liquid propellant rocket engine (Motor foguete Liquido) part3

Universidade Federal do ABC

Aula 3
Motores Foguete a Propelente Líquido
EN 3255 Propulsão Aeroespacial

EN3224 Propulsão Aeroespacial

DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO
EMPUXO

A geração do empuxo (thrust)
A função de um sistema de motor de foguete
química é a geração de impulso por meio de
combustão, isto é, a libertação de energia térmica
derivada da energia química dos propelentes.
A força gerada (pressão) transmite um impulso para
os produtos da combustão. De acordo com as leis
básicas do movimento, um impulso na direção
oposta é também transmitido ao veículo.


A geração do empuxo (thrust)
Na prática, os gases de alta temperatura e alta
pressão são produzidos nas câmaras de combustão,
devido a reações químicas.
Estes gases são ejetadas através de um bocal,
aingindo alta velocidade.
Em geral, o funcionamento de um sistema de motor
de foguete é independente do ambiente.
O foguete ou, num sentido mais geral, o “motor a
reação" presentemente é o único dispositivo
prático capaz de impulsionar um veículo no espaço.

Leis básicas
Vamos examinar brevemente o processo de
geração de impulso e resumir as leis e
fórmulas mais utilizadas necessárias para
projetar a forma e prever o comportamento
de um motor de foguete.
Essas leis são meras adaptações de leis físicas de
base. Sabemos que

F  ma

Sabemos também que o aumento da velocidade
experimentada pela massa acelerada, durante
o tempo em que a força é transmitida, é

v  at
Combinando estas duas relações fundamentais,
obtemos

m
F v
t

O teorema do impulso
Esta expressão, conhecido como o teorema de
impulso, é a equação básica para motores
foguete.
Quando aplicado a motores de foguetes, o termo
da massa, m, e o termo da velocidade, v, referemse tanto ao veículo ou aos gases ejetados.
Os produtos de v e m, nas duas direções opostas,
deve ser igual, como prescrito pela lei da ação e
reação.

Aplicação ao veículo
Nós estamos interessados na utilização do
impulso do motor disponível para a
aceleração do veículo, o que, em qualquer
ponto da trajetória pode ser expresso como

v
F  Wm  Wm a
t

Valor instantâneo
Usa-se esta equação para o projeto do veículo e
cálculos de trajetória.
Esta equação dá o valor instantâneo das
grandezas que, eventualmente, podem variar
durante o trajeto.

v
F  Wm  Wm a
t

Conversão de energia
Nossa principal preocupação é com a geração de
impulso.
A atenção, portanto, é focado sobre a conversão
eficiente da energia química dos propelentes
em energia térmica, e, assim, em energia
cinética dos produtos de combustão gasosos.
Em particular, isso deve ocorrer da forma mais
eficiente possível.

A soma das forças
A equação básica pode ser reescrita como

m
dm
 F  t ve  dt ve
where ve is their velocity at the nozzle exit.


Velocidade dos gases

dm
 F  dt ve
Mesmo nesta forma simples, fica claro que, para
uma dada taxa de massa, o empuxo aumentará
com o aumento da velocidade de saída dos
gases.


Interpretação

dm
 F  dt ve
Esta equação afirma que se uma massa está
fluindo para fora de um recipiente, a soma de
todas as forças internas e externas que atuam
sobre todas as superfícies deste recipiente é
igual à quantidade de movimento total que
flui para fora da superfície.

Câmara de combustão
Podemos considerar que a câmara de
combustão está ligada ao bocal e este está
aberto ao meio ambiente


Vamos primeiro supor que a câmara está a
funcionar a uma pressão ambiente pa = 0
(condição de alta altitude).
Assim, temos que considerar a soma das forças
agindo ca câmara de combustão e a pressão
absoluta na saída.


Análise
De acordo com o teorema de impulso, a força
resultante sobre o gás deve ser igual ao fluxo de
impulso para fora da câmara:
0


ptc dA  Ae pe  mve

Atc


Taxa de massa
em kg/s

Análise
A integral descreve que a força F que atua sobre
a câmara de impulsão e, portanto, sobre o
veículo.


W
ptc dA  Ae pe  ve

g
Atc
0


Taxa de massa
em kg/s

Análise
Então, podemos escrever

ou


W
F  Ae pe  ve
g

W
F  ve  Ae pe
g

Onde pe é a pressão estática absoluta devido ao gas
no plano de saída Ae.

Análise
Até aqui, assumimos que:
1. A velocidade de injeção foi desprezada.
2. O fluxo de gases através do plano de saída é
uni-dimensional, ou seja, de que todas as
moléculas do movimento do gás em linhas
paralelas.


W
F  ve  Ae pe
g

Parcela do empuxo
devido ao momento

Parcela do empuxo
devido à pressão


W
F  ve  Ae pe
g

Perdas
Usar a pressão não é desejável de geração de
impulso em foguetes.
A presença do termo Aepe indica que nem todas
as forças de pressão disponíveis são
convertidas em energia cinética do gás dentro
da câmara.


W
F  ve  Ae pe
g

O bocal
Em outras palavras, uma porção da pressão não
é utilizada para a geração de impulso.
O bocal tem a função específica de converter,
com a máxima eficiência, a pressão na câmara
de gás disponíveis no momento, e assim
chegar o máximo impulso para um dado
propulsor.


Pressão exterior
Agora, trabalharemos sobre a hiótese de que o
motor está funcionando sob pressão ambiente
finita, pa > 0.
Logo, temos que considerar as forças de pressão
atuando nas paredes exteriores da câmara.
Estas forças de pressão tende a cancelar parte do
impulso de pressão por Aepa.
Como os gases que saem pelo bocal têm velocidade
supersônica, no plano Ae, a pressão ambiente pa
não chega a afetar o interior da câmara.

A equação do impulso
A pressão do ambiente pa cria uma força que se
contrapõe ao impulso, de magnitude Aepa.
Incluindo-se este termo na equação, chegamos à
equação do impulso:


W
F  ve  Ae ( pe  pa )
g


MODELAGEM MATEMÁTICA


“Foguete de mola”

A extremidade da mola tem um “trava” que a prende no trilho.


Este modelo funciona para todos os casos:
Underexpanded
O comprimento livre da mola é maior do que o
comprimento do cilindro.
Overexpanded
O comprimento livre da mola é menor do que o
comprimento do cilindro e a força da mola se
esgota antes do "gás" chegar à saída. Neste caso,
o "gás“ está sujeito a desaceleração no interior
do cilindro (expansão).


O modelo pode também ilustrar o caso de o
bocal de jato overexpanded sem separação.
Esta situação é equivalente à da inércia que
tende a puxar a mola para além do seu ponto
de equilíbrio.
Neste caso, a mola acumula uma força negativa
no envolvimento com o trilho ("ambiente"), e
tenderá a puxar para trás o cilindro.

Velocidade efetiva de exaustão
Definimos a velocidade efetiva de exaustão:
g
c  ve  Ae ( pe  pa )

W

E assim, a equação do impulso fica

W
F c
g


Termo a ser
minimizado

Exemplo
Dado um certo motor foguete, temos os seguintes dados:
Empuxo ao nível do mar: 444822 N (100000 lb)
Consumo: 1642,73 N/s (369,3 lb/s)
Área de saída: 4908,38 cm2 (760,8 in2)
Pressão estática na saída: 73773,9 Pa (10,7 psia)
Pressão ambiente: 101353 Pa (14,7 psia)
Constante gravitacional: 9,8 m/s2 (32,2 ft/s2)
Calcular:
a) Velocidade de saída dos gases.
b) Empuxo do motor no espaço.
c) Velocidade efetiva de exaustão ao nível do mar e no
espaço.

Resolução
a) Velocidade de saída dos gases

W
F  ve  Ae ( pe  pa )
g



g
ve  F  Ae ( pe  pa )

W



9,8
ve  444822  4908,38 10 (73773,9  101353)
1642,73
ve  2734,4 m/s

4

(9040 ft/s)


Resolução
b) Empuxo do motor no espaço
Fpa 0  F  Ae pe

Fpa 0  444822  4908,38 104  73773,9
Fpa 0  481033 N (108134 lb)


Resolução
c) Velocidade efetiva de exaustão ao nível do
mar e no espaço.
Ao nível do mar:

g
c  ve  Ae ( pe  pa )

W

9,8
c  2734,4  4908,38 10 (73773,9  101353)
1642,73
c  2653,67 m/s
4

No espaço:

9,8
c  2734,4  4908,38 10  73773,9
 2950,45 m/s
1642,73 (9750 ft/s)
4


OS ESCOAMENTO NA CÂMARA DE
COMBUSTÃO E NO BOCAL

Condições assumidas
(1) Gás homogêneo.
(2) Gás perfeito.
(3) Não há transferência de calor através das paredes do motor em
qualquer direção: processos adiabáticos.
Eventualmente, também podem ser considerados processos
isentrópicos.
(4) Não há viscosidade iônica.
(5) Escoamentos em regime permanente.
(6) Escoamento unidimensional (todas as moléculas de gás se movem
em linhas paralelas).
(7) Velocidade uniforme em qualquer seção normal ao eixo da câmara
(8) Equilíbrio químico estabelecido dentro da câmara de combustão e
sem reações químicas no bocal.


Fatores empíricos
Alguns fatores de origem empírica serão usados
mais adiante.
Estes fatores são resultados de observações e
experiências, e mostram-se úteis nos estudos
deste assunto.


Comportamento das principais grandezas

Figura 1.3 do H&H


Nomenclatura das variáveis - 1
Símbolo

Significado

a

Velocidade do som

A

Área da seção transversal

Cp, Cv

Calor específico a pressão constante e a volume
constante

g

Aceleração da gravidade ao nível do mar

M

Número de Mach

M

Massa molecular dos produtos da combustão

p

Pressão

R

Constante dos gases perfeitos = 8,314 m3 Pa K-1 mol-1

T

Temperatura

v

Velocidade

V

Volume específico


W

Taxa de variação do peso

Nomenclatura das variáveis - 2
índice

Significado

c


t

Garganta

i

Entrada do bocal

e

Saída do bocal

o

Saída

x

Posição ao longo eixo longitudinal

J

Fator de conversão de unidades (J=778 ft-lb/BTU)

inj

Saída dos bicos injetores / plano de injeção

ns

Ponto de estagnação no bocal (nozzle stagnation)

Nomes especiais
e : Nozzle expansion area ratio (Ae /At)
ec : Nozzle contraction area ratio (Ac /At)
g : Specific heat ratio (Cp /Cv)

Leis importantes
Lei dos gases:

pxVx  M RTx
M

Massa
molecular em
kg/mol

Princípio da conservação da energia:
Num processo adiabático, o aumento da energia cinética dos
gases fluindo entre quaisquer dois pontos é igual ao
decréscimo na entalpia.

1 2 2
vx  vi   C p Ti  Tx 
2g

Comparar
com a eq.
1.10 do H&H

Princípio da conservação da massa:

  Ai vi  Ax vx
W
Vi
Vx

Comparar
com a eq.
1.11 do H&H

A velocidade do som
Velocidade:

R
a  gg  T
M 

Número de Mach:

v
M
a


Escoamento isentrópico
Para quaisquer dois pontos em um escoamento
isentrópico, são válidas as expressões
piVi g  pxVx g  constante

e

Ti  pi 
 
Tx  p x 
 

g 1
g

 Vx  g 1
 
V 
 i


O que acontece na câmara
O lugar de todos os pontos onde se dá a injeção é
chamado de plano de injeção.
A velocidade de injeção é baixa, podendo-se aproximá-la
de zero no cálculo do fluxo de gás.
O processo de combustão prossegue ao longo do
comprimento da câmara. Supõe-se que este processo
seja completado na entrada do bocal.
O calor é liberado entre o plano de injeção e de entrada
do bocal.
Para satisfazer as condições de fluxo de massa constante,
o gás deve ser acelerado em direção à entrada do bocal
com alguma queda de pressão.

Perda de pressão
O processo de fluxo do gás no interior da câmara
de combustão não é inteiramente isentrópico,
mas é uma parte irreversível (expansão
adiabática).
Embora a temperatura de estagnação ou a
temperatura total permaneçam constantes, a
pressão de estagnação ou pressão total irá
diminuir.

Perdas de energia
As perdas permanentes de energia são função
das propriedades do gás tal como expressos
por g e ec.
Sempre que a aceleração dos gases acontecer
devido à expansão por liberação de calor
ocorrem perdas.


Perda de energia
Perda de pressão para dois valores de g típicos, em função da
razão das áreas.


Papel do bocal
O principal papel do bocal é aumentar a
aceleração do gás.
Sem um bocal, as perdas são máximas.
Eis o motivo da importância de ec no projeto de
um motor foguete.


Razão entre as pressões
Assumindo-se vinj=0, podemos usar

 pc inj
 pc ns



1  g M i2

g

 g  1 2  g 1
Mi 
1 
2



Uma das formas de evitar as perdas é manter o
número de Mach na entrada do bocal o mais
baixo possível.

Razão entre as pressões
Tipicamente, para

Ac
 2 , temos M i  0,31(g  1,2)
At

Com estes valores, a expressão para a pressão na
entrada do bocal vale

 pc inj
 pc i

 1  g M i2


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