Este documento apresenta o resumo de uma aula sobre formulações via diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais que descrevem a dinâmica de fluidos computacionalmente. A aula introduz como as derivadas nas equações podem ser aproximadas por diferenças finitas através da expansão em séries de Taylor, permitindo que os computadores resolvam numericamente os problemas.

1. Universidade Federal do ABC
Aula 2
Formulações via diferenças finitas
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

2. Pergunta do dia:
Como escrever um programa de
computador que resolva

    v   0
t
  v 
    v  v   p     g
t
  E 
   E v     kT   q     pv   v      v :   g  v
t
?
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3. Introdução
• Os computadores somente podem executar
operações aritméticas padrão e operações lógicas.
• As diferenciais de variáveis dependentes que
aparecem em EDPs precisam ser traduzidas para
expressões de diferenças finitas que as aproximam.
dy
y( x  x)  y( x)
 lim
dx x0
x
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4. Métodos de aproximação de diferenciais
1. Expansão em séries de Taylor
2. Expansão em polinômios de grau n
3. Equações de diferenças finitas
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5. DIFERENÇAS FINITAS VIA
EXPANSÕES DE SÉRIES DE TAYLOR
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6. Expansão em séries de Taylor
Dada um função analítica f(x), a expansão em
série de Taylor de f(x+x) é dada por
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  (x) 


2
3
x
2! x
3! x
2
2
(x) n  n f
f ( x  x)  f ( x)  
n
n! x
n 1

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3
3

7. A primeira diferencial
f (x) 2  2 f (x)3  3 f
f ( x  x)  f ( x)  (x) 


2
3
x
2! x
3! x
Isolando a primeira diferencial, obtemos
f
f ( x  x)  f ( x) x  2 f (x) 2  3 f




2
3
x
x
2! x
3! x
f
f ( x  x)  f ( x)

 O(x)
x
x
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Soma de todos
os termos com
potências
positivas de x

8. A primeira diferencial
para frente...
f
f(x)
f(x+x)
f
f ( x  x)  f ( x)

 O(x)
x
x
x
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x+x
x

9. A primeira diferencial
para trás...
f
f(x-x)
f(x)
f
f ( x)  f ( x  x)

 O(x)
x
x
x-x
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x
x

10. Intervalos discretos iguais
Introdução da indexação:
O índice i (discreto) indica
intervalos de valor x.
f
fi
fi+1
f i 1  f i
f

 O(x)
x i
x
f i  f i 1
f

 O(x)
x i
x
xi
xi+1
x
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x

11. O que isso quer dizer...
f i 1  f i
f

 O(x)
x i
x
for ( i=imin; i<imax; i++ ) {
dfdx[i] = ( fx[i+1] – fx[i] ) / (x[i+1] – x[i]);
}
O erro O(x) faz parte do “risco” assumido por quem
está fazendo a modelagem.
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12. A “diferença das diferenças”
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  x 


2
3
x
2! x
3! x
2
2
3
3
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  x 


2
3
x
2! x
3! x
2
2
3
3
(negativa apenas nas potências ímpares de x)
f
(x)  f
f ( x  x)  f ( x  x)  2x  2

3
x
3! x
3
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3

13. Aproximação da diferença central
Isolando a primeira diferencial:
f
f ( x  x)  f ( x  x)
2

 O(x)
x
2x
ou
f i 1  f i 1
f

 O(x) 2
x i
2x
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Aproximação de
diferença central da
primeira derivada

14. A segunda derivada
Partindo da expansão em série de Taylor
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  x 


2
3
x
2! x
3! x
2
2
3
3
Calculamos a expansão para f(x+2x):
f (2x) 2  2 f (2x)3  3 f
f ( x  2x)  f ( x)  (2x) 


2
3
x
2! x
3! x
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15. A segunda derivada
Queremos calcular -2f(x+x) + f(x+2x):
f
(x) 2  2 f
(x)3  3 f
2 f ( x  x)  2 f ( x)  (2x)  2
2

2
3
x
2! x
3! x
f (2x) 2  2 f (2x)3  3 f
f ( x  2x)  f ( x)  (2x) 


2
3
x
2! x
3! x
Resultado:
2 f
3 f
 2 f ( x  x)  f ( x  2x)   f ( x)  (x) 2 2  (x)3 3  
x
x
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16. A segunda derivada
 f
f ( x  2x)  2 f ( x  x)  f ( x)

 O(x)
2
2
x
(x)
2
ou
f i  2  2 f i 1  f i
2 f

 O(x)
2
2
x i
(x)
para frente
f i  2 f i 1  f i 2
2 f

 O(x)
2
2
x i
(x)
para trás
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17. Aproximação via diferença central
da segunda derivada
Somando
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  x 


2
3
x
2! x
3! x
2
e
2
3
3
f (x)  f (x)  f
f ( x  x)  f ( x)  x 


2
3
x
2! x
3! x
2
2
3
3
Resultado:
2 f
f ( x  x)  2 f ( x)  f ( x  x)

 O(x) 2
x 2
(x) 2
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18. Aproximação via diferença central
da segunda derivada
2 f
f ( x  x)  2 f ( x)  f ( x  x)
2

 O(x)
2
2
x
(x)
f i 1  2 f i  f i 1
 f

 O(x) 2
x 2 i
(x) 2
2
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Aproximação de
diferença central da
segunda derivada

19. Derivadas de ordem superior
Introduzindo a notação:
 x f i  f i 1  f i
 x f i  f i  f i 1
(diferença para frente)
(diferença para trás)
As diferenças de várias ordens podem ser
expressas por expressões recursivas:
nx f i  nx1  x f i 
 n f i   n 1  x f i 
x
x
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20. Derivadas de ordem superior
Fórmulas de recorrências derivadas das séries de Taylor:
nx f i
n f

 Ox 
n
n
x i x 
(para frente)
n fi
n f
 x n  Ox 
x n i x 
(para trás)
 f

n
x i
n
 f

n
x i
n
nx f i  n   n f i  n
x
2
2x 
2
n
nx f
i  ( n 1)
 n f
x
2
2x 
n
(diferença central,
n par)
 Ox 
i  ( n 1)
2
2
 Ox 
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2
(diferença central,
n ímpar)

21. Mais precisão?
Até aqui, foram considerados apenas os termos até a primeira
ordem da série de Taylor.
Pode-se aumentar a precisão (diminuir o erro) considerando-se
mais termos da expansão em série de Taylor.
Como resultado, obtém-se expressões mais trabalhosas, mas
mais precisas. Exemplo:
f  f ( x  2x)  4 f ( x  x)  3 f ( x)

 O(x) 2
x
2x
Aproximação de segunda ordem para
frente da primeira derivada
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22. DIFERENÇAS FINITAS VIA
EXPANSÕES DE POLINÔMIOS
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23. Expansão em polinômios
Dada um função analítica f(x), pode-se
considerar que em um dado intervalo a
função possa ser aproximada por um
polinômio de grau n.
Por exemplo
f ( x)  Ax  Bx  C
2
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24. Exemplo
f ( x)  Ax  Bx  C
2
xi  0
xi 1  x
xi  2  2x
f ( xi )  C
f ( xi 1 )  Ax   Bx   C
2
f ( xi  2 )  A2x   B2x   C
2
Aproximação via polinômio de segunda ordem.
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25. A primeira derivada
C  fi
fi  C
 f i  2  4 f i 1  3 f i
B
2x 
f i  2  2 f i 1  f i
A
2
2x 
f i 1  Ax   Bx   C
2
f i  2  A2x   B2x   C
2
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
f
 2 Ax  B
x
xi=0
f  f i  2  4 f i 1  3 f i

x
2x
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26. A segunda derivada
C  fi
fi  C
 f i  2  4 f i 1  3 f i
B
2x 
f i  2  2 f i 1  f i
A
2
2x 
f i 1  Ax   Bx   C
2
f i  2  A2x   B2x   C
2
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
 f
 2A
2
x
2
f i  2  2 f i 1  f i
2 f

2
x
(x) 2
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27. Espaçamento não uniforme
f ( x)  Ax  Bx  C
2
xi  0
xi 1  x
xi  2  (1   )x
f ( xi )  C
f ( xi 1 )  Ax   Bx   C
2
f ( xi  2 )  A1    x   B1   x  C
2
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2

28. A primeira derivada
fi  C
f i 1  Ax   Bx   C
2
f i  2  A1    x   B1   x  C
2
2
C  fi
Aproximação via
polinômio de
segunda
ordem:
f
 2 Ax  B
x


 f i  2  1    f i 1   2  2 f i
B
 1   x
f i  2  1    f i 1  f i
A
 1   x 2
2
 f i  2  (1   ) 2 f i 1   (  2) f i
f

x i
 (1   )x
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29. A segunda derivada
fi  C
f i 1  Ax   Bx   C
2
f i  2  A1    x   B1   x  C
2
2
C  fi
Aproximação via
polinômio de
segunda
ordem:
 f
 2A
2
x
2


 f i  2  1    f i 1   2  2 f i
B
 1   x
f i  2  1    f i 1  f i
A
 1   x 2
2
 f i  2  (1   ) f i 1  f i 
2 f
 2

2
x
 (1   )(x) 2


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30. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS
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31. Equações de diferenças finitas
Usaremos as expressões apresentadas para
reescrever as EDPs da Mecânica dos Fluidos.
Nosso interesse é obter expressões que possam
ser incluídas em algoritmos e programas
escritos em linguagens de programação.
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32. Um estudo de caso
Consideremos a EDP:
Dependência
no tempo
 f  f
f
  2  2
 x
t
y

2
 é uma
constante
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2




Duas
dependências
no espaço

33. Convenções / notação
y
y
tempo
“n”
tempo
“n+1”
i,j+1
i,j+1
i-1,j
y
i-1,j
i,j
i,j
i+1,j
i+1,j
i,j-1
i,j-1
x
f
t
n
i, j
x
f i ,nj1
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x

34. Primeira derivada no tempo
 f  f
f
  2  2
 x
t
y

2
f
f

t
2
n 1
i, j




f
t
n
i, j
 O(t )
Diferença para
frente de primeira
ordem
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35. Segundas derivadas no espaço
 f  f
f
  2  2
 x
t
y

2
2




f
 f

2
y
2
 f

2
x
2
n
n
f i 1, j  2 f i ,nj  f i 1, j
(x) 2
n
i , j 1
2f  f
n
i, j
2
(y)
 O(x)
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2
n
i , j 1
 O(y ) 2
Diferenças centrais
de segunda ordem

36. A expressão final
 f  f
f
  2  2
 x
t
y

2
2




EDP
Equação a
diferenças
finitas
f i ,nj1  f i ,nj
t
n
n
 f i 1, j  2 f i ,nj  f i 1, j f i ,nj 1  2 f i ,nj  f i ,nj 1 
 


2
2
(x)
(y )




 O t , (x) 2 , (y ) 2


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37. Para frente e para trás no tempo
Formulação explícita (avança no tempo):
f i ,nj1  f i ,nj
t
n
 f i 1, j  2 f i ,nj  in1, j f i ,nj 1  2 f i ,nj  f i ,nj 1 
 


2
2
(x)
(y )




 O t , (x) 2 , (y ) 2


Formulação implícita (volta no tempo):
f i ,nj1  f i ,nj
t
n
 f i 1,1j  2 f i ,nj1  in11, j f i ,nj11  2 f i ,nj1  f i ,nj11 
 


2
2
(x)
(y )




 O t , (x) 2 , (y ) 2


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38. Explícita x implícita
Explícita
• Tem apenas uma incógnita
f
n 1
i, j
Implícita
• Tem cinco incógnitas
f
n 1
i 1, j
, f
f
n 1
i , j 1
n 1
i 1, j
,f
,f
n 1
i, j
,
n 1
i , j 1
• Simples e rápida
• A solução exige que toda a
matriz seja resolvida
simultaneamente
• Instável
• Estável
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39. Exemplo 1
4 f
Ache uma estimativa para frente para
x 4
Solução:
nx f i
n f
Partindo de

 Ox 
n
n
x i x 
Com n=4 obtemos
4 f
1

4x f i  Ox 
x 4 i x 4
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40. Exemplo 1: resolução
n
n 1
Aplicando  x f i   x  x f i 
4x f i  3x  x f i   3x  f i 1  f i   2x  x f i 1   x f i 
 2x  f i  2  f i 1    f i 1  f i   2x  f i  2  2 f i 1  f i 
  x  x f i  2  2 x f i 1   x f i    x  f i 3  f i  2   2 f i  2  f i 1    f i 1  f i 
  x  f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i    x f i 3  3 x f i  2  3 x f i 1   x f i
 ( f i  4  f i 3 )  3( f i 3  f i  2 )  3( f i  2  f i 1 )   f i 1  f i 
 f i  4  4 f i 3  6 f i  2  4 f i 1  f i
4 f
1
 fi4  4 fi 3  6 fi 2  4 fi1  fi   Ox 

4
4
x i x 
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41. Exemplo 2
Compare as expressões obtidas
para a representação de diferenças
finitas para frente
 f quando calculadas via:
3
x
3
de
a) Séries de Taylor
b) Fórmulas de recorrência
c) Polinômio do terceiro grau
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42.  f
3
x
3
Exemplo 2: resolução
a) Expansão em série de Taylor
Precisaremos de três pontos:
1
f (x) 2  2 f (x)3  3 f
f ( x  x)  f ( x)  x 

 O(x) 4
x
2! x 2
3! x 3
2
f (2x) 2  2 f (2x)3  3 f
f ( x  2x)  f ( x)  2x 

 O(2x) 4
x
2! x 2
3! x 3
3
f (3x) 2  2 f (3x)3  3 f
f ( x  3x)  f ( x)  3x 

 O(3x) 4
x
2! x 2
3! x 3
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

43.  f
3
x
3
Exemplo 2: resolução
3 f
Podemos agora isolar
x 3
Somando a 1ª e
a 3ª expressão:
Somando a 1ª e
a 2ª expressão:
Somando estas
duas:
3 f i 1  f i 3
2 f
3 f
 2 f i  3(x) 2 2  4(x)3 3  O(x) 4
x
x
2 f
3 f
f i  2  2 f i 1   f i  (x) 2 2  (x)3 3  O(x) 4
x
x
f i 3  3 f i  2  3 f i  2  f i
3 f

 O(x)
3
3
x
(x)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

44. Exemplo 2: resolução
 f
3
x
3
b) Usando fórmulas de recorrência:
 f
 f

 Ox 
n
x i x 
n
n
x i
n
 f
 f

 Ox 
3
x
x 
3
3
x i
3
3x f i  2x  x f i   2x  f i 1  f i    x  x f i 1   x f i 
  x  f i  2  f i 1    f i 1  f i    x  f i  2  2 f i 1  f i 
  x f i  2  2 x f i 1   x f i   f i 3  f i  2   2 f i  2  f i 1    f i 1  f i 
 f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i
f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i
3 f

 Ox 
3
3
x
x 
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

45.  f
3
x
3
Exemplo 2: resolução
c) Usando polinômio de terceiro grau
f ( x)  Ax  Bx  Cx  D
3
2
Precisaremos de quatro pontos:
xi  0
xi 1  x
xi  2  2x
xi 3  3x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

46. Exemplo 2: resolução
 f
3
x
3
f i 3  A3x   B3x   C 3x   D
3
2
f i  2  A2x   B2x   C 2x   D
3
2
f i 1  Ax   Bx   C x   D
3
fi  D
2
D  fi
2 f i 3  9 f i  2  18 f i 1  11 f i
C
6x
 3 f i 3  12 f i  2  15 f i 1  6 f i
B
2
6x 
f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i
A
3
6x 
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

47.  f
3
x
3
Exemplo 2: resolução
As derivadas de f(x) são dadas por
f
 3 Ax 2  2 Bx  C
x
2 f
 6 Ax  2 B
2
x
3 f
 6A
3
x
f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i
3 f

 Ox 
3
3
x
x 
Com os três métodos obtivemos o mesmo
resultado.
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48. Exemplo 3
f
Obtenha uma expressão de
para trás
x
com ordem (x)3
Solução:
A série de Taylor de f(x-x) é
f (x) 2  2 f (x)3  3 f
4
f ( x  x)  f ( x)  x 

 O(x)
2
3
x
2! x
3! x
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49. Exemplo 3: resolução
f
Isolamos x :
x
2
2
3
3
f
(x)  f (x)  f
x
 f ( x)  f ( x  x) 

 O(x) 4
x
2! x 2
3! x 3
Usaremos
 2 f  f i 3  4 f i 2  5 f i 1  2 f i
2

 Ox 
2
2
x
x 
Diferença para trás de
segunda ordem da
segunda derivada
 3 f  f i 3  3 f i 2  3 f i 1  f i

 Ox 
3
3
x
x 
Diferença para trás de
primeira ordem da
terceira derivada
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50. Exemplo 3: resolução
Substituindo:
f
(x) 2   f i 3  4 f i  2  5 f i 1  2 f i
2
x
 f i  f i 1 
 Ox  

2
x
2 
x 


(x)3   f i 3  3 f i  2  3 f i 1  f i

 Ox   O(x) 4

6 
x 3

f
6x
 2 f i 3  9 f i 2  18 f i 1  11  O(x) 4
x
f  2 f i 3  9 f i 2  18 f i 1  11

 O(x)3
x
6x
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51. APROXIMAÇÕES DE DIFERENÇAS
FINITAS DE DERIVADAS PARCIAIS
MISTAS
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

52. Derivadas parciais mistas:
séries de Taylor
Considere a derivada parcial mista
2 f
xy
A expansão em série de Taylor para as duas variáveis x
e y de f(x+x,y+y) é dada pela expressão
f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  x
f
f
 y
x
y
x 2  2 f  y 2  2 f

2!
x 2
y 2
2!

xy  2 f
3
3
2
 O x  , y 
2! xy
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional


53. Derivadas parciais mistas:
séries de Taylor
Usando os índices i e j para representar o ponto (x,y)
na grade, a mesma expressão pode ser reescrita
como
f
f
2 f
f i 1, j 1  f i , j  x  y  xy
x
y
xy
x 2  2 f  y 2  2 f

2
x
2
2
y
2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

 O x  , y 
3
3


54. Derivadas parciais mistas:
séries de Taylor
Pode-se aplicar o mesmo método e obter as
diferenciais em outras direções:
f
f
 2 f x   2 f y   2 f
3
3
f i 1, j 1  f i , j  x  y  xy


 O x  , y 
x
y
xy
2 x 2
2 y 2

f
f
 2 f x   2 f y   2 f
3
3
f i 1, j 1  f i , j  x  y  xy


 O x  , y 
x
y
xy
2 x 2
2 y 2

f
f
 2 f x   2 f y   2 f
3
3
f i 1, j 1  f i , j  x  y  xy


 O x  , y 
x
y
xy
2 x 2
2 y 2

2
2
2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
2
2
2




55. Derivadas parciais mistas:
séries de Taylor
2 f
Isolando
nestas expressões, obtém-se
xy

f i 1, j 1  f i 1, j 1  f i 1, j 1  f i 1, j 1
2 f
2
2

 O x  , y 
xy
4(x)(y )
Diferenciais mistas de ordem superior podem ser
obtidas usando-se o mesmo método.
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

56. Diferenciais mistas com respeito a uma
variável independente
Considere a derivada parcial
2 f
  f 
  
xy x  x 
Usando a diferença central de ordem (y)2 para f
y
chega-se a
f i , j 1  f i , j 1
f
2

 Oy 
y
2y
Derivando em x:
2 f
  f i , j 1  f i , j 1 
2
 
 Oy 

xy x 
2y

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57. Diferenciais mistas com respeito a uma
variável independente

2 f
  f i , j 1  f i , j 1 
1  f
f
2
2
 
 Oy  

 Oy 



xy x 
2y
2y  x i , j 1 x i , j 1 



2 para f
Aplicando-se diferença central de ordem (x)
x
chega-se a

2 f
1  f i 1, j 1  f i 1, j 1 f i 1, j 1  f i 1, j 1 
2
2


 O x  , y 


xy 2y 
2x
2x

E finalmente:


f i 1, j 1  f i 1, j 1  f i 1, j 1  f i 1, j 1
2 f
2
2

 O x  , y 
xy
4x y 
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional


58. Diferenciais mistas com respeito a uma
variável independente
Usando diferenças para frente, chega-se a
2 f
  f    f i , j 1  f i , j 
  

  Oy 
 y  x
xy x  
y


1  f
f 



  Oy 
y  x i , j 1 x i , j 


1  f i 1, j 1  f i , j 1 f i 1, j  f i , j 



  Ox, y 
y 
x
x

f i 1, j 1  f i , j 1  f i 1, j  f i , j
2 f

xy
xy
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59. Exercícios
• Problemas 2.8 do Hoffmann “Computational
Fluid Dynamics Vol.I”
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional