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Carregado porPedro Henrique Drehmer
Congruência e Semelhança de Triângulos
O documento descreve os critérios de congruência e semelhança de triângulos. Para a congruência, são apresentados quatro casos: LAL, ALA, LAA e LLL, que dependem da igualdade de lados e/ou ângulos. Para a semelhança, os triângulos devem ter ângulos congruentes e uma proporcionalidade entre seus lados correspondentes. São descritos três casos de semelhança: AA, LAL e LLL.
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- 1. Congruência de triângulos ≅ 𝛥𝐴𝐵𝐶≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ ⟹ 𝑎 = 𝑎′ 𝑏 = 𝑏′ 𝑒 𝐴 = 𝐴′ 𝑐 = 𝑐′ 𝐵 = 𝐵′ ℎ = ℎ′ 𝐶 = 𝐶′ A B C A’ B’ C’ h h’ a a’ b c b’ c’
- 2. 1º caso: LAL(lado-ângulo-lado) ≅ Critério: 𝑏 = 𝑏´ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝑐 = 𝑐´ A = 𝐴′(α = β) c A C B’ b α A’ C’ B b’ c’ β
- 3. 2º caso: ALA(ângulo-lado-ângulo) Critério: 𝑎 = 𝑎′ 𝐶 = 𝐶′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐵 = 𝐵′ B α A C a β A’ C’ B’ a’ βα
- 4. 3º caso: 𝐿𝐴𝐴𝑜 (lado-ângulo-ângulo oposto) Critério: 𝑎 = 𝑎′ 𝐵 = 𝐵′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐴 = 𝐴′ B A C a β A’ C’ B’ a’ β γ γ′
- 5. 4º caso: 𝐿𝐿𝐿(lado-lado-lado) Critério: 𝑎 = 𝑎′ b = 𝑏′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ c = 𝑐′ B C A b C’ A’ B’ c’ a c b’ a’
- 6. Semelhança de triângulos Doistriângulos são ditos semelhantes quando: 1º) É possível coloca-los na mesma posição, fazendo com que seus três lados sejam paralelos dois a dois. *Feito isto, teremos uma relação de proporção entre os lados destes triângulos. 2º) É necessário que os seus ângulos internos sejam congruentes (tenham mesma medida).
- 7. De acordo coma imagem que temos na apostila, temos 𝛥𝐷𝐸𝐶 sobreposto ao 𝛥𝐴𝐵𝐶. Assim, 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐶 ⟺ 𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐶 𝑒 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 𝐸𝐶 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 = 𝑘 C A B D E
- 8. Ou também podemosseparar os dois triângulos, conforme a representação na folha: 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 ⟺ 𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹 𝑒 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 𝐸𝐹 = 𝐶𝐴 𝐹𝐷 = 𝑘 𝑘 é a razão de semelhança. Observe que a razão entre os lados é determinada pela posição de acordo com os ângulos. A B C D E F
- 9. 1º caso: 𝐴𝐴(ângulo-ângulo) Dois ângulos ordenadamente congruentes. 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A CB D E F
- 10. 2º caso: LAL(lado-ângulo-lado) *lados proporcionais* 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴 = 𝐷 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A B C D E F
- 11. 3º caso: LLL(lado-lado-lado) *lados proporcionais* 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐹 = 𝐵𝐶 𝐸𝐹 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A B C D E F