1. Curso- Engenharia Civil/Mecânica
Disciplina- Cálculo II – Prof. Olga
2º Semestre de 2014
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própria
função.
Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer saber
a posição desse corpo em um determinado tempo futuro.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ou
integração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x
Observamos também que F(x) = x2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x pois
F’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C em
que C é uma constante.
Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da forma
F(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
1
em que F’(x) = f(x)
 f (x)dx  integral indefinida de f(x)
f(x)  integrando
dx  símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
x 4
1)  x dx   C 4
4
( x C x
dx
d  )  1
= x3
3 pois 3
.4
4
4
d  
2)  x dx  x  C pois 3 2 3 (x3 C) 3 x2
dx
t 3 dt 1 t 2
C pois d 2 ) 3
3)        (
2
dt
1 t  C  t 
2
Regras de integração:
1) Regra da constante
 f (x)dx  F(x)  C
 kdx  kx  C ( k = constante )

2. 2
Exemplos :  2dx  2x  C ;   3 dx   3x C ;  dx  x  C
2) Regra da potência
C
x dx x
1

 1
n 
n
n


Exemplos:
x 2 1 x 3
x dx C  C
3 1
 
( n  -1 )
2 ; t dt t C   t  C



 2 1 3
1
   
2
 
3
2
3 1
3) Regra do logaritmo
Na regra da potência, se n = -1, temos  x dx 1 que não pode ser calculada como
1 1
 
x  + C ( o denominador se anula )
1 1
Temos então :
x  0
 x dx     1 1 ln
4) Regra da exponencial
dx x C
x
ekxdx  kx  1 , k  0
e C
k
Regras algébricas para integração:
1)  k. f (x)dx  k  f (x)dx
2) [ f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx
3) [ f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx
Exemplos :
1) (5x3  x2 1)dx  5x3dx   x2dx  1dx  5  x3dx   x2dx  1dx =

3. 3
3
x C  x  C  ( x  C )  5
x 4
 x  x C C  C  C C
5( 2 3
1 2 3
3
1
4
; 5
4 3
3
)
4
Verificação:
Podemos verificar as integrações indefinidas, derivando a expressão final para ver se
obtém o integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
No exemplo anterior:
5 3
x4  x  x  C = 4. 1 0 5 1
d )
(
dx
4 3
5 x3  3.1
x2    x3  x2 
3
4
Lista5
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) (4x  3)dx
2) (4x2  8x 1)dx
3) (9t 2  4t  3)dt
4) (2t 3  t 2  3t  7)dt
5) dz
 ( 1 
3 ) z 3 z
2 6) du
(3 u  1 )
u
7) 2v 6 v 4 3v 4 ) dv
5
1
 4
  
8) (3x 1)2dx
9)  x(2x  3) dx
10) dx
3
  
( x 2x 7 )
x
11) ( 3 e 5t  t ) dt 
12) e x x dx x
)
( 
2
2
  
( x 2x 1 ) 2
13) dx
x
 y3 ( 2y  1 )
14) dy
y
(x3  2 x2 ) ( 1 5 )
15) dx
x

4. 4
( 1 2   
2 3 )
16) dy
y y y
2
x x  2  3  2
17) dx
x
(2 eu  6  ln 2)
18) du
u
3 1
  dx x
x
19) ; 1
1


x
20)  x(2x 1)2dx
21) (5cos x  2senx)dx
22) ( t  cos t)dt
Tabela de integrais indefinidas Tabela de derivadas
d
1) 1dx   dx  x  C (x )  1
dx
1
  

x dx x
2) ( 1)
1


 C n
n
n
n

)
1
d x

n n
x
n
dx

(
1
3)  1 dx  ln x  C ; x  0
d (ln x
)  1 ; x  0
x dx
x
d ( )  cos
4) cos x dx  sen x  C sen x x
dx
d (cos )  
5)  sen x dx   cos x C x senx
dx
d ( ) sec2
6)  xdx  tgx  C sec2 tgx x
dx
d (cot )   sec2
7) cos ec2 xdx  cot gx  C gx co x
dx
d (sec )  sec .
8) secx tgxdx  sec x  C x x tgx
dx
d (cos )   sec .cot
9)  cos ecx .cot gxdx   cos ecx  C ecx co x gx
dx
d ( ) 
6) exdx  ex C ex ex
dx
d (1 ) 
ekxdx  kx  1 ekx ekx
7) e C
k
dx k

5. 2
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,
5
Problemas de valor inicial
1) Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) = 5 4  2  1  4
x x , e
x
que f( 1 ) =
5
9
2) Determine a função f tal que f’(x) = 5x3 -2x + 15, com f(0) = -1
3) Sabendo que u’(t) = 3 t 19t 3 .3 t 7 , e que u(1) = 1, determine a função u
4) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)
5) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x2 + 6x -2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)
6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t 3
qual será a população daqui a 8 meses?
2
. Ache a função
7) A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t 3
horária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)
= 1 + 4t + 3 t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceiro
minuto?
9) Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q2 – 60q + 400 reais por
unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir
as primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produzir as
primeiras 5 unidades?
10) Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e as
condições iniciais dadas, determine s(t)
a) a(t) = 2-6t ; v(0)= -5 e s(0) = 4
b) a(t) = 3 t2 ; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição ( Cálculo- Um Curso Moderno e Suas
Aplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar  f (x)dx
1) Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)
2) Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos que
envolvem u e du
3) Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
 f (x)dx   g(u)du
4) Calcule o valor desta integral
5) Substitua u por g(u)
Exemplo:
(3x  5)7dx

6. 6
u= 3x + 5
du dx =
3
dx
du
3
(3x  5)7dx =
u7 du =
3
1 u du 7 =
3
1 u C
3
8
8
u8 + C= x  C
=
24
(3 5)8

24
Calcule as seguintes integrais
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lista 6
Exercícios
1) Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)

7. 7
h) dx
i)
j)
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrando
é do tipo f (x) . g (x)
Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1) Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2) Se f (x) será derivada, derive
3) Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4) Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
ou
Exemplos: Calcule as integrais abaixo, utilizando a integração por partes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

8. 8
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
10)
11)
Lista 7
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) dx
 (x 5  1 
4) x
3
2) x dx
(1  )
x
3) dx
 (2x 3 
1 ) x
4
4) dx
2
 
( x 1)
x
, x>0
5) (35 x2  3)dx
6) (1 3 x  x)dx
7) (x3 x2 )dx 
8)  x (x2 1)dx
9)  x(x 1)2dx
10) (3  cos x)dx
11) (x2  senx)dx
12) e xdx  2
13) (3 e x )dx  
14) (sec x  tgx)2dx
15)  2x  7dx
16) (2x  6)5dx

9. 9
17) 8x(4x2  3)5dx
18) t(t 2 1)5 dt
3
19) x x 4 dx
 2 ( 3 1)
20) e xdx  1
21) dy
 2
y y
5
 1
4
x  1
22) dx
x
 3 x 
6
2
 
23) dx
x x
2 8 3
(ln )2
x 
24) dx
x
25) e x dx  5 2
Respostas
1) x 6
  4 x 
C
x
2
1
6 2
2
2) ln x + x3  C
3
x  1
 3
3) C
x
4
3
2
2
4) x  ln x C
2
15 5 7
5) x  3x  C
7
6) x - 2
2
x3  x
2
33 8
7) x  C
8
2 7 3
8) x  x  C
3
2
7
4 3 2
9) x  x  x  C
3 2
2
4
10) 3x + sen x + C
x 3
11)  cos x  C
3
1
12) e2x C
2

10. 10
ex 1 
13) 3x - C
14) 2 tgx + 2 secx –x + C
(2 x
7)3
15) 
C

3
(2 6)6
16) x  C

12
(4 2 3)6
17) x  C

6
( 2 1)6
18) t  C

12
7
4
( 3 1)
21
19) x  4  C
20) - e1x C
21) 2 ln y 5
1 C
5
22) x-1+ln x 1 +C
23) 3 2x 2
 8x  3 C
2
1
24) (ln x)3 C
3
1
25) e5x2 C
5
Lista 8- Integrais Trigonométricas
Calcule as seguintes integrais trigonométricas ( método da substituição)
1) cos 4xdx
2) 3sen4x dx
3) cos(4x  3)dx
4) dx
 cos
x x
5) 
cos35x sen5x dx 6)  x cos x3 dx
7)  v sen(v 2 )dv
8) cos3x 3 sen3x dx
9) (senx  cos x)2dx (sugestão: sen 2x = 2 senx cosx)
10)  senx(1 cos x)2dx

11. 11
senx  cos4
11) dx
x
 cos
t (1 )2
12) dt
sent
13) sec2 (3x  4)dx
14) sec2 3x tg3x dx 
15) dx
1
2
x  cos 2
16)  sen2 x dx ( sen
2 x 1 cos 2x
2

 )
17)  x dx cos2 (cos
2 x 1 cos 2x
2

 )
18) tgx dx
Respostas:
1) 1
sen4x C
4
3
2) - cos 4x  C
4
1
3) sen(4x  3)  C
4
4) 2 sen x +C
5) - 1 cos 4
5x C
20
2 sen x +C
6) 3
3
1 2
7) - cos(v )  C
2
4
8) 1 ( sen 3 x )
3
+ C
4
9) x - 1
cos 2x  C
2
1 + C
10) –cos x - cos 2 x - cos3 x
3
11) C
 3cos3
x
1
12)
1 + C
1 sent
1
13) tg(3x  4)  C
3

12. 12
1 2
14) sec 3x  C
6
1
15) tg 2x C
2
16) x  sen 2
x C
4
2
17) x  sen 2
x  C
4
2
18) ln sec x + C
Lista 9
Calcule as seguintes integrais:
1)  dx
7  5
x
xdx
4
x2
2)   7
3)  x cos 2xdx
4)  xe 3
xdx 5) 3
dx
e
e
x
x
  4
6) ln 5xdx
7)  x
sec2 (ln 4x)
dx; u = ln4x
8) x2 sen3xdx 
9)  xe5x2 dx
10) dx
 senx (2  cos x
)2
Respostas:
1) ln 7 5x
5
1  +C
2) 2ln(x 2 7) +C
3) xsen 2 x  1
cos 2x  C
4
1
2
1  1
+C
4) xe3x e3x
9
3
5) 6 ex  4 +C
6) x ln5x –x +C
7) tg(ln4x) +C

13. 13
8)  x x  xsen 3 x  2
cos3x  C
27
cos3 2
3
9
2
1
9) e x  C 5 2
10
1
10) C
x

2  cos