Aula 05 - Transformada de Laplace.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
SINAIS E SISTEMAS
Aula 05 - Transformada de Laplace
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

© Pedro Souza Sinais e Sistemas
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo
2
LTI
( )
x t ( )
y t ( ) ( ) ( )
θ θ
= + +
1 1 2 2
x t a t a t
( )
{ } ( )
θ ϕ
=
1 1
T t t
( )
{ } ( )
θ ϕ
=
2 2
T t t
( ) ( )
ϕ ϕ
= + +
1 1 2 2
a t a t
Escolher um sinal θk(t) que seja fácil de calcular a saída:
• Impulso: Convolução;
• Exponenciais complexas: Transformada de Laplace.

( ) ( )
{ } ( ) ( )
{ }
θ θ
= = + +
1 1 2 2
y t T x t T a t a t

Transformada de Laplace
Resposta de um sistema LTI à exponenciais complexas:
3
( )
h t
( ) = st
x t e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
τ τ τ
∞
−∞
= ∗ = −
∫
y t x t h t h x t d
σ ω
= +
s j
( ) ( )
( )
τ τ
τ τ τ τ
∞ ∞
− −
−∞ −∞
= =
∫ ∫
s t st s
h e d h e e d
( ) ( )
τ
τ τ
∞
−
−∞
= =
∫
st s st
e h e d e H s
( )
H s
Ou seja: ( )
→
st st
e H s e
( ) ( )
∞
−
−∞
= ∫
st
H s h t e dt Transformada de Laplace de h(t)

Generalização:
4
( ) ( )
∞
−
−∞
= ∫
st
X s x t e dt σ ω
= +
s j
( ) ( )




x t X s

( ) ( )
{ }
=
X s t
x

Representação compacta:
( ) ( )
1
2
c j
st
c j
x t X s e ds
j
π
+ ∞
− ∞
= ∫
 Transformada Direta
 Transformada Inversa
( ) ( )
{ }
−
= 1
x t t
X

c é um valor escolhido de forma a garantir a convergência da integral.

5
Região de convergência (RoC): É o conjunto de valores de s para qual a transformada de
Laplace convege, ou seja, a RoC é o conjunto de valores de s tal que ( ) < ∞
X s
( ) ( ) ( ) ( )
( )
σ ω σ ω
∞ ∞ ∞
− +
− − −
−∞ −∞ −∞
= = =
∫ ∫ ∫
j t
st t j t
X s x t e dt x t e dt x t e e dt
( ) ( ) ( )
σ ω σ ω
∞ ∞
− − − −
−∞ −∞
= =
∫ ∫
t j t t j t
X s x t e e dt x t e e dt
( ) ( )
σ ω σ
∞ ∞
− − −
−∞ −∞
= =
∫ ∫
t j t t
x t e e dt x t e dt
Para haver convergência , ou seja:
( ) σ
∞
−
−∞
<
∫ 0
t
x t e dt
( ) < ∞
X s
 o sinal deve ser absolutamente integrável.
( ) σ
− t
x t e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
0
1
2
3
4
5
6
x(t) = 3t
e
- t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
x(t)e
- t
( ) σ
= >
3 0
x t t
Exemplo:

( ) σ
= <
3 0
x t t
Exemplo:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
0
5
10
15
20
25
x(t) = 3t
e
- t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
0
20
40
60
80
100
120
140
x(t)e
- t

Plano s
8
σ ω
= +
s j
Im
Re
σ
ω
A RoC deve ser representada no plano s (região hachurada)
A RoC depende de parte real de σ = Re{s}, ou seja, sempre é algum dos seguintes formatos:
• Re{s} > σmin
• Re{s} < σmax
• σmin < Re{s} < σmax

9
Exemplo 5.1: Determine a transformada de Laplace, RoC e diagrama de polos e zeros para
o seguinte sinal (lateral direito):
( ) ( )
−
= at
x t e u t
Observação:
{ }
{ }
−
→∞
 >
= 
∞ <

0 Re 0
lim
Re 0
zt
t
z
e
z

Transformada de Laplace racional:
11
( )
( )
( )
=
P s
X s
Q s
( ) = 0
P s Zeros de X(s)  Valores que fazem X(s) = 0.
( ) = 0
Q s Polos de X(s)  Valores que fazem X(s) = ∞.
Diagrama de polos e zeros: Representação no plano s
Polo
Zero
M  quantidade de zeros finitos
N  quantidade de polos
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
− −
=
−
− − −


1 2
1 2
M
N
s z s z s z
X K
s p p s
s
s p

Plano s
12
Im
Re
0,5
-2
1+j
1-j
-1
-2+1,5j
-2-1,5j
Diagrama de polos e zeros:

Zeros ou polos no infinito:
• Se a ordem do denominador for maior do que a do numerador, então X(s)  0 quando s 
∞, logo temos zero em s = ∞.
• Se a ordem do numerador for maior do que a do denominador, então X(s)  ∞ quando s 
∞, logo temos polos em s = ∞.
Quantidade de polos/zeros no infinito = |M – N|
13
( ) 2
1
5 6
s
X s
s s
+
=
+ +
( )
3 2
2
2 3 1
5 6
s s s
X s
s s
+ − +
=
+ +

Exemplo 5.2: Determine a transformada de Laplace, RoC e diagrama de polos e zeros para o
seguinte sinal (lateral esquerdo):
14
( ) ( )
−
=
− −
at
x t e u t
Observação:
{ }
{ }
−
→−∞
∞ >
= 
<

Re 0
lim
0 Re 0
zt
t
z
e
z

Transformada de Laplace Unilateral
• Em muitas situações, o sinal envolvido é causal (x(t) = 0 para t < 0);
• Em outros casos, a saída de um sistema é calculada apenas para t > 0 (sistema causal);
• Ao considerar apenas o cenário de sinais/sistemas causais, a ambiguidade da RoC é
retirada (pois todos sinais são laterais direitos), e portanto não precisamos considerar a
RoC  Transformada de Laplace Unilateral;
• Propriedade da exclusividade: para cada X(s) possui apenas um x(t).
• Aplicações:
• Análise de sinais e sistemas causais;
• Resolver equações diferenciais com condições iniciais quaisquer (nulas ou não-nulas);
15

16
( ) ( )




u
x t s
X

( ) ( )
{ }
= u
X s t
x

Representação compacta:
Região de convergência: Não é necessário indicar.
( ) { }
−
> −
+




1
Re
at
e u t s a
s a

( )
−
+




1
u
at
e u t
s a

Definição:
( ) ( )
−
∞
−
= ∫
0
st
X s x t e dt
0-  inclui possíveis impulsos ou descontinuidades na origem.
Observação: A não ser que seja dito, a transformada de Laplace sempre se refere à
unilateral.

Exemplo 5.3: Determine a transformada de Laplace unilateral dos seguintes sinais:
(a)
(b)
(c)
(d)
17
( ) ( )
ω
= 0
j t
x t e u t
( ) ( )
δ
=
x t t
( ) ( )
=
x t u t
( ) ( ) ( )
ω
= 0
cos
x t t u t
Propriedade da Linearidade da Transformada de Laplace:
( )
{ } ( )
=
 x t X s
( )
{ } ( )
=
 1 1
x t X s
( )
{ } ( )
=
 2 2
x t X s
Então, ( ) ( )
{ } ( ) ( )
+ = +
1 2 1 2
ax t bx t aX s bX s


Transformada de Laplace Inversa
Métodos para cálculo da transformada de Laplace inversa:
• Expressão analítica;
• Exige cálculos em variáveis complexas;
• Inspeção;
• Expansão em frações parciais.
18

TABELA 1 – TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE UNILATERAIS.

Transformada de Laplace Inversa (Unilateral)
21
Exemplo 5.4: Determine a transformada de Laplace inversa de:
( )
= +
+ +
3 2
1 2
X s
s s

Frações parciais:
22
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
− − −
= =
− − −


1 2
1 2
M
N
P s s z s z s z
X s K
Q s s p s p s p
{ } = 
1, ,
i
z i M
{ } = 
1, ,
i
p i N
Zeros
Fração própria: N > M
Caso I – Fração própria, polos reais e diferentes entre si.
( )
( )
( )( ) ( )
=
− − −

1 2 N
P s
X s
s p s p s p
= + + +
− − −

1 2
1 2
N
N
A A A
s p s p s p
( )( ) =
= −
k
k k s p
A X s s p
Polos

23
( )
−
=
− −
2
7 6
6
s
X s
s s

Expansão em Frações Parciais:
Caso II – Fração própria, polos complexos conjugados.
24
( )
( )
( )( )
α ω α ω α ω α ω
= = +
+ − + + + − + +
1 2
0 0 0 0
P s A A
X s
s j s j s j s j
( )( ) α ω
α ω =
− +
= + − =  1
0
1 0 1
j A
s j
A X s s j A e
( )( ) α ω
α ω −
=
− −
= + + = =  1
0
*
2 0 1 1
j A
s j
A X s s j A A e
( )
α ω α ω
−
= +
+ − + +
 
1 1
1 1
0 0
j A j A
A e A e
X s
s j s j
( ) ( )
( ) ( )
( )
α ω α ω
− + − −
−
= +
 
0 0
1 1
1 1
j t j t
j A j A
x t A e e u t A e e u t
( ) ( ) ( )
α
ω
−
= + 
1 0 1
2 cos
t
x t A e t A u t

25
( )
( )
( )
+
=
+ +
2
6 34
10 34
s
X s
s s s

Expansão em Frações parciais:
26
Caso III – Fração própria, com um polo com multiplicidade r.
( )
( )
( ) ( ) ( )
0 1 1
1
r
r r r
P s B B B
X s
s
s s s λ
λ λ λ
−
−
= = + + +
−
− − −

( )( )
λ
λ
=
 
= −
 
1
!
k
r
k k
s
d
B X s s
k ds
( )
( )( )
+
=
+ +
3
8 10
1 2
s
X s
s s

27
Caso IV – Fração imprópria: Dividir P(s) por Q(s) até obter um resto com ordem inferior à
Q(s).
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= = +
P s R s
X s E s
Q s D s
Expansão em Frações parciais:
( )
+
=
+ +
2
2
2 5
3 2
s
X s
s s

Propriedades da Transformada de Laplace
28
Considerações iniciais:
( )
{ } ( )
x t X s
=

( )
{ } ( )
1 1
x t X s
=

( )
{ } ( )
2 2
x t X s
=

Propriedade 1 – Linearidade: ( ) ( )
{ } ( ) ( )
1 2 1 2
ax t bx t aX s bX s
+ = +

Propriedade 2 - Deslocamento no tempo: ( ) ( )
{ } ( )
−
− − =
 0
0 0
st
x t t u t t e X s
Propriedade 3 - Multiplicação por exponencial: ( )
{ } ( )
0
0
s t
e x t X s s
= −

( )
X s polo/zero em s a
=
polo/zero em 0
s a s
= +
( )
0
X s s
−

29
Im
Re
2
−
1 j
+
1 j
−
0 1
s j
= +
Im
Re
1 j
− +
2 2j
+
2
{ } ( )
0
0
s t
e x t X s s
= −

( )
( )( )
2
3 5
1 2
s
s e
X s
s s
−
+ +
=
+ +

Exemplo 5.10: Determine a transformada de Laplace do sinal x(t) apresentado na Figura
abaixo.
30

31
Propriedade 4 - Mudança de escala: ( )
{ } 1 s
x at X
a a
 
=  
 

( )
X s polo/zero em 0
s s
=
polo/zero em 0
s as
=
( )
X s a
A escala no tempo por um fator a faz com que todos os polos sejam multiplicados pelo
mesmo fator a.
Propriedade 5 – Convolução: ( ) ( )
{ } ( ) ( )
1 2 1 2
x t x t X s X s
∗ =

Exemplo 5.11: Utilizando a transformada de Laplace, determine a convolução entre os dois
sinais:
( ) ( )
1
t
x t e u t
−
=
( ) ( )
2
2
t
x t e u t
−
=

32
Propriedade 6 – Diferenciação no domínio s: ( )
{ } ( )
dX s
tx t
ds
− =

Propriedade 7 – Diferenciação no domínio do tempo:
( )
( ) ( )
0
dx t
sX s x
dt
−
 
= −
 
 

( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
0 0
u
d x t
s X s sx x
dt
− −
 
= − −
 
 


( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2
3
0 0 0
u
d x t
s X s s x sx x
dt
− − −
 
= − − −
 
 
 

( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2
1
0 0
0
k k
k k k
u k k
t t
d x t dx t d x t
s X s s x s
dt dt dt
− −
−
− − −
−
= =
 
= − − − −
 
 



Exemplo 5.12: Determine a transformada de Laplace do sinal apresentado na Figura abaixo
utilizando a tabela de transformadas de Laplace em conjunto com as propriedades.
33

35
Propriedade 8 – Integração no domínio do tempo: ( ) ( )
( )
0
1
t
X s
x d x t dt
s s
τ τ
−
−∞ −∞
 
= +
 
 
∫ ∫

Caso particular: ( )
( )
0
t
X s
x d
s
τ τ
−
 
 
=
 
 
 
∫

Propriedade 9 - Teorema do valor inicial e valor final:
( ) ( )
0 lim
s
x sX s
+
→∞
=
( ) ( )
0
lim lim
t s
x t sX s
→∞ →
=
Propriedade 10 – Convolução na frequência:
( ) ( )
{ } ( ) ( )
1 2 1 2
1
2
x t x t X s X s
j
π
= ∗


36
Exemplo 5.13: Utilizando o teorema dos valores finais e iniciais, determine o valor inicial e
final da seguinte sinal causal com a transformada de Laplace:
( )
( )
( )
2
10 2 3
2 5
s
X s
s s s
+
=
+ +

Solução de Equações Diferenciais
37
Aplicação para solução de equações diferenciais:
• Aplicar a transformada de Laplace unilateral em ambos lados da equação diferencial;
• Calcular a inversa para obter y(t).
Exemplo 5.14: Resolva a seguinte EDO considerando as condições iniciais e entrada dadas.
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
5 6
d y t dy t dx t
y t x t
dt dt dt
+ + = +
( ) ( ) ( ) ( )
4
0 2, 0 1, t
y y x t e u t
− − −
= = =


Reposta de entrada nula vs. Resposta de estado nulo:
• Reposta de entrada nula: Surge quando a entrada é igual a zero, ou seja, é a componente
que depende apenas das condições iniciais;
• Reposta de estado nulo: Surge quando as condições iniciais são nulas.
38
( ) ( ) ( )

2
termos de condições iniciais
termos de entrada
1
5 6 2 12
4
s
s s Y s s
s
+
+ + = + +
+




( )
( )( )
2 2
componente de entrada nula
componente de estado nulo
2 12 1
5 6 4 5 6
s s
Y s
s s s s s
+ +
= +
+ + + + +




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 4
componente de entrada nula
componente de estado nulo
1 3
8 6 2
2 2
t t t t t
y t e u t e u t e u t e u t e u t
− − − − −
 
= − + − + −
 
 






Reposta de entrada nula vs. Resposta de estado nulo:
• Em um sistema linear invariante no tempo, as condições inicias são nulas;
• A resposta de entrada nula depende apenas das condições iniciais;
• Como em um sistema LTI as condições iniciais são nulas, então a resposta de entrada
nula é igual à zero;
• Em um sistema LTI, a saída é igual à resposta de estado nulo;
• Ou seja, a resposta de estado nulo é igual à convolução.
39
( ) ( ) ( )
0
y t y t y t
φ
= +
( )
0
y t  Resposta de entrada nula
( )
y t
ϕ  Resposta de estado nulo

Exemplo 5.15: Determine a saída do sistema LTI causal descrito pela seguinte equação
diferencial quando a entrada é x(t) = 3e-5tu(t).
40
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
5 6
d y t dy t dx t
y t x t
dt dt dt
+ + = +

Função de Transferência
Função Transferência
41
( )
h t
( )
x t ( ) ( ) ( )
y t x t h t
= ∗ ( )
{ } ( )
x s
t X
=

( )
{ } ( )
h s
t H
=

( )
{ } ( )
y s
t Y
=

( )
{ } ( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( )
s
t t
y Y s x h X H
t s
= = ∗ =
 
( ) ( ) ( )
Y s X s H s
=
Como estamos trabalhando com sistemas LTI, as condições iniciais são sempre nulas e
admite-se que a entrada é causal.
Desta forma: ( ) ( )
{ }
( )
( )
= =

condições iniciais nulas
s
X
s
Y
h t
H s

Exemplo 5.16: Em um determinado sistema LTI causal, quando a entrada , a saída
é dada como . Determine:
(a) Função transferência.
(b) Resposta ao impulso.
(c) A saída do sistema quando a entrada é igual a .
42
( ) ( )
x t u t
=
( ) ( )
3
2 t
y t e u t
−
=
( ) ( )
t
x t e u t
−
=

Sistema LTI descrito por equações diferenciais:
43
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=
∑ ∑
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
   
=
   
   
∑ ∑
 
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
   
=
   
   
∑ ∑
 
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
   
=
   
   
∑ ∑
 
( ) ( )
0 0
N M
k k
k k
k k
a s Y s b s X s
= =
=
∑ ∑

© Pedro Souza Sinais e Sistemas 44
( ) ( )
0 0
N M
k k
k k
k k
Y s a s X s b s
= =
=
∑ ∑
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
M
k
k
k
N
k
k
k
b s
Y s P s
H s
X s Q s
a s
=
=
= = =
∑
∑
(racional)
Sistema LTI descrito por equações diferenciais:
Exemplo 5.17: Obtenha a equação diferencial que relaciona qualquer entrada à qualquer
saída para o sistema LTI causal descrito no Exemplo anterior.

Exemplo 5.18: Determine a função transferência dos seguintes sistemas de tempo contínuo:
(a) um deslocador ideal de T segundos.
(b) um diferenciador.
(c) um integrador.
45

46
Sistema LTI causais (LTIC) descrito por equações diferenciais:
( )
( )
( )( ) ( )
1 2 N
P s
H s
s p s p s p
=
− − −

1 2
1 2
N
N
A A A
s p s p s p
= + + +
− − −

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
N
p t p t p t
N
h t A e u t A e u t A e u t
= + + +

Para o sistema ser estável  h(t) absolutamente integrável. Ou seja, para um sistema LTI
causal ser estável, todos os polos devem estar no SPE.
Além disso, se M > N, então o sistema também será instável, exemplo:
( )
3 2 2
2 2
4 4 5 2 5
3 2 3 2
s s s s s
H s s
s s s s
+ + + + +
= = +
+ + + +
O termo livre s corresponde a um derivador, ou seja, aplicando x(t) = u(t), na saída temos um
termo de impulso  entrada limitada leva a saída ilimitada.

47
Exemplo 5.19: Para o sistema LTI causal descrito pela seguinte equação diferencial,
determine: (a) o sistema será estável?, (b) a resposta ao impulso, (c) resposta ao degrau, (d)
o valor em regime permanente para entrada ao degrau e (e) a saída do sistema quando a
entrada é x(t) = e-3tu(t).
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
3 2 2 3
d y t dy t dx t
y t x t
dt dt dt
+ + = −

Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz:
48
( )
( )
( )
( )
1
0 1 1
n n
n n
P s P s
H s
Q s a s a s a s a
−
−
= =
+ + + +

Critério de Routh: determina quantos polos de H(s) existem no SPD sem calcular os polos.
O sistema será instável se:
• Se Q(s) estiver faltando algum dos coeficientes ai;
• Se todos os coeficientes de Q(s) não tiverem o mesmo sinal.

Exemplo:
49
( ) 3 2
1
3 1
s
H s
s s
−
=
+ +
( ) 3 2
1
3 2 1
s
H s
s s s
−
=
+ − +
 Instável
 Instável
Caso contrário, o sistema pode ser estável ou instável, devendo-se montar a tabela de Routh.

50
( )
( )
( )
( )
1
0 1 1
n n
n n
N s N s
H s
D s a s a s a s a
−
−
= =
+ + + +

n
s
1
n
s −
2
n
s −
3
n
s −

1
s
0
s
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a


0
0
1
b
1
c
2
b
2
c
3
b
4
b



1
f
1
g
1 2 0 3
1
1
a a a a
b
a
−
= 1 4 0 5
2
1
a a a a
b
a
−
=
1 3 1 2
1
1
b a a b
c
b
−
=
1 5 1 3
2
1
b a a b
c
b
−
=

O número de raízes no SPD é igual ao número de mudanças da primeira coluna de coeficientes
da tabela de Routh.

Exemplo 5.20: Seja um sistema LTI causal com a seguinte função de transferência.
Determine o valor de a que torna o sistema estável.
51
( ) 3 2
1
3 1
s
H s
s s as
−
=
+ + +

Álgebra de Diagrama de Blocos
52
( )
1
H s
( )
x t
( )
2
H s
( )
y t ( )
x t
( ) ( )
1 2
H s H s
( )
y t
Associação em série:
( )
x t
( )
1
H s
( )
2
H s
( )
y t
+
( )
x t
( ) ( )
1 2
H s H s
+
( )
y t
Associação em paralelo:

53
( )
G s
( )
x t
( )
H s
( )
y t
Associação em Feedback negativo:
( )
e t
( )
c t
+
−
( ) ( ) ( )
Y s E s G s
=
( ) ( ) ( )
E s X s C s
= −
( ) ( ) ( )
C s Y s H s
=
( ) ( ) ( )
X s Y s H s
= −
Desta maneira: ( ) ( ) ( )
Y s E s G s
=
( ) ( ) ( ) ( )
X s Y s H s G s
 
= −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y s Y s G s H s G s X s
+ =

54
Associação em Feedback negativo:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
Y s G s H s G s X s
+ =
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
eq
Y s G s
H s
X s H s G s
= =
+
( )
G s
( )
x t
( )
H s
( )
y t
( )
e t
( )
c t
+
−

55
( )
G s
( )
x t
( )
H s
( )
y t
Associação em Feedback negativo + Controlador:
+
−
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
eq
Y s C s G s
H s
X s H s C s G s
= =
+
( )
C s
Sensor
Controlador Planta
Referência
Erro
Sinal de
controle

Exemplo 5.21: Um sistema de controle é apresentado na Figura abaixo. O controlador
utilizado é um controlador proporcional, cuja função de transferência é C(s) = K. Admitindo
que a planta possua a função transferência:
57
( )
G s
( )
x t ( )
y t
+
−
( )
C s
( )
( )
1
8
G s
s s
=
+
Determine: (a) a expressão para a função de transferência em malha fechada. (b) a faixa de
valores de K de forma a tornar o sistema estável.

Análise de Estabilidade e Causalidade de Sistemas LTI
• Para utilizar a transformada de Laplace unilateral, devemos assumir, à priori, que o sistema
é causal e/ou que os sinais de entrada são causais;
• Caso isso não seja possível, não é possível utilizar a transformada de Laplace unilateral;
• Transformada de Laplace bilateral;
• Região de Convergêcia.
58

• Transformada de Laplace Unilateral:
• Análise de sinais e sistemas que são conhecidamente causais;
• Permite determinar apenas a estabilidade do sistema (supondo a causalidade);
• Resolver equações diferenciais com condições iniciais nulas ou não nulas;
• Transformada de Laplace Bilateral:
• Análise de sinais ou sistemas quaisquer;
• Permite determinar a estabilidade e causalidade do sistema;
• Resolver equações diferenciais com condições iniciais nulas (LTI);
59

Propriedade da Linearidade da Transformada de Laplace Bilateral:
60
( )
{ } ( )
= RoC =
x t X s R

( )
{ } ( )
=
1 1 1
RoC =
x t X s R

( )
{ } ( )
=
2 2 2
RoC =
x t X s R

Então, ( ) ( )
{ } ( ) ( )
+ = +
1 2 1 2
ax t bx t aX s bX s

A RoC contém , mas pode ser mais se houver cancelamento de polos e zeros.
∩
1 2
R R
Exemplo 5.22: Determine a transformada de Laplace, RoC e diagrama de polos e zeros para
o seguinte sinal (bilateral):
( ) −
=
b t
x t e

Propriedades da RoC
Propriedade 1 - A RoC não contém polos.
61
( )
( )
( )
=
N s
X s
D s
( ) ( )
= ⇒ → ∞
0
D s X s
Polos:
Propriedade 2 - A RoC consiste de faixas paralelas ao eixo imaginário no plano s.
Im
Re
RoC

Propriedades da RoC
Propriedade 3 – O sinal x(t) será absolutamente integrável se e somente se a RoC de X(s)
incluir o eixo s = jω (eixo imaginário).
62
Propriedade 4 - A RoC de uma transformada de Laplace racional é delimitada por polos e
conforme a propriedade 1, não pode conter polos.
( ) ( )
∞
−
−∞
= ∫
st
X s x t e dt
( ) ( ) ω
∞
−
−∞
= ∫
j t
X s x t e dt
( ) ( ) ( ) ( )
ω ω ω
∞ ∞ ∞
− − −
−∞ −∞ −∞
= = =
∫ ∫ ∫
j t j t j t
X s x t e dt x t e dt x t e dt
Fazendo s = jω (eixo imaginário):
( )
∞
−∞
= ∫ x t dt
Se s = jω (eixo imaginário) está na RoC, então: ( ) ( )
∞
−∞
< ∞ ⇒ < ∞
∫
X s x t dt

Propriedades da RoC
Propriedade 5 - Se x(t) tem duração finita, então a RoC é todo plano s.
63
( ) σ
∞
−
−∞
<
∫ 0
t
x t e dt

Propriedades da RoC
Propriedade 6 - Se x(t) é lateral direito, a RoC é um semi-plano direito e tem formato Re{s} >
σmin. Se X(s) é racional, a RoC está à direita do polo mais à direita.
64
(sinal lateral direito)
( ) { }
−
> −
+




1
RoC: Re
at
e u t s a
s a
Im
Re
-a

Propriedades da RoC
Propriedade 7 - Se x(t) é lateral esquerdo, a RoC é um semi-plano esquerdo e tem formato
Re{s} < σmax. Se X(s) é racional, a RoC está à esquerda do polo mais à esquerda.
65
(sinal lateral esquerdo)
( ) { }
−
− − < −
+




1
RoC: Re
at
e u t s a
s a
Im
Re
-a

Propriedades da RoC
Propriedade 8 - Se x(t) é bilateral, a RoC é uma faixa de valores no plano s e tem formato
σmin < Re{s} < σmax. Se X(s) é racional, a RoC é delimitada por dois polos e não pode conter
polos.
66
(sinal bilateral)
( )( )
{ }
− −
− < <
+ −




2
RoC: Re
b t b
e b s b
s b s b
Im
Re
-b b
Propriedade 9 – A RoC precisa ser uma região conectada.

Propriedades da RoC
67
Exemplo 5.23: Determine todas a RoC possíveis para a seguinte transformada de Laplace.
Para cada uma das RoC, indique se o sinal é lateral direito, lateral esquerdo ou bilateral.
Indique também se o sinal será absolutamente integrável.
( )
( )( )
=
+ +
1
1 2
X s
s s

Propriedades da Transformada de Laplace (Bilateral)
68
{ } ( ) { }
0
0 0
RoC Re
s t
e x t X s s R s
=
− =
+

Considerações iniciais:
( )
{ } ( ) RoC =
x t X s R
=

( )
{ } ( )
1 1 1
RoC =
x t X s R
=

( )
{ } ( )
2 2 2
RoC =
x t X s R
=

Propriedade 2 - Mudança de escala: ( )
{ } 1
RoC
s
x at X aR
a a
 
= =
 
 

Propriedade 3 - Reversão temporal: ( )
{ } ( ) RoC
x t X s R
− = − =
−

Propriedade 4 - Diferenciação:
( )
( ) RoC Contém
dx t
sX s R
dt
 
= =
 
 


69
Propriedade 5 - Integração: ( ) ( ) { }
( )
1
RoC Re 0
t
x d X s R s
s
τ τ
−∞
 
= =
∩ >
 
 
∫

Propriedade 6 - Convolução: ( ) ( )
{ } ( ) ( )
1 2 1 2
x t x t X s X s
∗ =

A RoC contém , mas pode ser mais se houver cancelamento de polos e zeros.
1 2
R R
∩

Transformada de Laplace Inversa (Bilateral)
70
{ } ( )
1
Re at
s a e u t
s a
−
> −
+




{ } ( )
1
Re at
s a e u t
s a
−
< − − −
+




( )
{ }
( )
( )
1
1
Re
1 !
n
at
n
t
s a e u t
n
s a
−
−
> −
−
+




( )
{ }
( )
( )
1
1
Re
1 !
n
at
n
t
s a e u t
n
s a
−
−
< − − −
−
+




( )
1 todo plano s t
δ





71
A RoC de cada termo deve ser escolhida de tal forma a ter intersecção com a RoC de X(s).
( )
1
N
i
i i
A
X s
s p
=
=
−
∑
Cada termo contribui com um polo em s = pi e pode corresponder a cada uma das
situações da RoC:
i
i
A
s p
−
{ } ( )
Re i
p t
i i
s p A e u t
> ⇒
{ } ( )
Re i
p t
i i
s p A e u t
< ⇒ − −
a)
b)

72
( ) { }
3 2
Re 1
1 2
X s s
s s
= + > −
+ +
( ) { }
3 2
Re 2
1 2
X s s
s s
= + < −
+ +
( ) { }
3 2
2 Re 1
1 2
X s s
s s
= + − < < −
+ +
a)
b)
c)

Transformada de Laplace Bilateral
Sistema descrito por equações diferenciais:
73
( ) ( )
0 0
k k
N M
k k
k k
k k
d y t d x t
a b
dt dt
= =
=
∑ ∑
( )
( )
( ) 0
0
M
k
k
k
N
k
k
k
b s
Y s
H s
X s
a s
=
=
= =
∑
∑
Características:
• H(s) racional;
• RoC não especificada  requer o conhecimento de outras características do sistema
(causalidade ou estabilidade).

Análise de Sistemas LTI utilizando a Transformada de
Laplace Bilateral
A análise da função transferência permite analisar a estabilidade e causalidade de um
sistema LTI qualquer.
Causalidade:
• Critério 1 – Um sistema é causal se e somente se a saída em t = t0 depende apenas das
entradas em t ≤ t0.
• Critério 2 – Um sistema é causal se e somente se a h(t) for um sinal causal.
74
( ) ( )
{ }
H s h t
=  RoC de uma sinal causal
Semiplano direito

Laplace Bilateral
Causalidade:
• Critério 3 – A RoC de um sistema causal é um semi-plano direito (Condição Necessária).
• Não necessariamente o fato da RoC ser um semi-plano direito implica que H(s) é
causal, mas sim que h(t) é lateral direito. Mas se H(s) é causal, necessariamente a RoC
é um semi-plano direito.
• Se H(s) é racional, a RoC é delimitada por polos, e não pode conter polos, e neste caso,
temos uma condição suficiente.
• Critério 4 – Um sistema racional é causal se e somente se a RoC de H(s) é um semi-plano
à direita do polo mais à direita (Condição Suficiente).
75

Laplace Bilateral
76
Estabilidade:
• Critério 1 – Um sistema é dito estável se para uma entrada com amplitude limitada, a saída
também tem amplitude limitada;
• Critério 2 – Um sistema é dito estável se e somente se h(t) for absolutamente integrável;
Lembrando que o sinal é absolutamente integrável se e somente se a RoC da Transformada
de Laplace inclui o eixo s = jω.
• Critério 3 – Um sistema é estável se e somente se a RoC de H(s) contiver o eixo s = jω.
• Caso Particular (Sistema Causal) – Um sistema causal é estável se e somente se todos
os polos de H(s) estiverem no semi-plano esquerdo.

Exemplo 5.25: Um determinado sistema LTI é descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine:
(a) Função transferência.
(b) Todas as respostas ao impulso do sistema, classificando para cada uma delas, se o
sistema é causal e/ou estável.
77
Transformada de Laplace Bilateral
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
d y t dy t
y t x t
dt dt
+ − =

Sistemas Inversos
78
( )
h t
( )
x t
( )
i
h t
( )
x t
( )
y t ( ) ( ) ( )
i
h t h t t
δ
∗ =
( ) ( )
{ } ( )
{ }
i
h t h t t
δ
∗ =
 
( ) ( ) 1
i
H s H s =
Ou seja: ( )
( )
1
i
H s
H s
= (RoC de H(s) e Hi(s) devem ter intersecção)
H(s) racional:
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 2
1 2
M
N
s z s z s z
H s K
s p s p s p
− − −
=
− − −


{ } 1, ,
i
z i M
= 
{ } 1, ,
i
p i N
= 
Zeros de H(s)
Polos de H(s)

Sistemas Inversos
Sistema inverso Hi(s):
79
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 2
1 2
1 1 N
i
M
s p s p s p
H s
H s K s z s z s z
− − −
= =
− − −


{ } 1, ,
i
p i N
= 
{ } 1, ,
i
z i M
= 
Zeros de Hi(s)
Polos de Hi(s)
Ou seja: Polos de H(s) Zeros de Hi(s)
Zeros de H(s) Polos de Hi(s)
H(s) causal e estável Polos de H(s) no SPE
Hi(s) causal e estável Polos de Hi(s) no SPE
Zeros de H(s) no SPE
=

Sistemas Inversos
H(s) e Hi(s) ambos estáveis e causais  polos e zeros de H(s) no
SPE.
80
Sistema de fase mínima = todos polos e zeros no SPE

Sistemas Inversos
Exemplo 5.26: Dado o seguinte sistema LTI causal descrito pela seguinte equação diferencial:
Determine: (a) A função transferência do sistema original, (b) o sistema original é estável? (c)
A função transferência para o sistema inverso, com todas as RoC possíveis, (d) o sistema
inverso pode ser causal e estável?
81
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 2 5 6
d y t dy t d x t dx t
y t x t
dt dt dt dt
+ + = − +

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