1) O documento discute a transformada de Laplace, que mapeia funções do tempo para funções complexas. A transformada de Laplace é usada para resolver problemas envolvendo equações diferenciais.
2) Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de diferentes funções do tempo, como exponenciais, decaimento exponencial, impulsos de Dirac e funções trigonométricas.
3) Um teorema estabelece condições suficientes para a existência da transformada de Laplace, requerendo que a função seja seccionalmente contínua e de
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
Este documento apresenta os conceitos básicos da transformada de Laplace. A transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência. Ela possui propriedades de linearidade e é útil para resolver problemas de valor inicial lineares. A existência da transformada de Laplace depende da continuidade e ordem de crescimento da função original.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Algebra - Livro texto IV (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute anéis e corpos, incluindo:
1) Anéis de números inteiros e anéis de polinômios, com exemplos de congruência módulo m em Z e definição de Zm.
2) Corpos racionais, reais e complexos, explicando porque cada um é considerado um corpo.
3) Breve menção a homomorfismos e grupos finitos e infinitos.
1) A transformada de Laplace permite resolver equações diferenciais de coeficientes constantes transformando-as em equações algébricas. 2) A transformada de Laplace de uma função é definida como uma integral imprópria e seu núcleo é e-st. 3) Para que uma função tenha uma transformada de Laplace bem definida, ela deve ser contínua por partes e de ordem exponencial.
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
1. O documento discute a Transformada de Laplace, um método para resolver equações diferenciais.
2. A Transformada de Laplace transforma um problema diferencial em um problema algébrico mais simples de se resolver.
3. A Transformada de Laplace é amplamente usada em engenharia para modelar e simular sistemas dinâmicos.
Este documento apresenta os conceitos básicos da transformada de Laplace. A transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência. Ela possui propriedades de linearidade e é útil para resolver problemas de valor inicial lineares. A existência da transformada de Laplace depende da continuidade e ordem de crescimento da função original.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Algebra - Livro texto IV (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute anéis e corpos, incluindo:
1) Anéis de números inteiros e anéis de polinômios, com exemplos de congruência módulo m em Z e definição de Zm.
2) Corpos racionais, reais e complexos, explicando porque cada um é considerado um corpo.
3) Breve menção a homomorfismos e grupos finitos e infinitos.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
Este documento discute a motivação e aplicações da Transformada Laplace para resolver equações diferenciais que modelam movimentos amortecidos como o de um carro passando por uma lombada ou um pêndulo oscilando. A Transformada Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas simplificadas que podem ser resolvidas mais facilmente. Exemplos demonstram como usar a Transformada Laplace para analisar a estabilidade de sistemas e calcular soluções de equações diferenciais.
1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Este documento explora o conceito matemático de autossimilaridade aplicado ao Tapete de Sierpinski. Apresenta as definições formais de transformações similares e autossimilaridade, além de exemplos como triângulos e quadrados. Descreve como construir objetos autossimilares através de redução, rotação e translação. Finaliza propondo uma atividade didática sobre o Tapete de Sierpinski.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute operações matemáticas, definindo-as como aplicações entre conjuntos e apresentando propriedades como associatividade, comutatividade e distribuição. Exemplos ilustram operações como adição, subtração e multiplicação em conjuntos numéricos e matrizes.
Estimativa da região de atração de um sistema não linearManuel Vargas
Este documento descreve o cálculo da região de atração de um sistema não linear, especificamente de um pêndulo. Primeiro, apresenta os conceitos-chave de estabilidade assintótica global e região de atração. Em seguida, descreve como usar funções de Lyapunov para estimar a região de atração, mostrando exemplos de funções de Lyapunov e suas curvas de nível. Finalmente, aplica este método ao caso específico de um pêndulo, calculando sua região de atração estimada.
O documento discute conceitos de recursividade em programação. Em três frases:
1) A recursividade é uma estratégia onde uma função é definida em termos de chamadas a si mesma, permitindo definir conjuntos infinitos com comandos finitos.
2) Funções recursivas precisam de uma condição de parada para evitar loops infinitos, e a pilha de execução armazena os estados de cada chamada recursiva.
3) A recursividade é útil para algoritmos como quicksort e pesquisa em árvores, mas nem sempre é a solução
1) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.
2) Progressões aritméticas podem ser crescentes, decrescentes ou constantes, dependendo do valor da razão.
3) Fórmulas para calcular termos gerais e soma dos termos de uma progressão aritmética finita são apresentadas.
Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes e...Felipe De Almeida
1) O documento descreve os principais sinais não senoidais utilizados na análise de circuitos elétricos, como degrau, impulso e rampa, e introduz a Transformada de Laplace como ferramenta para resolver equações diferenciais em circuitos.
2) A Transformada de Laplace é aplicada para determinar expressões analíticas para tensões e correntes em circuitos após mudanças, como o fechamento de uma chave. Isso é ilustrado em dois exemplos.
3) A solução encontra expressões para a corrente e tensão em
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Este documento resume pontos importantes sobre análise qualitativa de pontos de equilíbrio em sistemas não-lineares de primeira ordem. Discute conceitos como atratores, repulsores, selas e centros, e métodos para determinar o tipo de equilíbrio como uso da matriz jacobiana e busca por leis de conservação. Apresenta exemplos como o pêndulo com e sem atrito.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
1) A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial e pode ser usada para determinar a taxa de variação de algo em relação a mudanças em outra coisa.
2) A derivada fornece a inclinação instantânea da função em cada ponto e corresponde à inclinação da tangente naquele ponto.
3) As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções e identificar pontos críticos como máximos, mínimos e pontos de inflexão.
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
[1] A recursividade é um método de resolução de problemas onde um algoritmo se divide em subproblemas mais simples que requerem a aplicação do próprio algoritmo; [2] O exemplo clássico é o cálculo fatorial que se baseia na propriedade de que o fatorial de um número é igual a esse número multiplicado pelo fatorial do número anterior; [3] Problemas recursivos precisam ter uma condição de parada para evitar chamadas infinitas, como no caso do fatorial cuja condição de parada é fatorial de 0 ser igual a 1.
Este documento apresenta os principais conceitos e propriedades da Transformada de Laplace, incluindo sua definição, como aplicá-la a diferentes funções, teoremas úteis e como realizar a Transformada Inversa de Laplace.
1) O documento discute a transformada Z, que é uma ferramenta matemática amplamente utilizada no estudo de sistemas de tempo discreto.
2) A transformada Z pode ser entendida como o equivalente discreto da transformada de Laplace para sistemas contínuos, e está relacionada também às transformadas de Fourier e Laplace.
3) O documento apresenta brevemente a história e definição formal da transformada Z, além de técnicas para discretização de sistemas contínuos como a transformação de Tustin.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
Este documento discute a motivação e aplicações da Transformada Laplace para resolver equações diferenciais que modelam movimentos amortecidos como o de um carro passando por uma lombada ou um pêndulo oscilando. A Transformada Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas simplificadas que podem ser resolvidas mais facilmente. Exemplos demonstram como usar a Transformada Laplace para analisar a estabilidade de sistemas e calcular soluções de equações diferenciais.
1) O documento apresenta exercícios sobre inequações matriciais lineares (LMI) para síntese de realimentação de estados.
2) É mostrada a teoria para projetar LMIs que garantam o posicionamento dos polos em diferentes regiões do plano complexo, como semiplanos esquerdo e direito e faixa.
3) Também é mostrado como projetar uma LMI para posicionar os polos dentro de um setor cônico no semiplano esquerdo, definido por um fator de amortecimento mínimo.
Este documento explora o conceito matemático de autossimilaridade aplicado ao Tapete de Sierpinski. Apresenta as definições formais de transformações similares e autossimilaridade, além de exemplos como triângulos e quadrados. Descreve como construir objetos autossimilares através de redução, rotação e translação. Finaliza propondo uma atividade didática sobre o Tapete de Sierpinski.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
Este documento apresenta dois exercícios sobre sistemas lineares de controle multivariável resolvidos usando a LMI Control Toolbox do Matlab. No primeiro exercício, um ganho estabilizante é calculado usando uma condição LMI. No segundo exercício, o ganho é calculado para minimizar a norma do sistema em malha fechada, também usando LMIs. Os exercícios são resolvidos declarando as variáveis da LMI e especificando seus termos no Matlab.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute operações matemáticas, definindo-as como aplicações entre conjuntos e apresentando propriedades como associatividade, comutatividade e distribuição. Exemplos ilustram operações como adição, subtração e multiplicação em conjuntos numéricos e matrizes.
Estimativa da região de atração de um sistema não linearManuel Vargas
Este documento descreve o cálculo da região de atração de um sistema não linear, especificamente de um pêndulo. Primeiro, apresenta os conceitos-chave de estabilidade assintótica global e região de atração. Em seguida, descreve como usar funções de Lyapunov para estimar a região de atração, mostrando exemplos de funções de Lyapunov e suas curvas de nível. Finalmente, aplica este método ao caso específico de um pêndulo, calculando sua região de atração estimada.
O documento discute conceitos de recursividade em programação. Em três frases:
1) A recursividade é uma estratégia onde uma função é definida em termos de chamadas a si mesma, permitindo definir conjuntos infinitos com comandos finitos.
2) Funções recursivas precisam de uma condição de parada para evitar loops infinitos, e a pilha de execução armazena os estados de cada chamada recursiva.
3) A recursividade é útil para algoritmos como quicksort e pesquisa em árvores, mas nem sempre é a solução
1) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.
2) Progressões aritméticas podem ser crescentes, decrescentes ou constantes, dependendo do valor da razão.
3) Fórmulas para calcular termos gerais e soma dos termos de uma progressão aritmética finita são apresentadas.
Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes e...Felipe De Almeida
1) O documento descreve os principais sinais não senoidais utilizados na análise de circuitos elétricos, como degrau, impulso e rampa, e introduz a Transformada de Laplace como ferramenta para resolver equações diferenciais em circuitos.
2) A Transformada de Laplace é aplicada para determinar expressões analíticas para tensões e correntes em circuitos após mudanças, como o fechamento de uma chave. Isso é ilustrado em dois exemplos.
3) A solução encontra expressões para a corrente e tensão em
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Este documento resume pontos importantes sobre análise qualitativa de pontos de equilíbrio em sistemas não-lineares de primeira ordem. Discute conceitos como atratores, repulsores, selas e centros, e métodos para determinar o tipo de equilíbrio como uso da matriz jacobiana e busca por leis de conservação. Apresenta exemplos como o pêndulo com e sem atrito.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
1) A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial e pode ser usada para determinar a taxa de variação de algo em relação a mudanças em outra coisa.
2) A derivada fornece a inclinação instantânea da função em cada ponto e corresponde à inclinação da tangente naquele ponto.
3) As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções e identificar pontos críticos como máximos, mínimos e pontos de inflexão.
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
Método de Newton-Raphson - @professorenanRenan Gustavo
O documento descreve o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Ele explica que o método é mais rápido que a bisseção, mas requer o cálculo da derivada e nem sempre converge. Um exemplo é fornecido para ilustrar o processo iterativo do método para encontrar a raiz quadrada de 6.
[1] A recursividade é um método de resolução de problemas onde um algoritmo se divide em subproblemas mais simples que requerem a aplicação do próprio algoritmo; [2] O exemplo clássico é o cálculo fatorial que se baseia na propriedade de que o fatorial de um número é igual a esse número multiplicado pelo fatorial do número anterior; [3] Problemas recursivos precisam ter uma condição de parada para evitar chamadas infinitas, como no caso do fatorial cuja condição de parada é fatorial de 0 ser igual a 1.
Este documento apresenta os principais conceitos e propriedades da Transformada de Laplace, incluindo sua definição, como aplicá-la a diferentes funções, teoremas úteis e como realizar a Transformada Inversa de Laplace.
1) O documento discute a transformada Z, que é uma ferramenta matemática amplamente utilizada no estudo de sistemas de tempo discreto.
2) A transformada Z pode ser entendida como o equivalente discreto da transformada de Laplace para sistemas contínuos, e está relacionada também às transformadas de Fourier e Laplace.
3) O documento apresenta brevemente a história e definição formal da transformada Z, além de técnicas para discretização de sistemas contínuos como a transformação de Tustin.
1) O documento descreve as transformadas z e de Fourier para sinais no tempo discreto. É introduzida a transformada z e discutida sua convergência.
2) São apresentadas propriedades importantes da transformada z, como como transformar convoluções em produtos e determinar a estabilidade de sistemas.
3) A transformada de Fourier é definida formalmente e mostradas suas relações com a transformada z e propriedades principais. Métodos de representação de Fourier para sequências periódicas também são discutidos.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos para ilustrar como derivar funções e interpretar geometricamente a derivada como a inclinação da reta tangente.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
1) O documento apresenta a definição da transformada de Fourier, expressando a integral de Fourier de uma função f em sua forma complexa. Isto é feito representando f(x) como uma integral sobre funções exponenciais complexas.
2) A transformada de Fourier de f é definida como a função f que associa a cada função absolutamente integrável f de R em R a função f de R em C dada por uma expressão envolvendo integrais de f.
3) A transformada de Fourier inversa é definida como a função que recupera f(x) a partir de f(
Este documento apresenta um capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas. Primeiro, discute a importância dessas funções em aplicações como economia, biologia e química. Em seguida, introduz o conceito de função inversa e mostra como determiná-la através de um exemplo sobre crescimento populacional. Por fim, discute as condições para que uma função tenha inversa, relacionando isso ao teste da reta horizontal em seu gráfico.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
Este documento apresenta os principais conceitos da Transformada de Laplace aplicada à análise de circuitos elétricos, incluindo: (1) a definição da Transformada de Laplace bilateral e unilateral; (2) como a Transformada de Laplace transforma equações integro-diferenciais em equações algébricas; (3) as propriedades da Transformada de Laplace, como multiplicação por constantes e deslocamentos no tempo e frequência.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de integração indefinida e definida. Na seção sobre integração indefinida, é introduzida a noção de primitiva de uma função e mostrado que duas primitivas diferem apenas por uma constante. A seção sobre integração definida define a integral como o limite da soma de Riemann e mostra que para funções contínuas, a integral coincide com o cálculo de área. Finalmente, são apresentados teoremas como a linearidade e monotonicidade da integral definida.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
Este documento descreve os conceitos fundamentais da interpolação polinomial. Apresenta as fórmulas para interpolação linear e quadrática, bem como a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial de grau n. Explica também como calcular o erro de truncatura cometido ao aproximar uma função por um polinômio interpolador.
O documento discute séries de Fourier, que representam funções periódicas como uma soma de funções trigonométricas simples. Apresenta a definição formal de séries trigonométricas e discute como determinar os coeficientes de Fourier de uma função periódica através da integração. Também aborda propriedades especiais de séries de funções pares e ímpares e de funções com períodos diferentes de 2π.
O documento discute derivadas direcionais, que representam a taxa de variação de uma função em determinado ponto na direção de um vetor unitário. A derivada direcional depende do ponto e da direção do vetor e generaliza as derivadas parciais. O vetor gradiente fornece a direção de maior taxa de crescimento da função.
1. O documento apresenta 10 exercícios sobre a Transformada de Fourier. Os exercícios abordam conceitos como a transformada de Fourier da função delta de Dirac, o teorema da inversão e o teorema de Parseval, além de aplicações da transformada de Fourier em equações diferenciais e na mecânica quântica.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
O documento descreve a interpolação polinomial, que aproxima uma função desconhecida f(x) por um polinômio g(x). Apresenta duas formas de representar o polinômio interpolador: a forma de Lagrange, que expressa g(x) como uma combinação linear de polinômios elementares; e a forma de Newton, que usa o conceito de diferenças divididas.
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificação
Translap
1. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
1
CAPÍTULO V – A TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. TRANSFORMADAS INTEGRAIS:
Quando uma função f(x), com x ∈ D, é definida em termos de uma função F(ξ), com ξ ∈ Ω,
através de uma relação integral do tipo
( ) ( ) ( ) ξξξ= òΩ
d,xKFxf , (1.1)
dizemos que f(x) é a transformada integral da função F( )ξ pelo kernel (núcleo) ),x(K ξ e usamos a
notação:
( )[ ]x;F)x(f ξℑ= . (1.2)
Devemos notar que o operador ℑ definido por (1.1) e (1.2) é linear, isto é, se
( )[ ] ( )xfx,F 11 =ξℑ , ( )[ ] ( )xfx,F 22 =ξℑ e 21 cec são constantes arbitrárias, então
( ) ( )[ ] ( ) ( )xfcxfcx,FcFcT 22112211 +=ξ+ξ . (1.3)
Para escolhas particulares do kernel usaremos símbolos especiais para o operador
transformada integral ℑ. Por exemplo:
1) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
=ξ
ξ
2
e
.xK
xj
, dizemos que f(x) é a transformada (exponencial)
de Fourier de F( )ξ , ou
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ξξ==ξ ò
+∞
∞−
ξ
deFxfF xj
. (1.4)
2) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
ξ
=ξ
2
)xsen(
.xK , dizemos que f(x) é a transformada seno de
Fourier de F( ),ξ ou
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( )ò
+∞
∞−
ξξξ==ξ dxsinFxfFS . (1.5)
3) Se Ω é toda a reta real e ( )
π
ξ
=ξ
2
)xcos(
.xK , dizemos que f(x) é a transformada coseno de
Fourier de F( ),ξ ou
2. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
2
ℱ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξ==ξ ò
+∞
∞−
dxcosFxfFC . (1.6)
4) Se Ω é o semi eixo real positivo e ( )xJ),x(K ξξ=ξ ν , onde ( )xJ ξν denota a função de
Bessel de primeiro tipo e ordem ν, dizemos que f (x) é a transformada de Hankel de F( )ξ , ou
ℋ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ξξξξ==ξ ò
+∞
ν dxJFxfF
0
. (1.7)
Ainda temos as transformadas de Laplace, onde x
e),x(K ξ−
=ξ e Ω é o semi-eixo real
positivo; a transformada de Mellin, onde ( ) 1
x,xK −ξ
=ξ e Ω é o semi-eixo real positivo, etc...
Geralmente, o problema no qual a transformada integral é aplicada pede a determinação da
função F( )ξ quando f(x) é uma função conhecida. Esta solução é encontrada através dos teoremas de
inversão, que são da forma,
( )[ ] ( ) ( ) ( )ò ξ=ξ=ℑ−
D
1
dx,xHxfFxf , (1.8)
onde ),x(H ξ denota o kernel da transformada integral inversa 1−
ℑ .
2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definição: Seja f(t) uma função real definida para .0t > Então a transformada de Laplace de
f(t), denotada por ℒ ( )[ ]tf é definida por:
ℒ ( )[ ] ( ) ( )dttfesFtf
0
st
ò
+∞ −
== , (2.1)
onde assumimos que s é um parâmetro complexo. Dizemos que a transformada de Laplace existe se a
integral (2.1) converge para algum valor de s, caso contrário esta transformada não existirá.
Observação: Em muitas aplicações a variável s pode ser restrita a valores reais.
Exemplos:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
1. ( ) 1tf =
ℒ ( )[ ]=tf ℒ[ ] ( ) =úû
ù
êë
é
−−=−== +
∞→
∞−∞ −
ò
0jyxR
R
0
st
0
st
eelim
s
1
s
e
dte1
3. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
3
( )
s
1
1ysenjycoselim
s
1 Rx
R
=úû
ù
êë
é
−+−=
∞→
, se Re( ) 0s > , (2.2)
onde foi considerado que jyxs += .
2. ( ) ( )atHtf −=
ℒ ( )[ ] ( )
s
e
s
e
dtedtatHeatH
as
a
stst
0 a
st
−
+∞
−−∞+ ∞+−
=−==−=− ò ò , se Re( ) 0s > . (2.3)
3. ( ) ( )attf −δ=
ℒ ( )[ ] ( )ò
∞ −−
=−δ=−δ
0
asst
edtateat , se Re( ) 0s > . (2.4)
4. ( ) at
etf =
ℒ[ ] as
1
as
e
dtee
0
t)as(
0
t)as(at
−
=
−
−==
∞−−∞ −−
ò , se Re( ) as > . (2.5)
5. ( ) )atcos(tf =
ℒ[ ] 22
0
22
st
0
st
as
s
as
)atcos(a)atsen(s
edt)atcos(e)atcos(
+
=
+
−−
==
∞+
−∞+ −
ò , se Re( ) 0s > . (2.6)
6. 1pcom,t)t(f p
−>=
ℒ[ ] 1p0
pu
1p0
p
u
0
pstp
s
)1p(
duue
s
1
s
u
d
s
u
edttet
+
∞+ −
+
∞+ −∞+ − +Γ
==÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
== òòò , (2.7)
(vide Eq. (1.1), seção 1 do Apêndice A) onde foi realizada a mudança de variável u = st, considerando
que s > 0 seja real.
Nos exemplos acima, fica claro que a transformada de Laplace converge numa certa região do
plano complexo. Uma das propriedades que caracterizam a transformada de Laplace é que esta região
é descrita pela equação Re(s) > a, onde a é uma constante real. Por outro lado, podem ocorrer funções
para as quais a transformada de Laplace não existe, isto é, a integral (2.1) diverge para todos os valores
de s. Assim, torna-se importante conhecer condições para a existência da transformada de Laplace de
uma certa função. Então, apresentaremos um teorema que estabelece a existência desta transformada
4. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
4
para uma classe de funções bastante ampla. Com este objetivo, inicialmente, definiremos funções
seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial.
Definição: Uma função f(t) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num
intervalo a < t < b, se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais
a função f(t) é contínua e possui limites finitos a direita e à esquerda.
Um exemplo de função seccionalmente contínua é mostrado graficamente na Fig. 2.1. Esta
função tem descontinuidades nos pontos .t,t,t,t 4321 Note que existem os limites à esquerda e à direita
nos pontos it , para i = 1,2,3 e 4 e, também, os limites à direita em a e à esquerda em b.
Figura 2.1: função contínua por partes.
Definição: Uma função real é dita de ordem exponencial γ (real), se existem M e T,
constantes reais positivas, tais que ( ) Mtfe t
<γ−
ou ( ) t
eMtf γ
< , para todo t > T.
Exemplos:
1. ( ) 2
ttf = é de ordem exponencial 3, por exemplo, pois t322
ett <= , para todo t > 0
2. ( )
3
t
etf = não é uma função de ordem exponencial pois
( ) ∞→∞→== γ−γ−γ−
tse,eeee
233 tttttt
. (2.8)
Em outras palavras, as funções de ordem exponencial não podem crescer, em valor absoluto,
mais que uma exponencial t
eM γ
, quando t cresce. Funções limitadas, tais como seno e coseno, são
sempre de ordem exponencial, bem como as funções polinomiais também o são.
5. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
5
Teorema: (Condições suficientes para a existência da transformada de Laplace) Se, para todo
real positivo T, f(t) é uma função seccionalmente contínua no intervalo finito 0 < t < N e é de ordem
exponencial γ , para t > N, então sua transformada de Laplace F(s) existe para todo s > γ .
Prova: Seja T um real positivo. Então,
( ) ( )dttfedttfedt)t(fe
T
tsT
0
ts
0
st
òòò
+∞ −−+∞ −
+= . (2.9)
Como f(t) é seccionalmente contínua no intervalo 0 < t < T, temos que a primeira integral no
lado direito da equação (2.8) existe. Como f(t) é de ordem exponencial γ, para t > T, também existe a
segunda integral, como podemos observar abaixo:
( ) ( ) ( )
γ−
=≤≤≤ γ∞+ −∞+ −∞+ −∞+ −
òòòò s
M
dteeMdttfedttfedttfe t
0
ts
0
ts
T
ts
T
ts
. (2.10)
Assim, a transformada de Laplace de f(t) existe, para todo s > γ .
Observação: Note que as condições do teorema são suficientes mas não necessárias para a
existência da transformada de Laplace, ou seja, se uma função não pertence ao grupo especificado ela
pode, ou não, possuir transformada de Laplace. Por exemplo, ( ) )ecos(et2tf
22
tt
= não é de ordem
exponencial, mas sua transformada de Laplace existe, pois:
,0)sRe(se,dt)esen(es1sen
dt)e(sines)e(sinedt)e(coset2e
2
2222
t
1
st
0
tst
0
tsttt
0
st
>+−=
=+=úû
ù
êë
é
ò
òò
∞ −
∞ −
+∞
−∞ −
(2.11)
onde foi utilizada integração por partes, considerando st
eu −
= e )e(senv
2
t
= . A integral que aparece
no lado direito da equação (2.11) existe, pois:
s
1
dtedt)e(sinedt)e(sine
0
st
0
tst
0
tst 22
=≤≤ òòò
∞ −∞ −∞ −
, se Re(s) > 0. (2.12)
3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:
Definição: Se a transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s), isto é, se ℒ ( )[ ] ),s(Ftf =
então f(t) é chamada de transformada inversa de Laplace de F(s) e, simbolicamente, podemos escrever
f(t) = ℒ ( )[ ]sF1−
.
6. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
6
Por exemplo, se f(t) é uma função que, para t positivo, assume o valor um, a menos de um
conjunto de pontos isolados, então ℒ[ ]=1 ℒ ( )[ ]=tH ℒ ( )[ ]
s
1
tf = . Assim, ℒ )t(fou)t(Hou1
s
11
=ú
û
ù
ê
ë
é−
.
Observe que, como a transformada de Laplace só leva em consideração a parte da função definida para
t ≥ 0, então podemos afirmar que, neste intervalo, H(t) = 1. Além disto, a transformada de Laplace é
uma integral definida, logo “desconsidera” descontinuidades evitáveis. Do ponto de vista físico,
funções como f(t) são “anormais” e não devem ser consideradas, assim podemos encarar um como
sendo a transformada inversa de Laplace da função complexa .
s
1
)s(F = Neste sentido, a transformada
inversa de Laplace de uma função F(s) é única.
Existe uma fórmula para a inversão da transformada de Laplace de uma função F(s), com
Re(s) > α, definida pela integral de Mellin,
( ) ( )ò
∞+γ
∞−γπ
=
j
j
ts
dssFe
j2
l
tf , (3.1)
onde γ é um real qualquer tal que α>γ , a qual é uma fórmula bastante geral, mas que não será
empregada aqui, pois não estudamos a integração por resíduos. Esta fórmula origina muitos métodos
numéricos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). Um método
bastante simples e, portanto, muito usado é a inversão por quadratura de Gauss, que é a definida por:
÷
ø
ö
ç
è
æ
= å
=
t
s
F
t
s
A)t(f k
M
1k
k
k , (3.2)
onde kA e ks são parâmetros complexos tabelados (vide Stroud & Secrest, Gaussian Quadrature).
Neste estudo, nos restringiremos a inversão da transformada de Laplace através de métodos
que usem uma tabela. Para tanto, vamos usar as técnicas de decomposição em frações parciais (ou
diretamente os teoremas de Heaviside) e de completamento de quadrados, as quais serão vistas ao
longo do texto deste material.
4. PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE:
Nas propriedades a seguir, assumiremos que todas as funções envolvidas obedecem o teorema
da existência, a não ser que se diga o contrário.
Propriedade 1: (LINEARIDADE) Se ℒ[f(t)] = F(s) e ℒ[g(t)] = G(s), então, para quaisquer a
e b constantes complexas,
7. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
7
ℒ ( ) ( )[ ] atgbtfa =+ ℒ ( )[ ] btf + ℒ ( )[ ] ( ) ( )sbGsaFtg += (4.1)
ou
ℒ ( ) ( )[ ] asGbsFa1
=+−
ℒ ( )[ ] bsF1
+−
ℒ ( )[ ] ( ) ( )tgbtfasG1
+=−
. (4.2)
Observação: Este resultado pode ser estendido facilmente para mais de duas funções.
Prova: direta da definição.
Exemplo 1: ℒ
úû
ù
êë
é −+− te5)t2(cos32t4 = 4ℒ 3]t[ 2
− ℒ[ ] 5)t2cos( + ℒ =−
]e[ t
1s
5
4s
s3
s
8
1s
1
4s
s3
s
!2
4
2323 +
+
+
−=
+
+
+
−= .
Exemplo 2: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de
)6s)(2s)(1s(
16s2s3
)s(F
2
−+−
+−
= .
Sabe-se que a função racional acima pode ser escrita como a soma de funções racionais mais
simples, da forma:
( )
)6s(
C
)2s(
B
)1s(
A
sF
−
+
+
+
−
= , (4.3)
ou, efetuando a soma destas frações,
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )6s2s1s
2s1sC6s1sB6s2sA
sF
−+−
+−+−−+−+
= . (4.4)
Assim, igualando a expressão original da F(s) com a Eq. (4.4), obtemos que,
( )( ) ( )( ) ( )( )2s1sC6s1sB6s2sA16s2s3 2
+−+−−+−+=+− . (4.5)
Em princípio, poderíamos obter A, B e C, igualando os coeficientes das potências de s. No
entanto, este não seria o método mais rápido e eficiente, pois no caso, conduz a um sistema de três
equações e três incógnitas. É fácil observar que estas igualdades valem sempre, isto é, para todo o
valor de s. Assim, escolhendo valores para s que tornem nulos dois termos do lado direito da igualdade
(4.5), deveremos ter:
( )( )
15
17
Aou16236121A1s −=+−=−+Þ= ,
( )( )
3
4
Bou164126212B2s =++=−−−−Þ−=
8. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
8
e
( )( )
5
14
Cou16623632616A6s =+×−×=+−Þ= .
Assim,
( )
( ) ( ) ( )6s
1
5
14
2s
1
3
4
1s
1
15
17
sF
−
+
+
+
−
−= . (4.6)
Esta técnica é denominada Separação em Frações Parciais. Agora, o cálculo da transformada inversa
de F(s) é simples, bastando para tanto, usar a linearidade (4.2) e a equação (2.5). Temos então que:
( ) t6t2t
e
5
14
e
3
4
e
15
17
tf ++−= −
. (4.7)
Não é difícil observar que este método sempre fornece resultados rápidos para a transformada
inversa de Laplace, desde que tenhamos F(s) como uma função racional, com o grau do numerador
menor que o grau do denominador e o denominador com raízes simples. Resumindo este
procedimento, tem-se o teorema de Heaviside:
Teorema de Heaviside: Seja uma função racional
( )
( )sQ
sP
, onde P(s) e Q(s) são polinômios,
com grau(P(s)) < grau(Q(s)) = N. Se todas as raízes ns de Q(s), com n = l, 2,..., N, são simples, então:
ℒ
( )
( )
ts
N
ln
n
1 neA
sQ
sP
å
=
−
=ú
û
ù
ê
ë
é
, (4.8)
onde
( ) ( ) ( )
( )n
n
n
ss
n
sQ
sP
sFsslimA
n ′
=−=
→
, (4.9)
sendo que ( )nsQ′ denota a derivada de Q(s), calculada na raiz ns .
Exemplo 3: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de F(s) =
1sss
1
23
+++
.
Podemos ver que ( ) ( ) ( ) )1s)(js(js1s)1s(1sss)s(Q 223
++−=++=+++= , ou seja, temos
três raízes distintas, 1s,js,js 32l −=−== . Assim, podemos usar o teorema de Heaviside,
9. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
9
considerando 1)s(P = e 1s2s3)s(Q 2
++=′ , ou seja,
4
j1
2)2(
j22
j22
1
)j(Q
)j(P
22
−−
=
+−
−−
=
+−
=
′
,
4
j1
2)2(
j22
j22
1
)j(Q
)j(P
22
+−
=
+−
+−
=
−−
=
−′
−
e
2
1
)1(Q
)1(P
=
−′
−
. Concluindo, temos que:
)tsen(
2
1
)tcos(
2
1
e
2
1
e
4
j1
e
4
j1
e
2
1
)t(f tjtjtt
+−=
−−
+
+−
+= −−−
, (4.10)
Na equação (4.10), usamos a expressão da exponencial complexa para transformar jt
e e jt
e−
em
sem(t) e cos(t). Observem que, após esta transformação, a função f(t) é uma função real (sem nenhum
termo imaginário). Este fato sempre ocorrerá na inversão da transformada de Laplace.
Propriedade 2: (PRIMEIRO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então
ℒ ( )[ ] ( )asFtfe ta
−= (4.11)
ou
ℒ ( )[ ] ( )tfeasF at1
=−−
. (4.12)
Este resultado pode também ser chamado de propriedade do amortecimento, pois se a função
f(t) for “amortecida” pelo fator exponencial at
e−
, com a > 0, então a transformada de Laplace será
deslocada para a esquerda a unidades em relação a nova variável s.
Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )òò
+∞ −−+∞ −
−===
0
tas
0
atstta
)as(Fdttfedttfeetfe .
Exemplo 4: Sabendo que ℒ[ ] ,
4s
s
)t2cos(
2
+
= calcule ℒ ])t2cos(e[ t−
.
ℒ [ ] ( ) 5s2s
1s
41s
1s
)t2cos(e
22
t1
++
+
=
++
+
=−−
. (4.13)
Exemplo 5: Calcule ℒ ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
20s4s
4s6
2
1
.
ℒ ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
20s4s
4s6
2
1
= ℒ
( )
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
162s
82s6
2
1
= 6ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−−
162s
2s
2
1
+ 2ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−
162s
4
2
1
=
)t4(sine2)t4(cose6 t2t2
+= . (4.14)
10. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
10
O processo realizado na primeira igualdade da equação (4.14) acima é conhecido como completamento
de quadrados.
Exemplo 6: Mostre que ℒ
( ) )!1n(
et
as
1 at1n
n
1
−
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
−
, onde a é qualquer complexo e n é natural.
Usando a propriedade 2 acima e a equação (2.7) da seção 2 acima, obtemos que
ℒ
( )
at
n
1
e
as
1
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
ℒ
)n(
e
s
1 at
n
1
Γ
=ú
û
ù
ê
ë
é−
ℒ
)!1n(
et
s
)n( at1n
n
1
−
=ú
û
ù
ê
ë
éΓ −
−
, (4.15)
pois )!1n()n( −=Γ (vide propriedade 3, da seção 1, do Apêndice A).
Exemplo 7: Calcule a transformada inversa de Laplace da função ( ) 2/1
3s2)s(F −
+= .
ℒ
( )
2
1
3s2
1
2
1
1
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
−
ℒ 2/t3
2
1
1
e
2
1
2
3
s
1 −−
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
ℒ
t2
e
2
1
t
2
e
s
1 t32/1t3
2/1
1
π
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Γ
=ú
û
ù
ê
ë
é −−−
−
. (4.16)
Exemplo 8: Calcule a transformada inversa de Laplace de
( )3
2
1s
s
)s(F
−
= .
Usando a decomposição em frações parciais, a função F(s) é rescrita como:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )3
2
323
2
1s
C1sB1sA
1s
C
1s
B
1s
A
1s
s
−
+−+−
=
−
+
−
+
−
=
−
. (4.17)
Então, comparando os numeradores da equação (4.17), obtemos que A = 1, B = 2 e C = 1. Assim ,pela
linearidade da transformada inversa de Laplace e pelo exemplo 5 acima, concluímos que:
ℒ
( ) ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
−
2
t
t21e
1s
s 2
t
3
2
1
. (4.18)
Devemos observar que, neste caso, temos uma raiz tripla em s = 1. Assim, não podemos
aplicar o teorema de Heaviside neste problema. No entanto, abaixo apresentamos uma generalização
deste teorema para o caso de funções racionais cujo denominador tenha raízes múltiplas.
Teorema de Heaviside Generalizado: Consideremos a mesma situação do teorema de
Heaviside. Se 1s é uma raiz de Q(s) de multiplicidade m e as demais (n - m) raízes de Q(s) são simples
temos que:
11. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
11
( )
( ) åå
+==
−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
=
n
1mk
ts
k
m
1k
km
kts k1 eA
!km
tA
etf , (4.19)
onde
( )
( ) ( ){ } m,...,3,2,1kpara,sFss
ds
d
!1k
1
limA m
11k
1k
ss
k
1
=−
−
=
−
−
→
, (4.20)
e
( ) ( ) n),...,2m(),1m(kpara,sFsslimA k
ss
k
k
++=−=
→
. (4.21)
Exemplo 9: Calcule ℒ
( ) ( )ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
3s1s
19s9s2
2
2
1
.
Usando o teorema de Heaviside Generalizado, considerando que o denominador de F(s) tem
como raízes 1mcom,3se,2mcom,1s 21 =−=== , vemos que a transformada inversa de Laplace
desta função tem a forma:
f( )
( ) ( )
t3
3
22
2
12
lt
eA
!22
tA
!12
tA
et −
−−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
= , (4.22)
onde:
( )
( )
( ) ( )
3
3s
19s9s2
lim
3s1s
19s9s2
1s
!11
1
limA
2
1s2
2
2
1s
1 =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+−
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+−
+−
−
−
=
→→
, (4.23)
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3s
)19s9s2()3s)(9s4(
lim
3s1s
19s9s2
1s
ds
d
!12
1
limA
2
2
1s2
2
2
1s
2 −=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+−−+−
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+−
+−
−
−
=
→→
(4.24)
e
( )
( ) ( ) ( )
4
1s
19s9s2
lim
3s1s
19s9s2
3slimA
2
2
3s2
2
3s
3 =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
−
+−
=
+−
+−
+=
−→−→
. (4.25)
Concluindo,
( ) ( ) t3t
e42t3etf −
+−= . (4.26)
Exemplo 10: Calcule ℒ
( ) ( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
++
+−
22
1
2s1s
3s2
.
12. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
12
Como a função F(s) tem as raízes duplas 2se1s 21 −=−= , pelo teorema de Heaviside
Generalizado temos a solução:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
−
+
−
=
−−
−
−−
−
!22
tB
!12
tB
e
!22
tA
!12
tA
etf
22
2
12
1t2
22
2
12
1t
, (4.27)
onde:
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
2s
3s2
lim
2s1s
3s2
1s
!11
1
limA
21s22
2
1s
1 =
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
, (4.28)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
2s
2s23s22s2
lim
2s1s
3s2
1s
ds
d
!12
1
limA
4
2
1s22
2
1s
2 =
+
++−+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
, (4.29)
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1s
3s2
lim
2s1s
3s2
2s
!11
1
limB
22s22
2
2s
1 −=
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
(4.30)
e
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1s
1s23s21s2
lim
2s1s
3s2
2s
ds
d
!12
1
limB
4
2
2s22
2
2s
2 =
+
++−+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
+
+
−
=
−→−→
. (4.31)
Concluindo,
( ) ( )t2t
eettf −−
−= . (4.32)
Exercício: Aplique o teorema generalizado de Heaviside no exemplo 8 acima.
Propriedade 3: (SEGUNDO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
ℒ ( )[ ] ( )sFe)at(Hatf as−
=−− (4.33)
onde a > 0 é um dado real, ou
ℒ ( ) ( ) ( )atfatH]sFe[ as1
−−=−−
. (4.34)
Prova: Considerando que a seja real positivo,
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ==−=−−=−− òòò
∞ −−∞ −∞ −
duufedtatfedt)at(Hatfe)at(Hatf
0
aus
a
st
0
st
13. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
13
( ) ( )sFeduufee as
0
suas −∞ −−
== ò , (4.35)
onde foi feita a mudança de variável u = t - a.
Exemplo 11: Sabendo que ℒ[ ] ,
s
!3
t
4
3
= calcule ℒ ( )( ) ]2t.2tH[ 3
−− .
Pela propriedade 3 acima, ℒ ( )( ) 4
s2
3
s
e6
]2t.2tH[
−
=−− .
Exemplo 12: ℒ ÷
ø
ö
ç
è
æ π
−÷
ø
ö
ç
è
æ π
−=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
π−
−
3
tsin
3
tH
1s
e
2
3/s
1
.
Exemplo 13: Calcule a transformada inversa de Laplace da função
( )
13s4s
4s3e
)s(F
2
s3
+−
−
=
−
.
È importante ressaltar que para aplicar a decomposição em frações parciais (ou o teorema de
Heaviside), a função F(s) deve ser racional. Portanto, o primeiro passo a ser executado neste problema
é o uso da propriedade 3. Assim,
ℒ
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
−−
−
13s4s
4s3e
2
s3
1
=ℒ )3t(H
13s4s
4s3
3tt
2
1
−ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−
−=
−
. (4.36)
Agora, para resolver a transformada inversa de Laplace que aparece no lado direito da equação (4.36),
poderemos usar a decomposição em frações parciais. No entanto, as raízes do polinômio do
denominador da função racional são complexas, o que dificulta um pouco os cálculos envolvidos
(estes cálculos ficam como exercício). Assim, é mais conveniente aplicar o completamento de
quadrados no denominador desta função, ou seja,
ℒ =ú
û
ù
ê
ë
é
+−
−−
13s4s
4s3
2
1
ℒ ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+−
+−−
)t3sen(
3
2
)t3cos(3e
9)2s(
2)2s(3 t2
2
1
, (4.37)
sendo que, na última igualdade da Eq. (4.37), utilizamos a propriedade 2. Concluindo,
ℒ [ ] )3t(H))3t(3sen(
3
2
))3t(3cos(3e)s(F )3t(21
−÷
ø
ö
ç
è
æ
−+−= −−
. (4.38)
Propriedade 4: (MUDANÇA DE ESCALA) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = então ℒ ( )[ ] ÷
ø
ö
ç
è
æ
=
a
s
F
a
1
atf .
Observação: A prova desta propriedade fica como exercício.
14. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
14
Exemplo 14: Sabendo que ℒ ( )[ ]
1s
1
tsen
2
+
= , encontre ℒ[ ])t3sen( .
Pela propriedade 4 acima, ℒ[ ]
( ) 9s
3
13/s
1
3
1
)t3sen(
22
+
=
+
= .
Propriedade 5: (MULTIPLICAÇÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = , então, para todo n natural,
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )sF1s
ds
Fd
1tft nn
n
n
nn
−=−= . (4.39)
Prova: Sabendo que ( )ò
∞ −
=
0
st
dttfe)s(F , esta prova é obtida usando-se o Princípio da
Indução sobre n. Na base de indução (n = 1), usamos a regra de Leibnitz para diferenciação, ou seja,
( ) [ ] ( ) ( )( ) −=−=
∂
∂
= òòò
∞+ −−∞+∞+ −
0
stst
00
st
dttftedttfe
s
dttfe
ds
d
ℒ ( )[ ]tft , (4.40)
isto é, ℒ ( )[ ] ( )sF
ds
d
tft −= , o que comprova a validade da equação (4.39) para n = 1.
No passo de indução, vamos supor então que a Eq. (4.39) é valida para n = k, e vamos mostrar
sua validade para n = k+1. Assim,
ℒ ( ) =+
]tft[ 1k
ℒ ( )( )[ ] ds
d
tftt k
−= ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )s
ds
Fd
1s
ds
Fd
1
ds
d
tft
1k
1k
1k
k
k
kk
+
+
+
−=−−= , (4.41)
o que demonstra esta propriedade.
Exemplo 15: Se ℒ[ ] 2s
1
e t2
−
= , então, pela propriedade 5 acima, temos que
ℒ[ ] ( )2
t2
2s
1
2s
1
ds
d
te
−
=÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−= (4.42)
e
ℒ[ ] ( )32
2
t22
2s
2
2s
1
ds
d
et
−
=÷
ø
ö
ç
è
æ
−
= . (4.43)
Exemplo 16: Calcule a transformada de Laplace de
ïî
ï
í
ì
≥
<≤
= −
4tse,te
4t0se,0
)t(f t3
.
15. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
15
Usando a função de Heaviside (vide Apêndice A, seção 2), a função f(t) acima é rescrita como
)4t(Hte)t(f t3
−= −
. Para calcular sua transformada de Laplace podemos usar as propriedades 2, 3 ou
5, desde que tomemos certos cuidados. Por uma questão de simplicidade, aconselha-se usar, sempre
que possível, primeiramente a propriedade 2, depois a 3 e, por último a 5. Assim,
ℒ[ ]=)t(f ℒ[ ] s4
3ss
e{)4t(H)44t( −
+=
=−+− ℒ[ ] =
þ
ý
ü
î
í
ì
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=+
++
−
+=
3ss
2
s4
3ss s
4
s
1
e}4t
2
)3s(4
)3s(
)3s(41
e
+
++
= +−
. (4.44)
Propriedade 6: (FUNÇÕES PERIÓDICAS) Se f(t) é uma função periódica com período T,
isto é, f (t + T) = f(t), para todo t ≥ 0, então
ℒ ( )[ ]
( )
sT
T
0
st
e1
dttfe
tf
−
−
−
=
ò
. (4.45)
Prova: Se f(t) é uma função periódica com período T, então, onde n é um número inteiro,
temos que ( ) ( ) ( ) ( ) KK =+==+=+= nTtfT2tfTtftf . Assim, obtemos que:
( ) ( ) ( ) K+++= òòòò
−−−+∞ −
dt)t(fedttfedttfedttfe
T3
T2
stT2
T
stT
0
st
0
st
, (4.46)
então, fazendo mudança de variável nas integrais da Eq. (4.46), resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++= òòòò
+−+−−+∞ − T
0
T2tsT
0
TtsT
0
st
0
st
dtT2tfedtTtfedttfedttfe . (4.47)
Usando a periodicidade da função f(t) e lembrando que å
+∞
=
−
=
0n
n
x1
1
x , se 1x < , obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
e1
dttfe
dt)t(fee
dttfeedttfeedttfedttfe
sT
T
0
st
T
0
st
0k
ksT
T
0
stsT2T
0
stsTT
0
st
0
st
−
−
−
∞+
=
−
−−−−−+∞ −
−
==
=+++=
ò
òå
òòòò K
(4.48)
como queríamos demonstrar.
Exemplo 17: Determine F(s) = ℒ ( )[ ]tf , onde
16. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
16
( ) ( ) ( ) 0ttodopara,tf2tfe
2t1se,1
1t0se,1
tf ≥=+
î
í
ì
<≤−
<≤
= . (4.49)
Usando a propriedade 6 acima, obtemos que:
( ) ( ) ( )
( )
.
2
s
tgh
s
1
)ee(s
ee
e
e
)e1(s
e1
)e1)(e1(s
)e1(
)e1(s
ee21
e1s
eee1
e1
dtedte
e1
dttfe
)s(F
2/s2/s
2/s2/s
2/s
2/s
s
s
ss
2s
s2
s2s
s2
s2ss
s2
1
0
2
1
stst
s2
2
0
st
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
−
=⋅
+
−
=
−+
−
=
=
−
+−
=
−
−−−
=
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−
−−−
−
−−
−
−
ò òò
(4.50)
Propriedade 7: (DIVISÃO POR T) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e existe o limite
t
)t(f
lim
0t→
, então
ℒ
( ) ( )duuF
t
tf
sò
∞+
=ú
û
ù
ê
ë
é
. (4.51)
Exemplo 18: Como 1
t
)tsen(
lim
0t
=
→
, temos que
ℒ ò
∞+ −
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
=úû
ù
êë
é
s
1
2 s
1
tgou
s
1
arctg
1u
du
t
)tsen(
. (4.52)
Propriedade 8: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
com )t(f ′ continua por partes, então ℒ ( )[ ] ( ) ( )0fsFstf −=′ .
Prova: ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) s0fdttfesetfdttfetf
0
st
0
st
0
st
+−=+=′=′ òò
∞+ −
+∞
−∞+ −
ℒ ( )[ ]tf .
Propriedade 9 (DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = e )t(f ′ é contínua
por partes, então
ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0f0fs0fs0fssFstf 1n2n2n1nn)n( −−−−
−−−′−−= K . (4.53)
Prova: A demonstração é obtida pelo Princípio Indução Matemática sobre n, ficando esta
prova como exercício.
Exemplo 19: Se ℒ[ ]
9s
s
)t3cos(
2
+
= , calcule ℒ[ ])t3sen( .
Usando a linearidade e a propriedade 8 acima, temos que
17. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
17
ℒ[ ]
3
1
)t3sen( −= ℒ ( )
9s
3
9s
9ss
3
1
1
9s
s
s
3
1
)t3cos(
dt
d
22
22
2
+
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−−
−=ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
−=ú
û
ù
ê
ë
é
. (4.54)
Propriedade 10: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
então ℒ ( ) ( )
s
sF
duuf
t
0
=úû
ù
êë
é
ò .
Exemplo 20: ℒ
( )4ss
2
du)u2sen(
2
t
0 +
=úû
ù
êë
é
ò .
Propriedade 11: (COMPORTAMENTO DE F(s) QUANDO +∞→s ) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = ,
então 0)s(Flim
s
=
+∞→
.
Propriedade 12: (TEOREMA DO VALOR INICIAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
)s(sFlim)t(flim
s0t +∞→→
= . (4.55)
Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf
0
st
−=′=′ ò
+∞ −
.
Assim, temos que:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )úû
ù
êë
é
−úû
ù
êë
é
=−úû
ù
êë
é
=−=′
→+∞→+∞→+∞→
∞+ −
+∞→
ò tflimsFslim0fsFslim0fsFslimdttfelim
0tsss0
st
s
, (4.56)
ou seja, ( ) ( )úû
ù
êë
é
−úû
ù
êë
é
=
→+∞→
tflimsFslim0
0ts
, o que demonstra esta propriedade.
Propriedade 13 (TEOREMA DO VALOR FINAL) Se ℒ ( )[ ] ( )sFtf = , então
)s(sFlim)t(flim
0st →+∞→
= . (4.57)
Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ ( )[ ] ( ) ( ) ( )0fsFsdttfetf
0
st
−=′=′ ò
+∞ −
.
Assim,
( ) ( ) ( )0fsFslimdttfelim
0s0
st
0s
−úû
ù
êë
é
=′
→
∞+ −
→
ò . (4.58)
Mas, por outro lado,
18. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
18
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ).0fRflim
0fRflimdttflimdttfdttfelim
R
R
R
0R00
st
0s
−úû
ù
êë
é
=
=−=′=′=′
+∞→
+∞→+∞→
+∞+∞ −
→
òòò
(4.59)
Portanto, das equações (4.58) e (4.59), obtemos a fórmula (4.57), provando a propriedade 13.
5. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO:
Muitas vezes, para resolver Equações Diferenciais pela aplicação da transformada de Laplace,
precisamos inverter funções do tipo [F(s).G(s)]. Para tanto, vamos definir a Convolução entre duas
funções f(t) e g(t).
Definição: A convolução de duas funções f(t) e g(t), denotada por gf ∗ , é definida por:
( ) ( )ò ττ−τ=∗
t
0
dtgf)t(g)t(f . (5.1)
Observa-se que gf ∗ é uma função de t e, é fácil mostrar que, ( ) ( ) )t(fg)t(gf ∗=∗ , para todo
t real positivo.
Teorema da Convolução: Se ℒ ( )[ ] )s(Ftf = e ℒ ( )[ ] )s(Gtg = , então:
ℒ ( )[ ] ( ) ( )sG.sF)t(g*f = (5.2)
ou, simplesmente,
ℒ ( ) ( )[ ] ( ) )t(gfsG.sF1
∗=−
. (5.3)
Exemplo 1: Prove que ( )ò =−
t
0
)tsen(
2
t
duutcos)usen( .
Considerando F(s) = ℒ[ ]
1s
1
)tsen(
2
+
= e G(s) = ℒ[ ]
1s
s
)tcos(
2
+
= , obtemos do teorema da
Convolução que:
( ) =−ò
t
0
duutcos)usen( ℒ ( ) ( )[ ]=−
sG.sF1
ℒ
( ) ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−
22
1
1s
s
(5.4)
e obtemos, das propriedades 1 e 5 da seção anterior, que
19. Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace
19
ℒ
2
1
)tsen(t
2
1
=ú
û
ù
ê
ë
é
ℒ[ ] ( )
( ) ( )22222
1
1s
s
1s
s2
2
1
1s
1
ds
d
1
2
1
)tsen(t
+
=
+
−
−=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
−= −
, (5.5)
o que comprova a afirmação acima.
Exemplo 2: Calcule a transformada inversa de
( )22
1ss
1
)s(F
+
= .
Sabe-se que ℒ t
s
1
2
1
=ú
û
ù
ê
ë
é−
e ℒ
( )
t
2
1
et
1s
1 −−
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
. Assim,
ℒ
( )
=ú
û
ù
ê
ë
é
+
−
22
1
1ss
1
ℒ
( )
( )òò =−=−=∗=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
−−−− t
0
u2t
0
ut
22
1
dueuutdueu)ut(ett
1s
1
s
1
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2te)2t(e2eu2teuut tt
0
uuu2
−++=−−+−−+−−= −−−− , (5.6)
sendo que no cálculo da integral acima, foi utilizada duas vezes a técnica de integração por partes.
Observação: Para inverter a transformada de Laplace acima, seria mais simples usar os
teoremas de Heaviside.
Para mais exemplos resolvidos ver os livros Transformadas de Laplace, coleção Schaum, de
Murray Spiegel, ou Moderna Introdução às Equações Diferenciais, coleção Schaum, de Richard
Bronson.