Este documento apresenta os conceitos básicos da transformada de Laplace. A transformada de Laplace transforma funções do domínio do tempo em funções do domínio da frequência. Ela possui propriedades de linearidade e é útil para resolver problemas de valor inicial lineares. A existência da transformada de Laplace depende da continuidade e ordem de crescimento da função original.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – TURMA:B
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
No Cálculo I, estudamos que a diferenciação e a integração são transformações,
ou seja, essas operações transformam uma função em outra função. Além disso, essas
duas transformações têm a propriedade da linearidade segundo a qual a transformada de
uma combinação linear é uma combinação linear das transformadas. Para α e β
constantes,
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
βαβα +=+
e
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf βαβα
desde que cada derivada e cada integral existam. Agora vamos estudar um tipo especial
de transformação integral chamada Transformada de Laplace.Além da propriedade da
linearidade, essa transformada tem muitas outras propriedades importantes que a tornam
muito útil na resolução de problemas lineares de valor inicial.
DEFINIÇÃO 1: Seja ( )tf uma função definida para 0≥t e seja s uma variável
real arbitrária. A Transformada de Laplace de ( )tf , designada por L ( ){ }tf ou ( )sF é
definida por:
L ( ){ } ( ) ( )∫
∞+
−
==
0
dttfesFtf st
(1)
para todos os valores de s que tornem a integral em (1) convergente.
*Obs.: 1. Ao calcular a integral em (1), a variável s é considerada como constante, pois
a integração é em relação à t.
2. Nem toda função possui transformada de Laplace. Dizemos que uma função
( )tf possui transformada de Laplace, se a integral ( )∫
∞+
−
0
dttfe st
converge para algum
valor de s.
3. Quando a integral definida em (1) convergir, o resultado será uma função de s.
Usaremos letras minúsculas para denotar a função que está sendo transformada e a letra
maiúscula correspondente para denotar sua transformada de Laplace, como por
exemplo:
L ( ){ } ( )sFtf = , L ( ){ } ( )sGtg = , L ( ){ } ( )sXtx = , L ( ){ } ( )sYty =
Ex.: Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
1.
1. ( ) 1=tf
Solução:
( )sF =L { }1 = ( ) s
e
s
dtedte sb
b
b
st
b
st 1
1lim
1
lim1
0 0
=−−==⋅ −
+∞→
∞+
−
+∞→
−
∫ ∫ , para 0>s .
A integral diverge para 0≤s .

2. 2.
2. ( ) 2
ttf =
Solução:
( )sF =L { }2
t = 





+−−−==⋅ −−−
+∞→
∞+
−
+∞→
−
∫ ∫ 332
2
0 0
22 222
limlim
s
e
s
e
s
b
e
s
b
dtetdtte sbsbsb
b
b
st
b
st
Se 0<s , temos +∞=





+





−−−−
+∞→ 332
2
222
lim
sss
b
s
b
e sb
b
e a integral imprópria
diverge.
Se 0>s , temos
3
22
33332
2
222
lim
12222
lim
se
bssb
sssss
b
s
b
e sbb
sb
b
=




 ++
−=





+





−−−
+∞→
−
+∞→
portanto a integral imprópria converge a ( ) 3
2
s
sF = .
Para o caso especial em que 0=s , temos:
+∞===⋅ ∫∫ ∫ +∞→
∞+
−
+∞→
−
b
b
b
t
b
st
dttdtetdtte
0
2
0 0
022
limlim e a integral imprópria diverge.
Podemos concluir então:
L { } 3
2 2
s
t = , para 0>s
3. ( ) at
etf =
Solução:
( )sF =L { }at
e = ( ) ( )
[ ] as
e
sa
dtedtee bsa
b
b
tsa
b
atst
−
=−
−
==⋅ −
+∞→
∞+
−
+∞→
−
∫ ∫
1
1lim
1
lim
0 0
,
para as > . Para as ≤ , a integral imprópria diverge.
4. ( ) ( )atsentf =
Solução:
( )sF =L ( ){ }atsen =
= ( ) ( ) ( )
b
stst
b
st
atsene
as
s
ate
as
a
dtatsene
0
0 2222
coslim∫
∞+
−−
+∞→
−






+
−
+
−=⋅ =
( ) ( ) 22222222
coslim
as
a
as
a
absene
as
s
abe
as
a sbsb
b +
=





+
+
+
−
+
−= −−
+∞→
, para 0>s .
A integral imprópria diverge para 0≤s .

3. 5. ( )



>
≤≤
=
2,2
20,
t
tt
tf
Solução:
( )sF =L ( ){ }tf =
( ) =+





−−=⋅+⋅=⋅∫ ∫∫∫
∞+
−
+∞→
−−
∞+
−−−
0 0
2
0
22
2
0
lim2
1
2
b
st
b
ststststst
dtee
s
e
s
t
dtedttedttfe
[ ] ( )=−−+−−=−+−−= −−
+∞→
−−−
+∞→
−− ssb
b
ssbst
b
ss
ee
ss
e
s
e
s
e
ss
e
s
e
s
2
2
2
2
2
22
2
2
2
lim
2112
lim
2112
2
2
2
2
2
2
2 12112
s
e
e
ss
e
s
e
s
s
sss
−
−−− −
=++−−= , para 0>s .
Para 0≤s , a integral imprópria diverge.
TEOREMA 1: Se α e β são duas constantes, então:
L ( ) ( ){ } αβα =+ tgtf L ( ){ } β+tf L ( ){ }tg
para todo s tal que as transformadas de ( )tf e de ( )tg existam.
Demonstração:
L ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =+=+=+ ∫∫∫
∞+
−
∞+
−
∞+
−
dttgedttfedttgtfetgtf ststst
000
βαβαβα
= α L ( ){ } β+tf L ( ){ }tg
sempre que ambas as integrais convergirem para cs > .
Ex.: Dos exemplos 1 e 2, temos:
L { }=+ 2
32 t 2 L { } 31 + L { }=2
t 0,
62
3
>+ s
ss
TRANSFORMADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES BÁSICAS
L{ } ( )0
1
1 >= s
s
L{ } ( )0,3,2,1,
!
1
>== +
sn
s
n
t n
n
K
L{ } ( )0
2
1 2
3
>=
−
sst π
L ( )0
1 2
1
>=





 −
ss
t
π
L{ } ( )as
as
eat
>
−
= ,
1
L ( ){ } ( )022
>
+
= s
as
a
atsen
L ( ){ } ( )0cos 22
>
+
= s
as
s
at

4. L ( ){ } ( )as
as
a
atsenh >
−
= 22
L ( ){ } ( )as
as
s
at >
−
= 22
cosh
Ex.: Usando a propriedade de linearidade e as transformadas básicas, determine as
seguintes transformadas de Laplace:
1. L{ }432 2
+− tt
Solução:
L{ } 2432 2
=+− tt L{ } 32
−t L{} 4+t L{} 0,
434
1 23
>+−= s
sss
2. L{ }tsent 2cos32 +
Solução:
L{ } 22cos32 =+ tsent L{ } 3+sent L{ } 0,
4
3
1
2
2cos 22
>
+
+
+
= s
s
s
s
t
CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A EXISTÊNCIA DE L ( ){ }tf
Para garantir a existência de L ( ){ }tf é suficiente que ( )tf seja contínua por
partes e de ordem exponencial para Tt > . Sabemos que uma função ( )tf é contínua
por partes em [ )+∞,0 , se em qualquer intervalo bta ≤≤≤0 há no máximo um número
finito de pontos nktk ,,2,1, K= , sendo kk tt <−1 , nos quais ( )tf é descontínua e é
contínua em cada intervalo aberto kk ttt <<−1 .
DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma função ( )tf é de ordem exponencial c, se existem
constantes positivas Mc, e T, tais que ( ) tc
Metf ≤ para todo Tt > .
OBS.: Se ( )tf for uma função crescente, então a condição ( ) tc
Metf ≤ para todo
Tt > , significa simplesmente que o gráfico de ( )tf no intervalo ( )+∞,T não cresce
mais rápido que o gráfico da função exponencial ( ) tc
Metg = , onde M e c são
constantes positivas.
TEOREMA 2: Se ( )tf é contínua por partes no intervalo [ )+∞,0 e de ordem
exponencial c, então L ( ){ }tf existe para cs > .
Demonstração:
Pela propriedade aditiva de intervalos de integrais definidas, podemos escrever

5. L ( ){ } ( ) ( ) 21
0
IIdttfedttfetf
T
st
T
st
+=+= ∫∫
∞+
−−
A integral 1I existe, pois pode ser escrita como uma soma de integrais sobre os
intervalos nos quais a função ( )tfe st−
é contínua. Além disso, como ( )tf é de ordem
exponencial, existem constantes positivas c, M e T de modo que ( ) tc
Metf ≤ para
Tt > , então podemos escrever:
( ) ( )
( )
cs
e
MdteMdteeMdttfeI
Tcs
T
tcs
T
tcts
T
ts
−
−==≤≤
−−
∞+
−−
∞+
−
∞+
−
∫∫∫2
para cs > . Como ( )
dteM
T
tcs
∫
∞+
−−
converge, a integral ( ) dttfe
T
ts
∫
∞+
−
converge pelo
teste de comparação para integrais impróprias. Portanto 2I existe para cs > . A
existência de 1I e 2I implica que L ( ){ }tf existe para cs > .
Ex.: Calcule L ( ){ }tf para a função
( )



≥
<≤−
=
1,1
10,1
t
t
tf
Solução:
Essa função é contínua por partes e de ordem exponencial para 0>t . Além
disso, ( )tf está definida em duas partes, logo L ( ){ }tf pode ser expressa como a soma
de duas integrais como:
L ( ){ }tf = ( ) =⋅+−⋅= ∫∫∫
∞+
−−
∞+
−
1
1
00
1)1( dtedtedttfe ststst
0,
12
lim
1
1
0
>−=+





= −
∞+
−
+∞→
−
∫ s
s
e
s
dte
s
e sts
b
ts
DEFINIÇÃO 3: Dizemos que ( ) cEtf ∈ se:
(i) ( )tf é definida 0≥∀t ;
(ii) ( )tf é contínua por partes em todo o intervalo [ ]T,0 , 0>T ;
(iii) ( )tf é de ordem exponencial c.
OBS.: Estamos considerando funções que satisfazem às hipóteses do Teorema 2,
portanto se ( ) cEtf ∈ , então ( )=sF L ( ){ }tf existe para cs > .
TEOREMA 3: Se ( ) cEtf ∈ , então para qualquer constante a temos:
L ( ){ } ( ) acsasFtfeat
+>−= ,
Demonstração:
Se ( ) cEtf ∈ , então ( )=sF L ( ){ }tf existe para cs > , portanto

6. L ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) casasFdttfedttfeetfe tastatsat
>−−=== ∫∫
∞+
−−
∞+
−
,
00
,
ou seja acs +>
Ex.: Determine L{ }t
et 4
Solução:
Temos que ( ) ttf = , então ( )=sF L ( ){ }=tf L{} 2
1
s
t = , portanto
L { } ( )
( )
4,
4
1
4 2
4
>
−
=−= s
s
sFte t
TEOREMA 4: Se ( ) cEtf ∈ e L ( ){ } ( )sFtf = , então para qualquer inteiro positivo n
temos:
L ( ){ } ( ) ( )[ ]sF
ds
d
tft n
n
nn
1−=
Verificação:
Supondo que L ( ){ } ( )sFtf = existe e é possível trocar a ordem de diferenciação
e integração, então:
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) −=−=
∂
∂
== ∫∫∫
∞+
−
∞+
−
∞+
−
000
dtttfedttfe
s
dttfe
ds
d
sF
ds
d ststst
L ( ){ }tft
portanto
L ( ){ }tft = ( )[ ]sF
ds
d
− (1)
De (1), obtemos:
L ( ){ }=tft2
L ( ){ }
ds
d
tftt −=⋅ L ( ){ }tft = ( )[ ] ( )[ ]sF
ds
d
sF
ds
d
ds
d
2
2
=






−−
portanto
L ( ){ }=tft2
( )[ ]sF
ds
d
2
2
(2)
De (2), obtemos:
L ( ){ }=tft3
L ( ){ } ds
d
tftt −=⋅ 2
L ( ){ }tft2
= ( )[ ] ( )[ ]sF
ds
d
sF
ds
d
ds
d
3
3
2
2
−=






−
portanto
L ( ){ }=tft3
( )[ ]sF
ds
d
3
3
− (3)
Generalizando, obtemos:
L ( ){ }=tftn
( ) ( )[ ]sF
ds
d
n
n
n
1−
Ex.: 1. Calcule L{ }tsent 2 :
Solução:
Sendo ( ) tsentf 2= , temos que ( )
4
2
2
+
=
s
sF , então:

7. L{ }
( )222
4
4
4
2
2
+
=





+
−=
s
s
sds
d
tsent
TEOREMA 5: Se ( )tf for uma função contínua por partes em [ )+∞,0 , de ordem
exponencial e periódica com período T, então
L ( ){ } ( )∫
−
−
−
=
T
st
sT
dttfe
e
tf
01
1
.
Prova:
Escrevendo a transformada de Laplace de f como a soma de duas integrais:
L ( ){ } ( ) ( )∫∫
∞+
−−
+=
T
st
T
st
dttfedttfetf
0
Se fizermos Tut += , a última integral fica
( ) ( )
( ) ( )∫∫∫
∞+
−−
∞+
−+−
∞+
−
==+=
00
sTsusTTus
T
st
eduufeeduTufedttfe L ( ){ }tf
Portanto
L ( ){ } ( ) sT
T
st
edttfetf −−
+= ∫0
L ( ){ }tf
Resolvendo a última equação, obtemos:
L ( ){ } sT
etf −
− L ( ){ }=tf ( )∫
−
T
st
dttfe
0
portanto
L ( ){ }( )sT
etf −
−1 = ( )∫
−
T
st
dttfe
0
logo
L ( ){ } ( )∫
−
−
−
=
T
st
sT
dttfe
e
tf
01
1
Ex.: Determine a transformada de Laplace da função periódica de período 2=T ,
definida no intervalo 20 <≤ t por:
( )



<≤
<≤
=
21,0
10,1
t
t
tf
e fora do intervalo, por ( ) ( )tftf =+ 2 .
Solução:
L ( ){ } ( )
( )s
stst
s
st
s
es
dtedte
e
dttfe
e
tf −
−−
−
−
−
+
=



 ⋅+⋅
−
=
−
= ∫∫∫ 1
1
01
1
1
1
1 2
1
1
02
2
02