O documento discute sistemas de ordem superior, abordando: 1) a análise da função de transferência em termos de zeros e pólos; 2) como a posição dos pólos no plano complexo determina a estabilidade e tipo de resposta; 3) o cálculo dos resíduos para encontrar a resposta a um degrau unitário.

1. Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1

2. Sistemas de Ordem Superior
• Vamos considerar um sistema em sua forma
geral:
• Função de transferência de malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
2

3. Sistemas de Ordem Superior
• Em geral, G(s) e H(s) são dadas como relações de
polinômios em s:
𝐺 𝑠 =
𝑝(𝑠)
𝑞(𝑠)
𝑒 𝐻 𝑠 =
𝑛(𝑠)
𝑑(𝑠)
• A função de transferência pode ser reescrita
como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑝 𝑠 𝑑(𝑠)
𝑞 𝑠 𝑑(𝑠)+𝑝 𝑠 𝑛(𝑠)
=
𝑏0 𝑠 𝑚+𝑏1 𝑠 𝑚−1+⋯𝑏 𝑚−1 𝑠+𝑏 𝑚
𝑎0 𝑠 𝑛+𝑎1 𝑠 𝑛−1+⋯𝑎 𝑛−1 𝑠+𝑎 𝑛
,
onde 𝑛 ≥ 𝑚.
3

4. Sistemas de Ordem Superior
• Para encontrar a solução analítica é necessário
encontrar os pólos e zeros da função,
reescrevendo-a em função destes como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 … (𝑠 + 𝑧 𝑚)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 … (𝑠 + 𝑝 𝑛)
• A influência dos pólos e zeros irão determinar o
comportamento do sistema.
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5. Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:
• Exemplo:
𝐺 𝑠 =
1
𝑠3 + 6𝑠2 + 13𝑠 + 10
=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 2 − 𝑗)(𝑠 + 2 + 𝑗)
• Pólos:
𝑝1 = −2 + 𝑗, 𝑝2 = −2 − 𝑗 , 𝑝3 = −2
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6. Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
• O sistema converge.
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7. Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s:
• Exemplo:
𝐺 𝑠 =
1
𝑠3 − 6𝑠2 + 13𝑠 − 10
=
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 2 + 𝑗)(𝑠 − 2 − 𝑗)
• Pólos:
𝑝1 = 2 + 𝑗, 𝑝2 = 2 − 𝑗 , 𝑝3 = 2
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8. Sistemas de Ordem Superior
• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:
• Pólos no semiplano direito do plano s:
• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
• O sistema diverge.
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9. Sistemas de Ordem Superior
• Considerando que os pólos são todos reais e
distintos, analisando para a entrada degrau
unitário 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
, temos:
𝐶 𝑠 =
𝑎
𝑠
+
𝑎𝑖
𝑠 + 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
Sendo que 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = 𝑝𝑖.
9

10. Sistemas de Ordem Superior
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano
s, então os valores dos resíduos determinaram a importância
relativa dos componentes.
• Exemplo:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250
×
1
𝑠
=
1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)
×
1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =
−0,0072
(𝑠 + 2)
+
0,0033
(𝑠 + 5)
−
0,0000087
(𝑠 + 25)
+
0,004
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0072𝑒−2𝑡 + 0,0033𝑒−5𝑡 − 0,0000087𝑒−25𝑡 + 0,004 10

11. Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
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12. Sistema de Ordem Superior
• Se existir um zero de malha fechada próximo a um pólo, então
o resíduo desse pólo será pequeno.
• Um par de pólos e zeros próximos se cancelam mutuamente.
• Exemplo: Acrescentando um zero em -1,9.
𝐶 𝑠 =
(𝑠 + 1,9)
𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250
×
1
𝑠
=
(𝑠 + 1,9)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)
×
1
𝑠
• Resíduos:
𝐶 𝑠 =
0,0007
(𝑠 + 2)
−
0,0103
(𝑠 + 5)
+
0,002
(𝑠 + 25)
+
0,0076
𝑠
• Resposta:
𝑐 𝑡 = −0,0007𝑒−2𝑡
+ 0,0103𝑒−5𝑡
+ 0,002𝑒−25𝑡
+ 0,0076 12

13. Sistema de Ordem Superior
• Contribuição de cada termo e resposta:
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14. Sistema de Ordem Superior
• Se o pólo estiver localizado muito longe da
origem, o resíduo desse pólo poderá ser
pequeno. Os transitórios correspondentes a
pólos remotos são pequenos e de curta duração.
• Exemplo: observar a contribuição do pólo -25.
14

15. Sistema de Ordem Superior
• Portanto, os termos que possuem resíduos
muito pequenos contribuem pouco para a
resposta transitória e podem ser descartados.
• Essa aproximação possibilita avaliar as
características da resposta de um sistema de
ordem superior a partir de um sistema mais
simplificado.
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16. Sistema de Ordem Superior
• Considerando de uma forma mais geral a existência de pólos
reais e complexos conjugados, distintos, podemos escrever a
resposta para uma entrada degrau unitário como:
𝐶 𝑠 =
𝑎
𝑠
+
𝑎𝑖
𝑠 + 𝑝𝑖
𝑞
𝑖=1
+
𝑏 𝑘 𝑠 + ζ 𝑘 𝑤 𝑘 + 𝑐 𝑘 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑠2 + 2ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑠 + 𝑤 𝑘
2
𝑟
𝑖=1
• Portanto, a resposta de um sistema de ordem superior é
composta por termos que envolvem funções simples dos
sistemas de primeira ordem e segunda ordem.
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17. Sistema de Ordem Superior
• A inversa de Laplace para a equação anterior pode ser
escrita como:
𝑐 𝑡 = 𝑎 + 𝑎𝑖 𝑒−𝑝 𝑖 𝑡
𝑞
𝑖=1
+ 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡
𝑟
𝑖=1
cos 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑡
+ 𝑏𝑖 𝑒−ζ 𝑘 𝑤 𝑘 𝑡
𝑟
𝑖=1
sin 𝑤 𝑘 1 − ζ 𝑘
2
𝑡
• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do
plano s, então os termos exponenciais e amortecidos
exponencialmente irão tender a 0.
• A resposta em regime estacionário então é 𝑐 ∞ = 𝑎.
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18. Sistema de Ordem Superior
• Os pólos de 𝐺(𝑠) determinam o tipo de resposta
transitória, enquanto que a forma é
principalmente determinada pelos zeros.
• Os pólos da entrada 𝑅(𝑠) fornecem os termos da
resposta estacionária, enquanto que os pólos de
𝐺(𝑠) fornecem os termos de resposta transitória
exponenciais.
• Os zeros de 𝐺(𝑠) não afetam os expoentes dos
termos exponenciais, mas sim as magnitudes e
sinais dos resíduos. 18

19. Pólos dominantes
• São aqueles que possuem um efeito dominante sobre o
comportamento de resposta transitória.
• A dominância é determinada:
• Pela relação das partes reais dos pólos.
• Pela relação dos resíduos calculados nos pólos.
• Se a relação das partes reais excede cinco, e não há zeros
na vizinhança, os pólos mais perto do eixo imaginário
serão os dominantes. Eles correspondem aos termos que
caem mais lentamente.
• Geralmente, os pólos dominantes são complexos
conjugados.
• Ajustam-se os ganhos do sistema até que exista um par
de complexos conjugados.
• Reduz efeitos de não-linearidade.
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20. Comportamento oscilatório
• Se o sistema de malha fechada não tem pólos
conjugados complexos, então a resposta
transitória é não-oscilatória.
20

21. Análise da estabilidade
• Se algum pólo do sistema de malha fechada
estiver no semiplano direito do plano s, então
eles serão dominantes e o sistema irá produzir
respostas crescentes. O sistema é instável.
• Se todos os pólos estão no semiplano esquerdo,
então o sistema irá entrar em equilíbrio. O
sistema é estável.
• O fato do sistema ser estável ou instável não
depende da entrada. É uma característica do
sistema. 21

22. Análise de estabilidade
• Se os pólos estiverem no eixo imaginário, então o
sistema irá apresentar oscilações cuja amplitude não
se altera. Porém, no caso de ruídos, essas
amplitudes podem mudar e isso não é desejável.
• Para garantir uma resposta rápida e ainda
amortecida, é interessante que os pólos estejam em
regiões particulares do plano s, por exemplo:
22

23. MATLAB
• Algumas funções são interessantes para se analisar o
comportamento de zeros e pólos:
• roots(pol): usado para encontrar as raízes de uma
função polinomial.
• residue(b,a) ou residue(r,p,k): usado para
encontrar os pólos e resíduos dos pólos de uma
função de transferência.
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pol = [1 -6 -72 -27]
r = roots(pol)
b = [ 5 3 -2 7]
a = [-4 0 8 3]
[r,p,k] = residue(b,a)
r = [-1.4167 -0.6653 1.3320]
p = [1.5737 -1.1644 -0.4093]
k = -1.2500
[b,a] = residue(r,p,k)

24. MATLAB
• zplane(z,p): usado para plotar o plano complexo s com os pólos e
zeros.
• zpk(z,p,k): usado para definir a função de transferência de acordo
com os zeros, pólos e ganhos.
• zpkdata(g): usado para encontrar os zeros, pólos e ganho de uma
função de transferência.
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z = []
p = [-2; -5; -25]
zplane(z,p)
z = []
p = [-2; -5; -25]
k = 1
zpk(z,p,k)
num = [1 2]
den = [1 4 6]
g = tf(num, den)
[z, p, k] = zpkdata(g)

25. Exercício
• Considerando os seguintes sistemas:
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠3−6𝑠2+13𝑠−10
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =
(𝑠−2)
𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠4+36𝑠3+193𝑠2+400𝑠+300
• Faça:
• Encontre os zeros, pólos e o ganho. Plote o plano s complexo com zeros e
pólos.
• Plote a resposta ao degrau unitário.
• Encontre os pólos e os resíduos da resposta ao degrau unitário.
• Plote a contribuição de cada pólo para a resposta ao degrau unitário.
• Encontre as especificações da resposta transitória. 25

26. Obrigada!
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