CFD Aula 1B

Universidade Federal do ABC

Aula 1b
Problemas de Valores Característicos I
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

1.
UM CASO COM DOIS GRAUS DE
LIBERDADE


Vibração em uma estrutura de aço
y2

M2=4500 kg
k2

k2

4m
y1

M1=6000 kg

k1

k1

4m

• Desejamos estudar o efeito da vibração externa em uma armação de
aço.
• A força externa é aplicada apenas na peça 1 e vale F1 sin wt
• As peças horizontais são muito rígidas com relação às verticais, que
têm rigidez k1=k2=1330 kN/m

F1

M2=4500 kg
k2

• Usaremos a notação
k2

4m

dy

y
dt

M1=6000 kg

k1

k1

d2y
 
y
2
dt

4m

Equações do movimento:
Para a peça superior

M 2 2  k2 ( y2  y1 )
y

Para a peça inferior

M1 1  k1 y1  k2 ( y2  y1 )  F1 sin wt
y

M2=4500 kg
k2

k2

4m

M1 1  k1 y1  k2 ( y2  y1 )  0
y

M1=6000 kg

k1

• No caso especial em que F1=0
• (será obtida a função
complementar)

k1

4m

M 2 2  k2 ( y2  y1 )  0
y

Supondo que as duas peças horizontais estejam sincronizadas, podemos
estabelecer que

y1  a1 f (t )

e

y2  a2 f (t )

Com a1 e a2 os valores máximos das amplitudes de oscilação.

• Assim, teremos

M1a1 f ' ' (t )  [k1a1  k2 (a2  a1 )] f (t )  0
M 2 a2 f ' ' (t )  k2 (a2  a1 ) f (t )  0
Qualquer das duas equações produz o resultado f''(t)/f(t)= constante.
Portanto faz sentido escolher a mesma constante para cada equação e
dado que estamos esperando um comportamento periódico,
decidiremos que a constante seja -w2. Assim , uma possível solução para
f(t) é:

f (t )  A sin wt  B cos wt  C sin(wt   )

Agora, escolhemos a origem dos tempos de tal forma que
=0. Como a1 e a2 são constantes multiplicativas, podemos
também decidir que C=1. Dessa forma, chegamos a

f (t )  sin wt e f ' ' (t )  w 2 sin wt
Voltando ao sistema de equações, teremos
M1a1 (w 2 sin wt )  [k1a1  k2 (a2  a1 )] sin wt  0
M 2 a2 (w 2 sin wt )  k2 (a2  a1 ) sin wt  0
Ou, simplesmente

 w 2 M1a1  [k1a1  k2 (a2  a1 )]  0
 w 2 M 2 a2  k2 (a2  a1 )  0

Temos duas equações e três incógnitas (w2, a1 e a2).
Podemos reduzir o número de incógnitas se nos contentarmos com a2/a1
em vez de a1 e a2. Assim, dividindo as duas equações por a1:

a2
 w M 1  (k1  k2 )  k2
0
a1
2





a2
 w M 2  k2
 k2  0
a1
2

Podemos então obter as relações

a2  w 2 M 1  (k1  k2 )
k2


a1
k2
 w 2 M 2  k2


Fazendo o produto
 w 2 M 1  (k1  k2 )
k2

k2
 w 2 M 2  k2
Chega-se à equação característica do sistema:

w 4 M1M 2  w 2 M 2 (k1  k2 )  M1k2   k1k2  0
As raízes desta equação são as raízes características do sistema e darão
origem às frequências naturais às quais o sistema vibrará.

Retomando as equações originais e fatorando em termos de
a1 e a2:
(w 2 M1  k1  k2 )a1  k2 a2 )]  0

 k2 a1  (w 2 M 2  k2 )a2  0
Assim, o sistema pode ser reinterpretado como

  w 2 M 1  k1  k2


 k2


  a1 
   0
2
 w M 2  k 2   a2 
  
 k2


Vibração em uma
estrutura de aço
w 4 M1M 2  w 2 M 2 (k1  k2 )  M1k2   k1k2  0
Fazendo as contas:
k1=k2=1330 kN/m
M1=6000 kg
M2=4500 kg

w 4 6000  4500  w 2 4500(1330  1330)  6000 1330  1330 1330  0
0,270w 4  199,5w 2  17689  0
Cujas raízes são

w12  103
w1  10,15 rad/s
 
 2
w2  635
 w2  25,2 rad/s

Modos de vibração
O primeiro modo de vibração corresponde à menor frequência w1.
Como

a2
k2

a1  w 2 M 2  k 2

a2
1330 103

 1,54
3
a1  103  4500  1330 10

Nesse modo, a peça superior move-se em sincronia com a peça inferior, mas
a amplitude do movimento é cerca de 1,5 maior.

O segundo modo de vibração corresponde a w2 e está associado à razão a2/a1=-0,87.
Neste modo as peças se movem em sentidos opostos, e a peça inferior tem um
movimento maior (em amplitude) que a superior.


Modos de vibração
Primeiro modo
a2
 1,54
a1

Segundo modo
a2
 0,87
a1

a2

a1


Vibração fixada
Se agora considerarmos uma força periódica F1 sin Wt aplicada à peça
inferior, as equações que governam o movimento poderão ser
reduzidas.
Deve-se considerar a função tempo como sendo sin Wt .
Obter-se-á a parte integral particular. O que foi obtido anteriormente
foi a função complementar para a vibração livre.
As equações a serem resolvidas são:

 W2 M1a1  k1a1  k2 (a2  a1 )  F1

 W2 M 2 a2  k2 (a2  a1 )  0


Vibração fixada
 W2 M1a1  k1a1  k2 (a2  a1 )  F1

 W2 M 2 a2  k2 (a2  a1 )  0
Isolando a1 e a2 chega-se a

F1 (W 2 M 2  k2 )
a1 
2
(W 2 M 1  k1  k2 )(W 2 M 2  k2 )  k2

F1k2
a2 
2
(W 2 M 1  k1  k2 )(W 2 M 2  k2 )  k2
Nota: se W=w1 ou W=w2, o denominador se anula: ressonância!

Formulação matricial
Expressões originais:

M 2 2  k2 ( y2  y1 )
y
M1 1  k1 y1  k2 ( y2  y1 )  F1 sin wt
y

Em forma de matriz:

M1

y
 1   (k1  k2 ) k2   y1   F1 sin Wt 
M 2    
 y    0 
y
k2
 k2   2  

 2  

Fazendo

 F1 sin Wt 
y
 M1 
 1 
 y1 
 (k1  k2 ) k2 
M        A  
y
 y   y  F1   0 
y
k2
 k2 


M 2 
 2 
 2

MT   Ay  F1
y

Outra formulação matricial
Pode ser mais útil começarmos por

Fazendo

M1  M 2  M
k1  k 2  k

 w 2 M1a1  k1a1  k2 (a2  a1 )  0
 w 2 M 2 a2  k2 (a2  a1 )  0

Mw 2
teremos  
k

E podemos reescrever as equações:

2a1  a2  a1

 a1  a2  a2


Outra formulação matricial
2a1  a2  a1

 a1  a2  a2
“matriciando”:

 a1 
 2  1  a1 
 1 1  a    a 

  2
 2

ou

2    1   a1  0
  1 1    a   0

  2  

(B  I)a  0
Ba  a
Para encontrar a solução, resolve-se
B  I  0

Resolvendo o sistema matricial
 w 2 M 1  k1  k2

No caso de

 k2

 k2

Considere-se o determinante

 w 2 M 2  k2

M1  M 2  M

obtém-se

k1  k 2  k

k

w M  k
2

 k

2

1

1

  1
1

1

k

 2

 2

 w 2 M  2k

  1

As soluções podem ser obtidas resolvendo


 0

Valores característicos de B
Os valores  para os quais as equações Ba=a têm solução não trivial
(a=0) são os valores característicos da matriz B.
Para cada valor característico existe uma solução a não nula, chamado
de vetor característico associado.
No caso em estudo, os valores característicos são obtidos resolvendo-se

2

1

1

1 

(2   )(1   )  1  0

 0

As soluções são:

3 5
1 
 0,382
2

e

3 5
2 
 2,618
2
Qual delas é a solução?


Obtendo as amplitudes
Como

(B  I)a  0

2    1   a1  0
  1 1    a   0

  2  
E chegamos a

 (2   )a1  a2  0

 a1  (1   )a2  0

a2 3  5

 0,382
a1
2

Na verdade, temos apenas uma equação e não duas equações
independentes.
Se houvesse mais de uma solução, a matriz B seria um caso degenerado.

2.
UM CASO COM TRÊS GRAUS DE
LIBERDADE


O rotor de motor a jato
Whitney Incorporated


Modelo


Modelo

• Queremos estudar a oscilação radial ao longo do
eixo.
• A rigidez do eixo entre cada ponto notável é dada por
C (iguais para todos os grupos).
• Os momentos de inércia de cada grupo de pás são
denotados por J (iguais para todos os grupos).
• Os deslocamentos angulares de cada grupo de pás
são denotados por qi.

qi

Modelo

• As equações do movimento são:

Jq  C (q1  q 2 )
1

Jq2  C (q1  q 2 )  C (q 2  q 3 )

Jq  C (q  q )
3

2

3


Formulação matricial

Jq  C (q1  q 2 )
1

Jq2  C (q1  q 2 )  C (q 2  q 3 )

Jq  C (q  q )
3

2

3

Como espera-se um movimento de oscilação,
pode-se adotar 
2

qi  w qi

Introduzindo , tal que

Jw 2

C

Chega-se a

q1  q 2  q 1
 q1  2q 2  q 3  q 2
 q 2  q 3  q 3

 1  1 0  q1 
q1 
 1 2  1 q    q 

  2
 2
 0  1 1  q 3 
q 3 

 
 
Aθ  θ

Formulação matricial alternativa

 1  1 0  q1 
q1 
 1 2  1 q    q 

  2
 2
 0  1 1  q 3 
q 3 

 
 

1  
 1

 0


0  q1  0
2    1  q 2   0
   
 1 1    q 3  0
   
1

A  I θ  0
Estas equações tem uma solução não trivial se |A-I|=0. Logo
(1   )[(2   )(1   ) 1]  (1   )  0
ou

(1   ) (3   )  0

Os valores
característicos de A
são 0, 1 e 3

Exemplo
 4 2  2
Encontre os valores característicos de D   1
3
1


 1  1 5 


1. Escreve-se a equação característica |D-I|=0:

2
2 
4  
 1
3
1  0


 1
1 5   


2. Resolve-se a equação em :

(4   )[(3   )(5   )  1]  2[1(5   )  1  2[1  (3   )]  0
(4   )(2   )(6   )  0
3. Os valores característicos são 2, 4 e 6.

Vetores característicos
• Voltando ao problema original:
q1  q 2  q 1
 q1  2q 2  q 3  q 2
 q 2  q 3  q 3

Os valores
característicos
são 0, 1 e 3

• As equações não são linearmente independentes!
• Teremos que nos contentar em obter apenas
relações entre q1, q2 e q3.

Para  = 0:

q1  q 2  0
 q1  2q 2  q 3  0
 q 2  q3  0
Existe um número infinito de vetores.

O vetor mais simples é

θ  (1,1,1)


q1  q 2  q3

Para  = 1:

q1  q 2  q1
 q1  2q 2  q 3  q 2
 q 2  q3  q3

q2  0
 q1  q 2  q 3  0
q2  0

Novamente, existe um número infinito de vetores.

O vetor mais simples é

θ  (1,0,1)


q2  0
q1  q 3

Para  = 3:

q1  q 2  3q1
 q1  2q 2  q 3  3q 2
 q 2  q 3  3q 3

 2q1  q 2  0
 q1  q 2  q 3  0
 q 2  2q 3  0

q 2  2q1
q1  q 3

Novamente, existe um número infinito de vetores.

Os vetores mais simples são

ou

θ  (1,2,1)

 1 2 1 
θ
,
,

 6 6 6


Matriz original:

 1 1 0 
A   1 2  1


 0 1 1 



=0

θ  (1,1,1)

=1

θ  (1,0,1)

=3

θ  (1,2,1)

Valores
característicos de
A:  = 0, 1 e 3

ou

 1 2 1 
θ
,
,

 6 6 6


Vetores característicos: Interpretação
=0

=1

=3

θ  (1,1,1)

θ  (1,0,1)

θ  (1,2,1)
ou

 1 2 1 
θ
,
,

 6 6 6


=0

=1

=3

θ  (1,1,1)

θ  (1,0,1)

θ  (1,2,1)
ou

 1 2 1 
θ
,
,

 6 6 6
O movimento oscilatório livre será uma combinação linear deste modos
normais:

q i  Ai cos w1t  Bi sin w1t
 Ei cos w2t  Fi sin w2t
 Gi cos w3t  H i sin w3t

q i  Ai cos w1t  Bi sin w1t
 Ei cos w2t  Fi sin w2t
 Gi cos w3t  H i sin w3t
Lembrando que

1  0, 2  1, 3  3

w1  0, w2  C / J , w3  3C / J

Chega-se a

C
C
3C
3C
qi  Ai  Bi t  Ei cos
t  Fi sin
t  Gi cos
t  H i sin
t
J
J
J
J
Ai Bi Ei Fi Gi Hi dependem das posições e velocidades iniciais.

Exemplo
Para a matriz

 4 2  2
D1
3
1

 os valores característicos são 2, 4 e 6.
 1  1 5 



A equação característica

2
2 
4  
 1
3
1 


 1
1 5   



 x1 
x   0
 2
 x3 
 


deve ser resolvida para cada .

Comparação de sistemas
Trem Linear

Se escolhermos as coordenadas x1, x2 e x3 – os
deslocamentos das massas de suas posições de equilíbrio –
então a equação que rege o movimento pode ser escrita
Ax=x, onde =Mw2/k.
Os parâmetros do sistema são as massas as constantes
elásticas das molas.


Comparação de sistemas
Rede Elétrica

Para esta rede elétrica podemos escrever AI=I,
onde d2Ii /dt2 = -w2Ii.
Os parâmetros do sistema são as indutâncias e as capacitâncias.


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