Este documento apresenta um novo método para resolver equações do quarto grau chamado Método Luderiano Irracional. Primeiro, converte a equação quartica em uma equação cúbica resolvente e resolve esta equação cúbica. Em seguida, usa as raízes da equação cúbica para calcular os raios das raízes da equação quartica original, chegando finalmente às raízes da equação quartica. Dois exemplos ilustram como aplicar o método.

1. Método Luderiano Irracional para Equação Quártica Completa
Neste documento, apresento uma solução inédita para as equações do 4o grau, bem mais simples
que o Método de Ferrari e, ainda, não exige a eliminação do termo x3
. Este método depende da
resolução da cúbica resolvente mas não envolve trigonometria, mesmo na extração da raiz cúbica
de número complexo.
As fórmulas luderianas trabalham com a equação quártica na forma:
x4
+ Ax3
+ Bx2
+ Cx + D = 0
Portanto, se a equação não estiver na forma acima, ou seja, se apresentar-se na forma ...
a4x4
+ a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 = 0
... então deve-se dividir todos os coeficientes por a4. Veja, abaixo.
1 =
a4
a4
A =
a3
a4
B =
a2
a4
C =
a1
a4
D =
a0
a4
Método Luderiano, propriamente dito
Partindo da equação na forma ...
x4
+ Ax3
+ Bx2
+ Cx + D = 0
Calcula-se, primeiramente, a Equação Cúbica Resolvente:
y3 − (2B)y2 + (B2 + AC − 4D)y + (C2 + A2D − ABC) = 0
A cúbica resolvente, há muitos anos, é conhecida pelos matemáticos. Sua descoberta é atribuída
ao italiano Joseph Louis Lagrange, que viveu no século XVIII.
Resolve-se a Equação Cúbica Resolvente pelo Método Luderiano Irracional para Equação Cúbica
Completa (vide slideshare)... Considerando, genericamente, que suas raízes são y1, y2 e y3 então
toma-se dentre estas uma raiz real que chamaremos, simplesmente, de y
1

2. Fórmulas Luderianas Irracionais para Equação Quártica
r1 =
A + A2
− 4y
4
r2 =
A − A2
− 4y
4
R1 =
C + 2(r1)3
+ 6(r1)2
(r2) − 2(r1)B
2r1 − 2r2
R2 =
C + 2(r2)3
+ 6(r2)2
(r1) − 2(r2)B
2r2 − 2r1
Portanto, as raízes da quártica são:
x1 = −r1 + R1
x2 = −r1 − R1
x3 = −r2 + R2
x4 = −r2 − R2
Se, e somente se, ao calcularmos os raios r1 e r2 concluirmos que r1 = r2, os quais para facilitar
passaremos a chamar simplesmente de r, então faz-se x = y − r e substiui-se na equação quártica
original para obtermos, assim, uma equação biquadrada:
x4
+ Ax3
+ Bx2
+ Cx + D = 0
(y − r)4
+ A (y − r)3
+ B (y − r)2
+ C (y − r) + D = 0
y4
+ (−4r + A)y3
+ (6r2
− 3Ar + B)y2
+ (−4r3
+ 3Ar2
− 2Br + C)y + (r4
− Ar3
+ Br2
− Cr + D) = 0
y4
+ (6r2
− 3Ar + B)y2
+ (r4
− Ar3
+ Br2
− Cr + D) = 0
Resolvendo esta biquadrada, chegamos facilmente nas raízes y1, y2, y3 e y4. A partir destas,
subtraindo r, chegamos nas raízes da equação quártica original. A saber,
x1 = y1 − r
x2 = y2 − r
x3 = y3 − r
x4 = y4 − r
2

3. Exemplos
1) Calcular as raízes da equação x4
− 4x3
+ 5x2
− 2x − 20 = 0
a) A = −4, B = 5, C = −2 e D = −20
b) Calcula-se, a cúbica resolvente ...
y3
− (2B)y2
+ (B2 + AC − 4D)y + (C2 + A2D − ABC) = 0
y3 − 10y2 + 113y − 356 = 0
c) Resolve-se a cúbica resolvente e toma-se a raiz real y=4 ...
d) Aplica-se na fórmula luderiana que calcula os raios das raízes ...
r1 =
A + A2
− 4y
4
r2 =
A − A2
− 4y
4
Onde encontramos r1 = −1 e r2 = −1
e) Como os raios são iguais, r = −1 então vamos transformar a quártica original em uma equação
biquadrada ...
y4
+ (6r2
− 3Ar + B)y2
+ (r4
− Ar3
+ Br2
− Cr + D) = 0
y4
+ (6(−1)2
− 3(−4)(−1) + 5)y2
+ ((−1)4
− (−4)(−1)3
+ 5(−1)2
− (−2)(−1) + (−20)) = 0
y4
− y2
− 20 = 0
y1 = 5
√
y2 = − 5
√
y3 = 2i
y4 = −2i
Como x = y − r então tem-se ...
x1 = 1 + 5
√
x2 = 1 − 5
√
x3 = 1 + 2i
x4 = 1 − 2i
3

4. 2) Calcular as raízes da equação x4
+ 2x3
− 44x2
− 36x + 308 = 0
a) A = 2, B = −44, C = −36 e D = 308
b) Calcula-se, a cúbica resolvente ...
y3
− (2B)y2
+ (B2 + AC − 4D)y + (C2 + A2D − ABC) = 0
y3
+ 88y2
+ 632y − 640 = 0
c) Resolve-se a cúbica resolvente e toma-se a raiz real y=-80 ...
d) Aplica-se na fórmula luderiana que calcula os raios das raízes ...
r1 =
A + A2
− 4y
4
r2 =
A − A2
− 4y
4
Onde encontramos r1 = 5 e r2 = −4
e) Como os raios são diferentes então aplica-se as demais fórmulas luderianas ...
R1 =
C + 2(r1)3
+ 6(r1)2
(r2) − 2(r1)B
2r1 − 2r2
R1 =
−36 + 2 (5)3
+ 6(5)2
(−4) − 2(5)(−44)
18
R1 =
−36 + 250 − 600 + 440
18
R1 =
54
18
R1 = 3
√
R2 =
C + 2(r2)3
+ 6(r2)2
(r1) − 2(r2)B
2r2 − 2r1
R2 =
−36 + 2(−4)3
+ 6(−4)2
(5) − 2(−4)(−44)
−18
R2 =
−36 − 128 + 480 − 352
−18
R2 =
−36
−18
R2 = 2
√
4

5. Finalmente, as raízes da quártica são dadas pelas equações abaixo.
x1 = −r1 + R1
x2 = −r1 − R1
x3 = −r2 + R2
x4 = −r2 − R2
x1 = −5 + 3
√
x2 = −5 − 3
√
x3 = 4 + 2
√
x4 = 4 − 2
√
O Método Luderiano Irracional para Equação Quártica Completa, apresen-
tado neste documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil),
Maio/2016.
5