O documento apresenta técnicas de integração como integração por substituição de variável, integração por partes e integração utilizando decomposição em frações parciais. Exemplos de exercícios são resolvidos utilizando essas técnicas.
1. 01 de3
Integral Indefinida
Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Técnicas de Integração (Primitivação)
uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”
2. 02 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
F(x)
dx
f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
3. EXERCÍCIO 01
Calcular dx
2x
1)
(x 50
2
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2xdx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du
(u)50
C
51
1)
(x
C
51
u
du
(u)
51
2
51
50
03 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x
dx
du
4. EXERCÍCIO 02
Calcular dx
9)
sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du
sen(u)
C
9)
cos(x
C
cos(u)
du
sen(u)
04 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1
dx
du
5. EXERCÍCIO 03
Calcular dx
cos(x)
(x)
sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du
u2
C
3
(x)
sen
C
3
u
du
u
3
3
2
05 de37
cos(x)
dx
du
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
6. EXERCÍCIO 04
Calcular dx
x
e x
Solução
Então
x
2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1
Seja u = x
Logo: = du
dx
x
2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.
06 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
7. Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C
e
2
C
e
2
du
e
2
du
2e x
u
u
u
dx
x
2
1
2e
dx
x
2
2
1
e
dx
x
e x
x
x
du
2e
dx
x
2
1
2e u
x
Ou seja: C
e
2
dx
x
e x
x
du
2
dx
x
1
du
dx
x
2
1
outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
07 de37
8. EXERCÍCIO 05
Calcular dx
1
x
x2
Solução
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
11. EXERCÍCIO 06
Calcular dx
e
x x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma .
dv
u
Seja, portanto:
dx
e
x x
x
u dx
e
dv x
Deste modo:
C
e
xe
dx
e
xe
du
v
uv
dv
u
dx
xe x
x
x
x
x
a constante C pode ser
incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dx
du
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv
Então:
12. EXERCÍCIO 07
Calcular
dx
e
x x
2
Solução
Seja:
2
x
u dx
e
dv x
Assim:
dx
2x
du
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv
Portanto:
2xdx
)
e
(
e
x
du
v
uv
dv
u
dx
e
x x
x
2
x
2
12 de37
INTEGRAÇÃO POR PARTES
13. A última integral é semelhante à original, com a exceção de
que x2 foi substituído por x.
ou:
dx
e
x
2
e
x
dx
e
x x
x
2
x
2
(1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dx
e
x x
Seja:
x
u dx
e
dv x
13 de37
14. Assim:
dx
du
x
x
x
e
dx
e
v
dx
e
dv
Portanto:
dx
)
e
(
e
x
du
v
uv
dv
u
dx
e
x x
x
x
ou:
1
x
x
x
x
x
C
e
e
x
dx
e
e
x
dx
e
x
(2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
14 de37
16. O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador
possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz
o termo:
2
x
A
16 de37
Determinar
dx
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
2
2
2
3
4
EXERCÍCIO 08
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
17. Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2
presente no denominador introduz os termos:
2
2
2
3)
(x
E
Dx
3
x
C
Bx
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
2
2
2
2
2
2
3
4
3)
(x
E
Dx
3
x
C
Bx
2
x
A
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
3)
(x
E
Dx
3)
2)(x
(x
3
x
C
Bx
3)
2)(x
(x
2
x
A
3)
2)(x
(x
3)
2)(x
(x
9
20x
16x
4x
3x
3)
2)(x
(x
17 de37
22. Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x
1
x
cos
2
cos2x
1
x
sen 2
2
Assim,
dx
cos2x
2
1
dx
2
1
dx
2
cos2x
1
dx
x
sen2
2
sen2x
2
1
1
0
x
2
1 1
0
C
u
sen
2
1
du
u
cos
2
1
dx
cos2x
dx
2
du
2
dx
du
2x
u
dx
cos2x
C
4
2x
sen
2
x
x
sen2
22 de37
EXERCÍCIOS 09
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
23. Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C
4
2x
sen
2
x
x
cos2
A integral
dx
x
cos
x
sen 2
2
pode ser resolvida fazendo:
dx
cos2x
1
2
1
cos2x
1
2
1
dx
2x
cos
1
4
1 2
dx
2
cos2x
1
2
cos2x
1
dx
x
cos
x
sen 2
2
23 de37
24. dx
2x
cos
1
4
1 2
dx
2x
cos
4
1
dx
1
4
1 2
8
4x
sen
2
x
8
2u
sen
4
u
4
2u
sen
2
u
2
1
du
u
cos
2
1
dx
2x
cos
dx
2
du
2x
u
dx
2x
cos
2
2
2
8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C
32
sen4x
8
x
24 de37
25. Solução
EXERCÍCIO 10
Determinar
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
4
2x
dx
du
dx
2)
(x
2
dx
4)
(2x
du
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
25 de37
28. Solução
EXERCÍCIO 11
Determinar
dx
1
x
x
x
2
Seja u = x2 + x + 1
Então:
1
2x
dx
du
dx
1)
(2x
du
Na integral original, fazer:
dx
1
x
x
1
1
2x
2
1
dx
1
x
x
2x
2
1
dx
1
x
x
x
2
2
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
28 de37
30. A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
2 TABELA
C
u
a
u
ln
du
u
a
1 2
2
2
2
du
a
u
1
2
1
dx
2
3
2
1
x
1
2
1
dx
1
x
x
1
2
1
2
2
2
2
2
onde:
2
3
a
dx
du
2
1
x
u
30 de37
32. Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
EXERCÍCIO 12
Determinar
dx
x
x
1
3x
9x
2
3
3
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias.
1
3x
9x
9
9x
9x
x
x
1
3x
x
0
9x
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
x
x
1
3x
9x
9
x
x
1
3x
9x
fração própria
32 de37
33.
dx
x
x
1
3x
9x
9
dx
x
x
1
3x
9x
2
3
2
2
3
3
dx
x
x
1
3x
9x
dx
9 2
3
2
dx
)
1
(x
x
1
3x
9x
dx
9 2
2
)
1
(x
C
x
B
x
A
)
1
(x
x
1
3x
9x
2
2
2
)
1
(x
C
)
1
(x
x
x
B
)
1
(x
x
x
A
)
1
(x
x
)
1
(x
x
1
3x
9x
)
1
(x
x 2
2
2
2
2
2
2
B
x
B)
A
(
x
C)
(A
1
3x
9x 2
2
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
33 de37
34.
1
B
3
B
A
9
C
A
A = 2 B = – 1 C = 7
dx
)
1
(x
7
x
1
x
2
dx
9 2
dx
)
1
(x
x
1
3x
9x
dx
9 2
2
dx
)
1
(x
7
dx
x
1
dx
x
2
dx
9 2
C
1
x
ln
7
x
1
x
ln
2
x
9
34 de37
35. Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
EXERCÍCIO 13
Determinar
dx
2x
x
x
1
2
3
2)
1)(x
(x
x
1
2)
x
(x
x
1
2x
x
x
1
2
2
3
2)
(x
C
1)
(x
B
x
A
2)
1)(x
(x
x
1
2A
x
C)
2B
(A
x
C)
B
(A
1 2
Multiplicando os dois lados da igualdade por x( x–1 )( x+2 ) e
rearranjando resulta:
35 de37