1. O documento discute conceitos de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas.
2. Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram V.
3. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.
Aula 12: Barreira de potencial: Exemples e aplicaçõesAdriano Silva
Discutir alguns exemplos e aplicações do efeito-túnel que podem ser modelados pela barreira de potencial, tais como o microscópio de tunelamento, a emissão de partículas alfa, a fusão nuclear e a emissão de elétrons por metais frios.
O documento explica os conceitos básicos de coordenadas cartesianas, incluindo eixos x e y, pares ordenados (x,y), quadrantes do plano cartesiano, distância entre pontos e figuras geométricas como retângulos, quadrados e triângulos.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento descreve o produto misto de três vetores, que representa o volume de um paralelepípedo. É definido como o produto escalar do produto vetorial dos primeiros dois vetores pelo terceiro vetor. O produto misto é nulo se um vetor for nulo, dois vetores forem paralelos ou os três vetores forem coplanares. Exemplos e propriedades do produto misto são fornecidos.
O documento explica como calcular o ponto médio de um segmento de reta, que é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. O ponto médio tem coordenadas x e y iguais à média aritmética das coordenadas x e y dos pontos que definem o segmento. Exemplos ilustram como calcular as coordenadas do ponto médio para diferentes segmentos.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Aula 12: Barreira de potencial: Exemples e aplicaçõesAdriano Silva
Discutir alguns exemplos e aplicações do efeito-túnel que podem ser modelados pela barreira de potencial, tais como o microscópio de tunelamento, a emissão de partículas alfa, a fusão nuclear e a emissão de elétrons por metais frios.
O documento explica os conceitos básicos de coordenadas cartesianas, incluindo eixos x e y, pares ordenados (x,y), quadrantes do plano cartesiano, distância entre pontos e figuras geométricas como retângulos, quadrados e triângulos.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento descreve o produto misto de três vetores, que representa o volume de um paralelepípedo. É definido como o produto escalar do produto vetorial dos primeiros dois vetores pelo terceiro vetor. O produto misto é nulo se um vetor for nulo, dois vetores forem paralelos ou os três vetores forem coplanares. Exemplos e propriedades do produto misto são fornecidos.
O documento explica como calcular o ponto médio de um segmento de reta, que é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. O ponto médio tem coordenadas x e y iguais à média aritmética das coordenadas x e y dos pontos que definem o segmento. Exemplos ilustram como calcular as coordenadas do ponto médio para diferentes segmentos.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
1) O documento discute propriedades de potenciação, radiciação e fatoração, incluindo expoentes inteiros e fracionários.
2) A seção de potenciação explica propriedades como produto, quociente e potência de potência.
3) A radiciação é a operação inversa da potenciação e lida com expoentes fracionários.
4) A fatoração ensina como decompor expressões algébricas em produtos de fatores, incluindo fator comum, agrupamento e diferença de quadrados.
Este documento apresenta uma série de exercícios relacionados aos tópicos de mecânica quântica estudados nas aulas anteriores, como barreiras de potencial, poços de potencial finitos e infinitos e oscilador harmônico. As questões abordam cálculos de probabilidade de transmissão através de barreiras, estimativas de energia de estados ligados em poços e cálculos de valores esperados para diferentes estados quânticos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada exercício como forma de
Este documento fornece dois exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas, incluindo situações em que as curvas interceptam os eixos de integração. A primeira questão calcula a área entre y = -x e y = 2 - x deslocando as funções, enquanto a segunda divide a área em duas partes acima e abaixo do eixo x.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
Função logarítmica como inversa da exponencialPaulo Mutolo
A função logarítmica é a função inversa da exponencial, de modo que loga(x) = y se e somente se a^y = x. A função logarítmica tem como base a e mapeia valores positivos de x para valores reais de y. Sua curva é simétrica à da função exponencial em relação à reta y = x, pois ambas são bijetoras e possuem funções inversas obtidas trocando-se domínio e contradomínio.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento discute funções quadráticas e como elas podem ser usadas para modelar o movimento de uma bola chutada por um goleiro. A função h = 20t - 5t2 é usada para descrever a altura da bola em relação ao tempo. O documento também define funções quadráticas, discute suas propriedades como concavidade e vértice, e mostra como construir gráficos de funções quadráticas.
O documento descreve um experimento para verificar as leis do pêndulo e determinar a aceleração da gravidade local. Ele inclui os objetivos, materiais, teoria, procedimento, gráficos, questões e conclusão do experimento.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento explica a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de obter um certo número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Ele fornece exemplos de como calcular essas probabilidades para situações como lançar uma moeda ou jogos de futebol.
O documento resume os principais conceitos e métodos para resolver equações do segundo grau, incluindo tipos de equações, estudo do delta, raízes, soma e produto das raízes, máximos e mínimos, equações disfarçadas e exercícios de fixação.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...danielceh
O documento descreve a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo da linha elástica de vigas isostáticas. Apresenta conceitos como a lei de Hooke, diagrama tensão-deformação e momento de inércia. Explica o processo de integração direta da equação diferencial da linha elástica e aplica o cálculo para determinar a linha elástica de diferentes tipos de vigas isostáticas, incluindo uma tabela com os resultados.
O documento discute derivadas parciais de funções de múltiplas variáveis. Explica que uma derivada parcial é obtida fixando todas as variáveis independentes, exceto uma, e derivando em relação a essa variável. Fornece definições formais de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e discute suas notações e propriedades.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
Material de apoio sobre funções, composto de resumo teórico, exercícios e gabarito dos exercícios. Os temas abordados na aula 1 são: noção intuitiva de função, representação de funções, interpretação de função como uma máquina. Esse material de apoio acompanha videoaula FUNÇÕES – AULA 1 que pode ser acessado em: www.alexmayer.com.br
Este documento apresenta fórmulas para calcular áreas de diferentes figuras geométricas planas, incluindo retângulos, quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos, trapézios, triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Fornece explicações visuais simples para derivar cada fórmula geometricamente. É uma apresentação de um professor de matemática sobre cálculo de áreas para os alunos.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
1) O documento discute propriedades de potenciação, radiciação e fatoração, incluindo expoentes inteiros e fracionários.
2) A seção de potenciação explica propriedades como produto, quociente e potência de potência.
3) A radiciação é a operação inversa da potenciação e lida com expoentes fracionários.
4) A fatoração ensina como decompor expressões algébricas em produtos de fatores, incluindo fator comum, agrupamento e diferença de quadrados.
Este documento apresenta uma série de exercícios relacionados aos tópicos de mecânica quântica estudados nas aulas anteriores, como barreiras de potencial, poços de potencial finitos e infinitos e oscilador harmônico. As questões abordam cálculos de probabilidade de transmissão através de barreiras, estimativas de energia de estados ligados em poços e cálculos de valores esperados para diferentes estados quânticos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada exercício como forma de
Este documento fornece dois exemplos resolvidos de cálculo de área entre curvas, incluindo situações em que as curvas interceptam os eixos de integração. A primeira questão calcula a área entre y = -x e y = 2 - x deslocando as funções, enquanto a segunda divide a área em duas partes acima e abaixo do eixo x.
O documento discute os conceitos fundamentais de radiciação, incluindo:
1) A radiciação é a operação inversa da potenciação e envolve a extração da raiz de um número.
2) Um radical é composto pelo radicando, índice e raiz.
3) As propriedades da radiciação incluem operações com radicais como adição, subtração, multiplicação e divisão.
Função logarítmica como inversa da exponencialPaulo Mutolo
A função logarítmica é a função inversa da exponencial, de modo que loga(x) = y se e somente se a^y = x. A função logarítmica tem como base a e mapeia valores positivos de x para valores reais de y. Sua curva é simétrica à da função exponencial em relação à reta y = x, pois ambas são bijetoras e possuem funções inversas obtidas trocando-se domínio e contradomínio.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento discute funções quadráticas e como elas podem ser usadas para modelar o movimento de uma bola chutada por um goleiro. A função h = 20t - 5t2 é usada para descrever a altura da bola em relação ao tempo. O documento também define funções quadráticas, discute suas propriedades como concavidade e vértice, e mostra como construir gráficos de funções quadráticas.
O documento descreve um experimento para verificar as leis do pêndulo e determinar a aceleração da gravidade local. Ele inclui os objetivos, materiais, teoria, procedimento, gráficos, questões e conclusão do experimento.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento explica a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de obter um certo número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Ele fornece exemplos de como calcular essas probabilidades para situações como lançar uma moeda ou jogos de futebol.
O documento resume os principais conceitos e métodos para resolver equações do segundo grau, incluindo tipos de equações, estudo do delta, raízes, soma e produto das raízes, máximos e mínimos, equações disfarçadas e exercícios de fixação.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de ...danielceh
O documento descreve a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo da linha elástica de vigas isostáticas. Apresenta conceitos como a lei de Hooke, diagrama tensão-deformação e momento de inércia. Explica o processo de integração direta da equação diferencial da linha elástica e aplica o cálculo para determinar a linha elástica de diferentes tipos de vigas isostáticas, incluindo uma tabela com os resultados.
O documento discute derivadas parciais de funções de múltiplas variáveis. Explica que uma derivada parcial é obtida fixando todas as variáveis independentes, exceto uma, e derivando em relação a essa variável. Fornece definições formais de derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e discute suas notações e propriedades.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
Material de apoio sobre funções, composto de resumo teórico, exercícios e gabarito dos exercícios. Os temas abordados na aula 1 são: noção intuitiva de função, representação de funções, interpretação de função como uma máquina. Esse material de apoio acompanha videoaula FUNÇÕES – AULA 1 que pode ser acessado em: www.alexmayer.com.br
Este documento apresenta fórmulas para calcular áreas de diferentes figuras geométricas planas, incluindo retângulos, quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos, trapézios, triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Fornece explicações visuais simples para derivar cada fórmula geometricamente. É uma apresentação de um professor de matemática sobre cálculo de áreas para os alunos.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento discute representações matriciais de transformações lineares. Define-se a matriz de uma transformação linear como sendo formada pelas coordenadas dos vetores da imagem de uma base em relação a outra base. Mostra-se que esta matriz representa completamente a transformação e que propriedades algébricas desta são refletidas na matriz, como inversibilidade. Exemplos ilustram os conceitos.
1. O documento apresenta 20 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo retas, planos e suas equações vetoriais e paramétricas.
2. As questões abordam determinar equações de retas e planos passando por pontos dados e relacionados a outras retas e planos, além de verificar se pontos pertencem ou são transversais.
3. As respostas fornecem detalhadamente os cálculos e raciocínios para chegar às equações solicitadas.
[1] A combinação linear é uma soma ponderada de vetores, onde os pesos são escalares. Um vetor é combinação linear de outros se puder ser escrito dessa forma. [2] O subespaço gerado por um conjunto de vetores S é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de S. [3] Vetores são linearmente independentes se a única solução para sua combinação linear ser nula é quando todos os escalares são nulos.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo:
1) A definição de corpo, que é um conjunto com operações de adição e multiplicação que satisfazem certas propriedades. Exemplos de corpos incluem os números complexos e reais.
2) A definição de espaço vetorial, que é um conjunto com operações de adição vetorial e produto escalar satisfazendo propriedades específicas. Exemplos incluem Rn.
3) A definição de subespaço vetorial, que é um subconjunto
1) O documento descreve espaços vetoriais reais e alguns de seus conceitos fundamentais, como vetores, escalares, soma e multiplicação por escalar.
2) É apresentada a definição formal de espaço vetorial real e suas propriedades. Exemplos de espaços vetoriais reais incluem triplas ordenadas de números reais e polinômios.
3) Conceitos como subespaço, combinação linear e teoremas relacionados a espaços vetoriais são definidos.
O documento apresenta os conceitos de produto escalar entre vetores no espaço R3. São definidos o produto escalar, suas propriedades e expressão cartesiana. Também são apresentadas as interpretações geométricas do módulo do produto escalar como a projeção de um vetor na direção de outro e a determinação do ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. Exemplos ilustram o cálculo do produto escalar e a determinação de ângulos e projeções entre vetores.
O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a produto escalar, módulo, ângulo e ortogonalidade de vetores no espaço vetorial Rn. Inclui exemplos numéricos de cálculo de produto escalar, módulo, ângulo entre vetores, projeção de vetor e verificação de ortogonalidade.
O documento discute combinações lineares e subespaços gerados. Explica que uma combinação linear é uma expressão da forma a1u1 + a2u2 + ... + anun, onde os ai são escalares e os ui são vetores. Também define dependência e independência linear de vetores e apresenta exemplos de bases e dimensões de espaços vetoriais.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento discute propriedades de vetores no espaço euclidiano, incluindo vetor nulo, vetores iguais, opostos, operações como adição e subtração, e condições para que vetores sejam paralelos ou colineares.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
1) O documento apresenta uma equação cartesiana de um plano P e pede para determinar uma equação vetorial desse plano. Também pede para determinar o espaço gerado por três vetores de R3 e recordar o teorema da invertibilidade de uma matriz.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
1) O documento apresenta exercícios sobre matrizes e sistemas lineares. Inclui questões sobre operações com matrizes como soma, multiplicação e potenciação, sistemas lineares e suas soluções, e cálculo de determinantes.
2) São abordados conceitos como matriz na forma escalonada, conjunto de geradores de um sistema linear, solução particular e solução do sistema homogêneo associado.
3) São propostos exercícios para verificar propriedades de matrizes e sistemas lineares, encontrar suas soluções, e calcular determinantes.
Este documento apresenta três frases:
1) Define matriz mudança de base como representando as coordenadas de vetores de uma base em relação a outra.
2) Explica que a matriz mudança de base relaciona as coordenadas dos vetores de uma base quando escritos como combinação linear dos vetores da outra base.
3) Apresenta três teoremas sobre propriedades das matrizes mudança de base e exemplos ilustrando seu cálculo e aplicação.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
1. 34
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 4
BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS
1 BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito
B ⊂ V satisfazendo:
a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.
b) B é LI.
Exemplo (1): Mostre que B = {(1,2,3), (0,1,2), (1,−1,2)} é base do ℜ3.
Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve
3
como combinação linear de B. Seja v = ( x , y, z ) ∈ ℜ . Então, existem escalares a, b e
c ∈ℜ tais que:
x =a+c
v = ( x , y, z) = a (1,2,3) + b(0,1,2) + c(1,−1,2) ⇒ y = 2a + b − c . Resolvendo
z = 3a + 2b + 2c
4x + 2y − z
a=
5
− 7 x − y + 3z
o sistema teremos: b =
, mostrando que o sistema tem solução. Logo,
5
c = x − 2y + z
5
B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3, se três vetores não são
1
coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0
2 3
1 2 ≠ 0.
1 −1 2
Portanto B é base do ℜ3.
O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais
espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a
mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se
2. 35
conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas
do principais espaços vetoriais. São elas:
•
ℜ
⇒ {1}
•
ℜ2
⇒ {(1,0), (0,1)}
•
ℜ3
⇒ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
•
ℜn
⇒ {(1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1)}
•
M 2 x 2 (ℜ)
⇒
•
Pn (ℜ)
⇒ 1, t , t ,..., t
1 0 0 1 0 0 0 0
,
,
,
0 0 0 0 1 0 0 1
{
2
n
}
Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de
suas bases têm o mesmo número de vetores.
► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜn
Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos
como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As
linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.
Exemplo (2): Seja W um subespaço do
ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores
[(2,1,1,0), (1,0,1,2), (0,−1,1,4), (3,0,3,6)] . Determine uma base para W.
Solução: Vamos aplicar o processo acima:
1 0
1
2
0 −1
3 0
1 2
1 0 − 2 L1 + L 2
→
1 4 −3L1 + L 4
3 6
1
2
1 0
0
1 − 1 − 4 1L 2 + L3
→
0 −1 1
4
0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
2
1 −1 − 4
0 0
0
0 0
0
Retiradas as linhas nulas, temos que B = {(1,0,1,2), (0,1,−1,−4)} é base de W.
Definição: Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } ⊂ V é dito LI-Maximal se:
a) {v1 , v 2 ,..., v n } é LI
b) {v1 , v 2 ,..., v n , w} é LD, ∀w ∈ V
.
3. 36
Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } é base de V
se for LI-Maximal.
2 DIMENSÃO
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,
denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.
OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o
espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos
estudos.
Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:
•
dim(ℜ) = 1; dim(ℜ 2 ) = 2; dim(ℜ) 3 = 3;..., dim(ℜ n ) = n
•
dim( M 2 x 2 ) = 4 = 2 x 2
•
dim( M mxn ) = m ⋅ n
•
dim( Pn ) = n + 1
•
dim({0}) = 0
Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos
completar um conjunto LI de maneira a obter uma base.
Proposição (2): Seja W ⊆ V um subespaço de V. Se dim( W ) = dim(V ) então W = V .
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases. Então, todo
elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores
da base B.
Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:
dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) .
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que dim(V ) = n . Então:
a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.
4. 37
b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V
4
Exemplo (3): Seja W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ / x − 2 y + t = 0} . Determine a dimensão de W.
Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W
temos que: x − 2 y + t = 0 ⇒ x = 2 y − t . Então todo vetor de W é da forma
(2 y − t , y, z, t ), ∀y, z, t ∈ ℜ . Determinando um sistema de geradores para W:
(2 y − t , y, z, t ) = y(2,1,0,0) + z(0,0,1,0) + t (−1,0,0,1) . O conjunto formado pelos
vetores S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), ( −1,0,0,1)} é um sistema de geradores de W.
Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:
− 1 0 0 1 2 L + L − 1 0 0 1
1 2
2 1 0 0 → 0 1 0 2 . A matriz está escalonada e não apresenta
0 0 1 0
0 0 1 0
nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é
base de W. Portanto, dim( W ) = 3 .
OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,
com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é
S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), (−1,0,0,1)} ,
cujos
vetores
têm
4
2
coordenadas,
mas
3
dim( W ) = 3 , porque na base S temos 3 vetores.
2
3
2
3
Exemplo (4): Seja U = [1 − 2 t , 2 t + t − t ,1 + t − t , 2 − 6t − t + t ] . Qual é a dimensão
de U?
Solução: O enunciado diz que o subespaço U ⊂ P3 (ℜ) é gerado pelos vetores dados. Para
determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com
os coeficientes dos polinômios dados.
0
0
0
0
0
1 −2
1 −2
1 −2 0
2
1 − 1 −1L1 + L3 0
2
1 − 1 −1L 2 + L3 0
2 1 − 1
0
Então:
→
→
1
0
1 − 1 − 2 L1 + L 4 0
2
1 − 1 1L 2 + L 4 0
0 0
0
2 − 6 − 1 1
0 − 2 −1
0
1
0 0
0
Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,
B = {1 − 2 t , 2 + t 2 − t 3 } é base de U. Portanto, dim( U) = 2 .
5. 38
3
Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde U = {( x , y, z) ∈ ℜ / x − 2 y + z = 0} e
W = {( x , y, z) ∈ ℜ 3 / 3x + 2 y + z = 0} . Determine uma base e a dimensão para
U + W e U ∩ W . O ℜ3 = U ⊕ W ?
Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:
U = {( 2 y − z, y, z), ∀y, z ∈ ℜ}
⇒
(2 y − z, y, z) = y(2,1,0) + z(−1,0,1)
⇒
B U = {(2,1,0), (−1,0,1)} é base de U ⇒ dim( U) = 2
W = {( x , y,−3x − 2 y), ∀x , y ∈ ℜ} ⇒ ( x , y,−3x − 2 y) = x (1,0,−3) + y(0,1,−2)
⇒ B W = {(1,0,−3), (0,1,−2)} é base de W ⇒ dim( W ) = 2
a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a
união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.
Então, seja S = B U ∪ B W = {( 2,1,0), ( −1,0,1), (1,0,−3), (0,1,−2)} o sistema de
geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:
1
0
−1
2
− 3
1
1 − 2 1L1 + L3 0
→
0
1 − 2 L1 + L 4 0
0
1
0
0
− 3
1
1 − 2 −1L2 + L 4 0
→
0 − 2
0
0
1
6
0
− 3
1
1 − 2 4 L3 + L 4 0
→
0 − 2
0
0
0
8
0
− 3
1 − 2
.
0 − 2
0
0
0
B U + W = {(1,0,−3), (0,1,−2), (0,0,−2)} é base de U+W ⇒ dim( U + W ) = 3 .
b) Pelo Teorema (1):
dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) ⇒
3 = 2 + 2 − dim( U ∩ W ) ⇒ dim( U ∩ W ) = 1 . Portanto, sua base tem que conter
apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na
interseção, fazemos:
2a − b = α
( x , y, z) = a (2,1,0) + b(−1,0,1) = α (1,0,−3) + β(0,1,−2) ⇒
a =β ⇒
b = −3α − 2β
substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: b = −3( 2a − b) − 2a ⇒ b = 4a .
Então: ( x , y, z ) = a ( 2,1,0) + 4a ( −1,0,1) = a ( −2,1,4) ⇒ B U ∩ W = {( −2,1,4)} é
base de U ∩ W .
c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque dim( U ∩ W ) = 1 ≠ 0 ⇒
U ∩ W ≠ {0}
6. 39
Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear
x − y − z − t = 0
L : 2x + y + t = 0
z−t =0
Solução:
Como
o
sistema
L
é
SPI,
ele
possui
infinitas
soluções
do
tipo
S = {( x , y, z, t ), ∀x , y, z, t ∈ ℜ} . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.
Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:
S = {( x ,−5x ,3x ,3x ), ∀x ∈ ℜ} . Então: B = {(1,−5,3,3)} é base de S ⇒ dim(S) = 1 .
3 COORDENADAS DE UM VETOR
A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é
aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer
B = {v1 , v 2 ,..., v n } , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por
diante até o último que sempre será vn.
Definição: Sejam V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases ordenadas.
Qualquer vetor v ∈ V se escreve, de maneira única, como combinação linear da base
B. Existem escalares a 1 , a 2 ,..., a n ∈ K , tais que v = a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n .
Assim, os escalares a 1 , a 2 ,..., a n são chamados de coordenadas do vetor v em relação
a1
a2
a base B, denotado por: [ v] B =
...
a
n
Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor v = ( −1,5,−8) em relação:
a) Base canônica
b) B = {(1,1,0), ( 2,01), ( 2,−1,1)}
Solução:
a) A base canônica do ℜ3 é C = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} . Então:
7. 40
a = −1
− 1
v = (−1,5,−8) = a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) ⇒ b = 5 ⇒ [ v]C = 5
− 8
c = −8
b) Escrevendo v como combinação da base B teremos:
a + 2b + 2c = −1
15
v = (−1,5,−8) = a (1,1,0) + b(2,0,1) + c(2,−1,1) ⇒
a − c = 5 ⇒ [ v]B = − 18
10
b + c = −8
OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base
canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as
coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.
Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor p( t ) = 2 + 4 t + t
2
em relação a base
B = {−2,1 − t ,1 + 2 t − 3t 2 }
Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:
p( t ) = 2 + 4 t + t 2 = a (−2) + b(1 − t ) + c(1 + 2 t − 3t 2 ) ⇒
2 + 4 t + t 2 = (−2a + b + c) + (−b + 2c) t + (−3c) t 2
− 7
2
[p( t )]B = − 14
3
− 1
3
Exercícios Propostos
⇒
2 = −2a + b + c
4 = − b + 2c
1 = −3c
⇒
8. 41
2
3
1) Seja W = {a o + a 1 t + a 2 t + a 3 t ∈ P3 (ℜ) / a o = 2a 2 − 5a 3 e a 1 = a 2 − 4a 3 } . Determine uma base e a dimensão de W.
Resp: B = {2 + t + t , − 5 − 4 t + t } ⇒ dim( W ) = 2
2
3
2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:
W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / x − 2 y = 0 e z = −3t}
U = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / 2 x − y + 2z − t = 0}
Resp: B W + U = {(1,2,0,0), (0,−1,0,1), (0,0,−3,1), (0,0,0,−3)} ⇒ dim( W + U) = 4
14 7
B W ∩ U = , ,−3,1 ⇒ dim( W ∩ U) = 1
3 3
a b
∈ M 2 x 2 (ℜ) / a = 2b e d = −c . Determine uma base e a dimensão de
c d
3) Seja W =
W e estenda a base de W para obter uma base de M 2 x 2 (ℜ) .
0
2 1 0
2 1 0 0 1 0 0 0
,
e B M 2 x 2 =
0 0 , 1 − 1, 0 0 , 0 1
0 0 1 − 1
Resp: B W =
x + y + 2z + 2 t
− 3x + 3y − z + t
4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema
− 2 x + 4 y + z + 3 t
6 y + 5z + 7 t
=0
=0
=0
=0
Resp: B = {( −7,−5,6,0), ( −5,−7,0,6)} e dim(S) = 2
3
5) Mostre que o ℜ é soma direta do ( π) : x − 2 y + 5z = 0 com a reta ( r ) :
x
y
=
= z.
2 −1