Capitulo4 deflexaode vigas

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Capitulo4 deflexaode vigas

  1. 1. Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Prof. Romel Dias Vanderlei CAPÍTULO 4: DEFLEXÃO DE VIGASProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Linha Elástica é a curva que representa o eixo da viga após a deformação. Linha Elástica A deflexão “v” é o deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.
  2. 2. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ). O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica. θ dθ θ dθProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Da figura vemos que: ρ .d θ = ds θ dθ 1 dθ k= = ρ ds dθ em radianos
  3. 3. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Da figura vemos que: dv = tg θ θ dθ dx Inclinação da Linha Elástica  dv  θ = arctg   dx   dx  cos θ =  ds e:   sen θ = dv   dsProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ 0 1 dθ ds ≈ dx → k = = ρ dx dv tgθ ≈ θ → = θ , sendo θ em radianos. dx Logo, fazendo: dθ = d v 2 dx dx2 1 d 2 v Equação válida para k= = ρ dx 2 pequenas rotações
  4. 4. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke): 1 σ x = E⋅ ε x e εx = ⋅y=k⋅y ρ ∫σ A x ⋅ dA ⋅ y = M → ∫ E ⋅ ( k ⋅ y ) ⋅ y ⋅ dA = M A M E ⋅ k ∫ y 2 ⋅ dA = M → E ⋅ k ⋅ I z = M → k = A E ⋅ Iz d 2v M Equação Diferencial da Logo: = Linha Elástica dx 2 EI zProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Convenções de Sinais: y(+) (1)Eixos: x(+) (2) Deflexão: v(+) y dv (3) Rotações: e θ (+) dx x (4) Curvatura k:
  5. 5. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Convenções de Sinais: (5) Momentos: (6) Carregamentos:Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Equações Adicionais: dM dV d 2M =V ; = −q e = −q dx dx dx 2
  6. 6. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Vigas Não Prismáticas : seção variável com x. d 2v M d 2v = → EI ( x ) ⋅ 2 = M dx 2 EI ( x ) dx dM d d 2v  =V →  EI(x) ⋅ 2  = V dx dx   dx   dV d2  d 2v  = −q →  EI ( x) ⋅ 2  = −q dx dx 2   dx  Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Vigas Prismáticas: rigidez (EI) constante Momento Fletor: d 2v M d 2v = → EI z ⋅ 2 = M → EI z ⋅ v ′′ = M dx 2 EI z dx Força de Cisalhamento: dM d 3v =V → EI z ⋅ =V → EI z ⋅ v ′′′ = V dx dx 3 Carregamento: dV d 4v = − q → EI z ⋅ = −q → EI z ⋅ v = − q dx dx 4
  7. 7. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações nos apoios. → v=0 e M =0 → v=0 e M =0 → v = 0 e v′ = 0Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas biapoiadas. x = 0 → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0  x = L → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0
  8. 8. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas engastadas.  x = 0 → v = 0 e v′ = 0   x = L → v ′′ = 0 pois M = 0  x = L → v ′′′ = 0 pois V = 0 Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Continuidade: No ponto C: (v )AC = (v )CB (v ′ )AC = (v ′ )CB
  9. 9. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Exemplo1: Determine a equação da Linha Elástica para a viga abaixo. Determine também a deflexão máxima δmáx e os ângulos de rotação θA e θB nos apoios.Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica a) Expressão para o Momento Fletor: q⋅L Reações de apoio: RVA = RVB = 2 Momento Fletor: qL x qL q M = ⋅x− q⋅x⋅ = ⋅ x − ⋅ x2 2 2 2 2
  10. 10. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica b) Equação da Linha Elástica: qL q EI z ⋅ v = M = ⋅ x − ⋅ x 2 [.(dx)] 2 2 qL q EI z ⋅ v ⋅ dx = ⋅ x ⋅ dx − ⋅ x 2 ⋅ dx 2 2 qL q 2 EI z ∫ v ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx − 2 ∫ x ⋅ dx 1ª integração 2 (EI z ⋅ v ) = ∫  qL ⋅ x2 − q ⋅ x3 + C1  2 3 ∫   2  2    2ª integração qL x 3 q x 4 EI z ⋅ v = ⋅ − ⋅ + C1 ⋅ x + C 2 4 3 6 4Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condições de Contorno: (I) x = 0 → v = 0 L (II) x = L → v = 0 e x = → v′ = 0 2 (I) x = 0 → v = 0∴ 0 = 0 − 0 + 0 + C2 → C2 = 0 qL q (II) x = L → v = 0∴ 0 = .L3 − .L4 + C 1 .L + 0 12 24 qL 4 qL 4 qL 4 qL 3 0 = − + C 1 .L = + C 1 .L → C 1 = − 12 24 24 24
  11. 11. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica qL q EI z ⋅ v = ⋅ x3 − ⋅ x 4 + C1 ⋅ x + C 2 → deflexão 12 24 1  qL q qL 3  v =   12 ⋅x − 3 ⋅x + 4 ⋅x  EI z  24 24  q  L 1 L3  v=   12 ⋅x − 3 ⋅x + 4 ⋅x Linha Elástica EI z  24 24  Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica qL 2 q 3 EI z ⋅ v′ = ⋅ x − ⋅ x + C1 → rotação 4 6 1  qL 2 q 3 qL3  v′ =  4 ⋅ x − 6 ⋅ x − 24    EI z   q  L 2 1 3 L3  v′ =  ⋅x − ⋅x − 4  → rotação θ EI z  6 24  
  12. 12. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica c) Deflexão máxima x = L/2: q  L  L 3 1  L 4 L3 L  vmáx =  ⋅  − ⋅  − ⋅  EI z 12  2  24  2  24 2    q  L4 L4 L4  vmáx =  − −  EI z  96 384 48  5qL4 vmáx = − 384 ⋅ EI zProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica d) Ângulos de rotação: θA e θB qL 3 θ A → x = 0∴ v ′A = − 24 EI z qL 3 θB → x = L∴ v′ = B 24 EI z
  13. 13. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Exemplo 2: Calcular a deflexão e a inclinação (rotação) do ponto D indicado na viga representada abaixo, adotando E = 10GPa. 1,2kN/m 16cm A B D 6cm 2,2m 3m a) Reações de apoio: qL 1,2 × 5,20 RVA = RVB = = = 3,12 KN 2 2Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica b) Equação diferencial da linha elástica: EI z ⋅ v = − q = − 1, 2 EI z ⋅ v ′′′ = − 1, 2 ⋅ x + C1 x2 EI z ⋅ v ′′ = − 1, 2 ⋅ + C1 ⋅ x + C 2 2 x3 x2 EI z ⋅ v ′ = − 1, 2 ⋅ + C1 ⋅ + C 2 ⋅ x + C3 6 2 x4 x3 x2 EI z ⋅ v = − 1, 2 ⋅ + C1 ⋅ + C2 ⋅ + C3 ⋅ x + C4 24 6 2
  14. 14. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica c) Condições de Contorno: (I) x = 0 → V A = 3,12 KN = v′′′ ⇒ C1 = 3,12 (II) x = 0 → M A = 0 = v′′ ⇒ C 2 = 0 L (III) x = = 2,60 → v′ = 0 2 2 .6 3 2,6 2 0 = −1,2 ⋅ + 3,12 ⋅ + 0 ⋅ x + C 3 ⇒ C 3 = −7 ,03 6 2 (IV) x = 0 → vA = 0 ⇒ C4 = 0Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica d) Rotações e deflexões: kN E = 10 GPa = 10 × 10 6 2 m bh 3 0 , 06 × 0 ,16 3 Iz = = = 2 , 048 . 10 − 5 m 4 12 12 EI z = 204 ,8 kN ⋅ m 2 v′ = 1 EI z ( ⋅ − 0 , 2 ⋅ x 3 + 1,56 ⋅ x 2 − 7 , 03 ) v= 1 EI z ( . − 0 , 05 ⋅ x 4 + 0 ,52 ⋅ x 3 − 7 , 03 ⋅ x )
  15. 15. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica e) Deflexão e Rotação no Ponto D: Para x = 2,20m v′ = 1 204,8 ( ) ⋅ − 0,2 × 2,23 + 1,56 × 2,2 2 − 7,03 = −7,9 ×10−3 rad v= 1 204,8 ( ) ⋅ − 0,05 × 2,2 4 + 0,52 × 2,23 − 7,03 × 2,2 = −5,65 ×10−2 mProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Exemplo 3: Determine a equação da Linha Elástica para uma viga engastada mostrada abaixo. Determine também θB e δB na extremidade livre.
  16. 16. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Reações de apoios: qL2 RVA = qL MA = 2 a) Momento Fletor na viga: qL2 x M =− + qLx − qx 2 2 qL2 x2 M =− + qLx − q 2 2Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica b) Equação da Linha Elástica: qL2 qx 2 EI z ⋅ v = M = − + qLx − 2 2 q  L 2 x  2 ∫ v′′ = ∫ EI z ⋅  − 2 + Lx − 2      q  L x 2 x3  ∫ v = ∫ EI z ⋅  − ⋅ x + L ⋅ − + C1  → Rotação    2 2 6  q  L2 x 2 Lx 3 x 4  v= ⋅− + − + C1 ⋅ x + C 2  → Deflexão EI z   4 6 24  
  17. 17. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: (I) x = 0 → v = 0 (II) x = 0 → v = 0 ⋅ (− 0 + 0 − 0 + C1 ) ⇒ C1 = 0 q (I) 0= EIz ⋅ (− 0 + 0 − 0 + C2 ) ⇒ C2 = 0 q (II) 0 = EIzProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Rotação: q  L2 L 2 x3  v = ⋅− ⋅ x + ⋅ x −   2 EI z  2 6   v = qx 6 EI z ( ⋅ − 3L2 + 3 Lx − x 2 ) qL3 θB = v′ → x = L ∴ B v′ = − B 6EIz
  18. 18. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Deflexão: q  L2 2 L 3 1 4  v= ⋅− ⋅ x + ⋅ x − ⋅ x  EI z  4  6 24   v= qx 2 24 EI z ( ⋅ − 6 L2 + 4 Lx − x 2 ) qL4 δ B = vB → x = L ∴ vB = − 8EIzProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Exemplo 4: Determine a equação da Linha Elástica, os ângulos de rotação θA e θB nos apoios, a deflexão máxima δmáx e a deflexão δC no ponto médio.
  19. 19. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Reações de apoio: P⋅b P⋅ a RVA = e RVB = L L a) Momentos Fletores: Pb M= ⋅ x (0 ≤ x ≤ a) L M = ⋅ x − P ⋅ (x − a) (a ≤ x ≤ L) Pb LProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica b) Equação da Linha Elástica: Pb EI ⋅ v ′′ = ⋅x (0 ≤ x ≤ a) L ⋅ x − P ⋅ (x − a ) Pb EI ⋅ v ′′ = (a ≤ x ≤ L) L
  20. 20. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Integrando temos: Rotações Pb 2 EI ⋅ v ′ = ⋅ x + C1 2L Pb 2 P ⋅ ( x − a ) 2 EI ⋅ v ′ = ⋅x − + C2 2L 2 Integrando novamente: Deflexões Pb 3 EI ⋅ v = ⋅ x + C1 ⋅ x + C 3 6L Pb 3 P ⋅ ( x − a ) 3 EI ⋅ v = ⋅x − + C2 ⋅ x + C4 6L 6Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: (I) x = 0 → v = 0 (II) x = L → v = 0 (III) x = a → vesq = v′ ′ dir (IV) x = a → vesq = vdir
  21. 21. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: (I) x = 0→ v = 0 ⇒ C3 = 0 PbL3 P ⋅ ( L − a)3 (II) x = L → v = 0∴ 0 = − + C2 ⋅ L + C4 6L 6 Pba2 Pba2 P(a − a)2 (III) x = a → +C1= − + C2 ⇒ C1 = C2 2L 2L 2Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Condição de Contorno: Pba 3 Pba 3 P ( a − a ) 3 (IV) x = a → +C 1⋅a = − + C2 ⋅ a + C4 6L 6L 6 C1 ⋅ a = C 2 ⋅ a + C 4 ⇒ C1 ⋅ a = C1 ⋅ a + C 4 ⇒ C 4 = 0 PbL 2 Pb 3 (II) − + C 2 ⋅L + C 4 = 0 6 6 Pb 6 ( ) ⋅ L2 − b 2 = − C 2 ⋅ L C2 = − Pb 6L ( ) ⋅ L2 − b 2 = C1
  22. 22. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Deflexões: v= 1 EI  Pbx 3 Pb 2 ⋅ − ( ⋅ L − b2 )x    6L 6L  v= Pbx 6 LEI ( ⋅ x 2 − L2 + b 2 ) (0 ≤ x ≤ a) 1  Pbx 3 P ⋅ (x − a )  ( ) 2 Pb v = ⋅ − − ⋅ L2 − b 2 ⋅ x  EI  6 L 6 6L  P ⋅ ( x − a) ( ) 3 Pbx v=− ⋅ L2 − b 2 − x 2 − (a ≤ x ≤ L) 6 LEI 6 EIProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Rotações: ⋅ (L − b 2 ) 1  Pbx 2 Pb 2  v ′= ⋅ − EI  2 L 6L  v′ = − Pb 6 LEI ( ⋅ L2 − b 2 − 3 x 2 ) (0 ≤ x ≤ a) 1  Pbx 2 P ⋅ (x − a ) ( ) 2 Pb v′ = ⋅ − − ⋅ L2 − b 2  EI  2 L 2 6L  P ⋅ (x − a ) ⋅ (L − b − 3 x ) − 2 Pb v =− 2 2 2 (a ≤ x ≤ L) 6 LEI 2 EI
  23. 23. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Cálculo de θA: θ A = v ′A → x = 0 ( L + b) ⋅ ( L − b) v′ = − A Pb 6 LEI ( ⋅ L2 − b 2 ) Pab (L + b ) v′ = − A 6 LEIProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Cálculo de θB: θ B = v′ → x = L B (b) P (L − a ) ( ) 2 Pb v′ = − B ⋅ L − b − 3L − 2 2 2 6 LEI 2 EI Pb  (− 2 L − b ) 2 2  v′ = − B ⋅ + b 2 EI  3L  Pb  2 L + b − 3 Lb  2 2 v′ = B ⋅   2 EI 3L  Pab ⋅ ( L + a ) v′ = B 6 LEI
  24. 24. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Deflexão máxima δmáx: Ponto de máximo v′ = 0 − Pb 6 LEI ( ) ⋅ L2 − b 2 − 3 x 2 = 0 L2 − b 2 x1 = δ máx = vmáx para ( x = x1 ) 3  2  Pb L2 − b 2  L2 − b 2  vmáx = ⋅ ⋅   − L2 + b 2  6 LEI 3  3      ( ) 3 Pb ⋅ L2 − b 2 2 vmáx =− (a ≥ b) 9 3 ⋅ LEIProf. Romel Dias Vanderlei 4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica Deflexão no ponto médio x = L/2: L δ C = v C para x = 2 L Pb ⋅ 2 ⋅  L  − L2 + b 2  2 vC =    6 LEI  2     Pb  L2  vC = ⋅ − L2 + b 2  12 EI  4    vC = Pb 48 EI ( ⋅ − 3 L2 + 4b 2 ) (a ≥ b)
  25. 25. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas São vigas em que o número de reações excede o número de equações de equilíbrio da estática. ∑ Fx = 0 ⇒ H A = 0 3 reações ∑ FY = 0 ⇒ R A + R B − qL = 0 2 equações Estaticamente Indeterminadas L ∑ M A = 0⇒ M A − qL . 2 + R B .L = 0Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas São necessárias equações adicionais para obter todas as reações. O número de reações em excesso ao número de equações de equilíbrio é chamado de Grau de Hiperestaticidade. Grau = (nº Reações) – (nº Equações) Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.
  26. 26. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas As equações adicionais podem ser obtidas considerando as deformações da estrutura. Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais da linha elástica: EI z ⋅ v′′ = M EI z ⋅ v′′′ = Q EI z ⋅ v = −q O procedimento para resolução é o mesmo usado para vigas isostáticas.Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas Como exemplo, analisaremos a viga anterior determinando as rotações e deflexões da viga.
  27. 27. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas a) Estaticidade da estrutura: HA = 0 M A , RVA , RVb → 3 reações desconheci das, ∑F Y =0 e ∑M = 0 → 2 equações de equilíbrio Grau = 3 – 2 = 1 Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1 b) Equações de equilíbrio: (1) RVA + RVB = qL qL2 (2) M A + RVB ⋅ L = 2Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas c) Equação no momento fletor: Reação redundante reação em excesso que pode ser liberada da estrutura, porém, deixando-a estável e estaticamente determinada. Escolhemos RVB como reação redundante, e as outras reações serão escritas em função desta. RVA = qL − RVB qL2 MA = − RVB ⋅ L 2 qx 2  qL2  qx 2 M = RVA ⋅ x − M A − = (qL − RVB ) ⋅ x −   − RVB .L  −  2 2  2 
  28. 28. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Equação diferencial da Linha Elástica:  qL2  qx 2 EI z ⋅ v ′′ = M = (qL − RVB ) ⋅ x −   2 − RVB ⋅ L  − 2    Integrando: x 2  qL2  qx 3 EI z ⋅ v ′ = (qL − RVB ) ⋅ −  − RVB ⋅ L  ⋅x − + C1 2  2   6 x 3  qL2  x 2 qx 4 EI z ⋅ v = (qL − RVB ) ⋅ −  − RVB ⋅ L  ⋅ −  2 24 + C1 ⋅ x + C2 6  2   3 incógnitas C1, C2 e RVB São necessárias 3 condições de contornoProf. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas e) Condições de contorno: (I) x = 0 → v = 0 (II) x=0→v=0 (III) x=L→v=0 (I ) → 0 = 0 − 0 − 0 + C1 ⇒ C1 = 0 ( II ) → 0 = 0 − 0 − 0 + 0 + C 2 ⇒ C 2 = 0
  29. 29. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas L 3  qL 2  L2 qL 4 (III) → 0 = (qL − R VB ) ⋅ −  2 − R VB ⋅ L ⋅  2 − 6   24 qL 4 R VB L3 qL 4 R VB L3 qL 4 0= − − + − 6 6 4 2 24 1 1 1 1 1  RVB qL RVB L3 ⋅  −  = qL4 ⋅  − −  ∴ - =− 6 2  6 4 24  3 8 3qL RVB = 8Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas f) Rotações e Deflexões: 1  3qL  x 2  qL2 3qL  qx3  v = ⋅  qL −  ⋅ − − ⋅ L ⋅ x −   EI z 8  2  2 8   6  v = qx 48 EI z ( ⋅ − 6 L 2 + 15 L ⋅ x − 8 ⋅ x 2 ) 1  3qL  x3  qL2 3qL  x 2 qx4  v= ⋅  qL − ⋅ − − ⋅ L⋅ −  2 24  EI z  8  6  2  8   v = − qx 2 48 EI ( ⋅ 3 L2 − 5 L ⋅ x + 2 ⋅ x 2 ) z
  30. 30. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas g) Reações nos apoios: 3qL 5qL RVA = qL − RVB = qL − = 8 8 qL2 qL2 3qL qL2 MA = − RVB ⋅ L = − ⋅L = 2 2 8 8Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Em uma viga submetida a várias cargas, os deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido somando-se algebricamente os deslocamentos, no mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo isoladamente. Exemplo 1: P
  31. 31. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição P qL4 (v B )q =− (v B )P =− PL3 8 EI z 3 EI z PL2 (θ B )q =− qL3 (θ B )P =− 6 EI z 2 EI zProf. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição qL 3 PL 3 v B = (v B )q + (v B )P =− − 8 EI z 3 EI z qL3 PL 2 θ B = (θ B )q + (θ B )P =− − 6 EI z 2 EI z
  32. 32. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Exemplo 2:Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição δ c = (vC )q + (vC )P θ A = (v′A ) q + (v′A ) P    −θA = θB θ B = (v ′ ) q + (v ′ ) P  B B  5qL4 (vC )q =− (vC )P =− PL3 384 EI z 48EI z qL3 − (v′ )q = (v′ )q A B = − (v ′ )P = (v ′ )P = A B PL 2 24 EI z 16 EI z
  33. 33. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição 5 qL4 PL3 δC = − − 384 EI z 48 EI z qL3 PL2 −θ A = θB = + 24EIz 16EIzProf. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Exemplo 3: Determine δB e θA
  34. 34. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição 2 ∑M A = aF − ⋅ aP = 0 3 2 F = ⋅P 3Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Viga Engastada: qb4 (vB )q = 8EI Fb3 (vB )F = 3EI  qb4 Fb3   qb4 2Pb3  δ B = −  +  = − +   8EI 3EI   8EI 9EI    
  35. 35. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição P Viga Apoiada: δB θ1 qb 4 2 Pb 3 θ1 = θ2 δB = + a 8 aEI 9 aEI a  2a   a   a P ⋅  ⋅  ⋅ a +  Pab ⋅ (L + b )  3  3  3 4 Pa 2 θ2 = = = 6 L ⋅ EI 6 a ⋅ EI 81 ⋅ EI qb 4 2 Pb 3 4 Pa 2 θ A = −θ 1 − θ 2 = − − − 8 aEI 9 aEI 81 EIProf. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Exemplo 4: Determinar θA ; δB ; θC ; θD e δD 30 kN 20 kN/m 10 kN/m 20 kN A B C D 3m 3m 2m Sistema Equivalente: 30 kN 20 kN/m 20 kN 10 kN/m 40 kN A C 60kNm C D B 3m 3m 2m
  36. 36. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Rotação em A: qL 3 3 qL 3 PL 2 ML θA = − − − + 24 EI 128 EI 16 EI EI 10 × 63 3 ×10 × 63 30 × 6 2 60 × 6 148,125 θA = − − − + =− 24 EI 128EI 16 EI 6 EI EI Flecha em B: 5 qL 4 5 qL 4 PL 3 ML 2 δB = − − − + 384 EI 768 EI 48 EI 16 EI 5 ×10 × 64 5 ×10 × 6 4 30 × 63 60 × 62 253,125 δB = − − − + =− 384EI 768EI 48EI 16EI EIProf. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Rotação em C: qL3 7 qL3 PL 2 ML θC = + + + − 24 EI 384 EI 16 EI 3 EI 10 × 63 7 ×10.63 30 × 62 60 × 6 76,875 θC = + + + − = 24EI 384EI 16EI 3EI EI
  37. 37. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Flecha em D: θC δ’D 76,875 153,750 δ D = θC × L = ×2 = EI EI δ’’D 10 × 2 4 20 × 2 3 73,333 δD θ’D =− − =− 8 EI 3 EI EI 73,333 153,750 80,417 δ D = δ D + δ D = − + = EI EI EIProf. Romel Dias Vanderlei 4.3 Método da Superposição Rotação em D : θC δ’D 10 × 23 20 × 22 53,333 δ’’D θD = − − =− θ’D 6EI 2EI EI 53,333 76,875 23,542 θ D = θ D + θC = − + = EI EI EI
  38. 38. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Exemplo 5: Determine as reações dos apoios da viga abaixo usando o Método da Superposição. a) Estaticidade: Grau = 4(eq.) – 3(reações) = 1 Hiperestática Reação Redundante RVBProf. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas b) Equação de Equilíbrio: ∑F Y = 0 ∴ RVA + RVB − qL = 0 ⇒ RVA = qL − RVB qL2 qL2 ∑ M A = 0 ∴ M A + RVB ⋅ L − 2 = 0 ⇒ M A = 2 − RVB ⋅ L
  39. 39. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas c) Compatibilidade de deslocamento: (δ B )q + (δ B )R VB =0 qL 4 R VB ⋅ L 3 3 qL − + = 0 ⇒ R VB = 8 EI 3 EI 8Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Reações dos apoios: 3qL 5 qL RVA = qL − RVB = qL − = 8 8 3qL RVB = 8 qL2 qL2 3qL qL2 MA = − RVB ⋅ L = − ⋅L = 2 2 8 8
  40. 40. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Exemplo 6: Determinar: a) a reação em cada apoio; b) a declividade da linha elástica na extremidade A. q A C B 2L/3 L/3 L a) Estaticidade: 4-3=1 Hiperestática RVB Reação RedundanteProf. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas b) Equações de Equilíbrio: ∑F X = 0 ⇒ R HC = 0 ∑F Y = 0 ⇒ RVA + RVB + RVC = qL∴RVA + RVC = qL− RVB 2L qL2 qL 2R ∑ M A = 0 ⇒ RVB. 3 + RVC .L = 2 ∴ RVC = 2 − 3VB
  41. 41. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas c) Compatibilidade de deslocamento: q A C A C B RVB 2L/3 L/3 2L/3 L/3Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas (v )q = − qx 24 EI ( ⋅ L3 − 2 Lx 2 + x 3 ) onde x = 2L 3 q 2L  3  2 L   2L   2 3 qL4 (δ B )q =− ⋅ ⋅  L − 2L  +    = −0,01132 24EI 3    3   3    EI (v )R VB = − Pbx 6 LEI ( ⋅ L2 − b 2 − x 2 ) onde x= 2L 3 (− RVB ) ⋅  L     3  ⋅ 2 L ⋅  L2 −  L  −  2 L   = RVB ⋅ L ⋅ 4 L 2 2 2 (δ B )R =−       VB 6 LEI 3    3   3   27 EI 9  R VB ⋅ L3 (δ B )V = 0 , 01646 ⋅ B EI
  42. 42. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Sabendo-se que δB = 0 e δB = (δB )q + (δB )RVB qL 4 RVB ⋅ L3 0 = −0,01132 ⋅ + 0,01646 ⋅ ⇒ RVB = 0,688 ⋅ qL EI EI Logo: qL 2 RVB qL 2 RVC = − = − ⋅ 0,688 qL = 0,0413 ⋅ qL 2 3 2 3 RVA + RVC = qL − RVB RVA = qL − 0 ,688 ⋅ qL − 0 ,0413 ⋅ qL = 0 , 271 ⋅ qLProf. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Declividade no apoio A: θA = (θA )q + (θA )R VB qL3 (θ A )q = − 24EI  2L   L   L RVB ⋅   ⋅   ⋅  L +  Pab⋅ (L + b)  3   3  3 (θ A )R = = VB 6LEI 6LEI  8L3  0,688 ⋅ qL ⋅   27  0,03398⋅ qL3  (θ A )R =  = VB 6LEI EI
  43. 43. Prof. Romel Dias Vanderlei 4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Declividade no apoio A: qL3 0,03398 ⋅ qL3 qL3 θA = − + = −0,00769 ⋅ 24 EI EI EIProf. Romel Dias Vanderlei Aplicações Aplicação 1: Sabendo que a viga AE é um perfil laminado de aço S310x47,3, que q = 50kN/m, a = 1,5m e E = 200GPa, determinar: (a) a declividade em B; (b) a deflexão no centro C da viga. Perfil S310x47,3 A = 6032mm2; Ix = 90,7x106mm4; Iy = 3,9x106mm4 q A B C D E a 2a a
  44. 44. Prof. Romel Dias Vanderlei Aplicações Aplicação 2: Para a viga em balanço com carregamento mostrado, determine a declividade e a deflexão nos pontos B e D. q A D B C a a aProf. Romel Dias Vanderlei Aplicações Aplicação 3: A viga em balanço tem seção circular com diâmetro de 45mm e está submetida ao carregamento mostrado. Determine a inclinação e a deflexão nos pontos B e C. Considera E = 200GPa. 0,6kN 2,6kN/m B A C 0,75m 0,25m
  45. 45. Prof. Romel Dias Vanderlei Aplicações Aplicação 4: Para o carregamento mostrado na figura, sabendo-se que as vigas AC e BD têm mesma rigidez à flexão, determine a reação em B. 10kN/m

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