1.
FATORAÇÃO
Fatorar é transformar em produto um número ou uma soma algébrica.
Exemplos: 792 2 475 5
396 2 95 5
198 2 19 19
99 3 1
33 3
11 11
1
Logo, 792 = 23
.32
.11 Logo, 475 = 52
.19
Fatoração de Expressões Algébricas
Número Primo é ...
aquele divisível somente por ele
mesmo e por 1. Os primos formam
um conjunto infinito:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … }
Excetua-se desse conjunto o 1.
Fatoração de um número inteiro
A fatoração de um real inteiro se dá pela
sua decomposição em fatores de números
primos.
Alguns exemplos de fatoração de um inteiro:
𝑎)4 = 2 . 2 = 22
𝑏)8 = 2 . 2 . 2 = 23
𝑐)15 = 3 . 5
𝑑)24 = 3 . 23
𝑒)32 = 25
𝑓)33 = 3 . 11
𝑔) 45 = 32
. 5
ℎ)153 = 32
. 17
𝑖)792 = 23
. 32
. 11
𝑗) 2058 = 2 . 3 . 73
𝑘)475 = 52
∙ 19
𝑙)216 = 23
. 33
𝑚)3600 = 24
. 32
. 52
𝑛) 30 = 2 . 3 . 5
Receita para fatorar um inteiro:
1) Verifique se o número é divisível por
2. Em caso afirmativo faça a divisão e
anote o resultado. Em caso negativo
experimente dividir por 3, ou 5... até que
se obtenha uma divisão exata.
2) Tome o resultado e tente dividir
novamente pelo mesmo primo ou outro
da sequência. Se o resultado for exato,
faça a divisão.
3) Repita o procedimento de dividir o
resultado anterior pela sequência de
primos até que a divisão resulte 1.
Objetivo
O objetivo da fatoração é simplificar os cálculos.
Exemplo: 332
− 302
=?
Resolução:
332
− 302
= (33 + 30). (33 − 30) = 63.3 = 189
Expressão Algébrica é....
uma série de operações matemáticas
(soma, subtração, produto, divisão,
potenciação, radiciação) contendo
variáveis (letras) e constantes
(números). Exemplo: 𝑥2
− 4𝑥 + 2.
Observe: não foi necessário calcular as potências
Principais casos de fatoração de expressões algébricas
 Fator Comum
 Agrupamento
 Trinômio do Quadrado Perfeito
 Trinômio do tipo 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑎𝑏)𝑥
 Diferença de Dois Quadrados
 Soma e Diferença de Dois Cubos

2.
Vamos a eles...
a) Fator Comum:
Fatora-se a variável e/ou constante que se repete nas parcelas da expressão
algébrica.
Exemplos:
𝑎) 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑏) 2𝑥 + 𝑥2
− 3𝑥3
= 𝑥(2 + 𝑥 − 3𝑥2
)
𝑐) 5𝑥2
− 10𝑥 = 5𝑥(𝑥 − 2)
𝑑) 𝑥3
+ 𝑥 = 𝑥(𝑥2
+ 1)
b) Agrupamento:
Agrupando-se termos semelhantes usando o Fator Comum.
Exemplos:
𝑎)4𝑥2
+ 4𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦2
= 4𝑥(𝑥 + 𝑦) − 2𝑦(𝑥 + 𝑦) = (4𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 𝑦)
𝑏)𝑥2
𝑦 − 10𝑥2
− 5𝑦 + 50 = 𝑥2(𝑦 − 10) − 5(𝑦 − 10) = (𝑥2
− 5)(𝑦 − 10)
𝑐) 𝑥3
+ 2𝑥2
− 8𝑥 − 16 = 𝑥2(𝑥 + 2) − 8(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥2
− 8)
𝑑) 10𝑥 + 4𝑦 + 5𝑥𝑦 + 8 = 5𝑥(𝑦 + 2) + 4(𝑦 + 2) = (𝑦 + 2)(5𝑥 + 4)
c) Trinômio do Quadrado Perfeito:
Expressões do tipo 𝑎𝑥2
± 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑏 = 2√ 𝑎. 𝑐, devem ser fatoradas como
(√ 𝑎 𝑥 ± √ 𝑐)
2
Exemplos:
𝑎) 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2
𝑏)𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)2
𝑐)9𝑥2
+ 24𝑥 + 16 = (3𝑥 + 4)(3𝑥 + 4) = (3𝑥 + 4)2
𝑑)4𝑥2
− 12𝑥 + 9 = (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2
d) Trinômio do tipo 𝒙 𝟐
+ 𝑺𝒙 + 𝑷:
sendo 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 e 𝑃 = 𝑎. 𝑏, são fatorados como (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏).
Exemplos:
𝑎) 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
𝑏) 𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
𝑐) 𝑥2
− 10𝑥 + 24 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 6)
𝑑) 𝑥2
+ 𝑥 − 30 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)

3.
e) Diferença de Dois Quadrados:
Expressões do tipo 𝑎2
− 𝑏2
são fatoradas pela soma e diferença das raízes dos
termos.
Exemplos:
𝑎) 𝑥2
− 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
𝑏) 4 − 𝑥2
= (2 + 𝑥)(2 − 𝑥)
𝑐) 𝑥2
− 𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
𝑑) ( 𝑎𝑏)2
− 144 = (𝑎𝑏 + 12)(𝑎𝑏 − 12)
f) Soma e Diferença de Dois Cubos:
Efetua-se a fatoração levando em conta a operação entre os cubos:
𝑎3
± 𝑏3
= (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2
∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
Exemplos:
𝑎) 𝑥3
+ 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4)
𝑏) 𝑥3
− 27 = (𝑥 − 3)(𝑥2
+ 3𝑥 + 9)
𝑐) 𝑎3
+ 𝑥3
= (𝑎 + 𝑥)(𝑎2
− 𝑎𝑥 + 𝑥2
)
𝑑) 125 − 𝑏3
= (5 − 𝑏)(25 + 5𝑏 + 𝑏2
)