O documento discute propriedades de vetores no espaço euclidiano, incluindo vetor nulo, vetores iguais, opostos, operações como adição e subtração, e condições para que vetores sejam paralelos ou colineares.

1. . VETOR NULO
Vetor nulo é o vetorrepresentado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 .
No 2
 , 0 = (0,0) e no 3
 , 0 = (0,0,0).
VETORES IGUAIS
Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
No 2
 , se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v  x1 = x2 e y1 = y2 .
No 3
 , se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v  x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 .
E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais.
a) u =( x2 , -1) e v = ( 1, y3 )
b) u = ( x –2 , 3, 5) e v = (2x + 1, y +5, 5)
VETORES OPOSTOS
Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.
Indica-se o vetor oposto de v por -v.
No 2
 , se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no 3
 , se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z).
OPERAÇÕES COM VETORES
1. ADIÇÃO
u v
Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal
B D B v C
u u + v u
u + v
A v C A
No
2
 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ).

2. No 3
 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 , z1 + z2)
PROPRIEDADES:
a) Comutativa : u + v = v + u
b) Associativa : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
c) Elemento neutro : u + 0 = u
d) Elementos Oposto : u + (- u ) = 0
2. SUBTRAÇÃO
A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u - v = u + (- v ).
No 2
 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 ,y1 – y2 ).
No 3
 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2)
E6) Determine o vetor x nas figuras abaixo :
a) b) x
u x
u
v
v
w
E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ).
a)Determine as componentes dos vetores AB

, AC

e BC

.
b) Determine o vetor v , tal que v =

 BCAB .
c)Determine o ponto P, tal que

 PBAP .
3. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .
- Se  = 0 ou v = 0 , então v = 0
- Se   0 e v  0 , então v é tal que
a) v e v tem a mesma direção

3. b) v e v tem o mesmo sentido se  >0 e sentido contrário se  <0
c) o comprimento de  v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de  .|
Exemplo:
v 2v -3v
No 2
 , se u(x1,y1) e  então α u = (α x1 , α y1 ).
No 3
 , se u(x1,y1,z1) e  então α u = (α x1 , α y1 , α z1).
PROPRIEDADES:
a) ( u + v ) = u + v
b) ( +  ) u = u + u.
c) 1. v = v
d) ( v. ) = v)( =  ( v )
E8) Dados os vetores abaixo, obtenha :
u v w
a) u + v + w b) u - v c) u - w + v d) 2u - 2 w e) 2v - w - 2u
E9) Dados os vetores u =(1,-2,3) , v =(4,-1,-5) e w =(0,2,1), calcular:
a) u + v b) u - v c) 2u + 3v - w
d) t, tal que 3 u + v = 5 w - 4t e) x , tal que w - v = u + 2x

4. VETORES COLINEARES
Vetores colineares são vetores que possuemrepresentantes numa mesma reta.
E10) Quais vetores abaixo são colineares?
y
v1 v2 v3
0 v4 x
v5
Importante:
As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado.
2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES
Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número  , tal que u = v .
No 2
 , se u = ( x1 , y1 ) e v = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) e portanto x1 =  x2 e y1 =
 y2 .
Logo
2
1
2
1
y
y
x
x
α  , isto é u // v 
2
1
2
1
y
y
x
x

No
3
 , u // v 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x

Observações:
a) O vetornulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção).
b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor
paralelo a v

5. também é nula.
c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.
E11) Encontre o valor de x para que os vetores v e u ,sejam paralelos :
a) u = ( x - 2 , 1,0 ), v = ( 1 , 3,0 ) b) u = ( 0 , 5, 10 ), v = ( x , 2, 4 ) c) u = ( 5 ,0 ), v = ( x
, 2 )
E12) Determinar m e n de modo que os vetores u =(1,-2,m) e v =(4,n,-5) sejam paralelos.
E13) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares.
E14) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?
. RESPOSTAS
E1) (-3,-1); (0,0); (1,-2); (2,1); (3,-1)
E2) (-2,1); (1,2); (2,0); (3,3); (4,1)
E3) (1,2)
E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2)
E5) a) x = 1 e y = –1 b) x = –3 e y = –2
E6) a) x = u – v b) x = w – u – v
E7) a) AB

= (0,-2,2) , AC

= (1,3,-2) , BC

= (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1)
E9) a) (5,-3,-2) b) (-3,-1,8) c) (14,-9,-10) d) )
4
1
,
4
17
,
4
7
( e) )
2
3
,
2
5
,
2
5
(
E10) TODOS
E11) a) x =
3
7
b) x = 0 c) NÃO EXISTE
E12) n = -8 e m =
4
5

E13) a =
2
1
e b =
2
5

E14) SIM