Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações diferenciais parciais (EDPs) aplicadas à dinâmica de fluidos computacional. As três principais EDPs discutidas são:
1) As equações de Navier-Stokes, que descrevem a conservação da massa e do momento para um fluido viscoso e compressível.
2) A classificação de EDPs em lineares/não-lineares e elípticas/parabólicas/hiperbólicas, dependendo das propriedades das soluções.
3) Sistemas de EDP
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
CFD Aula 1
1. Universidade Federal do ABC
Aula 1
Conceituação das equações
diferenciais parciais
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
2. Porquê?
Equações de Navier-Stokes para um
fluido compressível e viscoso
v 0
t
Conservação da massa
v
Conservação do momento linear
v v p g
(2ª Lei de Newton)
t
E
E v kT q pv v v : g v
t
Conservação da energia
(1ª Lei da Termodinâmica)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
3. Navier & Stokes
Claude-Louis Navier
(1785-1836)
• Engenheiro e Matemático.
• Membro da Academia de
Ciências da França.
• Criador da teoria da
elasticidade.
• Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos.
• Seu nome está gravado na
galeria de heróis da Torre
Eiffel.
Sir George Stokes
(1819-1903)
• Físico e
Matemático.
• Professor de matemática em
Cambridge.
• Um dos principais teóricos da
mecânica dos fluidos.
• Também publicou trabalhos sobre
a luz, polarização e fenômenos
químicos.
• Há uma cratera na Lua com seu
nome.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
4. Classificação de EDPs
Linear
• A variável dependente e suas derivadas mantém relações
lineares. Não há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes podem ser somadas para gerar uma
outra solução.
Exemplo:
Onda unidimensional
u
u
a
t
x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
5. Classificação de EDPs
Não-linear
• Há produtos entre a variável dependente e suas
derivadas.
• Soluções independentes não podem ser somadas
para gerar uma outra solução.
Exemplo:
Equação de Burgers para fluidos invíscidos
u
u
u
t
x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
6. EDPs de segunda ordem
Dada uma função f(x,y), a forma mais completa de
uma EDP de segunda ordem é
2f
2f
2f
f
f
A 2 B
C 2 D
E
Ff G 0
x
xy
y
x
y
Isolando os termos de segunda ordem, temos
f
2f
2f
2f
f
D
A 2 B
C 2
E
Ff G
x
xy
y
x
y
2f
2f
2f
A 2 B
C 2 H
x
xy
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
7. EDPs de segunda ordem
Assim, abstraimos os termos de ordem 1, e podemos
buscar relações entre A, B, C e as derivadas
segundas.
Primeiramente, definimos
2f
2f
df x 2 dx
dy
x
xy
2f
2f
df y
dx 2 dy
xy
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
8. EDPs de segunda ordem
A busca de uma solução para cada um dos termos nos
leva a:
H
B
C
A
H
C
A
df x
dy
0
dx df x
0
dx dy df x
0 df y dy
2f
A B C
xy
dx dy 0
0 dx df y
2f
2
A B C
y
dx dy 0
2f df y dx dy
2
A B C
x
dx dy 0
0
dx dy
0
dx dy
0
B
H
dx dy
(regra de Cramer)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
9. EDPs de segunda ordem
A
Para garantir que
dx dy
0
devemos resolver
B
C
0 0
dx dy
Ady 2 Bdxdy Cdx 2 0
2
Dividindo por dx2
dy
dy
A B C 0
dx
dx
As soluções desta equação são as “curvas
características” do espaço físico (a,b):
B B 2 4 AC
dy
2A
dx a , b
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
10. EDPs de segunda ordem
2f
2f
2f
f
f
A 2 B
C 2 D
E
Ff G 0
x
xy
y
x
y
O sistema de EDPs é, portanto, classificado
segundo o valor de (B2 - 4AC):
(B2 - 4AC) < 0
(B2 - 4AC) = 0
(B2 - 4AC) > 0
elíptico
parabólico
hiperbólico
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
11. Equações elípticas
• (B2 - 4AC) < 0 em todos os pontos
do espaço.
• Uma EDP elíptica não tem curvas
características reais.
• Uma perturbação se propaga
instantaneamente em todas as
direções.
Exemplos:
2f 2f
• Equação de Laplace
2 0
2
x
• Equação de Poisson
y
2f 2f
2 f ( x, y )
2
x
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Espaço
de
soluções
Condições
de
contorno
12. Equações parabólicas
Condições
de
contorno
• (B2 - 4AC) = 0 em todos os
pontos do espaço.
• O domínio de soluções é um
espaço aberto.
• Apenas uma solução (uma curva
característica).
Exemplos:
• Condução de calor T a 2T
em uma dimensão
t
x 2
• Difusão viscosa
u
2u
2
t
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Espaço
de
soluções
Condições
Iniciais
13. Equações hiperbólicas
Condições
de
contorno
• (B2 - 4AC) > 0 em todos os
pontos do espaço.
• Uma EDP hiperbólica tem duas
curvas características reais.
• Tradicionalmente resolvida pelo
método das características.
Exemplo:
• Equação de onda de segunda
ordem
2
2
f
2 f
a
2
t
x 2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Espaço
de
soluções
Condições
Iniciais
14. Exemplo 1
Potencial de
velocidade em
duas
dimensões
Classificar a EDP
2f 2f
(1 M 2 ) 2 2 0
x
y
Solução:
2f
2f
2f
f
f
A 2 B
C 2 D
E
Ff G 0
x
xy
y
x
y
A (1 M 2 ) B 0 C 1
B 2 4 AC 4(1 M 2 )
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
15. Interpretação física
Um corpo se movendo em um fluido.
M<1
B 2 4 AC 4(1 M 2 )
M=1
M>1
elíptica
parabólica
hiperbólica
subsônico
transsônico
supersônico
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
16. EDPs típicas em CFD
Equação de Laplace
Equação de Poisson
Condução de calor
Difusão viscosa
Equação de onda
Equação de Burgers
2f 2f
2 0
2
x
y
2f 2f
2 f ( x, y )
2
x
y
2T 2T
T
a 2 2
x
t
y
u
2u
2
t
y
2u
2u
a2 2
t 2
x
u
u
u
t
x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
17. SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA
ORDEM
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
18. Classificação de um sistema de
EDPs de primeira ordem
u
v
u
v
u
t a1 x a2 x a3 y a4 y 1 0
Considere o sistema
v b u b v b u b v 0
2
t 1 x 2 x 3 y 4 y
Chamando
u
v
a1 a2
[ A]
b1 b2
a3
[ B]
b3
Teremos
[ A]
[ B]
0
t
x
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
a4
b4
1
2
É bem mais
simples, mas as
variáveis são
matrizes e vetores
19. Interpretando
[ A]
[ B]
0
t
x
y
• Se [A] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é
hiperbólico em t e x.
• Se [A] tiver autovalores complexos, o sistema é
elíptico em t e x.
• Se [B] tiver autovalores reais e distintos, o sistema é
hiperbólico em t e y.
• Se [B] tiver autovalores complexos, o sistema é
elíptico em t e y.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
20. Sistema em regime
[ A]
[ B]
0
t
x
y
Chamando
P A
Q B
R
a1 a4
b1
b4
a3
a2
b3
b2
O sinal de H=R2-4PQ determinará a natureza do sistema:
H<0
H=0
H>0
elíptico
parabólico
hiperbólico
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
21. Exemplo 2
Classifique o sistema de EDPs
u v
x y 0
v u 0
x y
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma A q B q 0
x
onde
u
q
v
1 0
A
0 1
0 1
B
1 0
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
y
22. Exemplo 2
Reconhecendo que o sistema está e regime (d/dt=0)
Calcula-se
P 1
Q 1
H=R2-4PQ
R
1 1
0 0
0
1
1 1
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
0
H=-4
23. Exemplo 2b
Mesmo problema, com outra solução...
Solução:
Definimos
u v
x y 0
v u 0
x y
[T ] [ A]nx [ B]ny
1 0
0 1
[T ]
n x 1 0 n y
0 1
n y nx
nx 0 0
[T ]
n
n
0 nx y 0 y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
ny
nx
24. Exemplo 2b
nx
[T ]
n y
ny
nx
2
2
O determinante de [T] vale T nx n y
Desejamos que [T]=0, então
2
n n 0
2
x
2
y
ny
O que significa que
n
x
ny
1 0
n
x
é imaginário.
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
25. Exemplo 3
u v
x y 0
u
u p
u
v
0
y x
x
v
v p
u v
0
y y
x
Classifique o sistema de EDPs
Solução:
Reescrevemos o sistema na forma
q
q
A B
0
x
y
onde
u
q v
p
1 0 0
A u 0 1
0 u 0
0 1 0
B v 0 0
0 v 1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
26. Exemplo 3
Calculamos
[T ] [ A]nx [ B]ny
nx
[T ] unx
0
0 0
ny
nx vny 0
0 0 vny
ny
0
0
nx
unx vny v
0
0
unx
nx
[T ] unx vny
0
Assim,
T un
0
0
ny
T nx nx unx vny n y n y unx vny
2
2
vny nx n y
x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
27. Exemplo 3
Dividindo por
2
2
T unx vny nx ny 0
Queremos que
3
nx
2
ny
n y
1 v u 0
n 2 n
x
x
De onde obtemos duas condições:
ny
ny
u
nx
v
nx
O sistema é hiperbólico.
1
O sistema é elíptico.
O sistema é misto hiperbólico/elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
28. SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA
ORDEM
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
29. Sistemas de segunda ordem
Em muitas ocasiões as equações de Navier-Stokes
podem resultar em EDPs de segunda ordem:
• Termos viscosos da equação do momento
• Termo de condução de calor da equação de energia
O método mais fácil de classificação consiste em
reduzir a ordem das equações e trabalhar como se
fossem EDPs de primeira ordem.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
30. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Um fluido incompressível bidimensional em
regime:
u v
0
x y
u
u
p 1 2u 2u
2 2
u
v
x
y
x Re x
y
v
v
p 1 2 v 2 v
2 2
u v
x
y
y Re x
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
31. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
v
a
x
Chamando
v
b
y
u
c
y
u
v
b
x
y
Temos que
Temos ainda que
v 2 v b
y xy x
x
v v a
y x xy y
2
b a
0
x y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Da mesma maneira:
c b
0
x y
32. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
u
y
u v
x y
b a
x y
c a
x y
O novo sistema de EDPs fica:
Tem mais
equações, mas é de
primeira ordem
c
0
0
0
1 b c p
x y x ub vc
Re
1 a b p
x y y ua vb
Re
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
33. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Este sistema pode ser escrito na forma vetorial como
onde
u
v
a
Q
b
c
p
0
1
0
A
0
0
0
1
0
0
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
Re
1
0
0
Re
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Re
1
Re
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A
Q
Q
B
C
x
y
c
0
0
C
0
ub vc
ua vb
34. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Com este sistema, teremos
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
35. Classificação de um sistema de
EDPs de segunda ordem
Agora podemos calcular | T |:
1 2 2
2
T
n y nx n y
Re
2
0
2
2
nx n y 0
2
ny
1 0
n
x
ny
nx
1
O sistema é elíptico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
36. Exemplo 4
As equações que governam o movimento de um escoamento inviscido e
unidimensional são conhecidas como equações de Euler. Assumindo-se que o
fluido é um gas perfeito, o sistema de EDPs é
u
u
0
t
x
x
u
u 1 p
u
0
t
x x
p
p
u
u a 2
0
t
x
x
Classifique este sistema de EDPs.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
37. Exemplo 4
O sistema pode ser reescrito como
Q
Q
A
0
t
x
onde
Q u
p
u
A 0 u
0 a 2
0
1
u
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
38. Exemplo 4
Os autovalores deste sistema são obtidos de
(veja a aula 1b)
u
0
u
0
a 2
0
1
0
u
1
2
u u u ( a ) 0
u u 2 a 2 0
1 u
2 u a
u 1
3
O sistema é hiperbólico.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
40. Condições iniciais e de contorno
As condições inidiais e/ou de contorno permitem que as
soluções de EDPs se transformem em soluções únicas,
contrapondo-se a funções genéricas.
Uma condição inicial é aquela na qual a variável dependente tem
um determinado valor em algum estado inicial.
Uma condição de contorno é aquela na qual a variável
dependente ou sua derivada devem satisfazer em algum ponto
do domínio da EDP.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
41. Condições de contorno
Em inglês: boundary
conditions
Seja X(x) uma função no intervalo a x b.
As quatro condições de contorno possíveis são:
Dirichlet
X (a) 0
X (b) 0
Mista
Neumann
X (a) / x 0
X (b) / x 0
Robin (periódica)
X (a) / x 0 X (a) 0
X (b) 0
X (b) / x 0
X (a) X (b)
X (a) / x X (b) / x
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
42. Exercícios
• Problemas 1.13 do Hoffmann “Computational
Fluid Dynamics Vol.I”
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional