Análise de série temporal, modelos auto-regressivos

1. Séries Temporais
Mr. Kleverton Saath

2. O que é uma série temporal?
Uma série temporal é um conjunto de
informações, dados, observados em
diferentes instantes e ordenados no
tempo, ou seja, são observações do
individuo ao longo do tempo;
Ex: preço de ações, PIB, consumo,
população.

3. Componentes de uma série
temporal
• Segundo o modelo clássico todas as séries temporais são compostas de
quatro padrões:
• - tendência (T), que é o comportamento de longo prazo da série, que
pode ser causada pelo crescimento demográfico, ou mudança gradual
de hábitos de consumo, ou qualquer outro aspecto que afete a variável
de interesse no longo prazo;
• - variações cíclicas ou ciclos (C), flutuações nos valores da variável
com duração superior a um ano, e que se repetem com certa
periodicidade , que podem ser resultado de variações da economia
como períodos de crescimento ou recessão.

4. Componentes de uma série
temporal
• - variações sazonais ou sazonalidade (S), flutuações nos valores da
variável com duração inferior a um ano, e que se repetem todos os
anos, geralmente em função das estações do ano (ou em função de
feriados ou festas populares, ou por exigências legais, como o período
para entrega da declaração de Imposto de Renda); se os dados forem
registrados anualmente NÃO haverá influência da sazonalidade na
série3 ;
• - variações irregulares (I), que são as flutuações inexplicáveis,
resultado de fatos fortuitos e inesperados como catástrofes naturais,
atentados terroristas, etc.

5. Modelos aditivos e
multiplicativos
Obs. No modelo multiplicativo o impacto da componente
cíclico-sazonal é maior quanto maior for o valor da tendência

6. Objetivo dos modelos de séries
temporais
• A partir de valores observados de uma
séries temporal, podemos identificar os
aspectos essenciais do processo gerador de
dados e realizar previsões (Y/X).
• As equações de diferenças estocásticas são
um instrumento eficaz para modelar
processo econômicos dinâmicos.

7. Tipos de séries temporais

8. Conceitos Chaves
• Processo estocástico
• Processo estacionário
• Ruído branco
• Raiz unitária (estabilidade)
• Cointegração
• “Ergodicidade”

9. Processo Estocástico
• Um Processo Estocástico pode ser definido como uma coleção de
variáveis aleatórias ordenadas no tempo xt, t  T ,onde T é um conjunto
ordenado de índices.
• Um processo estocástico fica caracterizado se definimos a função da
distribuição conjunta das variáveis aleatórias (z1,z2,.. z T) para qualquer valor
de T. Dizemos que conhecemos a estrutura probabilística de um processo
estocástico quando conhecemos estas distribuições

10. Estacionariedade
• Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente)
estacionário se:
• E[y(t)] = 
• Var[y(t)] = E[y(t) - ]2 = 2
• E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k)

11. Estacionariedade
• Uma série temporal é dita estacionária se suas
propriedades estatísticas não mudam com o tempo
• A série estacionária tem média e variância
constantes no tempo, e a covariância entre valores
defasados da série depende apenas da defasagem,
isto é, da “distância” temporal entre eles.
Cov(Yt,Yt-k) = k k

12. Estacionariedade
Cov(Yt,Yt-k) = k k
• significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um
valor “alto” de Y no presente momento
provavelmente será seguido de um valor também
alto de Y no próximo momento.
• A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo,
permite que se use essa informação para prever
valores futuros da série.

13. Não-estacionariedade
• No nível da média. A média varia ao longo
da série. Séries que apresentam tendências
temporais não têm média estacionária.
• Se a tendência for não-linear, as
covariâncias também se alterarão ao longo
do tempo

14. Mas afinal o que é
estacionariedade?

16. Ruído Branco
• Uma seqüência {εt} é dita ruído branco se
cada valor da série tiver média zero,
variância constante, e não apresentar
correlação serial.

17. Ruído Branco
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

18. Ruído Branco
E(εt) = E(εt) = ... = 0
Var(εt) = Var(εt) = ... = 2
E(εt.εt-s) = 0 para todo s  0

19. Raízes e estabilidade
• As raízes características determinam se a
série é estável (convergente) ou instável
(divergente)

20. -3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Série convergente (estável)

21. Série divergente (instável)
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

22. Condições de Estabilidade
• Condição necessária
• Condição suficiente
• Se algum ai = 1, o
processo tem raiz(es)
unitária(s), se o processo
tem raiz unitária ele é não
estacionário.


n
i
ia
1
1


n
i
ia
1
1

23. Estabilidade e Estacionariedade
• Se yt é uma equação estocástica de
diferenças, então a condição de estabilidade é
uma condição necessária para que a série
temporal {yt} seja estacionária.

24. Teste ADF
Hipótese do teste ADF
No caso abaixo, não rejeitamos H0,
neste caso tem raiz unitário e o processo é não estacionário.

25. Teste KPSS
Hipótese do teste KPSS é inversa do ADF
No caso abaixo, não rejeitamos H0,
neste caso não tem raiz unitário e o processo é estacionário.
Pelo teste KPSS
KPSSADF

26. Cointegração
• Segundo Harris (1995, p.22), se uma série
deve ser diferenciada d vezes antes de
tornar-se estacionária, então ela é dita ser
integrada de ordem d, denotada I(d).
Considere duas séries de tempo yt e xt,
ambas I(d), em geral, qualquer combinação
linear dessas duas séries também será I(d).
Por exemplo, os resíduos obtidos da
regressão de yt contra xt serão I(d).

27. E agora?
• Vimos que os modelos de séries temporais são
amplamente utilizados nas áreas do conhecimento
e sua aplicabilidade depende de alguns
pressupostos.
• Além disso, são inúmeros os modelos de séries
temporais. Cito alguns: AR (p), ARMA (p,q),
ARIMA (p,d,q), VEC, VAR, SARIMA (p,q),
ARCH (p,q), GARCH(p,d,q), suavização
exponencial.
• Mas qual desses modelos devo usar?

28. Definindo o modelo!
• A escolha do modelo matemático é uma das
partes mais importantes.
A escolha do modelo é caracterizado pelo
uso de pré-testes, análise da série, análise de
literatura.

29. Passos na análise de série de
tempo
• Passo 1: Identificação
• Passo 1.1: Teste de estacionariedade
• Passo 1.2: Identificação do modelo
• Passo 2: estimação
• Passo 3: Diagnóstico e ajuste
• Passo 4: Previsão

30. Modelos Auto regressivos
Os modelos auto regressivos como o próprio
nome sugere seu valor presente depende
exclusivamente dos valores passados e
choques exógenos.
Esta modelagem é muito usual no mercado
financeiro e tem forte respaldo na literatura
através da teoria dos mercados eficientes de
FAMA.

31. Modelo autoregressivo de primeira
ordem AR(p)
• Onde p é a ordem: Para facilitar vamos usar
a ordem 1, ou seja, p=1.
• É representado como:
Yt = a1 Yt-1 + t
• significa que o valor de Y em t depende do
valor de Y no período anterior mais uma
perturbação aleatória.
• Note que se tomou a0 = 0.

32. Média do modelo AR(1)
E(yt) = a0/(1 – a1)

33. Variância do modelo AR(1)
Var(yt) = 2/[1 – (a1)2]

34. Covariância do modelo AR(1)
Cov(yt, yt-s) = 2(a1)s/[1 – (a1)2]= γs
Portanto γ0 é a variância de yt

35. Autocorrelação
• Para uma série estacionária pode-se definir
a autocorrelação entre yt e yt-s como:
s = γs /γ0
• A função de autocorrelação (FAC) mostra
os valores de s para valores crescentes de s.

36. Restrições para estacionariedade do
AR(1)
• Seja Yt = a0 + a1 Yt-1 + t
• Dada a condição inicial y = y0 para t = 0, a
solução da equação é:
Yt = a0i=0
t-1 a1
i + a1
t Y0 + i=0
t-1 t-i

37. Restrições (continuação)
• Ao tomar o valor esperado de y para os
instantes t e t+s observa-se que:
E (yt)  E(yt+s)
• Isto é, a média não seria constante e,
portanto o AR(1) não seria estacionário

38. Restrições (conclusão)
• Esta restrição é contornada ao se tomar o valor
limite de yt:
lim yt = a0/(1 – a1) + i=0
∞ t-i = a0/(1 – a1)
• Portanto a estacionariedade requer |a1| < 1, e
requer também que o número de observações seja
grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá
um tempo infinitamente longo
• Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com
séries originárias de processos recentes, pois
podem não ser estacionárias.

39. Autocorrelação parcial
• Mede a intensidade da relação entre duas
observações da série, controlando
(mantendo constante) o efeito das demais
Yt = 11Y1 + t  11= 11
Yt = 11Y1 + 22Y2 + t  22= 22
Yt = k1Y1 + k2Y2 + ...+ kkYk + t  kk= kk
• a seqüência de pares (k, kk) constitui a função de
autocorrelação parcial

40. Interpretação
• Se, por exemplo, numa série mensal, os
valores de Yt forem altamente
correlacionados com os valores de Yt-12,
então a função de autocorrelação parcial
deveria exibir um pico na defasagem 12, e
nenhum valor significativo nas demais.

41. ARMA (p,q)
• Quando os dados possuem além do fator
AR(p) uma relação com as médias móveis
estimamos um modelo ARMA(p,q):

42. ARIMA (p,d,q)
• Os modelos ARIMA (p,d,q) são uma
extensão dos modelos ARMA (p,q) o termo
d é o fator de diferenciação, ou seja, ordem
de estacionariedade. Dizemos que:
• ARMA(p,q) = ARIMA (p,0,q)
• ARMA(p,0) = AR(p)
• ARMA(0,q)= MA(q)

43. Modelos ARCH (Autoregressive
Conditional Heterocedasticity)
• Os modelos ARCH seguem as hipóteses dos
modelos de séries temporais
(estacionariedade, etc), mas sua
aplicabilidade é no resido dos modelos
regressivos. Buscando assim, analisar a
volatilidade das séries.

44. Modelos multivariado
Fonte: Portal Action

45. Modelos multivariado
Fonte: Portal Action

46. Modelos suavização exponencial
Fonte:Gujarati
• Modelos de suavização é uma grande classe de métodos de previsão
que se baseiam na ideia de que observações passadas contêm
informações sobre o padrão da série temporal. O propósito dos
métodos é distinguir um padrão de comportamento de qualquer outro
ruído que possa estar contido nas observações da série e então usar
esse padrão para prever
• valores futuros da série.

47. • Além desses modelos existe uma infinidade
de ajustes, com diferentes aplicações, que
são resultados da otimização como o
modelo SARIMA (onde são introduzido
analise de sazonalidade no modelo
ARIMA(p,q)). Além disso, temos
tratamentos analise de tendência nas séries
temporais filtro HP e decomposição de
variância

48. Contato
Consultorias: análise de informação,
pesquisa de mercado, modelos de previsão
Contato: (48) 9 9685-7656 | (48) 98812-5885
klevertonsaath@gmail.com

49. Vamos praticar no software? ...