O documento discute os critérios de congruência de triângulos, incluindo os casos LAL, ALA, LAA e LLL, onde dois triângulos são congruentes se tiverem lados e/ou ângulos correspondentes iguais. Exemplos ilustram como usar esses critérios para provar propriedades geométricas, como pontos em uma mediatriz serem eqüidistantes dos extremos do segmento.
2. Prof. Jorge
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante e
igual a 180º.
A
C
B
r
A + B + C = 180º
+ C + = 180º
= A e = B
⇒
r // AB
3. Prof. Jorge
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos
dois ângulos internos não-adjacentes.
A
C
B
+ C = 180º
A + B + C = 180º
( I )
( II )
⇒
+ C = A + B + C
⇒
= A + B
4. Prof. Jorge
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos
dois ângulos internos não-adjacentes.
f
A
C
B
e = A + B
g
e
f = A + C
g = B + C
5. Prof. Jorge
Exemplo
Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.
Calcular a medida x do ângulo indicado.
B
A
D
76º 115º
C
x
y y
76 + y = 115 y = 39º⇒
115 + y = x
115 + 39 = x
x = 154º⇒
7. Prof. Jorge
Triângulos congruentes
Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiverem
os lados dois a dois iguais e, também, ângulos internos dois
a dois iguais.
AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’
A = A’ ; B = B’ e C = C’
⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
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Critérios de congruência
Existem alguns critérios mínimos que garantem a
congruência de dois triângulos. São os casos de
congruência.
9. Prof. Jorge
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois
lados e o ângulo compreendido, então eles são
congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
L → AC = A’C’
10. Prof. Jorge
Exemplo
Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmento
são eqüidistantes de seu extremos.
A
m
B
M
P
L → PM = PM
A → PMA = PMB
L → MA = MB
Δ PMA = Δ PMB
⇒⇒
PA = PB
11. Prof. Jorge
Caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes um
lado e dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos
são congruentes.
A → A = A’
L → AB = A’B’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → B = B’
12. Prof. Jorge
Exemplo
Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.
B D
A
A → B = D
L → AB = AD
A → CAB = EAD
Δ ABC = Δ ADE
⇒
C
E
⇒
AC = AE
13. Prof. Jorge
Caso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ângulo
e o ângulo oposto ao lado, então eles são congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → C = C’
14. Prof. Jorge
Exemplo
Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo é
eqüidistante de seus lados.
L → OP = OP
A → POA = POB
A → A = B
Δ PAO = Δ PBO
⇒
O
A
B
P
⇒
PA = PB
15. Prof. Jorge
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
Se dois triângulos tem os três lados ordenadamente
congruentes, então esses triângulos são congruentes.
L → AB = A’B’
L → AC = A’C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
L → BC = B’C’
A
C
B
16. Prof. Jorge
Exemplo
No triângulo ABC da figura, AB = AC e AM é a mediana
relativa a BC. Provar que AM é também bissetriz interna e
altura relativas a BC.
L → AB = AC
L → AM = AM
L → BM = CM
Δ AMB = Δ AMC
⇒⇒
AM é bissetriz interna e
altura relativas a BC.
B
A
C
M