1) O documento discute decomposição de vetores no plano e no espaço em componentes de bases de vetores. 2) É mostrado como qualquer vetor no plano ou espaço pode ser expresso como combinação linear de vetores de uma base. 3) As operações com vetores como soma, subtração e escalar são definidas para o plano e espaço.

1. VETORES NO ² E NO ³
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga

2. 2.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO
PLANO
Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, qualquer
vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto
segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste
em determinar dois vetores cujas direções sejam as
de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras,
iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que:
v=a1v1+a2v2
Exemplos:

3. Sempre que v estiver representado por:
Dizemos que v é combinação linear de v1 e v2 e que o
par de vetores v1 e v2 é a base no plano. Os números
a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas
de v em relação à base  v1 , v2 .
v=a1v1+a2v2
conjunto ordenado

4. Na prática as bases mais utilizadas são as
ortonormais. Uma base  e1 , e2  é dita ortonormal se
os vetores forem ortonormais e unitários, isto é,
e1  e2 e | e1 |= | e2 |=1.

5. v=3e1+2e2
Projeções ortonormais de v

6. {i,j} Base canônica Usaremos somente esta base
Sempre ortogonal, então chamaremos de
projeção.

7. 2.2 EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM
VETOR
ABSCISSA ORDENADA
Fixada a base canônica, a cada vetor pode-se associar um
par ordenado(x,y) de números reais que são
componentes na base dada.
Defini-se então:
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números
reais e se representa por v=(x,y) que é a expressão
analítica de v.
v=3i-5j
v=-i+j
v=3j
v=-10i
i=(1,0)
j=(0,1)
0=(0,0)

8. 2.3 IGUALDADE E OPERAÇÕES
Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2, y2) são iguais, se, e
somente se, x1=x2 ey1=y2, e escreve-se u=v.
Exemplo: Os vetores são iguais.
2.3.1 IGUALDADE
2.3.2 OPERAÇÕES
Sejam os mesmos vetores u e v e a∈ℝ. Defini-se:
a) u+v=(x1+x2,y1+y2)
b)au=(a x1,ay1)
Exemplo:
(3,5) (3,5)
u e v
 

9. As definições acima e as operações algébricas dos
números reais permitem demonstrar as propriedades
estudadas anteriormente em operações com vetores.
a) para quaisquer vetores u, v e w, tem-se:
u+v=v+u
(u+v)+w=u+(v+w)
u+0=u
u+(-u)=0
b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b,
tem-se:
a(bv)=(ab)v
(a+b)u=au+bu
a(u+v)=au+av
1v=v

10. 2.4 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Inúmeras vezes um vetor é representado por um
segmento orientado que não parte da origem do
sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto
A(x1,y1) e a extremidade em B(x2, y2).
0A= (x1,y1) 0B= (x2, y2)
0A+AB=0B
AB=0B-0A
AB= (x2, y2)-(x1,y1)
AB= (x2-x1, y2-y1)

11. AB=B-A=(1,4)-(-2,3)=(3,1)
CD=D-C=(4,3)-(1,2)=(3,1)
OP=(3,1)
Isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-
se das coordenadas da extremidade B as coordenadas
da origem A, razão pela qual também se escreve
AB=B-A

12. No espaço, qualquer conjunto  v1 , v2 ,v3} de três vetores
não coplanares é uma base e, de forma análoga,
demonstra-se que todo vetor v do espaço é combinação
linear dos vetores base, isto é, sempre existem números
reais a1, a2 e a3 tais que:
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores
forem unitários e dois a dois, ortogonais.
Base canônica no espaço:  i , j ,k}
2.5 DECOMPOSIÇÃO NO ESPAÇO
v=a1v1+a2v2+a3v3
ABSCISSA
ORDENADA
COTA

13. Eixos coordenados

14. Planos coordenados: xOy ou xy, xOz ou xz e yOz ou yz

15. Estes três planos se intercepta segundo os três eixos
dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas
chamada octante.

16. Obtenção do ponto P no espaço (a,b,c):

17. Exemplo: P(2,4,3)
A(2,0,0) – um ponto P(x,y,z) está no eixo dos x quando
y=0 e z=0;
C(0,4,0) – um ponto está no eixo dos y
quando x=0 e z=0;
E(0,0,3) – um ponto está no eixo dos
z quando x=0 e y=0;
B(2,4,0) – um ponto está no plano
xy quando z=0;
D(0,4,3) – um ponto está no plano
yz quando x=0;
F(2,0,3) – um ponto está no plano xz quando y=0;

18. Vetor no espaço se representa por v=(x,y,z) que é a
expressão analítica de v.
v=2i-3j+k
v=i-j
v=2j-k
v=4k

19. Representação geométrica do conjunto ℝ é uma reta
real:
Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ
ou ℝ²={(x,y)/x,y∈ℝ} é o plano cartesiano determinado
por dois eixos ortogonais x e y:

20. Representação geométrica do produto cartesiano
ℝ x ℝ x ℝ ou ℝ3={(x,y,z)/x,y,z ∈ℝ} é o espaço cartesiano
determinado por três eixos cartesianos, dois a dois
ortogonais:

21. Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no
espaço:
I) Dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são iguais se, e
somente se, x1=x2 , y1=y2 e z1=z2;
II) Dados os vetores acima e a∈ℝ, defini-se:
u+v= =(x1+x2,y1+y2, z1 +z2)
au=(ax1,ay1,az1)
III) Se A =(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) são dois pontos
quaisquer no espaço, então:
AB= (x2-x1,y2-y1, z2 -z1)
2.6 IGUALDADE – OPERAÇÕES –
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

22. Vimos que se dois vetores u e v são colineares (ou
paralelos), existe um número k tal que u=kv, ou seja,
(x1,y1,z1) =k(x2,y2,z2) ou
(x1,y1,z1) =(kx2, ky2,kz2)
mas pela definição de igualdade de vetores:
x1=kx2
y1= ky2 ou
z1=kz2
u//v
condição de paralelismo
coordenadas proporcionais
2.7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE
DOIS VETORES
1 1 1
2 2 2
x y z
k
x y z
  