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VETORES NO ² E NO ³
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
2.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO
PLANO
Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, qualquer
vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto
segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste
em determinar dois vetores cujas direções sejam as
de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras,
iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que:
v=a1v1+a2v2
Exemplos:
Sempre que v estiver representado por:
Dizemos que v é combinação linear de v1 e v2 e que o
par de vetores v1 e v2 é a base no plano. Os números
a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas
de v em relação à base  v1 , v2 .
v=a1v1+a2v2
conjunto ordenado
Na prática as bases mais utilizadas são as
ortonormais. Uma base  e1 , e2  é dita ortonormal se
os vetores forem ortonormais e unitários, isto é,
e1  e2 e | e1 |= | e2 |=1.
v=3e1+2e2
Projeções ortonormais de v
{i,j} Base canônica Usaremos somente esta base
Sempre ortogonal, então chamaremos de
projeção.
2.2 EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM
VETOR
ABSCISSA ORDENADA
Fixada a base canônica, a cada vetor pode-se associar um
par ordenado(x,y) de números reais que são
componentes na base dada.
Defini-se então:
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números
reais e se representa por v=(x,y) que é a expressão
analítica de v.
v=3i-5j
v=-i+j
v=3j
v=-10i
i=(1,0)
j=(0,1)
0=(0,0)
2.3 IGUALDADE E OPERAÇÕES
Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2, y2) são iguais, se, e
somente se, x1=x2 ey1=y2, e escreve-se u=v.
Exemplo: Os vetores são iguais.
2.3.1 IGUALDADE
2.3.2 OPERAÇÕES
Sejam os mesmos vetores u e v e a∈ℝ. Defini-se:
a) u+v=(x1+x2,y1+y2)
b)au=(a x1,ay1)
Exemplo:
(3,5) (3,5)
u e v
 
As definições acima e as operações algébricas dos
números reais permitem demonstrar as propriedades
estudadas anteriormente em operações com vetores.
a) para quaisquer vetores u, v e w, tem-se:
u+v=v+u
(u+v)+w=u+(v+w)
u+0=u
u+(-u)=0
b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b,
tem-se:
a(bv)=(ab)v
(a+b)u=au+bu
a(u+v)=au+av
1v=v
2.4 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Inúmeras vezes um vetor é representado por um
segmento orientado que não parte da origem do
sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto
A(x1,y1) e a extremidade em B(x2, y2).
0A= (x1,y1) 0B= (x2, y2)
0A+AB=0B
AB=0B-0A
AB= (x2, y2)-(x1,y1)
AB= (x2-x1, y2-y1)
AB=B-A=(1,4)-(-2,3)=(3,1)
CD=D-C=(4,3)-(1,2)=(3,1)
OP=(3,1)
Isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-
se das coordenadas da extremidade B as coordenadas
da origem A, razão pela qual também se escreve
AB=B-A
No espaço, qualquer conjunto  v1 , v2 ,v3} de três vetores
não coplanares é uma base e, de forma análoga,
demonstra-se que todo vetor v do espaço é combinação
linear dos vetores base, isto é, sempre existem números
reais a1, a2 e a3 tais que:
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores
forem unitários e dois a dois, ortogonais.
Base canônica no espaço:  i , j ,k}
2.5 DECOMPOSIÇÃO NO ESPAÇO
v=a1v1+a2v2+a3v3
ABSCISSA
ORDENADA
COTA
Eixos coordenados
Planos coordenados: xOy ou xy, xOz ou xz e yOz ou yz
Estes três planos se intercepta segundo os três eixos
dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas
chamada octante.
Obtenção do ponto P no espaço (a,b,c):
Exemplo: P(2,4,3)
A(2,0,0) – um ponto P(x,y,z) está no eixo dos x quando
y=0 e z=0;
C(0,4,0) – um ponto está no eixo dos y
quando x=0 e z=0;
E(0,0,3) – um ponto está no eixo dos
z quando x=0 e y=0;
B(2,4,0) – um ponto está no plano
xy quando z=0;
D(0,4,3) – um ponto está no plano
yz quando x=0;
F(2,0,3) – um ponto está no plano xz quando y=0;
Vetor no espaço se representa por v=(x,y,z) que é a
expressão analítica de v.
v=2i-3j+k
v=i-j
v=2j-k
v=4k
Representação geométrica do conjunto ℝ é uma reta
real:
Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ
ou ℝ²={(x,y)/x,y∈ℝ} é o plano cartesiano determinado
por dois eixos ortogonais x e y:
Representação geométrica do produto cartesiano
ℝ x ℝ x ℝ ou ℝ3={(x,y,z)/x,y,z ∈ℝ} é o espaço cartesiano
determinado por três eixos cartesianos, dois a dois
ortogonais:
Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no
espaço:
I) Dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são iguais se, e
somente se, x1=x2 , y1=y2 e z1=z2;
II) Dados os vetores acima e a∈ℝ, defini-se:
u+v= =(x1+x2,y1+y2, z1 +z2)
au=(ax1,ay1,az1)
III) Se A =(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) são dois pontos
quaisquer no espaço, então:
AB= (x2-x1,y2-y1, z2 -z1)
2.6 IGUALDADE – OPERAÇÕES –
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Vimos que se dois vetores u e v são colineares (ou
paralelos), existe um número k tal que u=kv, ou seja,
(x1,y1,z1) =k(x2,y2,z2) ou
(x1,y1,z1) =(kx2, ky2,kz2)
mas pela definição de igualdade de vetores:
x1=kx2
y1= ky2 ou
z1=kz2
u//v
condição de paralelismo
coordenadas proporcionais
2.7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE
DOIS VETORES
1 1 1
2 2 2
x y z
k
x y z
  

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  • 1. VETORES NO ² E NO ³ Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
  • 2. 2.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que: v=a1v1+a2v2 Exemplos:
  • 3. Sempre que v estiver representado por: Dizemos que v é combinação linear de v1 e v2 e que o par de vetores v1 e v2 é a base no plano. Os números a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base  v1 , v2 . v=a1v1+a2v2 conjunto ordenado
  • 4. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base  e1 , e2  é dita ortonormal se os vetores forem ortonormais e unitários, isto é, e1  e2 e | e1 |= | e2 |=1.
  • 6. {i,j} Base canônica Usaremos somente esta base Sempre ortogonal, então chamaremos de projeção.
  • 7. 2.2 EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM VETOR ABSCISSA ORDENADA Fixada a base canônica, a cada vetor pode-se associar um par ordenado(x,y) de números reais que são componentes na base dada. Defini-se então: Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representa por v=(x,y) que é a expressão analítica de v. v=3i-5j v=-i+j v=3j v=-10i i=(1,0) j=(0,1) 0=(0,0)
  • 8. 2.3 IGUALDADE E OPERAÇÕES Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2, y2) são iguais, se, e somente se, x1=x2 ey1=y2, e escreve-se u=v. Exemplo: Os vetores são iguais. 2.3.1 IGUALDADE 2.3.2 OPERAÇÕES Sejam os mesmos vetores u e v e a∈ℝ. Defini-se: a) u+v=(x1+x2,y1+y2) b)au=(a x1,ay1) Exemplo: (3,5) (3,5) u e v  
  • 9. As definições acima e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades estudadas anteriormente em operações com vetores. a) para quaisquer vetores u, v e w, tem-se: u+v=v+u (u+v)+w=u+(v+w) u+0=u u+(-u)=0 b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b, tem-se: a(bv)=(ab)v (a+b)u=au+bu a(u+v)=au+av 1v=v
  • 10. 2.4 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x1,y1) e a extremidade em B(x2, y2). 0A= (x1,y1) 0B= (x2, y2) 0A+AB=0B AB=0B-0A AB= (x2, y2)-(x1,y1) AB= (x2-x1, y2-y1)
  • 11. AB=B-A=(1,4)-(-2,3)=(3,1) CD=D-C=(4,3)-(1,2)=(3,1) OP=(3,1) Isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo- se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB=B-A
  • 12. No espaço, qualquer conjunto  v1 , v2 ,v3} de três vetores não coplanares é uma base e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor v do espaço é combinação linear dos vetores base, isto é, sempre existem números reais a1, a2 e a3 tais que: Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. Base canônica no espaço:  i , j ,k} 2.5 DECOMPOSIÇÃO NO ESPAÇO v=a1v1+a2v2+a3v3 ABSCISSA ORDENADA COTA
  • 14. Planos coordenados: xOy ou xy, xOz ou xz e yOz ou yz
  • 15. Estes três planos se intercepta segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada octante.
  • 16. Obtenção do ponto P no espaço (a,b,c):
  • 17. Exemplo: P(2,4,3) A(2,0,0) – um ponto P(x,y,z) está no eixo dos x quando y=0 e z=0; C(0,4,0) – um ponto está no eixo dos y quando x=0 e z=0; E(0,0,3) – um ponto está no eixo dos z quando x=0 e y=0; B(2,4,0) – um ponto está no plano xy quando z=0; D(0,4,3) – um ponto está no plano yz quando x=0; F(2,0,3) – um ponto está no plano xz quando y=0;
  • 18. Vetor no espaço se representa por v=(x,y,z) que é a expressão analítica de v. v=2i-3j+k v=i-j v=2j-k v=4k
  • 19. Representação geométrica do conjunto ℝ é uma reta real: Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ ou ℝ²={(x,y)/x,y∈ℝ} é o plano cartesiano determinado por dois eixos ortogonais x e y:
  • 20. Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ x ℝ ou ℝ3={(x,y,z)/x,y,z ∈ℝ} é o espaço cartesiano determinado por três eixos cartesianos, dois a dois ortogonais:
  • 21. Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no espaço: I) Dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são iguais se, e somente se, x1=x2 , y1=y2 e z1=z2; II) Dados os vetores acima e a∈ℝ, defini-se: u+v= =(x1+x2,y1+y2, z1 +z2) au=(ax1,ay1,az1) III) Se A =(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então: AB= (x2-x1,y2-y1, z2 -z1) 2.6 IGUALDADE – OPERAÇÕES – VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
  • 22. Vimos que se dois vetores u e v são colineares (ou paralelos), existe um número k tal que u=kv, ou seja, (x1,y1,z1) =k(x2,y2,z2) ou (x1,y1,z1) =(kx2, ky2,kz2) mas pela definição de igualdade de vetores: x1=kx2 y1= ky2 ou z1=kz2 u//v condição de paralelismo coordenadas proporcionais 2.7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES 1 1 1 2 2 2 x y z k x y z   