é a e o seu coeficiente é – 1
4
b
a variável é b e o seu coeficiente é
1
4
( porque
1
4
x b =
4
b
)
Assim:
• Se o coeficiente de x for positivo muda de membro passando a dividir, sem mudar o
sinal da desigualdade.
Exemplos:
a) 4x < 5 ⇔ x <
5
4

4. b) 12x ≥ – 24 ⇔ x ≥
24
12
− ⇔ x ≥ – 2
• Se o coeficiente de x for negativo muda de membro passando a dividir, mudando-se
o sinal da desigualdade.
Exemplos:
a) – 3x > 18 ⇔ x <
18
3
− ⇔ x < – 6
b) – 14x ≤≤≤≤ – 42 ⇔ x ≥≥≥≥
42
14
−
−
como já se sabe dois sinais – dão sinal + e por isso
escreve-se: ⇔ x ≥
42
14
⇔ x ≥ 3
Nas mudanças de membro os sinais dos coeficientes da variável mantêm-se tal
como nas equações.
Exercícios resolvidos:
1) 4 ( x – 12 ) < x ⇔
⇔ 4x – 48 < x ⇔
⇔ 4x – x < 48 ⇔
⇔ 3x < 48 ⇔
⇔ x <
48
3
⇔ x < 16 Solução : S = ] – ∞ , 16 [
2)
3
x
≤ 7 ( x + 5 ) ⇔
⇔
3
x
≤ 7x + 35 ⇔
⇔
3
x
≤
7 3 35 3
3 3
x× ×
+ e retirando os denominadores agora que estão todos iguais
⇔ x ≤ 21x + 105 ⇔
⇔ x – 21x ≤ 105 ⇔
⇔ – 20x ≤ 105 ⇔
⇔ x ≥
105
20
− ⇔
⇔ x ≥ – 5,25 Solução : S =[ – 5,25 ; + ∞ [

5. 3)
5
x
− > 3,5 – x ⇔
⇔ – x > 17,5 – 5x ⇔
⇔ – x + 5x > 17,5 ⇔
⇔ 4x > 17,5 ⇔
⇔ x > 4,375 Solução: S = ] 4,375 ; + ∞ [
Exercícios para resolver
1) 2x – 1 > 3 ⇔ Solução: S = ] 2 , + ∝ [
2)
1
2
– 3x > – 8x ⇔ Solução: S = ] – 0,1 , + ∝ [
3) 2 ( 1 – x ) < – 3 ( 1 + x ) ⇔ Solução: S = ] – ∝ , – 5 [
4) 1 – 2x > – 5 ⇔ Solução: S = ] – ∝ , 3 [
5) – ( 1 + 3x ) ≤
5
2
− ⇔ Solução: S = [ 0,5 , + ∝ [
6)
( )5 3
2
x −
> 7x ⇔ Solução: S = ] – ∝ , –
1
3
[
7)
( )1 2 1
2
x− −
≤ 0 ⇔ Solução: S = [ 1 , + ∝ [
8) 1 – 5x ≥ 2 –
1
3
x +
⇔ Solução: S = ] – ∝ , –
1
7
]