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  1. 1. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. 1 DDDD Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A ʜ B) = 23, n(B – A) = 12, n(C – A) = 10, n(B ʝ C) = 6 e n(A ʝ B ʝ C) = 4, então n(A), n(A ʜ C), n(A ʜ B ʜ C), nesta ordem, a) formam uma progressão aritmética de razão 6. b) formam uma progressão aritmética de razão 2. c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. e) não formam uma progressão aritmética. Resolução As informações apresentadas permitem construir o dia- grama de Venn-Euler seguinte: 1 ) n(A ∪ B) = x + y + z + 4 + 10 + 2 = 23 ⇔ x + y + z = 7 2) n(A) = x + y + z + 4 = 7 + 4 = 11 3) n(A ∪ C) = x + y + z + 4 + 2 + 8 = 7 + 14 = 21 4) n(A ∪ B ∪ C) = x + y + z + 4 + 10 + 2 + 8 = = 7 + 24 = 31 Assim: (11; 21; 31) é uma P.A. de razão 10 cujo último termo é 31. NOTAÇÕES ‫ގ‬ = {0, 1, 2, 3,...} ‫:ޚ‬ conjunto dos números inteiros ‫:ޑ‬ conjunto dos números racionais ‫:ޒ‬ conjunto dos números reais ‫:ރ‬ conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i2 = –1 Izl: módulo do número z ∈ ‫ރ‬ –– z: conjugado do número z ∈ ‫ރ‬ Re z: parte real de z ∈ ‫ރ‬ Im z: parte imaginária de z ∈ ‫ރ‬ ( n p): número de combinações de n elementos toma- dos p a p. mdc(j,k): máximo divisor comum dos números intei- ros j e k. n(X) : número de elementos de um conjunto finito X. (a,b) = {x ∈ ‫ޒ‬ : a < x < b}. IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666 MMMMAAAATTTTEEEEMMMMÁÁÁÁTTTTIIIICCCCAAAA
  2. 2. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 2 AAAA Seja A um conjunto com 14 elementos e B um sub- conjunto de A com 6 elementos. O número de subcon- juntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) 28 – 9. b) 28 – 1. c) 28 – 26. d) 214 – 28. e) 28. Resolução Os subconjuntos de A que são disjuntos de B são sub- conjuntos de (A – B). Como B ʚ A, n(A – B) = n(A) – n(A ʝ B) = n(A) – n(B) = 14 – 6 = 8. O conjunto A – B possui 28 – 9 subconjuntos, pois C8;0 + C8;1 + … + C8;6 = + + … + = = 28 – – = 28 – 1 – 8 = 28 – 9 3 BBBB Considere a equação: 16 3 = – 4 . Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. Resolução 16 . 3 = – 4 1) . = = = = – . i 2) – = = 2i 3) Se z = , temos 16z3 = (2i)4 ⇒ z3 = 1 ⇒ z = 1 ou z = – + i ou z = – – i 4) – i = 1 ⇒ x = 0 – i = – + i ⇒ x = – ͙ළළ3 – i = – – i ⇒ x = +͙ළළ3 A soma dos quadrados das soluções é 02 + (– ͙ළළ3 )2 + (͙ළළ3)2 = 6. ͙ළළ3 –––– 2 1 ––– 2 2x ––––––– 1 + x2 1 – x2 ––––––– 1 + x2 ͙ළළ3 –––– 2 1 ––– 2 2x ––––––– 1 + x2 1 – x2 ––––––– 1 + x2 2x ––––––– 1 + x2 1 – x2 ––––––– 1 + x2 ͙ළළ3 –––– 2 1 ––– 2 ͙ළළ3 –––– 2 1 ––– 2 1 – i . x –––––––––– 1 + i . x 1 + 2i + i2 – (1 – 2i + i2) –––––––––––––––––––––– 1 – i2 1 – i ––––––– 1 + i 1 + i ––––––– 1 – i 2x ––––––– 1 + x2 1 – x2 ––––––– 1 + x2 1 – x2 – 2xi ––––––––––––– 1 + x2 1 – 2ix + i2x2 ––––––––––––– 1 – i2x2 1 – ix ––––––– 1 – ix 1 – ix ––––––– 1 + ix ΃ 1 – i ––––– 1 + i 1 + i ––––– 1 – i΂΃ 1 – ix ––––––– 1 + ix΂ ΃ 1 – i ––––– 1 + i 1 + i ––––– 1 – i΂΃ 1 – ix ––––– 1 + ix΂ 8 ΂ ΃7 8 ΂ ΃8 8 ΂ ΃6 8 ΂ ΃1 8 ΂ ΃0 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  3. 3. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 4 EEEE Assinale a opção que indica o módulo do número com- plexo , x ≠ kπ, k ∈ ‫.ޚ‬ a) Icos xl b) (1 + sen x)/2 c) cos2x d) Icossec xl e) Isen xl Resolução = = = = = ͉sen x͉ 1 –––––––––––– ͉cossec x͉ 1 –––––––––––––– ͙ළළළළළළළළළළළළළcossec2x 1 ––––––––––––––– ͙ළළළළළළළළළළළළළළ1 + cotg2x 1 ––––––––––– 1 + i cotg x 1 ––––––––––– 1 + i cotg x IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  4. 4. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 5 DDDD Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triân- gulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círcu- lo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B / H é uma raiz do polinômio a) π3x3 + π2x2 + πx – 2 = 0. b) π2x3 + π3x2 + x + 1 = 0. c) π3x3 – π2x2 + πx + 2 = 0. d) πx3 – π2x2 + 2πx – 1 = 0. e) x3 – 2π2x2 + πx – 1 = 0. Resolução 1) No triângulo PMR, retângulo, temos PR = 2) Da semelhança dos triângulos PMR e PNO, temos: = ⇒ = ⇔ ⇔ B (H – r) = r ͙ෆෆෆෆෆB2 + 4H2 (I), em que r é o raio do círculo inscrito no triângulo PQR. 3) Se as áreas do retângulo, do triângulo isósceles e do círculo nele inscrito formam uma progressão geomé- trica, então ΂BH; ; π r 2 ΃ formam uma P.G. e, portanto, 2 = BH . π r2 ⇔ r2 = ⇔ ⇔ r = ͙ෆෆ, pois r > 0 4) Substituindo r na equação (I), resulta B ΂H – ͙ෆෆ΃= ͙ෆෆ. ͙ෆෆෆෆෆB2 + 4H2 ⇔ ⇔ B ΂H – H ͙ෆෆෆ ΃= = H 2 ͙ෆෆෆ . ⇔ B 2 ͙ෆෆෆෆ΂–––΃ + 4 H B ––––– 4πH B ––––– 4πH BH –––– 4π BH –––– 4π BH –––– 4π BH –––– 4π BH ΂––––΃2 BH –––– 2 B 2 ͙ෆෆෆෆ΂–––΃ + H2 2 –––––––––––––––––– H – r B –– 2 –––– r PR –––– PO MR –––– NO B 2 ͙ෆෆෆෆ΂–––΃ + H2 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  5. 5. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO ⇔ . ΂1 – ΃= = (II) 5) Fazendo = x, e substituindo em (II), temos: x . ΂1 – ͙ෆෆෆෆ. x ΃ = ͙ෆෆෆෆෆෆ. x (x 2 + 4) ⇔ ⇔ x 2 . ΂1 – ͙ෆෆෆ΃ 2 = (x 2 + 4) ⇔ ⇔ x – 2x ͙ෆෆෆ+ = + ⇔ ⇔ x – = 2x ͙ෆෆෆ⇔ x – = ͙ෆෆෆ⇔ ⇔ x 2 – + = ⇔ ⇔ π x3 – π2 x2 + 2π x – 1 = 0 x3 ––– π 1 ––– π2 2x ––– π x3 –––– π 1 –– π x –––– 4π 1 –– π 1 –––– π x –––– 4π x –––– 4π x –––– 4π x –––– 4π x –––– 4π 1 –––– 4π 1 –––– 4π B –––– H 1 B B ͙ෆෆෆෆෆෆෆ––– . ΂–––΃. ΄΂–––΃ 2 + 4΅4π H H 1 B ͙ෆෆෆෆ––– . ΂–––΃4π H B –––– H IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  6. 6. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 6 CCCC Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo a) (0, (1 + ͙ෆ2 )/2). b) ΂(1 + ͙ෆ2 )/2, ͙ෆෆෆෆෆ(1 + ͙ෆ5 )/2 ΃. c) ΂͙ෆෆෆෆෆ(1 + ͙ෆ5 )/2, (1 + ͙ෆ5 )/2΃. d) ΂(1 + ͙ෆ5 )/2, ͙ෆෆෆෆෆ2 + ͙ෆ2 /2 ΃. e) ΂͙ෆෆෆෆෆ2 + ͙ෆ2 /2 , (2 + ͙ෆ3 )/2)΃. Resolução Seja um triângulo de lados a, ar e ar2, com a > 0 e r > 1 1º) De acordo com a condição de existência desse triân- gulo, tem-se: ar 2 < a + ar ⇔ r2 – r – 1 < 0 ⇔ ⇔ < r < mas, como r > 1, então: (I) 2º) Para que esse triângulo seja obtusângulo, deve-se ter ainda: (ar2)2 > a2 + (ar)2 ⇔ r4 – r 2 – 1 > 0 ⇔ ⇔ > 0 ⇔ ⇔ > 0 ⇔ ⇔ > 0 ⇔ ⇔ (II) 3º) Das desigualdades (I) e (II), tem-se finalmente: < r < ⇔ ⇔ r ∈ 1 + ͙ෆ5 1 + ͙ෆ5 ΂͙ෆෆෆ–––––––––, ––––––– ΃2 2 1 + ͙ෆ5 –––––––– 2 1 + ͙ෆ5 ͙ෆෆෆ––––––––– 2 1 + ͙ෆ5 1 + ͙ෆ5 r < – ͙ෆෆෆ––––––––– ou r > ͙ෆෆෆ––––––––– 2 2 1 + ͙ෆ5 ΂r + ͙ෆෆෆ––––––––– ΃2 1 + ͙ෆ5 ΂r – ͙ෆෆෆ––––––––– ΃2 1 + ͙ෆ5 ΂r2 – –––––––––΃2 1 – ͙ෆ5 ΂r2 – –––––––––΃2 1 + ͙ෆ5 ΂r2 – –––––––––΃2 1 + ͙ෆ5 1 < r < –––––––– 2 1 + ͙ෆ5 –––––––––– 2 –1 + ͙ෆ5 –––––––––– 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  7. 7. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 7 AAAA Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus lo- garitmos numa dada base k são números primos satis- fazendo logk(xy) = 49, logk(x/z) = 44. Então, logk(xyz) é igual a a) 52. b) 61. c) 67. d) 80. e) 97. Resolução Considerando que: logk(xy) = 49 ⇒ logkx + logky = 49 (1) logk = 44 ⇒ logkx – logkz = 44 (2) Se logkx, logky, logk z são números primos positivos, então pode-se concluir que logkx = 47, logky = 2 e logkz = 3, pois se a soma de dois primos é ímpar, então um deles é 2. Portanto, logk (xyz) = logk x + logky + logk z = = 47 + 2 + 3 = 52. 8 EEEE Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quo- ciente são todos racionais. A soma x + y é igual a a) 0. b) 1. c) 2log5 3. d) log52. e) 3loge2. Resolução = . = = ∈ ‫ޑ‬ Então ex . ey . ͙ළළළ5 – 8͙ළළළ5 = 0, pois ex, ey e são racionais Assim: ex+y. ͙ළළළ5 – 8 . ͙ළළළ5 = 0 ⇔ ͙ළළළ5 . (ex + y – 8) = 0 ⇔ ⇔ ex + y = 8 ⇔ x + y = loge8 = 3 . loge2 ex – 2͙ළළළ5 ––––––––– 4 – ey.͙ළළළ5 4 . ex + ex . ey . ͙ළළළ5 – 8͙ළළළ5 – 2 ey . 5 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 16 – 5 . e2y 4 + ey . ͙ළළළ5 ––––––––––– 4 + ey.͙ළළළ5 ex – 2͙ළළළ5 ––––––––– 4 – ey.͙ළළළ5 ex – 2͙ළළළ5 ––––––––– 4 – ey.͙ළළළ5 ex – 2 ͙ෆ5 ––––––––––––– 4 – ey ͙ෆ5 x ΂–––΃z IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  8. 8. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 9 BBBB Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a a) 9. b) 7. c) 5. d) 3. e) 1. Resolução Sendo Q(z) = (z2 + az + b) (z3 + z2 + z + 1), temos: ⇔ ⇔ ⇔ Então, Q(z) = (z2 – z + 2) (z3 + z2 + z + 1) e as raízes de Q(z) são tais que z2 – z + 2 = 0 ou z3 + z2 + z + 1 = 0 ⇔ ⇔ z = ou (z + 1) (z2 + 1) = 0. As raízes de Q(z) são, portanto, os números z1 = + i ; z2 = – i ; z3 = – 1; z4 = i ou z5 = – i. Assim, |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z5|2 = = + + + + 1 + 1 + 1 = = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7 10 BBBB Sendo c um número real a ser determinado, decom- ponha o polinômio 9x2 – 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)3 – (x + b)3. Neste caso, ͉a + ͉ b ͉ – c ͉ é igual a a) 104. b ) 114. c) 124. d) 134. e) 144. Resolução Para que 9x2 – 63x + c = (x + a)3 – (x + b)3, devemos ter: 9x2 – 63x + c = (3a – 3b)x2 + (3a2 – 3b2)x + (a3 – b3) ⇔ Ά ⇔ Ά ⇔ Ά Logo, ͉a + ͉b͉ – c͉ = ͉–2 + ͉–5͉ – 117͉ = ͉–114͉ =114 a = – 2 b = – 5 c = 117 a – b = 3 a2 – b2 = – 21 a3 – b3 = c 3a – 3b = 9 3a2 – 3b2 = – 63 a3 – b3 = c ΃ 7 ––– 4 1 ––– 4΂΃ 7 ––– 4 1 ––– 4΂ ͙ළළළ7 –––– 2 1 ––– 2 ͙ළළළ7 –––– 2 1 ––– 2 1 ± ͙ළළළ7 i –––––––– 2 a = – 1 b = 2{ b . 1 = 2 (1 + a + b) (1 + 1 + 1 + 1) = 8{Q(0) = 2 Q(1) = 8{ IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  9. 9. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 11 DDDD Sobre a equação na variável real x, ͉͉͉ x – 1 ͉ – 3 ͉ – 2 ͉ = 0, podemos afirmar que a) ela não admite solução real. b) a soma de todas as suas soluções é 6. c) ela admite apenas soluções positivas. d) a soma de todas as soluções é 4. e) ela admite apenas duas soluções reais. Resolução ͉͉͉ x – 1͉ – 3 ͉ – 2 ͉ = 0 ⇔ ͉͉x – 1͉ – 3͉͉ – 2 = 0 ⇔ ⇔ ͉͉x – 1͉ – 3͉ = 2 Para x ≤ 1, temos: ͉– x + 1 – 3 ͉ = 2 ⇔ ͉ – x – 2 ͉ = 2 ⇔ x = – 4 ou x = 0 Para x ≥ 1, temos: ͉x – 1 – 3 ͉ = 2 ⇔ ͉x – 4 ͉ = 2 ⇔ x = 6 ou x = 2. O conjunto-solução da equação é: S = Ά– 4; 0; 2; 6· e – 4 + 0 + 2 + 6 = 4 12 EEEE Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 204 b) 206 c) 208 d) 210 e) 212 Resolução Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, temos 2 . (6 . 5 + 1) = 62 números, pois apenas o 7 pode apa- recer mais de uma vez. Para 3, 4, 5, 6 ou 7 como algarismo das centenas, resul- ta 5 . 6 . 5 = 150 valores. O total de números, de acordo com o enunciado, é 62 + 150 = 212. IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  10. 10. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 13 DDDD Seja x um número real no intervalo 0 < x < π/2. Assina- le a opção que indica o comprimento do menor in- tervalo que contém todas as soluções da desigualdade tg – ͙ෆ3 sec(x) ≥ 0. a) π/2 b) π/3 c) π/4 d) π/6 e) π/12 Resolução Sendo 0 < x < , temos: .tg ΂ – x΃– ͙ෆෆ3 . ΂cos2 – ΃. sec x ≥ 0 ⇔ ⇔ . cotg x – . ΄ – ΅ ≥ 0 ⇔ ⇔ . cotg x – . ΄ ΅ ≥ 0 ⇔ ⇔ . cotg x ≥ ⇔ cotg x ≥ ͙ෆ3 ⇔ ⇔ ≥ ͙ෆ3 ⇔ tg x ≤ ⇔ 0 < x ≤ Assim, o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade é . π ––– 6 π ––– 6 ͙ෆ3 –––– 3 1 –––– tg x ͙ෆ3 –––– 2 1 ––– 2 cos x –––-–– 2 ͙ෆ3 –––––– cos x 1 ––– 2 1 ––– 2 1 + cos x ––––––––– 2 ͙ෆ3 –––––– cos x 1 ––– 2 1 –– 2 x ΂––΃2 π –– 2 1 –– 2 π ––– 2 x 1 ΂cos2 –– – –––΃2 2 π ΂––– – x΃2 1 ––– 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  11. 11. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 14 CCCC Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A ʜ B, sendo: A = Άxk = sen2 : k = 1,2 ·e B = Άyk = sen2 : k = 1,2 ·. a) 0 b) 1 c) 2 d) ΂2 – 2 + ͙ෆ3 ΃/3 e) ΂2 + 2 – ͙ෆ3 ΃/3 Resolução Sendo: A = Άxk = sen2 : k = 1,2 ·= = Άx1 = sen2 : x2 = sen2 · B = Άyk = sen2 : k = 1,2 ·= = Άy1 = sen2 ; y2 = sen2 · temos: A ʜ B = {x1, x2, y1, y2} Portanto: x1 + x2 + y1 + y2 = = sen2 +sen2 +sen2 +sen2 = = sen2 + sen2 + sen2 + cos2 = 1 = 1 + 2 + 2 = 2 ͙ෆ3 ΂––––΃2 1 ΂––΃2 π ΂–––΃24 π ΂–––΃3 π ΂–––΃6 π ΂–––΃24 11π ΂––––΃24 8π ΂–––΃24 4π ΂–––΃24 π ΂–––΃24 11. π ΂–––––΃24 8. π ΂–––––΃24 (3k + 5). π ΂–––––––––΃24 4π ΂–––΃24 π ΂–––΃24 k2. π ΂–––––΃24 (3k + 5) π ΂–––––––––΃24 k2π ΂––––΃24 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  12. 12. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 15 CCCC Sejam A = (ajk) e B = (bjk), duas matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por ajk = , quando j ≥ k, ajk = , quando j < k e bjk = (– 2)p . O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n é definido por ∑n p =1 cpp. Quando n for ímpar, o traço de A + B é igual a a) n (n – 1)/3. b) (n – 1) (n + 1)/4. c) (n2 – 3n + 2)/(n – 2). d) 3(n – 1)/n. e) (n – 1)/(n – 2) Resolução n O traço da matriz C = A + B é ∑ cpp tal que p = 1 cpp = + (–1)p, pois: 1) bjk = (–2)p . = (–2)0. + (–2)1 . + + (–2)2 . + ... + (–2)jk . = (1 – 2)jk = (–1)jk 2) ajk = , quando j = k. Portanto, o traço da matriz C = A + B é cpp = c11 + c22 + ... + cnn = = + (–1)1 + + (–1)2 + ... + + (–1)n Se n é ímpar, então cpp = + + ... + + (–1) = = n – 1 = = n2 – 3n + 2 –––––––––––– n – 2 (n – 1) . (n – 2) –––––––––––––– n – 2 n ΂ ΃n 2 ΂ ΃2 1 ΂ ΃1 n ∑ p = 1 n ΂ ΃n 2 ΂ ΃2 1 ΂ ΃1 n ∑ p = 1 j ΂ ΃k jk ΂ ΃jk jk ΂ ΃2 jk ΂ ΃1 jk ΂ ΃0 jk ΂ ΃p jk ∑ p = 0 p ΂ ΃p jk ΂ ΃p jk ∑ p=0 k ΂ ΃j j ΂ ΃k IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  13. 13. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 16 AAAA Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = – 2y + 10. A área desse triângulo mede a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2. Resolução I. O ponto A é a intersecção entre as retas de equa- ções 2x = y e x= –2y + 10 e, portanto, suas coorde- nadas são as soluções do sistema 2x = y x = 2 Ά ⇔ Ά ∴ A (2; 4) x = –2y + 10 y = 4 II. O ponto D é a intersecção entre as retas de equa- ções x = 2y e x = –2y + 10 e, portanto, suas coorde- nadas são as soluções do sistema x = 2y x = 5 Ά ⇔ Ά ∴ D ΂5; ΃x = –2y + 10 y = III.Sendo S a área do triângulo ABD, delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = –2y + 10, temos: S = SABC – SBCD = – = 15 ––– 2 5 10 . –– 2 ––––––– 2 10 . 4 –––— 2 5 ––– 2 5 ––– 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  14. 14. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 17 AAAA Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano car- tesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alter- nativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C. a) x2 + y2 – 2xy – 2ax – 2ay + 3a2 = 0 b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 c) x2 + y2 – 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 d) x2 + y2 – 2xy – 2ax – 2ay – 3a2 = 0 e) x2 + y2 + 2xy – 2ax – 2ay – 3a2 = 0 Resolução Sendo A(a;0), B(0;a), C(a;a) e P(x;y), temos: 1º) reta AB: + = 1 ⇔ x + y – a = 0 2º) distância de P à reta AB: dP,AB = 3º) distância entre os pontos P e C: dP,C = (x – a)2 + (y – a)2 4º) dP,AB = dP,C ⇒ = = (x – a)2 + (y – a)2 ⇔ ⇔ (x + y – a)2 = 2 . [(x – a)2 + (y – a)2] ⇔ ⇔ x2 + y2 – 2xy – 2ax – 2ay + 3a2 = 0 ͉x + y – a͉ –––––––––––– ͙ළළ2 ͉x + y – a͉ –––––––––––– ͙ළළ2 y ––– a x ––– a IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  15. 15. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 18 BBBB Seja Pn um polígono regular de n lados, com n > 2. Denote por an o apótema e por bn o comprimento de um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as desi- gualdades bn ≤ an e bn–1 > an–1, pertence ao intervalo a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9. c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. e) 12 < n < 15. Resolução 1) Sem perda de generalidade, consideremos dois polí- gonos (de (n – 1) e n lados), inscritos no mesmo cír- culo de raio R, como se vê na figura seguinte. em que tg = = e de modo análogo, tg = 2) De 0 < bn ≤ an e bn – 1 > an – 1 > 0, tem-se: 2.1) ≤ 1 ⇔ ≤ ⇔ ⇔tg ≤ < = tg assim: < ⇔ n > 6 (I) 2.2) > 1 ⇔ > ⇔ ⇔ tg > > ͙ළළ2 – 1 = tg assim: > ⇔ n – 1 < 8 ⇔ n < 9 (II) 3) De (I) e (II), tem-se, finalmente: 6 < n < 9 π –– 8 π ––––– n – 1 π (–– )8 1 –– 2 π (––––– )n – 1 1 –– 2 1 bn – 1 –– . –––––– 2 an – 1 bn – 1 –––––– an – 1 π –– 6 π –– n π (–– )6 ͙ළළ3 –––– 3 1 –– 2 π (–– )n 1 –– 2 1 bn –– . –––– 2 an bn ––– an 1 bn – 1 –– . –––––– 2 an – 1 π (–––––)n – 1 1 bn–– . ––– 2 an bn––– 2 ––––– an π (––)n IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  16. 16. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 19 EEEE Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está ins- crito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1/ A2 é igual a a) ͙ළළළළ5/8 . b) 9͙ළළ2/16. c) 2 (͙ළළ2 – 1). d) (4͙ළළ2 + 1)/8. e) (2 + ͙ළළ2)/4. Resolução Sejam a1 e a2 = R as medidas dos apótemas dos octó- gonos P1 e P2, respectivamente. Como cos (2x) = 2 . cos2x – 1, temos cos = 2 . cos – 1 ⇒ 1 + = = 2 . cos2 ⇒ cos2 = , pois cos > 0 No triângulo AOM, temos: cos = ⇒ = ⇒ ⇒ a1= R Assim, = 2 = = 2 + ͙ෆ2 –––––––– 4 2 + ͙ෆ2 –––––––– ΂R ͙ෆෆෆෆ΃ 2 4––––––––––––––– R a1 ΂–––΃a2 A1 ––– A2 2 + ͙ෆ2 –––––––– 4 a1 ––– R 2 + ͙ෆ2 –––––––– 4 a1 ––– R π ΂–––΃8 π ΂–––΃8 2 + ͙ෆ2 –––––––– 4 π ΂–––΃8 π ΂–––΃8 ͙ෆ2 –––– 2 π ΂–––΃8 π ΂2 . –––΃8 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  17. 17. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 20 CCCC Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede ͙ළළ3 cm. Secciona-se a pirâ- mide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tron- co de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1/͙ළළ2, a altura do tronco, em centímetros, é igual a a) (͙ළළ6 – ͙ළළ2 )/4. b) (͙ළළ6 – ͙ළළ3 ) / 3. c) (3͙ළළ3 – ͙ළළ6) /21. d) (3͙ළළ2 – 2͙ළළ3 ) / 6. e) (2͙ළළ6 – ͙ළළ2 ) / 22. Resolução Sendo a a medida, em centímetros, de cada aresta da base menor do tronco e x a medida, em centímetros, da altura do tronco, temos: 1º) = ⇔ = ⇔ a = ͙ෆෆ2 2º) A área da base maior, em centímetros quadrados, é: AB = = 6 ͙ෆෆ3 3º) A área da base menor, em centímetros quadrados, é: Ab = = 3 ͙ෆෆ3 4º) O volume do tronco, em centímetros cúbicos, é dado por: V = (AB + Ab + ͙ෆෆෆෆෆAB . Ab ) = = (6 ͙ෆෆ3 + 3 ͙ෆෆ3 + 3 ͙ෆෆ6 ) = x ( 3 ͙ෆෆ3 + ͙ෆෆ6 ) Assim: x ( 3 ͙ෆෆ3 + ͙ෆෆ6 ) = 1 ⇔ x = ⇔ ⇔ x = 3 ͙ෆෆ3 – ͙ෆෆ6 ––––––––––––– 21 1 ––––––––––––– 3 ͙ෆෆ3 + ͙ෆෆ6 x ––– 3 x ––– 3 6 . ( ͙ෆෆ2 )2 . ͙ෆෆ3 –––––––––––––––– 4 6 . 22 ͙ෆෆ3 –––––––––– 4 1 –––––– ͙ෆෆ2 a ––– 2 h ––– H a ––– 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  18. 18. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. 21Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A ∪ B ∪ C = {x ∈ ‫:ޒ‬ x2 + x ≥ 2}, A ∪ B = {x ∈ ‫:ޒ‬ 8–x – 3 . 4–x – 22 –x > 0}, A ∩ C = {x ∈ ‫:ޒ‬ log(x + 4) ≤ 0}, B ∩ C = {x ∈ ‫:ޒ‬ 0 ≤ 2x + 7 < 2}. Resolução Considerando-se que: 1) x2 + x ≥ 2 ⇔ x2 + x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ – 2 ou x ≥ 1 2) 8 –x – 3 . 4–x – 22–x > 0 ⇔ 2–2x – 3 . 2–x – 4 > 0 ⇔ ⇔ 2–x > 22 ou 2 –x < – 1 ⇔ x < – 2 3) log (x + 4) ≤ 0 ⇔ 0 < x + 4 ≤ 1 ⇔ – 4 < x ≤ – 3 4) 0 ≤ 2x + 7 < 2 ⇔ ≤ x < 5) ΄(A ʜ B ʜ C) – (A ʜ B)΅ ʜ ΄(A ʝ C) ʜ (B ʝ C)΅ = C 6) pode-se concluir que C = {x ∈ ‫ޒ‬ ͉ – 4 < x < ou x = – 2 ou x ≥ 1} Resposta: C = {x ∈ ‫ޒ‬ ͉ – 4 < x < ou x = – 2 ou x ≥ 1} 5 – –– 2 5 – –– 2 5 – –– 2 7 – –– 2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  19. 19. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 22Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que + = 3 e 0 < | z – 2i | ≤ 1. Resolução Se z = a + bi, então 1) + = 3 (a – bi).(a – bi + 2i) + (a – bi).(a – bi + 2i) + + (a + bi – 2i).(2a + 2bi) = 3(a + bi – 2i).(a – bi + 2i) ⇔ ⇔ (3a2 – 3b2 + 6b) + 2a(b – i)i = 3a2 + 3b2 – 12b + 12 ⇔ ⇔ Ά ⇔ ⇔ Ά ⇔ Ά ⇔ ⇔ (a = 0 e b = 1)ou (a = 0 e b = 2) ou a ∈ ‫ޒ‬ e b = 1 2) 0 < ͉ a + bi – 2i ͉ ≤ 1 ⇔ 0 < a2 + (b – 2)2 ≤ 1 De (1) e (2), temos: a = 0 e b = 1 e, portanto, z = i Resposta: A = {i} 23Seja k um número inteiro positivo e Ak = {j ∈ ‫:ގ‬ j ≤ k e mdc(j, k) = 1}. Verifique se n(A3), n(A9), n(A27) e n(A81), estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geomé- trica. Se for o caso, especifique a razão. Resolução Ak = {j ∈ ‫ގ‬ ; j ≤ k e mdc (j; k) = 1} e k um número intei- ro positivo, então n (Ak) = k – , quando k é múltiplo de 3. Assim: n (A3) = 3 – = 2, n (A9) = 9 – = 6, n (A27) = 27 – = 18 e n (A81) = 81 – = 54. Como = = = 3, os números n (A3) = 2, n (A9) = 6, n (A27) = 18 e n (A81) = 54, nesta ordem, estão em progressão geométrica de razão 3. Resposta: Estão em progressão geométrica, de razão 3. n (A81) ––––––– n (A27) n (A27) ––––––– n (A9) n (A9) ––––– n (A3) 81 ––– 3 27 ––– 3 9 –– 3 3 –– 3 k –– 3 b = 1 ou b = 2 a = 0 ou b = 1 b2 – 3b + 2 = 0 a = 0 ou b = 1 3a2 – 3b2 + 6b = 3a2 + 3b2 – 12b + 12 2a(b – 1) = 0 2a + 2bi ––––––––– a – bi + 2i a – bi ––––––––– a + bi – 2i 2z –––––– z – + 2i z – –––––– z – 2i IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  20. 20. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 24Considere a equação: ͙ළළළළළළx2 – p + 2 ͙ළළළළළළx2– 1 = x. a) Para que valores do parâmetro real p a equação admi- te raizes reais? b) Determine todas essas raízes reais. Resolução Sendo x ≥ 1 (I), temos: ͙ළළළළළළළx2 – p + 2͙ළළළළළළළx2 – 1 = x ⇔ ⇔ (x2 – p) + 4͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ(x2 – p).(x2 – 1) + 4.(x2 – 1) = x2 ⇔ ⇔ 4͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ(x2 – p).(x2 – 1) = p – 4(x2 – 1) ⇔ ⇔ 16(x2 – p)(x2 – 1) = = p2 – 8p(x2 – 1) + 16(x2 – 1)2, se x2 ≤ e x2 – p ≥ 0 (II) Assim: 16x4 – 16x2 – 16px2 + 16p = = p2 – 8px2 + 8p + 16x4 – 32x2 + 16 ⇔ ⇔ 16x2 – 8px2 = p2 – 8p + 16 ⇔ ⇔ x2 = ⇔ x = , pois x ≥ 1 Para que a equação admita raízes reais, devemos ter: Ά ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ p ≤ Respostas: a) 0 ≤ p ≤ b) x = 4 – p ––––––––––– 2͙ළළළළළළළළ4 – 2p 4 ––– 3 4 ––– 3 p < 2 4 0 ≤ p ≤ ––– 3 Ά p < 2 p(3p – 4) ≤ 0Ά p < 2 (4 – p)2 p ≤ –––––––––– 8(2 – p) (4 – p)2 p + 4 ––––––––– ≤ ––––––– 8(2 – p) 4 Ά p < 2 p ≤ x2 p + 4 x2 ≤ –––––– 4 Ά 4 – 2p > 0 p + 4 p ≤ x2 ≤ –––––– 4 |4 – p| ––––––––––– 2͙ළළළළළළළළ4 – 2p (4 – p)2 ––––––––– 8(2 – p) p + 4 –––––– 4 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  21. 21. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 25Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log [(x + 2y)(w – 3z)–1] = 0, 2x+3z – 8 . 2y–3z+w = 0, 3 ͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ2x + y + 6z – 2w – 2 = 0. Resolução 1) log [(x + 2y) (w – 3z)–1)] = 0 ⇔ ⇔ = 1 ⇔ x + 2y = w – 3z ⇔ ⇔ x + 2y + 3z = w (I) 2) 2x + 3z – 8 . 2y – 3z + w = 0 ⇔ ⇔ 2x + 3z = 23 + y – 3z + w ⇔ ⇔ x + 3z = 3 + y – 3z + w ⇔ ⇔ x – y + 6z = 3 + w (II) ͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ3) 3 2x + y + 6z – 2w – 2 = 0 ⇔ ⇔ 2x + y + 6z – 2w = 8 ⇔ ⇔ 2x + y + 6z = 2w + 8 (III) De (I), (II) e (III), fazendo w = k, temos: Resposta: (x, y, z, w) = + k, – , – , k ,∀k ≠ – 5΃ 5 –– 3 8 –– 3 31 ––– 3΂ 31 8 5 x = ––– + k y = – –– z = – –– w = k, ∀k ≠ – 5 3 3 3 31 + 3k x + 2y + 3z = k x = –––––––– 3 8⇔ Ά – x – 5y = 3 – k ⇔ Άy = – ––– 3 8 5 y = – –– z = – ––– 3 3 x + 2y + 3z = k x + 2y + 3z = k Άx – y + 6z = 3 + k ⇔ Ά – x – 5y = 3 – k ⇔ 2x + y + 6z = 2k + 8 – 3y = 8 (x + 2y) ––––––– w – 3z IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  22. 22. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 26Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma co- missão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão pode- rá ser formada? Resolução Das C9,5 = 126 comissões possíveis sem nenhuma res- trição, só não serve aquela constituída pelos cinco ra- pazes. Logo, tal comissão poderá ser formada de 126 – 1 = 125 formas distintas. Resposta: 125 formas distintas IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  23. 23. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 27Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado –– BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos –– BC, –– BD, –– DE, –– EC, nesta ordem, formem uma progressão geo- métrica decrescente. Se β for o ângulo EA ^ D, determi- ne tg β em função da razão r da progressão. Resolução Sendo AB = BC = x e BC, BD, DE e EC, nesta ordem, termos de uma progressão geométrica decrescente de razão r, temos: BD = xr , DE = xr2 e EC = xr3 I) No triângulo ABD: tg α = ⇔ tg α = r II) No triângulo ABE: tg (α + B) = ⇔ = r + r2 ⇔ ⇔ = r + r2 ⇔ ⇔ r + tg β = r + r2 – r2 tg β – r3 tg β ⇔ ⇔ tg β + r2 tg β + r3 tg β = r2 ⇔ ⇔ tg β = (I) Por outro lado, tem-se: x = xr + xr2 + xr3 ⇔ r2 + r3 = 1 – r (II) De (I) e (II), tem-se finalmente: tg β = ⇔ ⇔ tg β = Resposta: tg β = r2 –––––– 2 – r r2 –––––– 2 – r r2 ––––––––––– 1 + (1 – r) r2 ––––––––––– 1 + r2 + r3 r + tg β –––––––––– 1 – r tg β tg α + tg β –––––––––––––– 1 – tg α . tg β xr + xr 2 –––––––– x xr –– x IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  24. 24. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 28Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C1 e C2, que se tangenciam exteriormente em P:(5, 10). O ponto Q:(10, 12) é o centro de C1. Deter- mine o raio da circunferência C2, sabendo que ela tan- gencia a reta definida pela equação x = y. Resolução 1º)Sendo Q(10;12) o centro de C1 e T(5;10) o ponto de tangência das circunferências, temos: TQ = (10 – 5)2 + (12 – 10)2 = ͙ළළළළ29, como raio de C1. 2º)A distância de Q(10;12) à reta x – y = 0 é d1 = = ͙ළළ2 3º)A distância de T(5;10) à reta x – y = 0 é d2 = = Portanto, d2 – d1 = – ͙ළළ2 = 4º)Sendo semelhantes os triângulos assinalados na figura, temos: = ⇔ ⇔ ͙ළළළළ29 . r – = ⇔ ⇔ r . (2͙ළළළළ29 – 3͙ළළ2) = 5͙ළළ2 .͙ළළළළ29 ⇔ ⇔ r = = = = Resposta: 145͙ළළ2 + 15͙ළළළළ29 ––––––––––––––– 49 145͙ළළ2 + 15͙ළළළළ29 ––––––––––––––– 49 290͙ළළ2 + 30͙ළළළළ29 ––––––––––––––– 98 5͙ළළ2 .͙ළළළළ29 . (2͙ළළළළ29 + 3͙ළළ2 ) –––––––––––––––––––––––––––– (2͙ළළළළ29 – 3͙ළළ2 ) . (2͙ළළළළ29 + 3͙ළළ2 ) r . 3͙ළළ2 ––––––––– 2 5͙ළළ2 .͙ළළළළ29 –––––––––– 2 5͙ළළ2 r – –––––– 2 –––––––––––– 3͙ළළ2 ––––– 2 r ––––– ͙ළළළළ29 3͙ළළ2 ––––– 2 5͙ළළ2 ––––– 2 5͙ළළ2 ––––– 2 ͉10 – 5͉ ––––––––– ͙ළළ2 ͉12 – 10͉ ––––––––– ͙ළළ2 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  25. 25. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 29Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triân- gulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda cir- cunferência, de raio R2, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1 – R2)/h. Resolução Sejam O1 e O2 os centros das circunferências C1 e C2, respectivamente. Como o triângulo ABC é eqüilátero, temos: R1 = e portanto AH2 = O triângulo AB’C’ é eqüilátero, pois é semelhante ao triângulo ABC e, portanto, R2 = . AH2 = . = Logo, = = = Resposta: = 2 ––– 9 R1 – R2 –––––––– h 2 ––– 9 3h – h –––––––– 9h h h ––– – ––– 3 9 –––––––––– h R1 – R2 –––––––– h h ––– 9 h ––– 3 1 ––– 3 1 ––– 3 h ––– 3 h ––– 3 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  26. 26. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 30Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Resolução 1º)Se a for a medida (em centímetros) de cada aresta do cubo, então cada aresta do tetraedro regular terá medida (em centímetros) igual a a͙ළළ2 e seu volume (em centímetros cúbicos) será expresso por = Assim: = ⇔ a = 2 2º)O volume da parte do cubo exterior às esferas é igual à diferença entre o volume do cubo e oito oitavos do volume de uma dessas esferas. Assim, sendo V o volume procurado, em centíme- tros cúbicos, tem-se: V = 23 – . π . 13 = = Resposta: cm34 (6 – π) –––––––– 3 4 (6 – π) –––––––– 3 24 – 4π –––––––– 3 4 ––– 3 8 ––– 3 a3 ––– 3 a3 ––– 3 (a͙ළළ2)3 . ͙ළළ2 ––––––––––– 12 IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666
  27. 27. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO CCCCOOOOMMMMEEEENNNNTTTTÁÁÁÁRRRRIIIIOOOO EEEE GGGGRRRRÁÁÁÁFFFFIIIICCCCOOOO Prova extremamente longa, composta de questões difíceis e que exigiram dos candidatos mais bem pre- parados muita energia e determinação nas extensas resoluções. IIII TTTT AAAA (((( 3333 ºººº dddd iiii aaaa )))) ---- DDDD eeee zzzz eeee mmmm bbbb rrrr oooo //// 2222 0000 0000 6666

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