Revisão de geometria analitica

1. Atividade de revisão Geometria Analítica
Exercicio1: Qual a projeção do vetor u = (3, 2) sobre o vetor v = (5, 2).
풖 = (
푨 풑풓풐풋풆çã풐 é 풅풂풅풂 풑풐풓 풑풓풐풋풗
풖. 풗
풗. 풗
) . 풗
풖 = (
풑풓풐풋풗
(ퟑ, ퟐ). (ퟓ, ퟐ)
(ퟓ, ퟐ). (ퟓ, ퟐ)
) . (ퟓ, ퟐ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟑ. ퟓ + ퟐ. ퟐ
ퟓ. ퟓ + ퟐ. ퟐ
) . (ퟓ, ퟐ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟏퟓ + ퟒ
ퟐퟓ + ퟒ
) . (ퟓ, ퟐ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟏퟗ
ퟐퟗ
). (ퟓ, ퟐ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟗퟓ
ퟐퟗ
;
ퟑퟖ
ퟐퟗ
)
Exercicio2: Determine o valor de m para que os vetores u = (6; m; 2) e v =
(2; −2; 1) sejam perpendiculares.
(6;m;2).(2;-2;1) = 0
6.2+m.(-2)+2.1= 0
12-2m+2 = 0
-2m+14 = 0
-2m = -14
m = -14/-2
m = 7

2. Exercicio3: Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2; -3) e
que é perpendicular a y= 2x – 5?
m = 2 ⟹ 풎′ = − ퟏ
ퟐ
Equação da reta tangente y-풚ퟎ = 풎. (풙 − 풙ퟎ ).
y+ퟑ = − ퟏ
ퟐ
. (풙 − ퟐ)
y+ퟑ = − 풙
ퟐ
+ ퟏ
2y+6= −풙 + ퟐ
x+2y+6-2= ퟎ
x+2y+4 = 0
ou desta forma
-2x+y+5 = 0
Qualquer equação do tipo x+2y+ C = 0
2+2.(-3)+C = 0
2-6+C = 0
- 4+C = 0
C = 4
x+2y+ 4 = 0
Exercicio4: Encontre a equação geral do plano π que passa pelo ponto
A(1, -3, 2) e tem m = (6,12, -15) como um vetor normal.
A equação geral do plano é dada por a.(x-풙ퟎ ) + 풃. (풚 − 풚ퟎ ) + 풄. (풛 − 풛ퟎ ) = 0
6.(x-1)+12.(y+3) -15.(z-2) = 0
6x-6+12y+36-15z+30=0
6x+12y-15z+60 = 0
2x+4y-5z+20 = 0
Exercicio5: Determine a equação geral da circunferência com centro no
ponto C (2, 1) e quepassa pelo ponto A (10, 10).
A distância do centro da circunferência C(2; 1) ao ponto por onde ela
passa, A(10; 10) vai nos dar a medida do raio dessa circunferência.

3. Então vamos calcular a distância (d) entre os pontos C(2; 1) a A(10; 10).
Assim, temos:
d = √(ퟏퟎ − ퟐ)ퟐ + (ퟏퟎ − ퟏ)²
d = √(ퟖ)² + (ퟗ)²
d = √ퟔퟒ + ퟖퟏ
d = √ퟏퟒퟓ
d² = 145
Como a distância é igual ao raio, então vamos substituir d² por r²
r² = 145
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-2)²+(y-1)² = 145
x²-4x+4+y²-2y+1 = 145
x²- 4x +y²-2y+4+1 = 145
x²+y²-4x-2y+5-145 = 0
x²+y²-4x-2y-140 = 0

4. PROVA DE GEOMETRIA ANALITICA RESPONDIDA DO QUNTO PERÍODO
(mantenha sigilo total certo!!!!!!!!)
1. Qual a projeção do vetor u = (2, 1) sobre o vetor v = (4, 1).
풖 = (
푨 풑풓풐풋풆çã풐 é 풅풂풅풂 풑풐풓 풑풓풐풋풗
풖. 풗
풗. 풗
) . 풗
풖 = (
풑풓풐풋풗
(ퟐ, ퟏ). (ퟒ, ퟏ)
(ퟒ, ퟏ). (ퟒ, ퟏ)
) . (ퟒ, ퟏ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟐ. ퟒ + ퟏ. ퟏ
ퟒ. ퟒퟏ. ퟏ
) . (ퟒ, ퟏ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟖ + ퟏ
ퟏퟔ + ퟏ
) . (ퟒ, ퟏ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟗ
ퟏퟕ
) . (ퟒ, ퟏ)
풖 = (
풑풓풐풋풗
ퟑퟔ
ퟏퟕ
;
ퟗ
ퟏퟕ
)
2. Determine a equação da reta perpendicular a y − 2x + 5 = 0 e que
passe pelo ponto A (2; 2).
푪á풍풄풖풍풐풅풐풄풐풆풇풊풄풊풆풏풕풆풂풏품풖풍풂풓
y = 2x-5
m = 2 ⟹ 풎′ = − ퟏ
ퟐ
Equação da reta tangente y-풚ퟎ = 풎. (풙 − 풙ퟎ ).
y−ퟐ = − ퟏ
ퟐ
. (풙 − ퟐ)
y−ퟐ = − 풙
ퟐ
+ ퟏ
2y-ퟒ = −풙 + ퟐ
x+2y-ퟒ − ퟐ = ퟎ
x+2y-ퟔ = ퟎ
ou
Qualquer equação do tipo 2y+x+C = 0
2.2+2+C = 0
4+2+C = 0
C = -6
Logo a equação procurada é x+2y-ퟔ = ퟎ

5. 3. Determine o valor de m para que os vetores u = (m; 4; 2) e v = (4;−1; 0)
sejam perpendiculares.
(m; 4; 2). (4;−1; 0) =0
4m- 4+0 = 0
4m = 4
m = 4/4
m = 1
4. Escreva a equação geral do plano que passa pelo ponto A (2; −1; 3) e
tem o vetor v = (3; 2;−4) como um vetor normal.
A equação geral do plano é dada pora.(x-풙ퟎ ) + 풃. (풚 − 풚ퟎ ) + 풄. (풛 − 풛ퟎ ) = 0
3.(x-2)+2.(y+1) – 4.(z-3)=0
3x-6+2y+2-4z+12 = 0
3x+2y-4z+8 = 0
5. Qual a equação da circunferência que passa no ponto A (2; 1) e tem
centro no ponto O (1; 2)?
A distância do centro da circunferência C(1; 2) ao ponto por onde ela
passa, A(2; 1) vai nos dar a medida do raio dessa circunferência.
Então vamos calcular a distância (d) entre os pontos C(1; 2) a A(2; 1).
Assim, temos:
d = √(ퟏ − ퟐ)ퟐ + (ퟐ − ퟏ)²
d = √(−ퟏ)² + (ퟏ)²
d = √ퟏ + ퟏ
d = √ퟐ
d² = 2
Como a distância é igual ao raio, então vamos substituir d² por r²
r² = 2
(x-a)²+(y-b)² = r²
(x-1)²+(y-2)² = 2
x²-2x+1+y²-4y+4 = 2
x²+y²-2x-4y+5-2 = 0
(x-1)²+(y-2)² = 2 ou x²+y²-2x-4y+3 = 0

6. 6. Identifique a quádrica representada pela equação
풙²
ퟒ
+ 풚²
ퟏퟔ
+ 풛²
ퟒ
=
ퟏ 풆 풆풔풄풓풆풗풂 풂equação do seu traço no plano y = 0.
푨 풆풒풖çã풐 풅풂풅풂 é 풅풐 풕풊풑풐 풙²
풂²
+ 풚²
풃²
+ 풛²
풄²
=
ퟏ, 퐪퐮퐞 퐫퐞퐩퐫퐞퐬퐞퐧퐭퐚 퐮퐦퐚 퐄퐥퐢퐩퐬ó퐢퐝퐞 .
푪풐풎풐 풐 풕풓풂ç풐 é 풏풐 풑풍풂풏풐 풚 =
ퟎ, 풐풖 풔풆풋풂, 풏풐 풑풍풂풏풐 풙풛 é 풖풎풂 풄풊풓풄풖풏풇풆풓ê풏풄풊풂 풙²
ퟒ
+ ퟎ²
ퟏퟔ
+ 풛²
ퟒ
= ퟏ.
풙²
ퟒ
+
풛²
ퟒ
= ퟏ
풙² + 풛² = ퟒ. ퟏ
x²+z² = 1