O documento descreve os critérios de congruência e semelhança de triângulos. Para a congruência, são apresentados quatro casos: LAL, ALA, LAA e LLL, que dependem da igualdade de lados e/ou ângulos. Para a semelhança, os triângulos devem ter ângulos congruentes e uma proporcionalidade entre seus lados correspondentes. São descritos três casos de semelhança: AA, LAL e LLL.

1. Congruência de triângulos
≅
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′
𝐵′
𝐶′
⟹ 𝑎 = 𝑎′
𝑏 = 𝑏′
𝑒 𝐴 = 𝐴′
𝑐 = 𝑐′
𝐵 = 𝐵′
ℎ = ℎ′ 𝐶 = 𝐶′
A
B C
A’
B’ C’
h h’
a a’
b c b’ c’

2. 1º caso: LAL (lado-ângulo-lado)
≅
Critério:
𝑏 = 𝑏´ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝑐 = 𝑐´
A = 𝐴′(α = β)
c
A
C
B’
b α
A’
C’
B
b’ c’
β

3. 2º caso: ALA (ângulo-lado-ângulo)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
𝐶 = 𝐶′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝐵 = 𝐵′
B
α
A
C a
β
A’
C’ B’
a’
βα

4. 3º caso: 𝐿𝐴𝐴 𝑜 (lado-ângulo-ângulo oposto)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
𝐵 = 𝐵′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝐴 = 𝐴′
B
A
C a
β
A’
C’ B’
a’
β
γ γ′

5. 4º caso: 𝐿𝐿𝐿 (lado-lado-lado)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
b = 𝑏′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
c = 𝑐′
B
C
A
b
C’
A’ B’
c’
a
c
b’ a’

6. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são ditos semelhantes quando:
1º) É possível coloca-los na mesma posição, fazendo com que seus três lados
sejam paralelos dois a dois.
*Feito isto, teremos uma relação de proporção entre os lados destes
triângulos.
2º) É necessário que os seus ângulos internos sejam congruentes (tenham
mesma medida).

7. De acordo com a imagem que temos na apostila, temos 𝛥𝐷𝐸𝐶
sobreposto ao 𝛥𝐴𝐵𝐶.
Assim,
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐶 ⟺
𝐴 = 𝐷
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐶
𝑒
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐶
=
𝐴𝐶
𝐷𝐶
= 𝑘
C
A B
D E

8. Ou também podemos separar os dois triângulos, conforme a representação na folha:
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 ⟺
𝐴 = 𝐷
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐹
𝑒
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐶𝐴
𝐹𝐷
= 𝑘
𝑘 é a razão de semelhança.
Observe que a razão entre os lados é determinada pela posição de acordo com os ângulos.
A
B C
D
E F

9. 1º caso: 𝐴𝐴 (ângulo-ângulo)
Dois ângulos ordenadamente congruentes.
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐹
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
CB
D
E F

10. 2º caso: LAL (lado-ângulo-lado)
*lados proporcionais*
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
𝐴 = 𝐷
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
B C
D
E F

11. 3º caso: LLL (lado-lado-lado)
*lados proporcionais*
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
B C
D
E F