O documento discute os conceitos fundamentais de sistemas de controle, incluindo a motivação para o uso de controles automáticos, a história da teoria do controle, a terminologia básica e os tipos de controle de malha aberta e fechada. Também apresenta conceitos matemáticos como a transformada de Laplace que é usada para analisar sistemas de controle.

1. Estudos de Controle
- Introdução
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2. Motivação
• Controles automáticos são muito utilizados em
diversas aplicações:
• Máquinas nas indústrias manufatureiras;
• Sistemas de piloto automático na indústria
aeroespacial;
• Sistemas de carros e caminhões na indústria
automotiva;
• Operações industriais como monitoramente de
temperatura, pressão, umidade, viscosidade e
vazão.
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3. Histórico
• Na década de 40 e 50:
• Métodos de resposta em frequência
(diagramas de Bode) e lugar das raízes são a
essência da teoria clássica de controle.
• Na década de 60 a 80:
• Controle ótimo de sistemas determinísticos e
estocásticos.
• Controle Adaptativo e de aprendizagem.
• A partir da década de 80 até hoje:
• Controle robusto e H infinito . 3

4. Terminologia
• Variável controlada: grandeza ou condição que é
medida e controlada. Geralmente é a saída do
sistema.
• Variável manipulada: grandeza ou condição
manipulada pelo controlador, de modo que afeta a
variável controlada.
• Planta: sistema a ser controlado.
• Sistemas: combinação de componentes que agem
em conjunto para atingir determinado objetivo.
• Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa o
sinal da variável de saída do sistema. Pode ser
interno ou externo.
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5. Controle de Malha Aberta
• O sinal de saída não exerce nenhuma ação de
controle no sistema, não é medido nem
realimentado.
• Cada entrada corresponde a uma condição fixa
de operação.
• O controle não funciona na presença de
distúrbios.
• Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego por
sinais.
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6. Controle de Malha Fechada
• Também chamados de controle com
realimentação.
• Estabelece uma relação de comparação entre a
saída e a entrada de referência, utilizando a
diferença como meio de controle.
• Robusto a distúrbios.
• Exemplo: controle de temperatura por
temostato, temperatura corporal e pressão
sanguínea.
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7. Transformada de Laplace
• Método operacional para solucionar equações
diferenciais linerares.
• Fornece simplificações:
• Funções senoidais e exponenciais se tornam
funções algébricas;
• Diferenciação e integração se tornam
operações algébricas para variáveis complexas.
• Soluções fornecem tanto a componente
transitória quanto a componente estacionária.
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8. Variáveis complexas
• Número complexo: possui uma parte real e uma
parte imaginária, ambas constantes:
𝑅 + 𝑗𝐼
• Se alguma das partes for variável, temos uma
variável complexa. Na transformada de Laplace
utiliza-se a notação s:
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
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9. Funções complexas
• São funções que possuem uma parte real e uma
parte imaginária:
𝐺 𝑠 = 𝐺 𝑥 + 𝑗𝐺 𝑦
• Módulo:
|𝐺 𝑠 | = 𝐺 𝑥
2
+ 𝐺 𝑦
2
• Argumento angular de G(s):
𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺 𝑥/ 𝐺 𝑦)
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Módulo:

10. Função complexa analítica
• Uma função complexa é dita analítica em uma
região se G(s) e suas derivadas existirem nessa
região.
• Derivada de G(s):
𝑑
𝑑𝑠
𝐺 𝑠 = lim
∆𝑠→0
𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠)
∆𝑠
= lim
∆𝑠→0
∆𝐺(𝑠)
∆𝑠
• Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 por
infinitos diferentes caminhos. Por isso, a
derivada pode não existir. 10

11. Condições de Cauchy-Riemann
• Se as derivadas calculadas ao longo de dois
caminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔)
forem iguais, então a derivada será a mesma
para qualquer outro percurso.
• Com as duas condições satisfeitas:
𝜕𝐺 𝑥
𝜕𝜎
=
𝜕𝐺 𝑦
𝜕𝜔
e
𝜕𝐺 𝑦
𝜕𝜎
= −
𝜕𝐺 𝑥
𝜕𝜔
• Então a derivada de G(s) é única e G(s) é
analítica.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+1
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12. Derivada de uma função
analítica
• Pode ser obtida simplesmente pela derivação de
G(s) em relação a s.
• Exemplo: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+1
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠 + 1
= −
1
(𝑠 + 1)2
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13. Função complexa analítica
• Pontos ordinários: pontos nos quais a função
G(s) é analítica.
• Pontos singulares: pontos nos quais a função
G(s) não é analítica.
• Pólos: pontos singulares que a função G(s) e
suas derivadas tendem a infinito.
• Zeros: pontos singulares que a função G(s) e
suas derivadas tendem a 0.
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14. Pólos e Zeros
• Dada a função:
𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝) 𝑛
• Considerando que G(s) tende ao infinito quando
s se aproxima de -p, mas a função acima seja
finita e não nula, então s=-p é chamado pólo de
ordem n.
• Os pólos podem ser simples (n=1), de segunda
ordem (n=2) e assim por diante.
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15. Teorema de Euler
𝑒 𝑗𝜃
= cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃
𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃
• Ou:
cos 𝜃 =
1
2
𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃
sin 𝜃 =
1
2𝑗
(𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃)
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16. Transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
onde c é a abscissa de convergência, uma
constante real escolhida com valor superior à
parte real de todos os pontos singulares de F(s).
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17. Transformada de Laplace
• Condição de existência:
• A integral deve convergir.
• f(t) contínua em todo intervalo finito de tempo
para t > 0 e se ela for de ordem exponencial
quanto t tender a infinito.
• Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡
|𝑓 𝑡 | deve tender a 0
quando t tende a infinito.
• Funções do tipo 𝑡, sin 𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin 𝜔𝑡 sempre
possuem a transformada de Laplace.
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18. Transformada de Laplace
• Propriedades:
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠
• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠)
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19. Transformada de Laplace
• Exponencial:
𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 =
𝐴
𝑠 + 𝛼
• Função degrau:
𝑇𝐿 𝐴 =
𝐴
𝑠
• Função rampa:
𝑇𝐿 𝐴𝑡 =
𝐴
𝑠2
• Função senoidal:
𝑇𝐿 𝐴 sin 𝜔𝑡 =
𝐴𝜔
𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos 𝜔𝑡 =
𝐴𝑠
𝑠2+𝜔2
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20. Obrigada!
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