SlideShare uma empresa Scribd logo
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Luciana Fidelis e Alesanco Andrade
Revisão Ortográfica: Ivanda Martins
Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Sumário

   Plano da Disciplina ...................................................................................... 6


          Ementa .................................................................................................. 6


          Objetivo Geral........................................................................................ 6


          Objetivos Específicos ............................................................................ 6


          Conteúdo Programático......................................................................... 6


          Referências ........................................................................................... 7


   Apresentação ............................................................................................... 8


   Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. .............................................. 9


          1.1 Definições. ....................................................................................... 9


   Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? ...... 18


      2.1 Operações entre conjuntos................................................................ 18


      2.2 Partição de um conjunto .................................................................... 28


      2.3. Cardinal da união e da interseção. ................................................. 29


      2.4. Produto Cartesiano. .......................................................................... 35


      2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos.................................................... 37


      2.6. Identidades de conjuntos. ................................................................. 38


   Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática.......................................... 43


      3.1 Proposições compostas..................................................................... 44
3.2 Tautologias e Contradições ............................................................... 51


   3.3 Negação de conjunção e de disjunção ............................................. 53


   3.4 Álgebra das proposições. .................................................................. 54


   3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. ......................................... 59


       3.5.1 Quantificadores. ......................................................................... 59


       3.5.2 Negação de sentenças quantificadas ........................................ 60


Capítulo 4 - Portas Lógicas....................................................................... 65


   4.1 Porta Not (Não).................................................................................. 65


   4.2 Porta Or (Ou) .................................................................................... 66


   4.3 Porta And (E) ..................................................................................... 67


   4.4. Porta Nand e Porta Nor. ................................................................... 68


   4.5. Portas XOR e XNOR ........................................................................ 68


   4.6 Portas Lógicas Equivalentes ............................................................. 69


   4.7 Propriedades das Portas Lógicas. ..................................................... 69
Plano da Disciplina


Ementa

   Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios
de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução
Matemática.


Objetivo Geral

     O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que
realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para
a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na
construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.


Objetivos Específicos

   • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas
     concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se
     referem a situações práticas

   • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional

   • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica

   • Conhecer técnicas de resolução de problemas

   • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).


Conteúdo Programático

   Módulo 1 – Fascículo 1

   Carga horária do Módulo 1: 20 h

   • Conjuntos.

   • Introdução à Lógica Matemática.

   • Portas Lógicas.
Módulo 2 – Fascículo 2

  Carga horária do Módulo 2: 20 h

  Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações

  Módulo 3 – Fascículo 3

  Carga horária do Módulo 3:

  • Funções.

  • Recursão. Técnicas de provas.

  • Indução Matemática.


Referências

  GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
    Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

  Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de
    Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

  Livros de referência:

  ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo
    McGraw Hill:, 1997

  ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
    1995.

  ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall,
    1999.

  TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley.
    1999.

  LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática
     Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
Apresentação

   Caro (a) cursista,

   A importância da Matemática Discreta nos Cursos de Computação e Informática é
destacada nas Diretrizes Curriculares do MEC ao se afirmar que “A Matemática, para
a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição
formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos, etc)”. E ainda:
“Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertence ao domínio
discreto, a Matemática Discreta é fortemente empregada”.

    A Matemática Discreta dá ênfase aos temas, matemáticos tomando por base os
conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. A Matemática do Continuum, ao contrário da
Matemática Discreta, enfatiza os temas matemáticos baseados em conjuntos não-
contáveis, como o conjunto dos números reais, em disciplinas como o Cálculo Diferencial
e Integral.

    Iremos abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam
interface com os cursos das áreas relacionadas à informática. Para tanto, o material será
apresentado em fascículos que tratarão de maneira sistemática os seguintes assuntos:
Conjuntos, Operações com conjuntos, Introdução à Lógica Matemática, Portas lógicas,
Somas, Matrizes, Princípios de Contagem, Relações, Funções, Recursão, Técnicas de
Provas e Princípio de Indução Finita.
Matemática Discreta



Capítulo 1 - Conjuntos: uma
breve revisão.




    A idéia de conjuntos é largamente utilizada em Computação e
Informática, tendo em vista que, praticamente todos os conceitos
dessas áreas, bem como os resultados correspondentes, são
baseados em conjuntos ou as construções sobre conjuntos. Por isso,
que tal fazermos uma revisão dos principais elementos da teoria dos
conjuntos?


1.1 Definições.

      Conjuntos são geralmente designados por letras maiúsculas e
reservam-se as letras minúsculas para representar os seus elementos.

A expressão x∈A significa que x é elemento do conjunto A. Se x não

é elemento do conjunto A, escrevemos x∉A.

   Várias maneiras podem ser usadas para descrever um conjunto.
Entre elas, destacamos as seguintes:

   • Listando seus elementos, isto é, nomeando explicitamente
     todos os seus elementos, colocando-os entre chaves e
     separados por vírgula.

      Exemplo: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d }.
                                                                                    Acesse
   • Definindo uma propriedade de seus elementos. Em geral
     escrevemos {x : P(x) }, isto é, o conjunto dos x tal que x tem a    1. http://paginas.
                                                                         terra.com.br/
     propriedade P.                                                      educacao/calculu/
                                                                         Historia/venn.htm
      Exemplo A = { x : x é uma letra vogal do alfabeto português},
      B = { x : x é uma das quatro primeiras letras minúsculas do
      alfabeto português }.

   • Por meio de um Diagrama de Venn1 (1834 -1923): O conjunto
     constituído por todos os elementos sob consideração numa


                                                   9
Matemática Discreta



                         determinada situação é denominado conjunto universo U
                         e será, em geral, representado por um retângulo. Dentro do
                         retângulo, círculos (ou outras figuras geométricas) representam
                         conjuntos. Dentro dos círculos são colocados os elementos
                         desses conjuntos.

                    Por exemplo: Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
                7, 8, 9, 10, 11, 12} e os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 4, 6,
                7, 8 }




                   A idéia de conjunto universo U estará sempre presente mesmo
                quando não seja explicitamente mencionado num determinado
                problema ou situação. Em Matemática, há conjuntos que constituem
                muito freqüentemente os universos do discurso, sendo conveniente
                indicar nomes para eles. Entre os mais importantes, destacaremos:

                      • N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números naturais.

                         (Perceba que 0 ∈ N)

                      • N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }é o conjunto dos números naturais
                        positivos.

                      • Z = { x : x é um número inteiro } = { ..., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, ...}

                      • Q = { x : x é um número racional } é o conjunto de todos os
                        números que podem ser escritos sob a forma de fração.

                      • R = { x : x é um número real }

                      • I = { x : x é um número irracional) é o conjunto dos números
                        reais não racionais, isto é, não podem ser escritos sob a forma
                        de fração.

                          Conjunto vazio é o conjunto sem elementos, pode ser

                representado pelos símbolos ∅ ou {            }

                   Exemplo: A = { x ∈ N : 1 < x < 2 } é uma conjunto vazio, pois não
                existe número natural entre 1 e 2.


                                           10
Matemática Discreta



   Exemplo: B = { x ∈ Z : x2 = 3 } também é um conjunto vazio. Você
sabe por quê? Existe número inteiro cujo quadrado seja igual a 3?

      Conjuntos iguais. Dois conjuntos são iguais se e somente se

contém os mesmos elementos. Por exemplo: Os conjuntos A = {x∈ Z
: x2 = 4 } e B = { -2, 2} são iguais.

      Subconjunto. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se
todo elemento do conjunto A é também elemento de B. Usamos a
notação A ⊆ B para denotar que A é subconjunto de B e lemos “A está
contido em B”.




   Por exemplo, A = {1,2} é subconjunto de B = {1, 2,3} mas não é
subconjunto de C = {1,3,4}.

   Agora, vamos     lembrar   algumas   conclusões   relacionas    a
subconjunto.

         Observação 1. De acordo com a definição de subconjunto,
o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, ∅
⊆ A. Isso parece estranho a você? Mas, existe algum elemento no
conjunto ∅ que não esteja no conjunto A? A sua resposta foi não!
Logo, o conjunto vazio é subconjunto do conjunto A.

                 Também dizemos que A ⊆ A, qualquer que seja o
conjunto A. Isso é verdade, pois todo elemento de A, é elemento de
A.

          Observação 2. Se A ≠ B e A é subconjunto de B, escrevemos
A ⊂ B para dizer que A é subconjunto próprio de B. Por exemplo,
{1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,4,5}.

   Temos também que N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R. Veja a figura a seguir.

         Observação 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C.



                                           11
Matemática Discreta



                      Exemplo: {1, b} ⊂ { 1, 2, b, c } ⊂ { 1, 2, 3, a, b, c }.

                   Exemplo: A figura da observação 2 mostra que N ⊂ Z e Z ⊂ R
                então N ⊂ R.




                             Observação 4. Para provarmos que A ⊆ B teremos que

                provar que, dado x ∈ A então x ∈ B.

                       Cardinal. Se A um conjunto com exatamente n elementos,
                tal que n é um inteiro não negativo, dizemos que A é um conjunto
                finito e que o cardinal de A é n. Assim, o cardinal de um conjunto
                A, denotado por #A é o número de elementos do conjunto A. Desse

                modo, se A = { x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 7 } então #A = 5. É claro que #∅ = 0.

                           Observe que um conjunto A é finito se podemos estabelecer
                uma correspondência entre seus elementos e os elementos de um
                conjunto da forma {1, 2, 3, ..., n} onde n é o cardinal de A. Por exemplo,
                A = { a, b, c, d, e } é finito pois, podemos estabelecer a seguinte
                correspondência entre seus elementos e os elementos do conjunto {
                1, 2, 3, 4, 5 }:

                   a     1, b    2, c    3, d         4, e     5. Você então conclui que o
                cardinal do conjunto A é 5.

                      Conjunto infinito. Um conjunto A é infinito se não é finito.
                Por exemplo, os conjuntos N, Z, Q e R são conjuntos infinitos. Você

                concorda com a afirmação de que o conjunto A = {x∈R : 0 < x < 1}é
                infinito?

                      Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto constituído
                por todos os subconjuntos de A e será denotado por P(A). Exemplo,

                se A = {a, b} então P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }. O cardinal de P(A) é o
                número de subconjuntos de A. Assim #P(A) = 4.

                  Agora, escreva o conjunto das partes do conjunto A = {x, y, z}.
                Quantos são os subconjuntos de A? O lembrete ao lado dá uma dica.


                                           12
Matemática Discreta



Nesse caso #A = 3, #P(a)=2³=8.


                                                                                     Atenção


          Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1                      De um modo geral
                                                                           se #A= n então
                                                                           #P(A) = 2n.
   Demonstre que você entendeu bem os assuntos dessa seção,
resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios são
apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com
professores e tutores da disciplina.

   1) Considere N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liste os elementos de cada um
      dos seguintes conjuntos:

       a) {n ∈ N : n é divisível por 3}

       b) {x : x = 2n-1 , n ∈ N*}                                                    Atenção

       c) {x : x = 2y +1 : y∈N e y < 8 }                                   Um número natural

                                                                           n ∈ N, n >1 é primo
       d) {x = 2n : n ∈ N }                                                se os seus únicos
                                                                           divisores são 1 e n.

       e) {x : x =1/n : n ∈ N* e n < 6}

       f) {n ∈ N* : n + 1 é primo}

   2. Liste os elementos dos seguintes conjuntos e informe que
      conjuntos são vazios.

       a) { n ∈ N : n2 = 9 }

       b) { n ∈ Z : n2 = 9 }

       c) { x ∈ R : x2 = 9 }

       d) { n ∈ N : 3 < n < 7 }

       e) { n ∈ Z : | n | < 7 }

       f) { x ∈ R : x2 ≤ 0 }

       g) { n ∈ N : n2 = 3 }

       h) { x ∈ Q : x2 = 3 }


                                             13
Matemática Discreta



                          i ) {x ∈ R: x2 = -4 }

                          j) { n ∈ N : n é primo e n ≤ 15 }

                      3. Determine o cardinal dos seguintes conjuntos:

                          a) A = { x : x = 2n + 1, 3 ≤ n ≤ 6, n ∈ N }

                          b) B = { y = -x +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

                          c) C = { y = x2 +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z }

                   4. Se A = { x∈Z : 4 divide x } e B = { x∈Z : 2 divide x } . A é
                subconjunto próprio de B ?

                      5. Relacione todos os subconjuntos X do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }
                         tais que #X = 2.

                      6. Represente os conjuntos abaixo indicados por uma propriedade
                         características de seus elementos:

                                A = { -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } B = { 13, 11, 9, 7, 5 }

                                            C = { 2, 6, 10, 14, ..., 42 }.

                      7. Sejam X = { 1, 2, 3 }, Y = { 2, 3, 4 } e Z = { 2 } . Encontre o maior
                         conjunto W satisfazendo as seguintes condições W ⊂ X ,             W
                         ⊂ Y e Z ⊂ W . Faça diagramas de Venn.

                      8. Dados os conjuntos A = { um , dois }, B = { dois, tres, quatro } e
                         C = { um , quatro } identifique o menor conjunto D tal que       A
                         ⊂ D , B ⊂ D e C ⊂ D. Faça diagramas de Venn.

                      9. Suponha que A ⊂ B , B ⊂ C , 1∉A , 2∉B , 3∉C . Quais das
                         afirmações abaixo sempre são verdadeiras?

                          a) 1 ∈ B.     b) 2∉ A          c) 3 ∉ A

                      10. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Nomear os elementos dos
                         seguintes conjuntos:

                          a) B = { x ∈ A : x é par }

                          b) C = { x∈A : x é múltiplo de 3 }

                          c) D = { x ∈ A : x + 1 < 6 }



                                           14
Matemática Discreta



    d) E = { x ∈ A : x < 10 }

    e) F = { x ∈ A : x + 3 ∉ A }.

11. Dizer quais dos seguintes conjuntos são infinitos:

    a) O conjunto das retas do plano que são paralelas ao eixo
   dos x.

    b) O conjunto das palavras com duas letras do alfabeto
   português.

    c) O conjunto dos múltiplos de cinco.

    d) O conjunto dos animais existentes na Terra.


                            p
    e) O conjunto das frações  onde p, q ∈ { 1, 2, 3, 4, ..., 10 }
                            q
12. Represente os seguintes conjuntos por meio de uma
   propriedade comum aos seus elementos:

    a) A = { 4, 8, 12, 16, 20, ....}

    b) B = { 4, 8, 12, .... 204}

    c) C = { 7, 17, 27, 37, .....}

    d) D = { 7, 17, 27, 37, .....207}

    e) E = {300, 301, 302, ....., 399, 400}

    f) F = { 1, 4, 9 , 16, 25, .....}

    g) G = { 1, ½, ¼, 1/8, 1/16,..., 1/1024}

13. Partindo das premissas:

    (1) Todo repórter é esperto.

    (2) Todo repórter é formado em Jornalismo.

    (3) Jamil é esperto.

    (4) Adelaide é jornalista.

Pode-se concluir que

    a) Adelaide é esperta?

    b) Jamil é repórter?

    c) Há jornalistas espertos?


                                               15
Matemática Discreta




                               Respostas dos exercícios 1.1

                    Aqui você poderá conferir as suas respostas. Caso elas não
                correspondam às apresentadas abaixo, converse com seus colegas
                sobre os exercícios, releia os conteúdos da seção e descubra o motivo
                da divergência. Lembre-se que os tutores podem ajudá-lo. Consulte-
                os!

                      1. a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}       b) {1, 3, 5, 7, 9, ...}

                      c) { 1, 3, 5, 7, 9, ..., 15}       d) {0, 2, 4, 8, 16, 32,..}

                      e) {1, ½, 1/3, ¼, 1/5 }         f) { 1, 2, 4, 6, 10, 12, ... }

                      2. a) { 3 }     b) { -3, 3 }      c) { -3, 3 }   d) (4, 5, 6 }

                      e) { -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }       f) { 0 }

                      g) ∅      h) ∅       i) ∅

                      3. a) #A = 4      b) #B = 5       c) #C = 3

                      4. sim

                      5. {1, 2} , { 1, 3 } , { 1, 4} , { 2, 3 }, {2, 4} , { 3, 4 }

                      6. A = {x : x = 2y, y ∈ Z, -3 ≤ y ≤ 3 }

                      B = { x: x = 2y + 1, y ∈ N, 2 ≤ y ≤ 6 }

                      C = { x : x = 2 + 4n , n ∈ N n ≤ 10 }

                      7. W = {2,3}

                      8. D = { um, dois, três, quatro }

                      9. b) e c)

                      10. B = {2, 4, 6, 8 }          C = { 3, 6, 9}    D = { 1, 2, 3, 4 }

                      E=A           F = { 7, 8, 9 }

                      11. a) e c)

                      12. A = {x : x = 4n, n∈N* },          B = { x : x = 4n, n∈N*, n ≤ 51 },

                      C = { x : x = 7 +10n, n∈N }            D = { x : x = 7 +10n, n∈N, n ≤ 20}


                                              16
Matemática Discreta



  E = {x : 300 ≤ x ≤ 400, x∈ Z}        F = {x : x = n2, n∈ N}

                                                                                Atenção
                 1
  G = {x ; x =        , n∈ N, n ≤10.
                 n2
                                                                       A Matemática é
  13. c.                                                               uma disciplina
                                                                       de natureza
                                                                       cumulativa.
                                                                       É importante
                                                                       dominar bem
                                                                       seus fundamentos
           Saiba Mais                                                  antes de passar
                                                                       para tópicos mais
                                                                       avançados.

   Caro (a) cursista. Aprofunde os conhecimentos sobre conjuntos,
consultando os seguintes livros:

   ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos
     conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.

   ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São
     Paulo: Nobel, 1995.

   GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência
     da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de
     Janeiro: LTC, 2004.

   LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
      de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

   Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução.
     Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira
     Thomson Learning, 2003.




                                                17
Matemática Discreta



                Capítulo 2 - Álgebra de
                Conjuntos: como operar com
                conjuntos?

                    Nesta parte do fascículo, estudaremos a Álgebra de Conjuntos,
                conteúdo da Matemática que trata das operações definidas sobre
                todos os conjuntos. Voltaremos a fazer uso dos diagramas de Venn,
                na ilustração das operações entre conjuntos envolvendo a união,
                interseção, diferença entre outras. Vamos começar?


                2.1 Operações entre conjuntos.

                      União de Conjuntos: Se A e B são dois conjuntos então A∪B é
                o conjunto constituído pelos elementos que pertencem a pelo menos
                um dos dois conjuntos.

                                    A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B }




                      Interseção de Conjuntos: Se A e B são 2 conjuntos, então
                o conjunto A ∩ B denota a interseção de A e B, constituído pelos
                elementos que pertencem a A e a B.

                                     A∩B = { x : x∈A e x∈B }




                      Complementar. Seja U o conjunto universo e A um subconjunto
                de U. Chama-se complementar de A em relação ao conjunto U ao
                conjunto A dos elementos de U que não pertencem a A.

                                          A = { x∈U : x∉A }

                                    18
Matemática Discreta




                                                                               Atenção



                                                                       A se escreve
                                                                      também A’


      Diferença: Se A e B são conjuntos então A – B denota o
conjunto dos elementos de A que não estão em B.

                        A – B = { x: x∈A e x∉B }

                                                                               Atenção

                                                                      A – B pode ser
                                                                      escrito assim:

                                                                      A∩   B



     Diferença Simétrica: Se A e B são conjuntos então A⊕B ou
A∆B denota o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas
não em ambos. O símbolo ⊕ representa o ou exclusivo.

    A⊕B = { x: x∈(A-B) ou x∈(B-A) }      A⊕B = (A∩ B ) ∪ ( A ∩B)

                                                                               Atenção


                                                                      A ⊕ B pode ser
                                                                      escrito assim:
                                                                      A∆B




   Exemplo 2.1.1 Aqui, apresentamos exemplos de todas as
operações definidas acima. Confira os resultados.




  A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}

  A ∩ B = { 6, 8 }

                                           19
Matemática Discreta



                      A – B = { 1, 2, 3, 4 }

                      B – A = { 5, 7, 9 }

                      A = { 5, 7, 9 10, 11, 12}

                      B = { 1,2,3, 4, 10, 11, 12}

                      A ⊕ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

                      Tabela de pertinência das operações entre conjuntos: Para
                construirmos a tabela de pertinência de um conjunto, procedemos
                como segue. Se x∈X, indicamos o fato pondo 1 (verdadeiro) na coluna
                do conjunto X. Se x∉X, indicamos o fato pondo 0 (falso) na coluna do
                conjunto X.

                          Por exemplo, em relação à união de dois conjuntos A∪B,
                existem quatro situações distintas indicadas nas quatro linhas da
                tabela de pertinência da união abaixo:

                         Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos
                         (linha 1), não pertencem a A∪B

                         Elementos que não pertencem a A e pertencem a B ( linha 2),
                         pertencem a A∪B.

                         Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3),
                         pertencem a A∪B.

                         Elementos que pertencem a A e a B ( linha 4), pertencem a
                         A∪B.




                                               Tabela de pertinência da união




                                            Tabela de pertinência da interseção




                                             20
Matemática Discreta



          Em relação à interseção de dois conjuntos A ∩ B, existem
quatro situações distintas indicadas na tabela de pertinência da
interseção abaixo:

      Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos
      (linha 1), não pertencem a A∩B

      Elementos que não pertencem a A e pertencem a B (linha 2),
      não pertencem a A∩B.

      Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3),
      não pertencem a A∩B.

      Elementos que pertencem a A e a B (linha 4), pertencem a
      A∩B.




         As tabelas de pertinência dos conjuntos A – B, B- A e A⊕B
são apresentadas abaixo, de acordo com as respectivas definições.




      Tabela de pertinência do complementar: A tabela de
pertinência do complementar apresenta apenas duas linhas, visto
que o complementar é uma operação que envolve apenas um
conjunto.




   Exemplo 2.1.2. Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} e
os seus subconjuntos:


                                           21
Matemática Discreta



                           A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}       B = { 4, 5, 6, 7, 8}       C = { 5, 6, 7, 8, 9 }

                           D = { 1, 3, 5, 7, 9 }      E = { 2, 4, 6, 8 }        F = { 1, 5, 9 }.


                           A ∪ B = {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8}             A ∩ B = {4, 5, 6, 7}

                           B ∪ D = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 },           B ∩ D = {5,7}


                           A ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}           A ∩ C = {5, 6,7}

                           D ∪ E = {1,3,5,7,9,2,4,6,8},           D∩E=∅

                           D ∪ F = { 1, 3, 5, 7, 9 }         D ∩ F = { 1, 5, 9 }

                           E∪E = { 2, 4, 6, 8 }         E ∩E = ∅



                           A = {8,9}       B = { 1, 2, 3, 9 }         C = {1, 2, 3, 4 }      D ={ 2, 4, 6, 8}


                           A – B = {1,2, 3}        B–A={8}               D – E = { 1, 3, 5, 7, 9 }

                           E–E=∅


                           A⊕B = {1,2, 3, 8}        A⊕C= {1, 2, 3, 4, 8, 9}          A⊕D = { 2, 4, 6, 9 }

                           A⊕E= {1, 3, 5, 7

                           (A - B) - C = {1, 2, 3} - { 5, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3}


                           A - (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – { 4 } = {1, 2, 3, 5, 6,7}


            Atenção        (A-B) – (B-A)= {1, 2, 3} - { 8 } = {1, 2, 3}

Você observou no
exercício 2.1. 2 que,
                           A  B = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } = { 9 }
                                   1


                           A ∩ B = {8,9} ∩ { 1, 2, 3, 9 } = { 9 }
A B    =   A∩ B
e que
A B      A B?            A  B = { 5 6 7 } = {1, 2, 3, 8, 9}
                                    4 , ,
                                    ,
        =
Isso não é mera
coincidência.              A  B = {8,9} ∪ { 1, 2, 3, 9 } = {1, 2, 3, 8, 9}
Trata-se de
igualdades válidas
para quaisquer
conjuntos A e B!           Exemplo 2. 1. 3. Para construir a tabela de pertinência do conjunto
                        (A∩ B ) ∪ ( A ∩B), devemos construir colunas para os conjuntos A, B,


                                                   22
Matemática Discreta




Ae B.   Em seguida, as colunas relativas aos conjuntos A∩ B ,

   A ∩B e por último, a coluna do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B).




   Você deve observar que, logo após o preenchimento com 0 (zero)
e 1 (um) nas colunas relativas aos conjuntos A e B, preenchemos as
colunas do complementar de A, denotado por A , e do complementar
de B, denotado por B , simplesmente trocando 0 (zero) por 1 (um).
As colunas relativas aos conjuntos A ∩ B e A ∩ B são preenchidas
por 0 (zero) e 1 (um) de acordo com a tabela de pertinência da
interseção. Por fim, a última coluna é feita de acordo com a tabela de
pertinência da união de conjuntos. A tabela de pertinência do conjunto
(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) é a igual à tabela de pertinência do conjunto A ⊕B.
Observe isso. Mostraremos na seção 2.6 como provar a igualdade
entre conjuntos, observando a igualdade das respectivas tabelas-
verdade.

   Exemplo 2.1.4. Na determinação dos tipos sangüíneos, cada
pessoa é duplamente classificada: se o sangue tem o antígeno Rh,
ele é Rh positivo, caso contrário é Rh negativo. Se o sangue contém
o antígeno A, mas não contém o antígeno B, é tipo A. Se o sangue
tem o antígeno B, mas não tem o antígeno A, é tipo B. Se tem ambos,
é tipo AB. Se nenhum dos dois antígenos está presente, é tipo O.
Considere os conjuntos:

   P = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno Rh}

   A = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno A}

   B = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno B}

   Um elemento x qualquer pode pertencer ou não a cada um
dos três conjuntos P, A e B. Ao todo são 8 possibilidades.Elas são
representadas na tabela ao lado e no diagrama de Venn.




                                             23
Matemática Discreta




                   Determine os respectivos              tipos     sangüíneos   das     pessoas
                pertencentes a cada conjunto:

                      1) P ∩ A ∩ B = { g }

                      2) P ∩ A ∩ B = { d }

                      3) P ∩ A ∩ B = { f }

                      4) P ∩ B ∩ A { e }

                      5) P ∩ A ∩ B = { a }

                      6) P ∩ A ∩ B = { h }

                      7) P ∩ B ∩ A = { d }

                      8) P ∩ A ∩ B = { c }

                Resp. 1) Tipo AB Rh+              2) Tipo AB Rh-
                          3) Tipo A Rh+           4) Tipo B Rh+         5) Tipo A Rh-
                          6) Tipo O Rh-           7) Tipo B Rh-         8) Tipo O Rh+




                              Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.1

                   Apresentamos agora uma lista de exercícios para que você mostre
                que entendeu as operações entre conjuntos. Discuta com seus
                colegas as respostas que são apresentadas logo em seguida.



                                             24
Matemática Discreta



1. Considere o conjunto universo igual ao conjunto U de todos os
   alunos da UFRPE e os seguintes subconjuntos:

   A = { x : U: x é aluno do Curso de Agronomia }

   B = { x : U: x é aluno do Curso de Biologia }

   C = { x : U: x é aluno do Curso de Ciência Domésticas }

   Defina os seguintes conjuntos por meio de operações com
   conjuntos:

a) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Biologia ou
   Ciências Domésticas (Eles podem fazer apenas um desses
   cursos ou ambos ).

b) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Agronomia
   e Biologia ao mesmo tempo, mas não fazem Ciências
   Domésticas.

c) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Agronomia e não
   cursam Biologia.

d) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem apenas um dos
   cursos A, B e C.

e) O conjunto dos alunos da UFRPE que não fazem qualquer um
   dos cursos A, B e C .

f) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Biologia, mas não
   Ciências Domésticas ou fazem Ciências Domésticas mas não
   Biologia.

2. Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10,12,13 }. Listar os
   elementos dos seguintes conjuntos:

   A1 = { x ∈ A : x2 ≥ 9 }

   A2 = { x ∈ A : (x+2) ∉ A }

   A3 = { x ∈ A : x-1 é impar }

   A4 = {x∈A : x é divisível por 2 ou por 3}

   A5 = {x∈A : x2 – 4 = 0 ou x2 –9x +20 = 0 }

   Calcule: a) ( A1∩A2) – (A1∩A3)      b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4)

3. Considere U como o conjunto de todas as pessoas e os
   subconjuntos


                                               25
Matemática Discreta



                         S = { x∈U : x reside no Brasil }

                         M= { x∈U : x é mulher }

                         J = { x∈U : x tem menos de 25 anos }

                         A = { x∈U : x tem mais de 1,70 m de altura }

                         Descreva os conjuntos abaixo através de uma propriedade
                         característica dos seus elementos:

                      a) S∩A∩J             b) S∩(J –A )                    c) S∩(M∪J)

                      d) S∪(M∩J).

                      4. Encontre os conjuntos A e B, sabendo–se que

                         A – B = { 1, 5, 7, 8 }, B – A = { 2, 10 } e A∩B = {3, 6, 9 }.




                              Respostas dos exercícios 2.1

                      1. a) B∪C            b) (A∩B) – C

                         c) A – B          d)   ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)


                         e) A ∩ B ∩ C      f) B⊕C

                      2. A1= { 3, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13}                   A2 = {6,7,12,13}

                         A3= {2, 4, 6, 10, 12}                             A4 = {2, 3, 4, 6, 10, 12}

                         A5 = { 2, 4, 5}

                         a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) = {6, 7, 12, 13} – { 4, 6, 10,12}= {7, 13}

                         b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) = { 2, 3, 4, 6, 10, 12} ⊕ {3, 5, 7, 13} = {2, 4,
                         5, 6, 7, 10,12, 13}.

                      3. a) S∩A∩J = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e
                         mais 1,70 m de altura}

                         b) S∩(J –A ) = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25
                         anos e 1,70 m de altura e no máximo 1,70 m de altura}.

                         c) S∩(M∪J) = { x∈U : x reside no Brasil e é mulher ou tem
                         menos de 25 anos}.

                         d) S∪(M∩J) = { x∈U : x reside no Brasil ou é mulher com menos
                         de 25 anos}.

                                                26
Matemática Discreta



4. A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 3, 6, 9, 10}




                                            27
Matemática Discreta



                2.2 Partição de um conjunto

                       Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅,
                isto é, não têm elementos comuns. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9}, B =
                {4, 6, 8, 10} e C = {1, 3, 11,12} são dois a dois, disjuntos.

                                De fato, A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅

                      Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos
                não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união resulte S. Ou
                seja, é uma coleção de subconjuntos A1, A2, ... , An de S tal que

                S =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪......∪ An e       Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j .

                   Exemplo 2.2. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A coleção de conjuntos
                A1= {1, 2, 3}, A2= {4, 5} e A3= {6 } forma uma partição de S . Observe
                que A1∩ A2 = φ, A1∩ A3 = φ, A2∩ A3 = φ e além disso, a união dos três
                conjuntos A1∪A2∪A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.




                               Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.2

                   Agora, você é solicitado a apresentar partições de conjuntos.
                Algumas partições são constituídas por conjuntos finitos outras não.
                Mãos à obra!

                      1. Dê partições dos seguintes dos conjuntos:

                        a) N          b) Z          c) S = {0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 }.

                      2. Se S = {0, 3, 6, 9, 12,15, 18, ...}, escrever uma partição de S
                         que:

                        a) contenha dois subconjuntos infinitos



                                         28
Matemática Discreta



       b) contenha três subconjuntos infinitos.

   3. Se S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...}, os conjuntos A1 = {1 +12n,
      n∈ N }, A2 = {5 +12n, n∈ N } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N } constituem
      uma partição de S .




             Respostas - Exercícios Proposto 2.2

   As suas respostas possivelmente não batem com as apresentadas
logo abaixo. Isso pode ocorrer, pois um conjunto pode ter várias
partições.

   1. a) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...}       A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

       b) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...}      A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

          A3= { -2, -4, ,-6, -8, -10, ...}   A4 = { -1, -3, -5, -7,-9, -11, ...}

   2. a) A1= {0, 6, 12, ,18, 24, 30, ...}    A2 = {3, 9, 15, 21, 27, ...}

       b) A1= {0, 9, 18, 27, 36, ...}        A2 = {3, 12, 21, 30, ...},

          A3= { 6, 15, 24, 33, 42, ...}

   3. Sim.     A1 = {1 +12n, n∈ N }= { 1, 13, 25, 37, 49, ..., }

       A2 = {5 +12n, n∈ N } = {5, 17, 29, 41, 53, ... } e

       A3 = { 9 + 12n, n∈ N }= {9, 21, 33, 45, 56, ...} constituem uma
       partição de S, pois os conjuntos são dois a dois disjuntos e sua
       união resulta S.


2.3. Cardinal da união e da interseção.

   Se você dispõe de dois ou mais conjuntos e quer saber quantos
elementos tem o conjunto união desses conjuntos, como proceder?
Faremos uso do princípio da inclusão – exclusão.

       Princípio da Inclusão – Exclusão.

                       #(A∪B) = # (A) + #(B) – #(A∩B)

   •   Vejamos como descobrir a quantidade de elementos da união
de dois conjuntos sendo conhecidos n(A), n(B) e n( A ∩ B )



                                                  29
Matemática Discreta




                   Note que a quantidade de elementos de A ∪ B é obtida pela
                quantidade de elementos que pertence:

                      só ao conjunto A: n( A ∩ B ) = n( A ) − n( A ∩ B ) ,

                      só ao conjunto B: n( A ∩ B ) = n( B ) − n( A ∩ B ) e

                      só a A e B: n( A ∩ B ) .

                      Assim, podemos concluir que:

                      n( A ∪ B) = n( A) − n( A ∩ B) + n( B) − n( A ∩ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

                   Isso significa que, para calcular o número de elementos da união
                A ∪ B, incluímos os elementos de A, incluímos os elementos de B e
                excluímos os elementos de A ∩ B.

                   Exemplo 2.3.1: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
                B = { 4, 5, 6, 8}




                    Observe que # ( A ) = 7, # ( B ) = 4, # ( A ∩ B ) = 3, então
                # ( A ∪ B) = # (A) + # (B) – # ( A ∩ B ) = 7 + 4 – 3 = 8
                # ( A ∪ B ∪ C) = # (A) + # (B) + # (C) – # (A ∩ B) – # (A ∩ C) – # (B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

                      •   Podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C, de modo que:

                      #(A ∪ B ∪ C) = #((A ∪ B) ∪ C) = #(A ∪ B) + #C - #((A ∪ B) ∩ C)

                      = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]

                      = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).




                                                 30
Matemática Discreta



   Exemplo 2. 3. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
10}, B = { 4, 5, 6, 7, 8, 11} C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.




   Sabendo que A ∩ B = {4, 5, 6, 7}, A ∩ C = {5, 6, 7, 10},
B ∩ C = { 5, 6, 7, 8} e que A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}, podemos escrever
que:

   #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) +
#(A∩B∩C)

                 = 8 + 6 + 6 – 4 – 4 – 4 + 3 = 11

   A∪B∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

   • Se A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), então
#(A ∪ B) = #(A) + #(B).

   Exemplo 2. 3. 3. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9 } e B = {4, 6, 8, 10 }
são disjuntos, pois A ∩ B = ∅ , de modo que, o cardinal da união de A
e B é #(A∪B) = #(A) + #(B) = 4 + 4 = 8




   # I = 35,     # F = 18,   # (I∪F) = 42.   # (I∪F) = # I + # F - # (I∩F)

               42 = 35 +18 - # (I∩F), de modo que # (I∩F) = 11.

   Outra solução poderá ser dada usando os diagramas de Venn.
Para isso, você define dois conjuntos I e F. Coloque inicialmente os
elementos que pertencem à interseção I∩F. Como não sabemos,
colocaremos o número x.

                                  imagem
                                                  31
Matemática Discreta



                    O cardinal do conjunto dos que falam inglês e não falam francês é
                35 – x. Analogamente, o número de turistas que falam francês e não
                falam inglês é 18 – x. A soma desses elementos deve ser 42. Logo,
                devemos ter 35 – x + x + 18 – x = 42. A equação se reduz a 53 – x =
                42. Portanto, x = 11.

                   Exemplo 2. 3. 4. Todos os convidados de uma festa bebem café
                (A) ou chá (B); 13 bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem café e chá.
                Quantas pessoas há neste grupo?

                      #(A∪B) = #(A) + #(A) - #(A∩B)          #(A∪B) = 13 + 10 – 4 = 19

                    Exemplo 2. 3. 5. O controle de qualidade de uma fábrica introduziu
                na linha de montagem 42 peças com defeitos de pintura (A),
                embalagem (B) ou na parte eletrônica (C). Dessas peças, 28 tinham
                defeito na pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 com defeito na
                parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica,
                3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na
                pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três defeitos?

                      #A = 28,   #B = 17,      #C = 11,   #(A∩B) = 6,      #(A∩C) = 3,

                      #(B∩C) = 7,     #(A∩B∩C) = x

                       #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C)

                                       42 = 28 + 17 + 11 – 6 – 3 - 7 + x

                                                   42 = 40 + x

                                                      x=2

                  Você poderá usar diagramas de Venn para resolver esse problema.
                Vamos lá? Use as figuras seguintes:




                   Exemplo 2.3.6. Entre os americanos que tiraram férias no ano
                passado, 90% tiraram férias no verão, 65% no inverno, 10% na


                                          32
Matemática Discreta



primavera, 7% no outono, 55% no inverno e no verão, 8% na primavera
e no verão, 6% no outono e no verão, 4% no inverno e na primavera,
4% no inverno e no outono, 3% na primavera e no outono, 3% no
verão, no inverno e outono, 3% no verão, no inverno e primavera, 2%
no verão, no outono e primavera e 2% nono inverno, na primavera e
outono. Que percentagem tirou férias nas quatro estações?

    Para resolver este problema que envolve quatro conjuntos,
podemos usar uma extensão do princípio da Inclusão – Exclusão
para quatro conjuntos. O diagrama de Venn com quatro conjuntos
deve apresentar 16 regiões. Na figura abaixo, apresentamos uma
alternativa usando retângulos. Você acha que pode fazer um diagrama
de Venn para quatro conjuntos usando quatro círculos e apresentando
16 regiões? Tente fazer!




#(A∪B∪C∪D) = #(A) + #(B) + # (C) + # (D)

             – #(A∩B) – #(A∩C) – #(A∩D) – #(B ∩C) – #(B∩D) – #(C∩D)

             + #(A∩B∩C) + #(A∩B∩D) + #(A∩C∩D) + #(B∩C∩D)

             – #(A∩B∩C∩D)

100 = 90 + 65 + 10 + 7 – 55 – 8 – 6 – 4 – 4 – 3 + 3 + 3 + 2 + 2 - x

100 = 102 – x

x = 2%




            Aprenda Praticando - Exercícios 2.3



   Mostre que você entendeu bem as técnicas de cálculos do número


                                                     33
Matemática Discreta



                de elementos de um conjunto, usando o Princípio da Inclusão –
                Exclusão ou os diagramas de Venn. Caso tenha dificuldade, oriente-
                se com seus tutores.

                      1. Em um congresso de informática, há 43 participantes do
                         Curso de Java, 57 de Pascal Avançado e 29 de C++. Há 10
                         participantes dos cursos de Java e Pascal Avançado, 5 em
                         Pascal Avançado e C++, 5 em Java e C++, e dois matriculados
                         nos três cursos. Quantos alunos estão inscritos ao menos em
                         um curso do congresso?

                      2. Há quatro grandes grupos de pessoas, cada um com 1.000
                         membros. Dois quaisquer desses grupos têm 100 membros
                         em comum. Três quaisquer desses grupos têm 10 pessoas
                         em comum. E há 1 pessoa em todos os quatro grupos.
                         Conjuntamente, quantas pessoas há nesses grupos?

                      3. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matemática, 140
                         estudam Economia e 24 estudam ambos os cursos. Dos 200
                         estudantes 60 são mulheres, das quais 20 estudam Matemática,
                         45 estudam Economia e 16 delas estudam ambos os cursos.
                         Determine, para o universo de estudantes, quantos são os
                         homens que não estudam nem Matemática nem Economia.

                      4. Uma companhia, 240 dos seus empregados obtiveram aumento
                         salarial, 115 obtiveram ascensão funcional e 60 obtiveram
                         ambas as coisas. Quantos são os empregados sabendo que
                         nenhum empregado deixou de ser promovido ou ter ascensão
                         funcional ?

                      5. Em um grupo de 110 estudantes, 63 estudam Inglês, 30 estudam
                         Francês e 50 estudam Alemão. Há 25 alunos que estudam
                         apenas dois idiomas, 13 estudam Inglês e Francês, 30 estudam
                         Inglês e Alemão e 12 estudam Francês e Alemão.

                        a) Quantos estudam Inglês e Francês, mas não estudam
                        Alemão?

                        b) Quantos alunos não estudam nenhum dos idiomas?

                      6. De 100 pessoas que foram pesquisadas, 52 são mulheres, 40
                         almoçam, 40 jantam, 25 são mulheres que almoçam, 15 são
                         mulheres que jantam, 20 são pessoas que almoçam e jantam, e
                         12 são mulheres que almoçam e jantam. Quantas pessoas são
                         homens que não almoçam nem jantam? Quantas são mulheres

                                        34
Matemática Discreta



      que não almoçam nem jantam?

   7. No auditório de uma faculdade há um grupo de alunos, dos
      quais 12 cursam a disciplina A, 20 cursam a B, 20 cursam a C,
      10 cursam a D, 5 cursam A e B, 7 cursam A e C, 4 cursam A e
      D, 16 cursam B e C, 4 cursam B e D e 5 cursam as disciplinas
      C e D. Três alunos cursam as disciplinas A, B e C, 2 cursam
      A, B e D, 4 cursam B, C e D, e 3 cursam A, C e D. Apenas 2
      alunos cursam as quatro disciplinas e 71 alunos não cursam
      nenhumas das disciplinas citadas. Quantos são os alunos no
      auditório?




            Respostas dos Exercícios 2.3



   Verifique aqui quantos exercícios acertou. Caso tenha errado ou
não tenha conseguido fazer, mude o método de resolução (Princípio
de Inclusão – Exclusão ou Diagrama de Venn). Discuta com seus
colegas

   1. 111             2. 3.439                 3. 23           4. 295

   5. a) 3 b) 12      6. a) 16 b) 24           7. 102


2.4. Produto Cartesiano.

      Se A e B são dois conjuntos, o produto cartesiano de A por
B é o conjunto A x B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B}.

   EXEMPLO 2.4.1 Sejam A = {a, b, c } e B = { a, b, d }.

   a) Liste todos os pares ordenados de A x B

      A x B = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c,
      d) }

   b) Liste todos os pares ordenados de B x A.

      B x A = { (a, a), (b, a), (d, a), (a, b), (b, b), (d, b), (a, c), (b, c), (d,
      c) }

   c) Liste todos os elementos do conjunto { (x,y)  A x B : x = y }              {
      (a, a), (b, b) }

                                                     35
Matemática Discreta




                               Aprenda praticando - Exercícios 2.4



                  Você deverá listar os elementos dos seguintes conjuntos, pondo
                em prática os conceitos de produto cartesiano.

                      1. Sejam S ={ 0, 1, 2 ,3, 4 } e T = { 0 , 2, 4 } . Liste todos os
                         elementos dos seguintes conjuntos:

                         A = { (m,n) ∈ S x T : m < n }

                         B = { (m, n) ∈ T x S ; m < n }

                         C = { (m, n) ∈ S x T : m + n ≥ 3 }

                         D = { (m,n) ∈ T x S ; m.n ≥ 4 }

                         E ={ (m, n) ∈ S x S : m + n = 10 }.

                         Obs.: S x S = S2

                      2. Liste pelo menos 6 elementos dos seguintes conjuntos:

                         a) { (m,n) ∈ N2 : m = n }

                         b) { (m,n) ∈ N2 : m + n é primo }

                         c) { (m,n) ∈ N2 : m = 6 }

                         d) { (m,n) ∈ N2 : min {m ,n } = 3}

                         e) { (m,n) ∈ N2 : máx {m , n} = 3 }

                         f) { (m,n) ∈ N2 : m2 = n }

                      Resposta

                      Logo em seguida, apresentamos respostas. Confira as suas.

                   A = { (0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (3, 4)}          B ={(0,1), (0, 2), (0, 3),
                (0,4), (2, 3), (2, 4)}

                   C = { (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4,0),
                (4,2), (4,4) }

                      D = { (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4).

                      2. a) { 0,0) , (1,1), (2,2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ...}

                          b) {(0,2), (0,3), (0, 5), (0, 7), (1,2), (2,3), ...}

                                             36
Matemática Discreta



       c) { (6,0), (6,1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), ...}

       d) { (3,3), (3,4), (3,5), (6,3), (7, 3), (8, 3), ...}

       e) (0,3), (1,3), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2) (3,3)}

       f) { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25), (6, 36), ...}


2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos

   Dados os conjuntos A1, A2, ..., Ak, o produto cartesiano A1 x A2 x ...x
Ak é o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , ak) tais que ai ∈ Ai.

    Se #(A1)= n1, #(A2) = n2, ..., #(Ak)= nk então #(A1 x A2 x ... x Ak) =
n1. n2. ... . nk.

   Exemplo 2. 5. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z =
{ m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

   a) X x Y x Z       b) X x Y x Y        c) X x X x X          d) Y x X x Y x Z

     X x Y x Z = {(1, a, m), (1, a, n), (1, a, p), (1, b, m), (1, b, n),

     (1, b, p) , (2, a, m), (2, a, n), (2, a, p), (2, b, m), (2, b, n), (2, b, p)}

   b) X x Y x Y = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), {(2, a, a),

     (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b)}.

    Exemplo 2. 5. 1. Se A é o conjunto das letras maiúsculas do
alfabeto português (26 letras) e B é o conjunto dos naturais de 0 a
9,represente sob a forma de conjunto, todas as placas de automóveis
possíveis no Brasil. Quantas são essas placas?

   Uma placa consiste em três letras seguidas por quatro algarismos.
O número total de placas possíveis é dado pelo cardinal do produto
cartesiano A x A x A x B x B x B x B.

   # (A x A x A x B x B x B x B) = 26 x 26x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263
x 104 = 175.760.000 placas.




           Aprenda Praticando - Exercícios 2.5



   Nesses exercícios, você terá oportunidade de explorar o conceito

                                                      37
Matemática Discreta



                de produto cartesiano envolvendo mais do que dois conjuntos.

                      1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}.
                         Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos.

                         a) X x X x X      b) Y x X x Y x Z

                      2. Calcular o cardinal dos conjuntos produto cartesiano da primeira
                         questão.

                      3. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z : -1 ≤ x ≤ 2} e B = {y ∈ Z : -1 ≤ y ≤
                         1}, pede-se:

                      a) Enumerar os elementos do conjunto A x B

                      b) Enumerar os elementos do conjunto B x A

                      c) Obter (A x B ) ∩ ( B x A )

                      d) Obter o cardinal de (A x B ) ∪ ( B x A )


                2.6. Identidades de conjuntos.

                    As operações entre conjuntos, tais como: união, interseção,
                diferença, diferença simétrica e complemento satisfazem diversas
                propriedades. Essas propriedades são apresentadas na forma
                de igualdade entre conjuntos e são chamadas de identidades de
                conjuntos.

                      Identidades de Conjuntos




                   Exemplo 2. 6. 1: Prove que A ∩ (B - A) = ∅ usando as identidades
                de conjuntos.

                      Prova: A ∩ (B-A) = A ∩ (B ∩      A)   pela definição de diferença

                                        = A ∩ ( A ∩ B) pela propriedade comutativa

                                        = (A ∩   A)   ∩ B pela propriedade associativa


                                          38
Matemática Discreta



                     = ∅ ∩ B pela propriedade de complemento

                     = ∅ por definição de interseção

     Exemplo 2. 6. 2: Prove que A ∪ (B - A) = A ∪ B usando as
identidades de conjuntos A ∪ (B-A) = A ∪ (B ∩ A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A )
= (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B.

     Exemplo 2.6.3: Provar a igualdade de De Morgan A ∪ B = A ∩ B
Teremos que provar que: A ∪ B ⊆ A ∩ B e que A ∩ B ⊆ A ∪ B ,
usando as definições das operações entre conjuntos.

     1.Suponha que x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∪ B. 3.De 2
temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A e x∈ B . 5. De 4,
temos que x∈ A ∩ B . Provamos que A ∪ B ⊆      A∩B

   1.Suponha que x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∈ A e x∈ B 3.De 2
temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∉ A ∪ B. 5.De 4, temos
que x ∈ A ∪ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A ∩ B

     Logo A ∪ B = A ∩ B .

  Exemplo 2. 6. 4: Provar que A ∩ B = A ∪ B (Igualdade de De
Morgan), usando as definições das operações entre conjuntos.

     1.Seja x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∩ B. 3.De 2 escrevemos
x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 5.De 4, temos que

x ∈ A ∪ B e, assim A ∩ B ⊆ A ∪ B .

   1.Seja x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 3.De 2, temos
que x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 escrevemos x ∉ A ∩ B. 5.De 4, temos que
x ∈ A ∩ B e, assim, A ∪ B ⊆ A ∩ B .

     Logo A ∩ B = A ∪ B .

   Exemplo 2. 6. 5: Provar que A = A , usando as definições das
operações entre conjuntos.

     Seja x ∈ A . Então x ∉ A . Logo x ∈ A. Assim provamos que A ⊆
A.

     Seja x ∈ A. Então x ∉ A . Logo x ∈ A . Provamos que A ⊆ A . Logo
A=A.

                                             39
Matemática Discreta



                   Exemplo 2. 6. 6: Mostre por meio da tabela de pertinência que,
                dados os conjuntos A, B e C então (A – B) – C = A – (B ∪ C).

                   Devemos construir as tabelas de pertinência do conjunto do
                primeiro membro e do segundo membro. Os conjuntos iguais
                apresentam tabelas de pertinência iguais.




                   Exemplo           2.6.7:     Mostre, por meio da tabela de
                pertinência          que dados os conjuntos A, B e C tem-se que

                    ( ∩ C) ⊕ ( ∩ C) = ( ⊕ B - C
                    A        B        A   )




                      Exemplos 2. 6.7: Simplifique              (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B
                                                                (
                .   (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B = ((A  A) (B  A) ∪ A ∩ B =
                    (                                     )                          (f  ( B  A))  A  B
                = (B ∩     A)  ( A  B ) = ((B∩ A )   ∪   A)   ∪   B   = A B = A B .




                                               40
Matemática Discreta




          Aprenda praticando - Exercícios 2.6


    Nos exercícios seguintes, pede-se que você apresente, por meio
da tabela de pertinência de conjuntos, uma prova da igualdade de
conjuntos. Compartilhe com seus colegas as tabelas de pertinência
feitas por você.
   1. Considere os conjuntos A, B e C. Prove, por meio da tabela de
      pertinência que:

      a) A ∩ (B - A) = ∅

      b) A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C

      c) A∪(B-A) = A∪B

      d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A

      e) A – B = A ∩ B

      f) (A – B) – C = (A - C) – B

      g) (A – B) – C = (A - C) – (B – C).

   2. Prove por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos
      A, B e C, as igualdades abaixo são verdadeiras.




   3. Use a tabela de pertinência para mostrar que (A ∪ B) - (A ∩B)
      = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B.

   4. Use a tabela de pertinência para verificar se    (A ∩ B ) ∩ A ∩ B
      = (A∪B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B.




                                             41
Matemática Discreta




                            Saiba Mais


                   As operações com conjuntos estudadas nesse capítulo apresentam
                propriedades importantes que tem relação com outras estruturas que
                serão vistas nos capítulos seguintes.

                   Sugerimos consultar os seguintes livros para aprofundar os
                seus conhecimentos em relação às operações entre conjuntos,
                suas propriedades, as diversas formas de provar a igualdade entre
                conjuntos:

                  - ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos
                conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997.

                      - ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática.
                São Paulo: Nobel, 1995.

                   - GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a
                Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio
                de Janeiro: LTC, 2004.

                   - LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
                de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004

                   - Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução.
                Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson
                Learning, 2003.




                                      42
Matemática Discreta



Capítulo 3 - Introdução à Lógica
Matemática

   A Lógica Matemática é base para qualquer estudo nas áreas de
Computação e Informática. Muitas demonstrações em Matemática
e muitos algoritmos em Ciência da Computação usam expressões
lógicas, tais como,“se P então Q” ou “se P e Q então P ou Q”. De
modo que, para desenvolver qualquer algoritmo, em conseqüência,
qualquer software, é necessário ter o conhecimento dos fundamentos
da Lógica. Existem linguagens de programação, tais como Prolog e
Haskel, que são desenvolvidas de acordo com o paradigma lógico.

   Nesse capítulo, seguiremos os fundamentos da Lógica Booleana
                                                                                Acesse
(George Boole2, 1815 – 1864), conjunto de princípios e métodos
usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas.
                                                                      2. http://www.
                                                                      santarita.g12.br/
         Uma proposição é uma construção (sentença, frase,            matematicos/gm1/
pensamento) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática, o    george_boole.htm

tipo de juízo é o verdadeiro (V) ou falso (F), não ambos.

    Para uma dada proposição p, denota-se por V(p) o seu valor
verdade, de modo que V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F, se p é
falsa.

   São proposições:

      p: 6 é um número primo

      q: (72)3 = 76

      r: =1, 4142

      s: Linux é um software livre.

   Para cada uma delas, o valor-verdade é como segue: V(p) = F,
V(q)= V, V(r) = F, V(s) = V.

   Não são proposições:

      p: Como vai você?

      q: Não chegue atrasado!

      r: x + 2 = 5

      t: “O que estou dizendo agora é mentira”.


                                            43
Matemática Discreta



                    3.1 Proposições compostas.

                       As proposições estudadas até aqui são ditas proposições simples,
                    no sentido de que não podem ser decompostas em proposições
                    mais simples. É possível, a partir de proposições simples, construir
                    proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas,
                    usando os conectivos lógicos ∨ (OU), ∧ (E), ¬ (NÃ0).

                            Negação ¬p. A negação de uma proposição é construída
                    introduzindo a palavra não de forma apropriada ou prefixando-
                    se a expressão “não é fato que”, como nos exemplos a seguir:.
                    Considerando uma proposição p, sua negação é denotada por ¬p.
                    Alguns autores usam a notação ~p, outros usam p’.

                          p: Linux é um software livre   ¬p : Linux não é um software livre.

                          q: Paris não fica na França.   ¬q : Paris fica na França.

                          r : 2 ≥ 1,5                    ¬ r : 2 < 1,5

                           A tabela-verdade descreve todas as possibilidades dos
                    valores lógicos de uma proposição. A tabela lista todas as possíveis
                    combinações de valores-verdade V ou F para as componentes simples
                    envolvidas na composição da proposição composta.

                        Quando a proposição é composta de duas proposições simples,
                    sua tabela-verdade contém quatro linhas. Em geral, se uma proposição
                    é composta de n proposições simples, sua tabela-verdade contém 2n
                    linhas.

                        Vamos iniciar a construção das tabelas-verdade? Iniciaremos com
         Atenção    a tabela da negação.

                           Negação. A tabela – verdade da negação apresenta apenas
Você percebeu       duas linhas, pois envolve uma só proposição.
semelhança da
tabela ao lado
com alguma
tabela envolvendo
conjuntos?
Recorde a tabela
de pertinência do
complementar de
um conjunto!
                       Isto é, se p é verdadeira, então ¬p é falsa. Se p é falsa, então ¬p
                    é verdadeira.

                          Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q, denota-se
                    por p ∧ q ( lê-se p e q ), tem valor lógico verdadeiro quando p e q são


                                             44
Matemática Discreta



ambas verdadeiras e, tem valor lógico falso, em qualquer outro caso.
Abaixo segue a tabela da conjunção exemplos.
                                                                                 Atenção
                                                                        E agora, você
                                                                        percebeu
                                                                        semelhança da
                                                                        tabela ao lado
                                                                        com a tabela
                                                                        de pertinência
                                                                        da interseção
                                                                        conjuntos?


   p: Windows é um sistema operacional

   q: Java é uma linguagem de programação.

   p∧q : Windows é um sistema operacional e q: Java é uma linguagem
de programação

   V(p∧q)=V

   p: Windows é um sistema operacional.

   q: Java é uma planilha eletrônica

   p∧q : Windows é um sistema operacional e Java é uma planilha
eletrônica

   V(p∧q)=F

   p: Windows é um editor de textos.

   q: Java é uma linguagem de programação

   p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma linguagem de
programação

   V(p∧q)=F

   p: Windows é um editor de textos.

   q: Java é uma planilha eletrônica.

   p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma planilha
eletrônica

   V(p∧q)=F

      Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q, denota-se
por p ∨ q ( lê-se p ou q ) reflete a noção de que pelo menos uma
das proposições deve ser verdadeira para que a resultante seja
verdadeira. De modo que, a proposição p ∨ q é verdadeira, se pelo
menos uma das proposições é verdadeira; falsa, se as proposições

                                           45
Matemática Discreta



                    são todas falsas. A tabela-verdade da disjunção é :


         Atenção

Nesta tabela,
você percebeu
semelhança
com a tabela de
pertinência da
união conjuntos?




                          Exemplos:

                          p: Windows é um sistema operacional.

                          q: C++ é uma linguagem de programação.

                          p∨q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma linguagem
                            de programação

                          V(p∨q)=V

                          p: Windows é um sistema operacional.

                          q: C++ é uma planilha eletrônica

                          p ∨ q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma planilha
                             eletrônica

                          V(p ∨ q)=V

                          p: Windows é um editor de textos.

                                            46
Matemática Discreta



   q: C++ é uma linguagem de programação

   p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma linguagem
      de programação

   V(p ∨ q)=V

   p: Windows é um editor de textos.

   q: C++ é uma planilha eletrônica.

   p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma planilha

   V(p ∨ q)=F

       Condicional. (Implicação). A condicional envolvendo duas
proposições p e q, denota-se por p → q que é lida: “Se p então q”. A
proposição p é chamada premissa (antecedente) e a proposição q é
dita conclusão (conseqüente).

   A condicional reflete a noção de que, partindo-se de uma premissa
verdadeira (p verdadeira) obrigatoriamente chega-se a uma conclusão
verdadeira (q verdadeira), para que a condicional p → q seja
verdadeira. Partindo-se de uma premissa falsa, qualquer conclusão
pode ser considerada, e a condicional é verdadeira. A condicional
é falsa apenas quando a premissa é verdadeira e a conclusão é
falsa.

   Resumo: a condicional p → q é:

   Falsa, quando p é verdadeira e q falsa.

   Verdadeira, nos outros casos.

   A tabela-verdade da condicional é:




                                             47
Matemática Discreta




                      Exemplo:

                   Analisaremos a seguinte situação condicional: Pedro diz: “Se
                chover domingo então ficarei estudando”.

                  Vamos considerar as seguintes hipóteses e vejamos se Pedro
                cumpriu sua palavra (V):

                      a) Domingo choveu (V) e Pedro ficou estudando (V).

                         Pedro cumpriu com a sua palavra (V)

                      b) Domingo choveu (V) e Pedro não ficou estudando (F).

                         Pedro não cumpriu sua palavra (F)

                      c) Domingo não choveu (F) e Pedro ficou estudando (V).

                         Pedro cumpriu sua palavra (V), pois não disse o que faria se
                         não chovesse. Nesse caso, poderia ou não ficar estudando.

                      d) Domingo não choveu (F) e Pedro não ficou estudando (F).

                         Pedro cumpriu sua palavra (V), pelos motivos explicados na
                         letra (c).

                      Exemplos: Considere as proposições seguintes:

                      p: Recife fica no Brasil           q:    2 + 3=4


                                          48
Matemática Discreta



   r: 2 + 2 = 4                           t: Recife fica na Índia

   p → r : Se Recife fica no Brasil então 2 + 2 = 4     V(p→ r) = V

   p → q : Se Recife fica no Brasil então 2 + 3 = 4     V(p→ q) = F

   t → q : Se Recife fica na Índia então 2 + 3 = 4      V(t→ q) = V

   q → r : Se 2 + 3 = 4 então 2 + 2 = 4                 V(q→ r) = V

       Bicondicional. A bicondicional envolve duas proposições p e
q, é denotada por p↔q e é lida: “p se somente se q”, traduz a noção
de uma dupla condicional, uma no sentido “ida” p→q e outra no
sentido “volta” q→p.A tabela-verdade da bicondicional é dada abaixo:




    Isto é, a bicondicional é verdadeira quando as proposições são
ambas verdadeiras ou ambas falsas. A bicondicional é falsa, quando
as proposições p e q têm valores-verdade distintos. Observe que a
bicondicional p↔q tem o mesmo significado que (p→q) ∧(q→p). Faça
a tabela-verdade.

       Duas proposições p e q são logicamente equivalentes se têm
tabelas-verdade idênticas e escrevemos p ≡ q

   Observe que a tabela-verdade da condicional p→q é a mesma da
proposição composta ¬ p∨q




  Dizemos que a condicional p → q é equivalente a ¬p∨q, isto é, p
→ q ≡ ¬p∨q




                                              49
Matemática Discreta




                            Aprenda Praticando - Exercícios 3.1



                   Você vai agora praticar a construção de tabela-verdade de
                proposições compostas e verificar as que são equivalentes,
                comparando a última coluna de cada uma delas.

                      1. Mostre que as proposições abaixo são equivalentes, em cada
                         caso:

                        a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)

                        b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)

                        c) p→q ≡ ¬(p∧¬q)

                        d) p ∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r)

                        e) ¬(p→q) ≡ p∧¬q

                        f) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧¬q)

                        g) p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q)




                            Respostas dos Exercícios 3.1



                   Apresentamos as respostas de alguns exercícios. Em relação aos
                outros exercícios, comente com seus colegas. Dificuldade? Peça
                ajuda ao seu tutor.




                                        50
Matemática Discreta



   a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q)




   b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q)




   c) p→q ≡ ¬(p ∧¬ q)




3.2 Tautologias e Contradições

      Tautologia (V) é uma proposição que toma o valor V para todas
as possíveis atribuições de valor V e/ou F para as suas componentes
simples nela presentes. Por exemplo, p ∨ ¬ p.

      Contradição (F) é uma proposição que toma o valor F para todas
as possíveis atribuições de valor V e/ou F para suas componentes
simples nela presentes. Por exemplo, p ∧ ¬ p

      Contingência é uma proposição cuja tabela-verdade consta V
e F. Por exemplo, a conjunção p ∧ q e a disjunção são exemplos de
contingências.




                                           51
Matemática Discreta




                   Exemplo 3.2.1 A proposição p →(p∨q) é uma tautologia. Confira a
                sua tabela-verdade.




                  Exemplo 3.2.2 A proposição (p→q) ∧(p∧ ¬ q) é uma contradição.
                Confira a sua tabela-verdade.




                            Aprenda Praticando - Exercícios 3.2



                   Decida quais as proposições abaixo são tautologias, contradições
                ou contingências. Faça a tabela.

                      1. Quais proposições abaixo são tautologias, contradições ou
                         contingências?

                        a) (p∨¬q) ∨(p∨q)

                        b) (p∧q) → (p∨q)

                        c) ¬p → (q→p)

                        d) (x ∧ (x → y)) → y

                        e) ((x→y) ∧ (y→z)) → (x→z)

                                        52
Matemática Discreta



      f) (p∨ ¬q) → (p→¬q)

      g) (¬p ∨ q) → (p→q)

      h) (p∧q) → (p↔q)

      i) (¬p) ∧(p∧¬q)

      j) ¬(p∨q) → (p↔q)

      j) (p→q) ↔(¬q→¬p)

   2. Qual o valor-verdade das seguintes proposições?

      a) 8 é par ou 6 é ímpar

      b) 8 é par e 6 é ímpar

      c) 8 é impar ou 6 é ímpar

      d) Se 8 é ímpar, então 6 é par.

      e) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar

      f) Se 8 é impar ou 6 é par, então 8 < 6.

      g) Se 8 é par, e 6 é ímpar então 6 > 8.




             Respostas dos Exercícios 3.2



   1. a) Tautologia b) Tautologia. c) Contingência. d) Tautologia.

   e) Tautologia.     f) Tautologia     g) Tautologia.   h) Tautologia.

   i) Contingência. j) Tautologia.      k) Tautologia.

  2. a) V.    b) V.     c) F.   d) V.     e) V.   f) F   g) V.


3.3 Negação de conjunção e de disjunção

     DE MORGAN

  Considere a conjunção p ∧ q e a disjunção p ∨ q.

   A negação da conjunção é denotada por ¬(p ∧ q) e é equivalente
a ¬p ∨ ¬q.


                                                  53
Matemática Discreta



                   A negação da disjunção é expressa por ¬(p ∨ q) e é equivalente a
                ¬p ∧ ¬q.

                      Confira fazendo a tabela-verdade:

                      ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e de ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.




                3.4 Álgebra das proposições.

                   Você observou, nesse capítulo, que as proposições, a exemplo
                dos conjuntos, satisfazem várias propriedades que estão listadas na
                tabela abaixo. Cabe ao leitor, identificar aquelas propriedades que
                correspondem às dos conjuntos:




                      Exemplo 3.3.1

                   a) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é
                “Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá”.

                      b) A negação de 2 < 7 ou 3 é par é : 2 ≥ 7 e 3 é ímpar.

                      Exemplo 3.3.2. Considere as seguintes proposições:

                         p: Rosas são vermelhas. q:Violetas são azuis.

                         r: Cravos são brancos.    s: Cravos são vermelhos.

                   A forma simbólica usando os conectivos ∧, ∨ , ¬ , → e ↔, das
                seguintes proposições compostas:

                      a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

                      a) p∧q



                                        54
Matemática Discreta



   b)Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis.

   b) ¬p ∨¬q

   c) Cravos são brancos ou vermelhos.

   c) r∨s

   d) Cravos não vermelhos ou violetas não são azuis.

   d) ¬s∨¬q

   e) Não é verdade que violetas são azuis e rosas são vermelhas.

   e) ¬(q∨p)

   f) É falso que cravos são vermelhos ou brancos.

   f) ¬(s∨r)

   g) Se cravos são brancos, então cravos são vermelhos e violetas
são azuis.

   g) r → s ∧ q

   h) Se rosas não são vermelhas, então violetas não são azuis ou
cravos não são brancos.

   h) ¬p →¬ q ∨ ¬r

   i) Se violetas são azuis e cravos brancos, então é falso que cravos
são brancos ou vermelhos.

   i) (q∧r)→¬(r∨s)

   j) Rosas são vermelhas se e somente se cravos são brancos.

   j) p ↔r

   Exemplo 3.3.3. Os conectivos lógicos E (AND) , OU (OR) e Não
(NOT), correspondentes, respectivamente a, ∧, ∨ e ¬, são usados em
algumas linguagens de programação conjuntamente com expressões
verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final.

   Suponha as seguintes variáveis

   “Fluxo_de_saída”, “Fluxo _de_entrada” e “Pressão” e o seguinte
programa de computador:
If [ (Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ((Fluxo_de_saída > Fluxo
_de_entrada) and Pressão <1000 )]

   do Ponha água;


                                                55
Matemática Discreta



                Else

                      do Desligue a máquina;

                  Pondo P = Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada e Q = Pressão
                <1000, a expressão usada no programa se escreve P ∧¬ (P ∧Q).

                      Essa expressão pode ser simplificada assim:

                  P ∧¬ (P ∧Q) = P ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) = (P ∧¬P) ∨ (P ∧¬Q) = 0 ∨ (P
                ∧¬Q) = P ∧¬Q.

                      Assim o programa poderia ser reescrito na forma:
                If ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ( Pressão < 1000))

                      do Ponha água;

                else

                      do Desligue a máquina;

                   Exemplo 3. 3. 4 Suponha que P, Q e R representam condições
                que serão verdadeiras ou falsas quando certo programa é executado.
                O programa manda realizar uma tarefa somente quando P ou Q for
                verdadeira ( mas não ambas) e R for falsa. Escreva uma proposição
                usando os conectivos and , or e not que seja verdadeira apenas
                dessas condições.

                  Resp. ( (P and not Q) or (not P and Q) and not R ) ) ou seja ( (P
                ∧¬Q) ∨ ( ¬P ∧Q) ) ∧ ¬R.

                   Exemplo 3. 3. 5 Reescreva o programa abaixo com uma
                expressão condicional mais simples. A função impar(número) tem
                valor verdadeiro se n é ímpar.

                   Se não ( (valor 1 < valor 2) ou ímpar (número) ) ou ( não (valor
                1 < valor 2) e ímpar(número)) então

                      faça Alguma Coisa;

                      Caso contrário

                      faça Outra Coisa;

                   Resp. Sugestão:             Ponha A = valor 1 < valor 2        e    B =
                impar(número)

                      A expressão condicional é : ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B)

                   Assim, ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) = ( ¬A ∧ ¬B) ∨( ¬A ∧B) = ¬A ∧( ¬B ∨
                B) = ¬A∧(T) = ¬A

                                          56
Matemática Discreta




         Aprenda Praticando - Exercícios 3.3



   Novamente, solicitamos que revise o conteúdo dessa seção e
resolva os exercícios seguintes.

  1. Determinar as proposições compostas por conjunção ∧ com as
     proposições simples p e q, antecedidas ou não por negação
     ¬, que satisfazem a cada um das tabelas-verdade abaixo
     indicadas.




  2. Repetir o exercício com disjunção ∨.




  3. Repetir o exercício com condicional →.




  4. Mostre por meio da tabela-verdade que as proposições p→q e
     ¬q → ¬ p são equivalentes.

     Use a equivalência para resolver as questões seguintes.




                                            57
Matemática Discreta




                      5. (ESAF / AFTN) Considere as seguintes afirmações:

                        - Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm
                        a mesma idade.

                        - Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço
                        do que Pedro.

                        - Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho
                        do que Maria.

                        Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

                        a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do
                        que Pedro.

                        b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a
                        mesma idade.

                        c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.

                        d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do
                        que Pedro.

                        e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não
                        têm a mesma idade.

                      6. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:

                        a) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.

                        b) Rodrigo é culpado.

                        c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.

                        d) Rodrigo mentiu.

                        e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu




                                        58
Matemática Discreta




            Respostas dos Exercícios 3.3 e 3.4



   1.

   5. e

   6. c.


3.5 Funções proposicionais. Quantificadores.

        Considere as seguintes sentenças   p: 3 + 6 = 9   q: x + 4 < 9.

   A sentença p, como sabemos, é verdadeira, ao passo que, nada
podemos afirmar sobre o valor lógico da sentença q enquanto x
não for identificado. Dependendo do valor de x, esta sentença pode
assumir o valor verdadeiro ou falso. Nesse caso, a sentença q é dita
uma sentença aberta ou função proposicional.

   De um modo geral, p(x) significa que x tem a propriedade p. Nas
sentenças abertas p(x), p(y), os símbolos x, y são chamados de
                                                                                      Atenção
variáveis. O conjunto de valores que a variável pode assumir constitui
                                                                           A sentença ∀ x,
o seu conjunto universo U. O subconjunto de U para os quais o valor        p(x) é verdadeira se
                                                                           o conjunto-verdade
lógico da sentença aberta é verdadeiro é o conjunto V, dito conjunto-      de p(x) e o seu
                                                                           conjunto universo
verdade da sentença aberta. Exemplos.
                                                                           são iguais, isto é,
                                                                           U=V e, falsa , se
   a) Considere a proposição p(x) “x + 2 > 9 “ com x ∈ N. O conjunto-          ≠ V.
                                                                           U
verdade V = {8, 9, 10 ,l 1, ....}

   b) A proposição p(x) “x + 7 < 4“ com x ∈ N tem conjunto verdade
V = φ.

   c) A proposição p(x) “ x + 7 > 4 “ com x ∈ N tem V = N.

   Os exemplos acima mostram que, se uma proposição p(x) é
definida para x do universo U, então p(x) pode ser verdade para todo                  Atenção
x ∈ U, para algum x ∈ U, ou para nenhum x ∈ U.
                                                                           A sentença ∃x, p(x)
                                                                           é verdadeira se o
                                                                           conjunto-verdade
3.5.1 Quantificadores.                                                     de p(x) é não vazio,
                                                                           V ≠ φ e, falso se V
                                                                           =φ
   Usaremos o símbolo ∀, chamado quantificador universal, para
exprimir o fato de que “ para todo x em um conjunto, a proposição

                                             59
Matemática Discreta



                      p(x) é verdadeira”. Uma proposição do tipo “ Para todo x, p(x) “ é
                      simbolicamente denotada por “∀x, p(x)”.

                           Exemplos:

                          ∀x∈N, x  = x é verdadeira pois V(p(x)) = N             ∀x∈Z, x  = x
                      é falsa, pois V(p(x)) = N ≠ Z

                         ∀x∈N*, x2 + 1 ≥ 2 é verdadeira, pois V(p(x)) = N*        ∀x∈Z, x2 ≥ 0 é
                      verdadeira, pois V(p(x)) = Z

                         Analogamente, no caso de proposições que envolvem expressões
                      do tipo “existe”, “há pelo menos um”, “algum”, usaremos o símbolo ∃,
                      chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para
                      um ou mais elementos de um dado conjunto U a proposição p(x) é
           Atenção
                      verdadeira. Uma proposição do tipo “existe um x tal que p(x) ” pode
                      ser escrita simbolicamente: “∃x, p(x)”.
A negação da
sentença ∀x, p(x)        Exemplo: A proposição “ ∃x, x∈N” tem os seguintes significados:
é ∃x, ¬ p(x).
Logo, ¬ (∀x, p(x))
                      “ existe um x tal que x∈N”, “algum número é natural”, “existe pelo
é equivalente a ∃x,   menos um número natural”.
¬ p(x).
                        Exemplos: ∃n, n ∈ N : n + 2 = 5 é verdadeira, pois V(p(n)) = { 3 }
                      ≠∅
           Atenção
                           ∃x, x ∈ N: x + 2 = 0 é falsa, pois V(p(x)) = ∅
A negação da
sentença ∃x,               ∃x∈{1, 2, -3, -4}, x2 + x - 6 = 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = {2, -3}
p(x) é ∀x, ¬ p(x).
Logo, ¬ ∃ (x, p(x))        ∃n, n ∈ N, n! < 10 é verdadeira, pois V(p(n)) = {0, 1, 2, 3}
é equivalente a∀x,
¬ p(x).

                      3.5.2 Negação de sentenças quantificadas

                           Exemplos: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5 }

                           a) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 = 10          é ∀x∈A, x + 3 ≠
                      10

                           b) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 < 5 é ∀x∈A, x + 3 ≥ 5

                           c) A negação de ∀x∈A, x + 3 < 10 é ∃x ∈ A, x + 3 ≥ 10

                           d) A negação de ∀x∈A, x + 3 ≤ 7 é ∃x ∈ A, x + 3 > 7




                                                60
Matemática Discreta




         Aprenda Praticando - Exercícios 3.4



1.Escreva as proposições seguintes utilizando a notação de
   quantificador (isto é, use os símbolos ∀ e/ou ∃ ).

     a) Todo inteiro é primo.

     b) Há um inteiro que não é primo.

     c) Existe um inteiro cujo quadrado é 4.

     d) Todos os inteiros são divisíveis por 5.

     e) Algum inteiro é divisível por 7.

     f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo.

     g) Para todo número inteiro x, existe um inteiro y tal que x.y =1.

     h) Existem dois inteiros x e y tais que x/y =10.

2. Escreva a negação de cada uma das proposições do problema
     anterior. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente.

3. Assinale como verdadeiras ou falsas as proposições abaixo
     relativas aos números inteiros:

     a) ∀x, ∀y, x + y = 0         b) ∀x, ∃y, x + y = 0

     c) ∃x, ∀y, x + y = 0         d)   ∃x, ∃y, x + y = 0

     e) ∀x, ∀y, x.y = 0           f) ∀x, ∃y, x.y = 0

     g) ∃x, ∀y, x.y = 0           h)   ∃x, ∃y, x.y = 0.

4.     Para cada uma das proposições seguintes, escreva a
     negação.

     a) ∀x ∈ Z, x < 0.

     b) ∃ x ∈ Z, x = x + 1

     c) ∃ x ∈ N, x > 10

     d) ∀ x ∈ N, x + x = 2x

     e) ∃ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x > y.

     f) ∀ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y.

                                               61
Matemática Discreta



                           g) ∀ x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.

                   5. Mostre por meio da tabela-verdade se as proposições abaixo
                são equivalentes:

                           a) p ∧ p ⇔ p             b) p ∨ p ⇔ p

                           c) p ∨ q ⇔ q ∨ p         d) p ∧ q ⇔ q ∧ p

                           e) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

                           f) p∨(q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r)

                           g) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

                           h) ( p → q) ⇔ ( q’ → p’)

                      6.     Considere as seguintes sentenças abertas cujo domínio
                           consiste nos números inteiros Z:

                           O(x) : x é impar        L(x) : x < 10    G(x) : x > 9

                           Qual o valor-verdade de cada uma das seguintes sentenças
                           abertas?:

                           a) ∃x : O(x)

                           b) ∀x [ L(x) → O(x) ]

                           c) ∃x [ L(x) ∧ G(x) ]

                           d) ∀x [L(x) ∨ G(x)]

                      7. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras
                           e que as proposições “y = z” e “y = t” são falsas, determinar o
                           valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

                           a) (x = 0 ) ∧(x = y) → (y ≠ z)

                           b) (x ≠ 0 ) ∨ (y = t) → (y = z)

                           c) (x = 0 ) → (x ≠ y) ∨( y ≠ t)

                           d) (x ≠ 0 ) ∨(x ≠ y) → (y ≠ z)

                      8. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir,
                         considerando o conjunto universo de       todos os números
                         inteiros Z.

                           a) ∀n, n2 ≥ 0            b) ∃n, n2 = 2          c) ∀n, n2 ≥ n

                           d) ∀n ∃m, n2 < m.        e) ∃n ∀m, n < m2       f) ∃n ∀m, n + m = 0,



                                              62
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7
Matematica discreta fasciculo_1_v7

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Funcoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.pptFuncoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.ppt
Rodrigo Carvalho
 
Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
Fórmulas   estatística - medidas - central e dispersãoFórmulas   estatística - medidas - central e dispersão
Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
marioferreiraneto
 
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
wilkerfilipel
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
wab030
 
Limite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveisLimite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveis
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Diego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Diego Oliveira
 
Matematica Financeira
Matematica FinanceiraMatematica Financeira
Matematica Financeira
Superprovas Software
 
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Matemática  volume único edwaldo bianchini e herval paccolaMatemática  volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Adriana Barbosa
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
Pedro Henrique Drehmer
 
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionadaExercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Diego Oliveira
 
Matemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
Matemática Financeira - Rendas Certas ou AnuidadesMatemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
Matemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
Leidson Rangel
 
Áreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidosÁreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidos
Joana Ferreira
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
Péricles Penuel
 
Lógica: Exercícios Resolvidos
Lógica: Exercícios ResolvidosLógica: Exercícios Resolvidos
Lógica: Exercícios Resolvidos
numerosnamente
 
Pre- Calculo
Pre- CalculoPre- Calculo
Pre- Calculo
Jaine Fernandes
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Moda de Czuber - Estatística Descritiva
Moda de Czuber - Estatística DescritivaModa de Czuber - Estatística Descritiva
Moda de Czuber - Estatística Descritiva
Anselmo Alves de Sousa
 

Mais procurados (20)

Funcoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.pptFuncoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.ppt
 
Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
Fórmulas   estatística - medidas - central e dispersãoFórmulas   estatística - medidas - central e dispersão
Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
 
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)Lógica matemática (exercícios resolvidos)
Lógica matemática (exercícios resolvidos)
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
 
Limite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveisLimite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveis
 
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
 
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
 
Matematica Financeira
Matematica FinanceiraMatematica Financeira
Matematica Financeira
 
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Matemática  volume único edwaldo bianchini e herval paccolaMatemática  volume único edwaldo bianchini e herval paccola
Matemática volume único edwaldo bianchini e herval paccola
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
 
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionadaExercícios Resolvidos: Taxa relacionada
Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada
 
Matemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
Matemática Financeira - Rendas Certas ou AnuidadesMatemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
Matemática Financeira - Rendas Certas ou Anuidades
 
Áreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidosÁreas e volumes de sólidos
Áreas e volumes de sólidos
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
 
Função logarítmica definição e propeiedades
Função logarítmica   definição e propeiedadesFunção logarítmica   definição e propeiedades
Função logarítmica definição e propeiedades
 
Lógica: Exercícios Resolvidos
Lógica: Exercícios ResolvidosLógica: Exercícios Resolvidos
Lógica: Exercícios Resolvidos
 
Pre- Calculo
Pre- CalculoPre- Calculo
Pre- Calculo
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
 
Moda de Czuber - Estatística Descritiva
Moda de Czuber - Estatística DescritivaModa de Czuber - Estatística Descritiva
Moda de Czuber - Estatística Descritiva
 

Destaque

HVAC Service Class
HVAC Service ClassHVAC Service Class
HVAC Service Class
adadams
 
HVAC Control Systems
HVAC Control SystemsHVAC Control Systems
HVAC Control Systems
acshvac
 
Trg trc017-en hvac system control
Trg trc017-en hvac system controlTrg trc017-en hvac system control
Trg trc017-en hvac system control
VoVi Phap Danh
 
Instalația de aer comprimat
Instalația de aer comprimatInstalația de aer comprimat
Instalația de aer comprimat
Alex Alexutzuu
 
Hvac course
Hvac courseHvac course
Hvac course
hvactrg1
 
SCADA
SCADASCADA
21 hvac design manual
21 hvac design manual21 hvac design manual
21 hvac design manual
bhattbhai
 
Hvac controls operation and maintenance 3rd edition g. w. gupton
Hvac controls operation and maintenance   3rd edition g. w. guptonHvac controls operation and maintenance   3rd edition g. w. gupton
Hvac controls operation and maintenance 3rd edition g. w. gupton
ronald59
 
Trg trc003-en refrigeration cycle
Trg trc003-en refrigeration cycleTrg trc003-en refrigeration cycle
Trg trc003-en refrigeration cycle
VoVi Phap Danh
 
Hvac systems
Hvac systemsHvac systems
Hvac systems
Husain Baqer
 
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC SystemsStep 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
Synergy Airflow and Ventilation
 
HVAC Fundamentals
HVAC  FundamentalsHVAC  Fundamentals
HVAC Fundamentals
GAUTAM KOPPALA (JORGE)
 
Hvac formulas
Hvac formulasHvac formulas
Hvac formulas
hvactrg1
 
day 3: Control Concepts & BMS
day 3: Control Concepts & BMS day 3: Control Concepts & BMS
day 3: Control Concepts & BMS
RCREEE
 
Bms system basic
Bms system  basicBms system  basic
Bms system basic
Ashwini Karkara
 

Destaque (15)

HVAC Service Class
HVAC Service ClassHVAC Service Class
HVAC Service Class
 
HVAC Control Systems
HVAC Control SystemsHVAC Control Systems
HVAC Control Systems
 
Trg trc017-en hvac system control
Trg trc017-en hvac system controlTrg trc017-en hvac system control
Trg trc017-en hvac system control
 
Instalația de aer comprimat
Instalația de aer comprimatInstalația de aer comprimat
Instalația de aer comprimat
 
Hvac course
Hvac courseHvac course
Hvac course
 
SCADA
SCADASCADA
SCADA
 
21 hvac design manual
21 hvac design manual21 hvac design manual
21 hvac design manual
 
Hvac controls operation and maintenance 3rd edition g. w. gupton
Hvac controls operation and maintenance   3rd edition g. w. guptonHvac controls operation and maintenance   3rd edition g. w. gupton
Hvac controls operation and maintenance 3rd edition g. w. gupton
 
Trg trc003-en refrigeration cycle
Trg trc003-en refrigeration cycleTrg trc003-en refrigeration cycle
Trg trc003-en refrigeration cycle
 
Hvac systems
Hvac systemsHvac systems
Hvac systems
 
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC SystemsStep 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
Step 4 - Properly Sized, Designed, Installed, and Commissioned HVAC Systems
 
HVAC Fundamentals
HVAC  FundamentalsHVAC  Fundamentals
HVAC Fundamentals
 
Hvac formulas
Hvac formulasHvac formulas
Hvac formulas
 
day 3: Control Concepts & BMS
day 3: Control Concepts & BMS day 3: Control Concepts & BMS
day 3: Control Concepts & BMS
 
Bms system basic
Bms system  basicBms system  basic
Bms system basic
 

Semelhante a Matematica discreta fasciculo_1_v7

Matematica discreta fasciculo_3_v06
Matematica discreta fasciculo_3_v06Matematica discreta fasciculo_3_v06
Matematica discreta fasciculo_3_v06
CLEAN LOURENÇO
 
Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
WANDERSON JONER
 
Analise real vol 1
Analise real vol 1Analise real vol 1
Analise real vol 1
Andreia Vilacha
 
2010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.12010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.1
Kelly Do Vale
 
Matemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administraçãoMatemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administração
Camila Santos
 
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃOLIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Os Fantasmas !
 
Ma12 20160512-wa0001
Ma12 20160512-wa0001Ma12 20160512-wa0001
Ma12 20160512-wa0001
Jair Ferreira
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basica Apostila matematica basica
Apostila matematica basica
rosefarias123
 
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdfMATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
SilvanioRodriguesCos
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basicaApostila matematica basica
Apostila matematica basica
Diego Alves
 
Apostila de Aritmética Modular
Apostila de Aritmética ModularApostila de Aritmética Modular
Apostila de Aritmética Modular
marcobazuca
 
Apostila tcc
Apostila tccApostila tcc
Apostila tcc
apfheob
 
Metas aprendizagem-matematica 3.ciclo
Metas aprendizagem-matematica 3.cicloMetas aprendizagem-matematica 3.ciclo
Metas aprendizagem-matematica 3.ciclo
Rui Correia
 
Modulo 1-matematica
Modulo 1-matematicaModulo 1-matematica
Modulo 1-matematica
Dionisio Ussaca
 
Apostila funcoes
Apostila funcoesApostila funcoes
Apostila funcoes
Alessandra Nascimento
 
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdfPoliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
WesleyFreitas38
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Claudia Sá de Moura
 
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Ronildo Oliveira
 
Plano de aula sobre Progressões
Plano de aula sobre ProgressõesPlano de aula sobre Progressões
Plano de aula sobre Progressões
xtganderson
 
123
123123

Semelhante a Matematica discreta fasciculo_1_v7 (20)

Matematica discreta fasciculo_3_v06
Matematica discreta fasciculo_3_v06Matematica discreta fasciculo_3_v06
Matematica discreta fasciculo_3_v06
 
Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
 
Analise real vol 1
Analise real vol 1Analise real vol 1
Analise real vol 1
 
2010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.12010 Análise Real vol.1
2010 Análise Real vol.1
 
Matemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administraçãoMatemática aplicada à administração
Matemática aplicada à administração
 
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃOLIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
LIVRO PROPRIETÁRIO - MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
 
Ma12 20160512-wa0001
Ma12 20160512-wa0001Ma12 20160512-wa0001
Ma12 20160512-wa0001
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basica Apostila matematica basica
Apostila matematica basica
 
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdfMATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
MATEMATICA_Ciencia_Aplicacoes_V3_PNLD2018_PR.pdf
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basicaApostila matematica basica
Apostila matematica basica
 
Apostila de Aritmética Modular
Apostila de Aritmética ModularApostila de Aritmética Modular
Apostila de Aritmética Modular
 
Apostila tcc
Apostila tccApostila tcc
Apostila tcc
 
Metas aprendizagem-matematica 3.ciclo
Metas aprendizagem-matematica 3.cicloMetas aprendizagem-matematica 3.ciclo
Metas aprendizagem-matematica 3.ciclo
 
Modulo 1-matematica
Modulo 1-matematicaModulo 1-matematica
Modulo 1-matematica
 
Apostila funcoes
Apostila funcoesApostila funcoes
Apostila funcoes
 
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdfPoliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
Poliedro Matemática ( etc.)Portugueseportuguês (Z-Library).pdf
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
 
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
 
Plano de aula sobre Progressões
Plano de aula sobre ProgressõesPlano de aula sobre Progressões
Plano de aula sobre Progressões
 
123
123123
123
 

Mais de CLEAN LOURENÇO

Produtos multiídia rosinalva lopes
Produtos multiídia rosinalva lopesProdutos multiídia rosinalva lopes
Produtos multiídia rosinalva lopes
CLEAN LOURENÇO
 
Produção midias poloananas_cleanlourenco
Produção midias poloananas_cleanlourencoProdução midias poloananas_cleanlourenco
Produção midias poloananas_cleanlourenco
CLEAN LOURENÇO
 
IV DIA D DA MATEMÁTICA 2011
IV DIA D DA MATEMÁTICA  2011IV DIA D DA MATEMÁTICA  2011
IV DIA D DA MATEMÁTICA 2011
CLEAN LOURENÇO
 
Evidências do projeto geometria e artes
Evidências do projeto geometria e artesEvidências do projeto geometria e artes
Evidências do projeto geometria e artes
CLEAN LOURENÇO
 
Avaliação 6° ano - 2° b - 2011
Avaliação   6° ano - 2° b - 2011Avaliação   6° ano - 2° b - 2011
Avaliação 6° ano - 2° b - 2011
CLEAN LOURENÇO
 
Texto Dengue - Tocantins
Texto   Dengue - TocantinsTexto   Dengue - Tocantins
Texto Dengue - Tocantins
CLEAN LOURENÇO
 
7º ano ângulos
7º ano    ângulos7º ano    ângulos
7º ano ângulos
CLEAN LOURENÇO
 
Avaliação 8° ano 2° av
Avaliação 8° ano   2° avAvaliação 8° ano   2° av
Avaliação 8° ano 2° av
CLEAN LOURENÇO
 
Atividade 1 números inteiros
Atividade 1   números inteirosAtividade 1   números inteiros
Atividade 1 números inteiros
CLEAN LOURENÇO
 
Atividade de matemática tratamento da informação - dengue
Atividade de matemática    tratamento da informação - dengueAtividade de matemática    tratamento da informação - dengue
Atividade de matemática tratamento da informação - dengue
CLEAN LOURENÇO
 
Programacao ii volume1_v_final
Programacao ii volume1_v_finalProgramacao ii volume1_v_final
Programacao ii volume1_v_final
CLEAN LOURENÇO
 
Atividade números inteiros operações
Atividade números inteiros    operaçõesAtividade números inteiros    operações
Atividade números inteiros operações
CLEAN LOURENÇO
 
Banco de dados_-_volume_4_v10
Banco de dados_-_volume_4_v10Banco de dados_-_volume_4_v10
Banco de dados_-_volume_4_v10
CLEAN LOURENÇO
 
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lcExemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
CLEAN LOURENÇO
 
Livro banco de_dados_volume_03
Livro banco de_dados_volume_03Livro banco de_dados_volume_03
Livro banco de_dados_volume_03
CLEAN LOURENÇO
 
Livro banco de_dados_volume_02
Livro banco de_dados_volume_02Livro banco de_dados_volume_02
Livro banco de_dados_volume_02
CLEAN LOURENÇO
 
Projeto reforço escolar
Projeto reforço escolarProjeto reforço escolar
Projeto reforço escolar
CLEAN LOURENÇO
 
Projeto de arte e matemática
Projeto de arte e matemáticaProjeto de arte e matemática
Projeto de arte e matemática
CLEAN LOURENÇO
 
Atividade números operações e tratamento da informação 1
Atividade   números operações e tratamento da informação 1Atividade   números operações e tratamento da informação 1
Atividade números operações e tratamento da informação 1
CLEAN LOURENÇO
 

Mais de CLEAN LOURENÇO (20)

Produtos multiídia rosinalva lopes
Produtos multiídia rosinalva lopesProdutos multiídia rosinalva lopes
Produtos multiídia rosinalva lopes
 
Produção midias poloananas_cleanlourenco
Produção midias poloananas_cleanlourencoProdução midias poloananas_cleanlourenco
Produção midias poloananas_cleanlourenco
 
V1nmerosnaturais 1.swf
V1nmerosnaturais 1.swfV1nmerosnaturais 1.swf
V1nmerosnaturais 1.swf
 
IV DIA D DA MATEMÁTICA 2011
IV DIA D DA MATEMÁTICA  2011IV DIA D DA MATEMÁTICA  2011
IV DIA D DA MATEMÁTICA 2011
 
Evidências do projeto geometria e artes
Evidências do projeto geometria e artesEvidências do projeto geometria e artes
Evidências do projeto geometria e artes
 
Avaliação 6° ano - 2° b - 2011
Avaliação   6° ano - 2° b - 2011Avaliação   6° ano - 2° b - 2011
Avaliação 6° ano - 2° b - 2011
 
Texto Dengue - Tocantins
Texto   Dengue - TocantinsTexto   Dengue - Tocantins
Texto Dengue - Tocantins
 
7º ano ângulos
7º ano    ângulos7º ano    ângulos
7º ano ângulos
 
Avaliação 8° ano 2° av
Avaliação 8° ano   2° avAvaliação 8° ano   2° av
Avaliação 8° ano 2° av
 
Atividade 1 números inteiros
Atividade 1   números inteirosAtividade 1   números inteiros
Atividade 1 números inteiros
 
Atividade de matemática tratamento da informação - dengue
Atividade de matemática    tratamento da informação - dengueAtividade de matemática    tratamento da informação - dengue
Atividade de matemática tratamento da informação - dengue
 
Programacao ii volume1_v_final
Programacao ii volume1_v_finalProgramacao ii volume1_v_final
Programacao ii volume1_v_final
 
Atividade números inteiros operações
Atividade números inteiros    operaçõesAtividade números inteiros    operações
Atividade números inteiros operações
 
Banco de dados_-_volume_4_v10
Banco de dados_-_volume_4_v10Banco de dados_-_volume_4_v10
Banco de dados_-_volume_4_v10
 
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lcExemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
Exemplo projeto-bd-assunto-2a-aval-bsi-lc
 
Livro banco de_dados_volume_03
Livro banco de_dados_volume_03Livro banco de_dados_volume_03
Livro banco de_dados_volume_03
 
Livro banco de_dados_volume_02
Livro banco de_dados_volume_02Livro banco de_dados_volume_02
Livro banco de_dados_volume_02
 
Projeto reforço escolar
Projeto reforço escolarProjeto reforço escolar
Projeto reforço escolar
 
Projeto de arte e matemática
Projeto de arte e matemáticaProjeto de arte e matemática
Projeto de arte e matemática
 
Atividade números operações e tratamento da informação 1
Atividade   números operações e tratamento da informação 1Atividade   números operações e tratamento da informação 1
Atividade números operações e tratamento da informação 1
 

Matematica discreta fasciculo_1_v7

  • 2. Universidade Federal Rural de Pernambuco Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Luciana Fidelis e Alesanco Andrade Revisão Ortográfica: Ivanda Martins Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  • 4. Sumário Plano da Disciplina ...................................................................................... 6 Ementa .................................................................................................. 6 Objetivo Geral........................................................................................ 6 Objetivos Específicos ............................................................................ 6 Conteúdo Programático......................................................................... 6 Referências ........................................................................................... 7 Apresentação ............................................................................................... 8 Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. .............................................. 9 1.1 Definições. ....................................................................................... 9 Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? ...... 18 2.1 Operações entre conjuntos................................................................ 18 2.2 Partição de um conjunto .................................................................... 28 2.3. Cardinal da união e da interseção. ................................................. 29 2.4. Produto Cartesiano. .......................................................................... 35 2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos.................................................... 37 2.6. Identidades de conjuntos. ................................................................. 38 Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática.......................................... 43 3.1 Proposições compostas..................................................................... 44
  • 5. 3.2 Tautologias e Contradições ............................................................... 51 3.3 Negação de conjunção e de disjunção ............................................. 53 3.4 Álgebra das proposições. .................................................................. 54 3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. ......................................... 59 3.5.1 Quantificadores. ......................................................................... 59 3.5.2 Negação de sentenças quantificadas ........................................ 60 Capítulo 4 - Portas Lógicas....................................................................... 65 4.1 Porta Not (Não).................................................................................. 65 4.2 Porta Or (Ou) .................................................................................... 66 4.3 Porta And (E) ..................................................................................... 67 4.4. Porta Nand e Porta Nor. ................................................................... 68 4.5. Portas XOR e XNOR ........................................................................ 68 4.6 Portas Lógicas Equivalentes ............................................................. 69 4.7 Propriedades das Portas Lógicas. ..................................................... 69
  • 6. Plano da Disciplina Ementa Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução Matemática. Objetivo Geral O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade. Objetivos Específicos • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica • Conhecer técnicas de resolução de problemas • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático). Conteúdo Programático Módulo 1 – Fascículo 1 Carga horária do Módulo 1: 20 h • Conjuntos. • Introdução à Lógica Matemática. • Portas Lógicas.
  • 7. Módulo 2 – Fascículo 2 Carga horária do Módulo 2: 20 h Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações Módulo 3 – Fascículo 3 Carga horária do Módulo 3: • Funções. • Recursão. Técnicas de provas. • Indução Matemática. Referências GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Livros de referência: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997 ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall, 1999. TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
  • 8. Apresentação Caro (a) cursista, A importância da Matemática Discreta nos Cursos de Computação e Informática é destacada nas Diretrizes Curriculares do MEC ao se afirmar que “A Matemática, para a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos, etc)”. E ainda: “Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertence ao domínio discreto, a Matemática Discreta é fortemente empregada”. A Matemática Discreta dá ênfase aos temas, matemáticos tomando por base os conjuntos contáveis, finitos ou infinitos. A Matemática do Continuum, ao contrário da Matemática Discreta, enfatiza os temas matemáticos baseados em conjuntos não- contáveis, como o conjunto dos números reais, em disciplinas como o Cálculo Diferencial e Integral. Iremos abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com os cursos das áreas relacionadas à informática. Para tanto, o material será apresentado em fascículos que tratarão de maneira sistemática os seguintes assuntos: Conjuntos, Operações com conjuntos, Introdução à Lógica Matemática, Portas lógicas, Somas, Matrizes, Princípios de Contagem, Relações, Funções, Recursão, Técnicas de Provas e Princípio de Indução Finita.
  • 9. Matemática Discreta Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. A idéia de conjuntos é largamente utilizada em Computação e Informática, tendo em vista que, praticamente todos os conceitos dessas áreas, bem como os resultados correspondentes, são baseados em conjuntos ou as construções sobre conjuntos. Por isso, que tal fazermos uma revisão dos principais elementos da teoria dos conjuntos? 1.1 Definições. Conjuntos são geralmente designados por letras maiúsculas e reservam-se as letras minúsculas para representar os seus elementos. A expressão x∈A significa que x é elemento do conjunto A. Se x não é elemento do conjunto A, escrevemos x∉A. Várias maneiras podem ser usadas para descrever um conjunto. Entre elas, destacamos as seguintes: • Listando seus elementos, isto é, nomeando explicitamente todos os seus elementos, colocando-os entre chaves e separados por vírgula. Exemplo: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d }. Acesse • Definindo uma propriedade de seus elementos. Em geral escrevemos {x : P(x) }, isto é, o conjunto dos x tal que x tem a 1. http://paginas. terra.com.br/ propriedade P. educacao/calculu/ Historia/venn.htm Exemplo A = { x : x é uma letra vogal do alfabeto português}, B = { x : x é uma das quatro primeiras letras minúsculas do alfabeto português }. • Por meio de um Diagrama de Venn1 (1834 -1923): O conjunto constituído por todos os elementos sob consideração numa 9
  • 10. Matemática Discreta determinada situação é denominado conjunto universo U e será, em geral, representado por um retângulo. Dentro do retângulo, círculos (ou outras figuras geométricas) representam conjuntos. Dentro dos círculos são colocados os elementos desses conjuntos. Por exemplo: Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 4, 6, 7, 8 } A idéia de conjunto universo U estará sempre presente mesmo quando não seja explicitamente mencionado num determinado problema ou situação. Em Matemática, há conjuntos que constituem muito freqüentemente os universos do discurso, sendo conveniente indicar nomes para eles. Entre os mais importantes, destacaremos: • N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números naturais. (Perceba que 0 ∈ N) • N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }é o conjunto dos números naturais positivos. • Z = { x : x é um número inteiro } = { ..., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, ...} • Q = { x : x é um número racional } é o conjunto de todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração. • R = { x : x é um número real } • I = { x : x é um número irracional) é o conjunto dos números reais não racionais, isto é, não podem ser escritos sob a forma de fração. Conjunto vazio é o conjunto sem elementos, pode ser representado pelos símbolos ∅ ou { } Exemplo: A = { x ∈ N : 1 < x < 2 } é uma conjunto vazio, pois não existe número natural entre 1 e 2. 10
  • 11. Matemática Discreta Exemplo: B = { x ∈ Z : x2 = 3 } também é um conjunto vazio. Você sabe por quê? Existe número inteiro cujo quadrado seja igual a 3? Conjuntos iguais. Dois conjuntos são iguais se e somente se contém os mesmos elementos. Por exemplo: Os conjuntos A = {x∈ Z : x2 = 4 } e B = { -2, 2} são iguais. Subconjunto. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se todo elemento do conjunto A é também elemento de B. Usamos a notação A ⊆ B para denotar que A é subconjunto de B e lemos “A está contido em B”. Por exemplo, A = {1,2} é subconjunto de B = {1, 2,3} mas não é subconjunto de C = {1,3,4}. Agora, vamos lembrar algumas conclusões relacionas a subconjunto. Observação 1. De acordo com a definição de subconjunto, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, ∅ ⊆ A. Isso parece estranho a você? Mas, existe algum elemento no conjunto ∅ que não esteja no conjunto A? A sua resposta foi não! Logo, o conjunto vazio é subconjunto do conjunto A. Também dizemos que A ⊆ A, qualquer que seja o conjunto A. Isso é verdade, pois todo elemento de A, é elemento de A. Observação 2. Se A ≠ B e A é subconjunto de B, escrevemos A ⊂ B para dizer que A é subconjunto próprio de B. Por exemplo, {1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,4,5}. Temos também que N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R. Veja a figura a seguir. Observação 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C. 11
  • 12. Matemática Discreta Exemplo: {1, b} ⊂ { 1, 2, b, c } ⊂ { 1, 2, 3, a, b, c }. Exemplo: A figura da observação 2 mostra que N ⊂ Z e Z ⊂ R então N ⊂ R. Observação 4. Para provarmos que A ⊆ B teremos que provar que, dado x ∈ A então x ∈ B. Cardinal. Se A um conjunto com exatamente n elementos, tal que n é um inteiro não negativo, dizemos que A é um conjunto finito e que o cardinal de A é n. Assim, o cardinal de um conjunto A, denotado por #A é o número de elementos do conjunto A. Desse modo, se A = { x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 7 } então #A = 5. É claro que #∅ = 0. Observe que um conjunto A é finito se podemos estabelecer uma correspondência entre seus elementos e os elementos de um conjunto da forma {1, 2, 3, ..., n} onde n é o cardinal de A. Por exemplo, A = { a, b, c, d, e } é finito pois, podemos estabelecer a seguinte correspondência entre seus elementos e os elementos do conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 }: a 1, b 2, c 3, d 4, e 5. Você então conclui que o cardinal do conjunto A é 5. Conjunto infinito. Um conjunto A é infinito se não é finito. Por exemplo, os conjuntos N, Z, Q e R são conjuntos infinitos. Você concorda com a afirmação de que o conjunto A = {x∈R : 0 < x < 1}é infinito? Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A e será denotado por P(A). Exemplo, se A = {a, b} então P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }. O cardinal de P(A) é o número de subconjuntos de A. Assim #P(A) = 4. Agora, escreva o conjunto das partes do conjunto A = {x, y, z}. Quantos são os subconjuntos de A? O lembrete ao lado dá uma dica. 12
  • 13. Matemática Discreta Nesse caso #A = 3, #P(a)=2³=8. Atenção Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1 De um modo geral se #A= n então #P(A) = 2n. Demonstre que você entendeu bem os assuntos dessa seção, resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios são apresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las com professores e tutores da disciplina. 1) Considere N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liste os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: a) {n ∈ N : n é divisível por 3} b) {x : x = 2n-1 , n ∈ N*} Atenção c) {x : x = 2y +1 : y∈N e y < 8 } Um número natural n ∈ N, n >1 é primo d) {x = 2n : n ∈ N } se os seus únicos divisores são 1 e n. e) {x : x =1/n : n ∈ N* e n < 6} f) {n ∈ N* : n + 1 é primo} 2. Liste os elementos dos seguintes conjuntos e informe que conjuntos são vazios. a) { n ∈ N : n2 = 9 } b) { n ∈ Z : n2 = 9 } c) { x ∈ R : x2 = 9 } d) { n ∈ N : 3 < n < 7 } e) { n ∈ Z : | n | < 7 } f) { x ∈ R : x2 ≤ 0 } g) { n ∈ N : n2 = 3 } h) { x ∈ Q : x2 = 3 } 13
  • 14. Matemática Discreta i ) {x ∈ R: x2 = -4 } j) { n ∈ N : n é primo e n ≤ 15 } 3. Determine o cardinal dos seguintes conjuntos: a) A = { x : x = 2n + 1, 3 ≤ n ≤ 6, n ∈ N } b) B = { y = -x +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z } c) C = { y = x2 +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z } 4. Se A = { x∈Z : 4 divide x } e B = { x∈Z : 2 divide x } . A é subconjunto próprio de B ? 5. Relacione todos os subconjuntos X do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } tais que #X = 2. 6. Represente os conjuntos abaixo indicados por uma propriedade características de seus elementos: A = { -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } B = { 13, 11, 9, 7, 5 } C = { 2, 6, 10, 14, ..., 42 }. 7. Sejam X = { 1, 2, 3 }, Y = { 2, 3, 4 } e Z = { 2 } . Encontre o maior conjunto W satisfazendo as seguintes condições W ⊂ X , W ⊂ Y e Z ⊂ W . Faça diagramas de Venn. 8. Dados os conjuntos A = { um , dois }, B = { dois, tres, quatro } e C = { um , quatro } identifique o menor conjunto D tal que A ⊂ D , B ⊂ D e C ⊂ D. Faça diagramas de Venn. 9. Suponha que A ⊂ B , B ⊂ C , 1∉A , 2∉B , 3∉C . Quais das afirmações abaixo sempre são verdadeiras? a) 1 ∈ B. b) 2∉ A c) 3 ∉ A 10. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Nomear os elementos dos seguintes conjuntos: a) B = { x ∈ A : x é par } b) C = { x∈A : x é múltiplo de 3 } c) D = { x ∈ A : x + 1 < 6 } 14
  • 15. Matemática Discreta d) E = { x ∈ A : x < 10 } e) F = { x ∈ A : x + 3 ∉ A }. 11. Dizer quais dos seguintes conjuntos são infinitos: a) O conjunto das retas do plano que são paralelas ao eixo dos x. b) O conjunto das palavras com duas letras do alfabeto português. c) O conjunto dos múltiplos de cinco. d) O conjunto dos animais existentes na Terra. p e) O conjunto das frações onde p, q ∈ { 1, 2, 3, 4, ..., 10 } q 12. Represente os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade comum aos seus elementos: a) A = { 4, 8, 12, 16, 20, ....} b) B = { 4, 8, 12, .... 204} c) C = { 7, 17, 27, 37, .....} d) D = { 7, 17, 27, 37, .....207} e) E = {300, 301, 302, ....., 399, 400} f) F = { 1, 4, 9 , 16, 25, .....} g) G = { 1, ½, ¼, 1/8, 1/16,..., 1/1024} 13. Partindo das premissas: (1) Todo repórter é esperto. (2) Todo repórter é formado em Jornalismo. (3) Jamil é esperto. (4) Adelaide é jornalista. Pode-se concluir que a) Adelaide é esperta? b) Jamil é repórter? c) Há jornalistas espertos? 15
  • 16. Matemática Discreta Respostas dos exercícios 1.1 Aqui você poderá conferir as suas respostas. Caso elas não correspondam às apresentadas abaixo, converse com seus colegas sobre os exercícios, releia os conteúdos da seção e descubra o motivo da divergência. Lembre-se que os tutores podem ajudá-lo. Consulte- os! 1. a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} b) {1, 3, 5, 7, 9, ...} c) { 1, 3, 5, 7, 9, ..., 15} d) {0, 2, 4, 8, 16, 32,..} e) {1, ½, 1/3, ¼, 1/5 } f) { 1, 2, 4, 6, 10, 12, ... } 2. a) { 3 } b) { -3, 3 } c) { -3, 3 } d) (4, 5, 6 } e) { -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } f) { 0 } g) ∅ h) ∅ i) ∅ 3. a) #A = 4 b) #B = 5 c) #C = 3 4. sim 5. {1, 2} , { 1, 3 } , { 1, 4} , { 2, 3 }, {2, 4} , { 3, 4 } 6. A = {x : x = 2y, y ∈ Z, -3 ≤ y ≤ 3 } B = { x: x = 2y + 1, y ∈ N, 2 ≤ y ≤ 6 } C = { x : x = 2 + 4n , n ∈ N n ≤ 10 } 7. W = {2,3} 8. D = { um, dois, três, quatro } 9. b) e c) 10. B = {2, 4, 6, 8 } C = { 3, 6, 9} D = { 1, 2, 3, 4 } E=A F = { 7, 8, 9 } 11. a) e c) 12. A = {x : x = 4n, n∈N* }, B = { x : x = 4n, n∈N*, n ≤ 51 }, C = { x : x = 7 +10n, n∈N } D = { x : x = 7 +10n, n∈N, n ≤ 20} 16
  • 17. Matemática Discreta E = {x : 300 ≤ x ≤ 400, x∈ Z} F = {x : x = n2, n∈ N} Atenção 1 G = {x ; x = , n∈ N, n ≤10. n2 A Matemática é 13. c. uma disciplina de natureza cumulativa. É importante dominar bem seus fundamentos Saiba Mais antes de passar para tópicos mais avançados. Caro (a) cursista. Aprofunde os conhecimentos sobre conjuntos, consultando os seguintes livros: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997. ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004 Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 17
  • 18. Matemática Discreta Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? Nesta parte do fascículo, estudaremos a Álgebra de Conjuntos, conteúdo da Matemática que trata das operações definidas sobre todos os conjuntos. Voltaremos a fazer uso dos diagramas de Venn, na ilustração das operações entre conjuntos envolvendo a união, interseção, diferença entre outras. Vamos começar? 2.1 Operações entre conjuntos. União de Conjuntos: Se A e B são dois conjuntos então A∪B é o conjunto constituído pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos. A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B } Interseção de Conjuntos: Se A e B são 2 conjuntos, então o conjunto A ∩ B denota a interseção de A e B, constituído pelos elementos que pertencem a A e a B. A∩B = { x : x∈A e x∈B } Complementar. Seja U o conjunto universo e A um subconjunto de U. Chama-se complementar de A em relação ao conjunto U ao conjunto A dos elementos de U que não pertencem a A. A = { x∈U : x∉A } 18
  • 19. Matemática Discreta Atenção A se escreve também A’ Diferença: Se A e B são conjuntos então A – B denota o conjunto dos elementos de A que não estão em B. A – B = { x: x∈A e x∉B } Atenção A – B pode ser escrito assim: A∩ B Diferença Simétrica: Se A e B são conjuntos então A⊕B ou A∆B denota o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos. O símbolo ⊕ representa o ou exclusivo. A⊕B = { x: x∈(A-B) ou x∈(B-A) } A⊕B = (A∩ B ) ∪ ( A ∩B) Atenção A ⊕ B pode ser escrito assim: A∆B Exemplo 2.1.1 Aqui, apresentamos exemplos de todas as operações definidas acima. Confira os resultados. A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} A ∩ B = { 6, 8 } 19
  • 20. Matemática Discreta A – B = { 1, 2, 3, 4 } B – A = { 5, 7, 9 } A = { 5, 7, 9 10, 11, 12} B = { 1,2,3, 4, 10, 11, 12} A ⊕ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} Tabela de pertinência das operações entre conjuntos: Para construirmos a tabela de pertinência de um conjunto, procedemos como segue. Se x∈X, indicamos o fato pondo 1 (verdadeiro) na coluna do conjunto X. Se x∉X, indicamos o fato pondo 0 (falso) na coluna do conjunto X. Por exemplo, em relação à união de dois conjuntos A∪B, existem quatro situações distintas indicadas nas quatro linhas da tabela de pertinência da união abaixo: Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∪B Elementos que não pertencem a A e pertencem a B ( linha 2), pertencem a A∪B. Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), pertencem a A∪B. Elementos que pertencem a A e a B ( linha 4), pertencem a A∪B. Tabela de pertinência da união Tabela de pertinência da interseção 20
  • 21. Matemática Discreta Em relação à interseção de dois conjuntos A ∩ B, existem quatro situações distintas indicadas na tabela de pertinência da interseção abaixo: Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∩B Elementos que não pertencem a A e pertencem a B (linha 2), não pertencem a A∩B. Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), não pertencem a A∩B. Elementos que pertencem a A e a B (linha 4), pertencem a A∩B. As tabelas de pertinência dos conjuntos A – B, B- A e A⊕B são apresentadas abaixo, de acordo com as respectivas definições. Tabela de pertinência do complementar: A tabela de pertinência do complementar apresenta apenas duas linhas, visto que o complementar é uma operação que envolve apenas um conjunto. Exemplo 2.1.2. Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} e os seus subconjuntos: 21
  • 22. Matemática Discreta A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 6, 7, 8, 9 } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { 2, 4, 6, 8 } F = { 1, 5, 9 }. A ∪ B = {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8} A ∩ B = {4, 5, 6, 7} B ∪ D = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, B ∩ D = {5,7} A ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A ∩ C = {5, 6,7} D ∪ E = {1,3,5,7,9,2,4,6,8}, D∩E=∅ D ∪ F = { 1, 3, 5, 7, 9 } D ∩ F = { 1, 5, 9 } E∪E = { 2, 4, 6, 8 } E ∩E = ∅ A = {8,9} B = { 1, 2, 3, 9 } C = {1, 2, 3, 4 } D ={ 2, 4, 6, 8} A – B = {1,2, 3} B–A={8} D – E = { 1, 3, 5, 7, 9 } E–E=∅ A⊕B = {1,2, 3, 8} A⊕C= {1, 2, 3, 4, 8, 9} A⊕D = { 2, 4, 6, 9 } A⊕E= {1, 3, 5, 7 (A - B) - C = {1, 2, 3} - { 5, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3} A - (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – { 4 } = {1, 2, 3, 5, 6,7} Atenção (A-B) – (B-A)= {1, 2, 3} - { 8 } = {1, 2, 3} Você observou no exercício 2.1. 2 que, A  B = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } = { 9 } 1 A ∩ B = {8,9} ∩ { 1, 2, 3, 9 } = { 9 } A B = A∩ B e que A B A B? A  B = { 5 6 7 } = {1, 2, 3, 8, 9} 4 , , , = Isso não é mera coincidência. A  B = {8,9} ∪ { 1, 2, 3, 9 } = {1, 2, 3, 8, 9} Trata-se de igualdades válidas para quaisquer conjuntos A e B! Exemplo 2. 1. 3. Para construir a tabela de pertinência do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B), devemos construir colunas para os conjuntos A, B, 22
  • 23. Matemática Discreta Ae B. Em seguida, as colunas relativas aos conjuntos A∩ B , A ∩B e por último, a coluna do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B). Você deve observar que, logo após o preenchimento com 0 (zero) e 1 (um) nas colunas relativas aos conjuntos A e B, preenchemos as colunas do complementar de A, denotado por A , e do complementar de B, denotado por B , simplesmente trocando 0 (zero) por 1 (um). As colunas relativas aos conjuntos A ∩ B e A ∩ B são preenchidas por 0 (zero) e 1 (um) de acordo com a tabela de pertinência da interseção. Por fim, a última coluna é feita de acordo com a tabela de pertinência da união de conjuntos. A tabela de pertinência do conjunto (A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) é a igual à tabela de pertinência do conjunto A ⊕B. Observe isso. Mostraremos na seção 2.6 como provar a igualdade entre conjuntos, observando a igualdade das respectivas tabelas- verdade. Exemplo 2.1.4. Na determinação dos tipos sangüíneos, cada pessoa é duplamente classificada: se o sangue tem o antígeno Rh, ele é Rh positivo, caso contrário é Rh negativo. Se o sangue contém o antígeno A, mas não contém o antígeno B, é tipo A. Se o sangue tem o antígeno B, mas não tem o antígeno A, é tipo B. Se tem ambos, é tipo AB. Se nenhum dos dois antígenos está presente, é tipo O. Considere os conjuntos: P = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno Rh} A = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno A} B = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno B} Um elemento x qualquer pode pertencer ou não a cada um dos três conjuntos P, A e B. Ao todo são 8 possibilidades.Elas são representadas na tabela ao lado e no diagrama de Venn. 23
  • 24. Matemática Discreta Determine os respectivos tipos sangüíneos das pessoas pertencentes a cada conjunto: 1) P ∩ A ∩ B = { g } 2) P ∩ A ∩ B = { d } 3) P ∩ A ∩ B = { f } 4) P ∩ B ∩ A { e } 5) P ∩ A ∩ B = { a } 6) P ∩ A ∩ B = { h } 7) P ∩ B ∩ A = { d } 8) P ∩ A ∩ B = { c } Resp. 1) Tipo AB Rh+ 2) Tipo AB Rh- 3) Tipo A Rh+ 4) Tipo B Rh+ 5) Tipo A Rh- 6) Tipo O Rh- 7) Tipo B Rh- 8) Tipo O Rh+ Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.1 Apresentamos agora uma lista de exercícios para que você mostre que entendeu as operações entre conjuntos. Discuta com seus colegas as respostas que são apresentadas logo em seguida. 24
  • 25. Matemática Discreta 1. Considere o conjunto universo igual ao conjunto U de todos os alunos da UFRPE e os seguintes subconjuntos: A = { x : U: x é aluno do Curso de Agronomia } B = { x : U: x é aluno do Curso de Biologia } C = { x : U: x é aluno do Curso de Ciência Domésticas } Defina os seguintes conjuntos por meio de operações com conjuntos: a) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Biologia ou Ciências Domésticas (Eles podem fazer apenas um desses cursos ou ambos ). b) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Agronomia e Biologia ao mesmo tempo, mas não fazem Ciências Domésticas. c) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Agronomia e não cursam Biologia. d) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem apenas um dos cursos A, B e C. e) O conjunto dos alunos da UFRPE que não fazem qualquer um dos cursos A, B e C . f) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Biologia, mas não Ciências Domésticas ou fazem Ciências Domésticas mas não Biologia. 2. Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10,12,13 }. Listar os elementos dos seguintes conjuntos: A1 = { x ∈ A : x2 ≥ 9 } A2 = { x ∈ A : (x+2) ∉ A } A3 = { x ∈ A : x-1 é impar } A4 = {x∈A : x é divisível por 2 ou por 3} A5 = {x∈A : x2 – 4 = 0 ou x2 –9x +20 = 0 } Calcule: a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) 3. Considere U como o conjunto de todas as pessoas e os subconjuntos 25
  • 26. Matemática Discreta S = { x∈U : x reside no Brasil } M= { x∈U : x é mulher } J = { x∈U : x tem menos de 25 anos } A = { x∈U : x tem mais de 1,70 m de altura } Descreva os conjuntos abaixo através de uma propriedade característica dos seus elementos: a) S∩A∩J b) S∩(J –A ) c) S∩(M∪J) d) S∪(M∩J). 4. Encontre os conjuntos A e B, sabendo–se que A – B = { 1, 5, 7, 8 }, B – A = { 2, 10 } e A∩B = {3, 6, 9 }. Respostas dos exercícios 2.1 1. a) B∪C b) (A∩B) – C c) A – B d) ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) e) A ∩ B ∩ C f) B⊕C 2. A1= { 3, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13} A2 = {6,7,12,13} A3= {2, 4, 6, 10, 12} A4 = {2, 3, 4, 6, 10, 12} A5 = { 2, 4, 5} a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) = {6, 7, 12, 13} – { 4, 6, 10,12}= {7, 13} b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) = { 2, 3, 4, 6, 10, 12} ⊕ {3, 5, 7, 13} = {2, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13}. 3. a) S∩A∩J = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e mais 1,70 m de altura} b) S∩(J –A ) = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e 1,70 m de altura e no máximo 1,70 m de altura}. c) S∩(M∪J) = { x∈U : x reside no Brasil e é mulher ou tem menos de 25 anos}. d) S∪(M∩J) = { x∈U : x reside no Brasil ou é mulher com menos de 25 anos}. 26
  • 27. Matemática Discreta 4. A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 3, 6, 9, 10} 27
  • 28. Matemática Discreta 2.2 Partição de um conjunto Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅, isto é, não têm elementos comuns. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9}, B = {4, 6, 8, 10} e C = {1, 3, 11,12} são dois a dois, disjuntos. De fato, A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅ Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união resulte S. Ou seja, é uma coleção de subconjuntos A1, A2, ... , An de S tal que S =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪......∪ An e Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j . Exemplo 2.2. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A coleção de conjuntos A1= {1, 2, 3}, A2= {4, 5} e A3= {6 } forma uma partição de S . Observe que A1∩ A2 = φ, A1∩ A3 = φ, A2∩ A3 = φ e além disso, a união dos três conjuntos A1∪A2∪A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.2 Agora, você é solicitado a apresentar partições de conjuntos. Algumas partições são constituídas por conjuntos finitos outras não. Mãos à obra! 1. Dê partições dos seguintes dos conjuntos: a) N b) Z c) S = {0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 }. 2. Se S = {0, 3, 6, 9, 12,15, 18, ...}, escrever uma partição de S que: a) contenha dois subconjuntos infinitos 28
  • 29. Matemática Discreta b) contenha três subconjuntos infinitos. 3. Se S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...}, os conjuntos A1 = {1 +12n, n∈ N }, A2 = {5 +12n, n∈ N } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N } constituem uma partição de S . Respostas - Exercícios Proposto 2.2 As suas respostas possivelmente não batem com as apresentadas logo abaixo. Isso pode ocorrer, pois um conjunto pode ter várias partições. 1. a) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} b) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} A3= { -2, -4, ,-6, -8, -10, ...} A4 = { -1, -3, -5, -7,-9, -11, ...} 2. a) A1= {0, 6, 12, ,18, 24, 30, ...} A2 = {3, 9, 15, 21, 27, ...} b) A1= {0, 9, 18, 27, 36, ...} A2 = {3, 12, 21, 30, ...}, A3= { 6, 15, 24, 33, 42, ...} 3. Sim. A1 = {1 +12n, n∈ N }= { 1, 13, 25, 37, 49, ..., } A2 = {5 +12n, n∈ N } = {5, 17, 29, 41, 53, ... } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N }= {9, 21, 33, 45, 56, ...} constituem uma partição de S, pois os conjuntos são dois a dois disjuntos e sua união resulta S. 2.3. Cardinal da união e da interseção. Se você dispõe de dois ou mais conjuntos e quer saber quantos elementos tem o conjunto união desses conjuntos, como proceder? Faremos uso do princípio da inclusão – exclusão. Princípio da Inclusão – Exclusão. #(A∪B) = # (A) + #(B) – #(A∩B) • Vejamos como descobrir a quantidade de elementos da união de dois conjuntos sendo conhecidos n(A), n(B) e n( A ∩ B ) 29
  • 30. Matemática Discreta Note que a quantidade de elementos de A ∪ B é obtida pela quantidade de elementos que pertence: só ao conjunto A: n( A ∩ B ) = n( A ) − n( A ∩ B ) , só ao conjunto B: n( A ∩ B ) = n( B ) − n( A ∩ B ) e só a A e B: n( A ∩ B ) . Assim, podemos concluir que: n( A ∪ B) = n( A) − n( A ∩ B) + n( B) − n( A ∩ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) Isso significa que, para calcular o número de elementos da união A ∪ B, incluímos os elementos de A, incluímos os elementos de B e excluímos os elementos de A ∩ B. Exemplo 2.3.1: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 8} Observe que # ( A ) = 7, # ( B ) = 4, # ( A ∩ B ) = 3, então # ( A ∪ B) = # (A) + # (B) – # ( A ∩ B ) = 7 + 4 – 3 = 8 # ( A ∪ B ∪ C) = # (A) + # (B) + # (C) – # (A ∩ B) – # (A ∩ C) – # (B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C). • Podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C, de modo que: #(A ∪ B ∪ C) = #((A ∪ B) ∪ C) = #(A ∪ B) + #C - #((A ∪ B) ∩ C) = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C). 30
  • 31. Matemática Discreta Exemplo 2. 3. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, B = { 4, 5, 6, 7, 8, 11} C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Sabendo que A ∩ B = {4, 5, 6, 7}, A ∩ C = {5, 6, 7, 10}, B ∩ C = { 5, 6, 7, 8} e que A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}, podemos escrever que: #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C) = 8 + 6 + 6 – 4 – 4 – 4 + 3 = 11 A∪B∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} • Se A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), então #(A ∪ B) = #(A) + #(B). Exemplo 2. 3. 3. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9 } e B = {4, 6, 8, 10 } são disjuntos, pois A ∩ B = ∅ , de modo que, o cardinal da união de A e B é #(A∪B) = #(A) + #(B) = 4 + 4 = 8 # I = 35, # F = 18, # (I∪F) = 42. # (I∪F) = # I + # F - # (I∩F) 42 = 35 +18 - # (I∩F), de modo que # (I∩F) = 11. Outra solução poderá ser dada usando os diagramas de Venn. Para isso, você define dois conjuntos I e F. Coloque inicialmente os elementos que pertencem à interseção I∩F. Como não sabemos, colocaremos o número x. imagem 31
  • 32. Matemática Discreta O cardinal do conjunto dos que falam inglês e não falam francês é 35 – x. Analogamente, o número de turistas que falam francês e não falam inglês é 18 – x. A soma desses elementos deve ser 42. Logo, devemos ter 35 – x + x + 18 – x = 42. A equação se reduz a 53 – x = 42. Portanto, x = 11. Exemplo 2. 3. 4. Todos os convidados de uma festa bebem café (A) ou chá (B); 13 bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem café e chá. Quantas pessoas há neste grupo? #(A∪B) = #(A) + #(A) - #(A∩B) #(A∪B) = 13 + 10 – 4 = 19 Exemplo 2. 3. 5. O controle de qualidade de uma fábrica introduziu na linha de montagem 42 peças com defeitos de pintura (A), embalagem (B) ou na parte eletrônica (C). Dessas peças, 28 tinham defeito na pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 com defeito na parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica, 3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três defeitos? #A = 28, #B = 17, #C = 11, #(A∩B) = 6, #(A∩C) = 3, #(B∩C) = 7, #(A∩B∩C) = x #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C) 42 = 28 + 17 + 11 – 6 – 3 - 7 + x 42 = 40 + x x=2 Você poderá usar diagramas de Venn para resolver esse problema. Vamos lá? Use as figuras seguintes: Exemplo 2.3.6. Entre os americanos que tiraram férias no ano passado, 90% tiraram férias no verão, 65% no inverno, 10% na 32
  • 33. Matemática Discreta primavera, 7% no outono, 55% no inverno e no verão, 8% na primavera e no verão, 6% no outono e no verão, 4% no inverno e na primavera, 4% no inverno e no outono, 3% na primavera e no outono, 3% no verão, no inverno e outono, 3% no verão, no inverno e primavera, 2% no verão, no outono e primavera e 2% nono inverno, na primavera e outono. Que percentagem tirou férias nas quatro estações? Para resolver este problema que envolve quatro conjuntos, podemos usar uma extensão do princípio da Inclusão – Exclusão para quatro conjuntos. O diagrama de Venn com quatro conjuntos deve apresentar 16 regiões. Na figura abaixo, apresentamos uma alternativa usando retângulos. Você acha que pode fazer um diagrama de Venn para quatro conjuntos usando quatro círculos e apresentando 16 regiões? Tente fazer! #(A∪B∪C∪D) = #(A) + #(B) + # (C) + # (D) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(A∩D) – #(B ∩C) – #(B∩D) – #(C∩D) + #(A∩B∩C) + #(A∩B∩D) + #(A∩C∩D) + #(B∩C∩D) – #(A∩B∩C∩D) 100 = 90 + 65 + 10 + 7 – 55 – 8 – 6 – 4 – 4 – 3 + 3 + 3 + 2 + 2 - x 100 = 102 – x x = 2% Aprenda Praticando - Exercícios 2.3 Mostre que você entendeu bem as técnicas de cálculos do número 33
  • 34. Matemática Discreta de elementos de um conjunto, usando o Princípio da Inclusão – Exclusão ou os diagramas de Venn. Caso tenha dificuldade, oriente- se com seus tutores. 1. Em um congresso de informática, há 43 participantes do Curso de Java, 57 de Pascal Avançado e 29 de C++. Há 10 participantes dos cursos de Java e Pascal Avançado, 5 em Pascal Avançado e C++, 5 em Java e C++, e dois matriculados nos três cursos. Quantos alunos estão inscritos ao menos em um curso do congresso? 2. Há quatro grandes grupos de pessoas, cada um com 1.000 membros. Dois quaisquer desses grupos têm 100 membros em comum. Três quaisquer desses grupos têm 10 pessoas em comum. E há 1 pessoa em todos os quatro grupos. Conjuntamente, quantas pessoas há nesses grupos? 3. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matemática, 140 estudam Economia e 24 estudam ambos os cursos. Dos 200 estudantes 60 são mulheres, das quais 20 estudam Matemática, 45 estudam Economia e 16 delas estudam ambos os cursos. Determine, para o universo de estudantes, quantos são os homens que não estudam nem Matemática nem Economia. 4. Uma companhia, 240 dos seus empregados obtiveram aumento salarial, 115 obtiveram ascensão funcional e 60 obtiveram ambas as coisas. Quantos são os empregados sabendo que nenhum empregado deixou de ser promovido ou ter ascensão funcional ? 5. Em um grupo de 110 estudantes, 63 estudam Inglês, 30 estudam Francês e 50 estudam Alemão. Há 25 alunos que estudam apenas dois idiomas, 13 estudam Inglês e Francês, 30 estudam Inglês e Alemão e 12 estudam Francês e Alemão. a) Quantos estudam Inglês e Francês, mas não estudam Alemão? b) Quantos alunos não estudam nenhum dos idiomas? 6. De 100 pessoas que foram pesquisadas, 52 são mulheres, 40 almoçam, 40 jantam, 25 são mulheres que almoçam, 15 são mulheres que jantam, 20 são pessoas que almoçam e jantam, e 12 são mulheres que almoçam e jantam. Quantas pessoas são homens que não almoçam nem jantam? Quantas são mulheres 34
  • 35. Matemática Discreta que não almoçam nem jantam? 7. No auditório de uma faculdade há um grupo de alunos, dos quais 12 cursam a disciplina A, 20 cursam a B, 20 cursam a C, 10 cursam a D, 5 cursam A e B, 7 cursam A e C, 4 cursam A e D, 16 cursam B e C, 4 cursam B e D e 5 cursam as disciplinas C e D. Três alunos cursam as disciplinas A, B e C, 2 cursam A, B e D, 4 cursam B, C e D, e 3 cursam A, C e D. Apenas 2 alunos cursam as quatro disciplinas e 71 alunos não cursam nenhumas das disciplinas citadas. Quantos são os alunos no auditório? Respostas dos Exercícios 2.3 Verifique aqui quantos exercícios acertou. Caso tenha errado ou não tenha conseguido fazer, mude o método de resolução (Princípio de Inclusão – Exclusão ou Diagrama de Venn). Discuta com seus colegas 1. 111 2. 3.439 3. 23 4. 295 5. a) 3 b) 12 6. a) 16 b) 24 7. 102 2.4. Produto Cartesiano. Se A e B são dois conjuntos, o produto cartesiano de A por B é o conjunto A x B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B}. EXEMPLO 2.4.1 Sejam A = {a, b, c } e B = { a, b, d }. a) Liste todos os pares ordenados de A x B A x B = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d) } b) Liste todos os pares ordenados de B x A. B x A = { (a, a), (b, a), (d, a), (a, b), (b, b), (d, b), (a, c), (b, c), (d, c) } c) Liste todos os elementos do conjunto { (x,y)  A x B : x = y } { (a, a), (b, b) } 35
  • 36. Matemática Discreta Aprenda praticando - Exercícios 2.4 Você deverá listar os elementos dos seguintes conjuntos, pondo em prática os conceitos de produto cartesiano. 1. Sejam S ={ 0, 1, 2 ,3, 4 } e T = { 0 , 2, 4 } . Liste todos os elementos dos seguintes conjuntos: A = { (m,n) ∈ S x T : m < n } B = { (m, n) ∈ T x S ; m < n } C = { (m, n) ∈ S x T : m + n ≥ 3 } D = { (m,n) ∈ T x S ; m.n ≥ 4 } E ={ (m, n) ∈ S x S : m + n = 10 }. Obs.: S x S = S2 2. Liste pelo menos 6 elementos dos seguintes conjuntos: a) { (m,n) ∈ N2 : m = n } b) { (m,n) ∈ N2 : m + n é primo } c) { (m,n) ∈ N2 : m = 6 } d) { (m,n) ∈ N2 : min {m ,n } = 3} e) { (m,n) ∈ N2 : máx {m , n} = 3 } f) { (m,n) ∈ N2 : m2 = n } Resposta Logo em seguida, apresentamos respostas. Confira as suas. A = { (0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (3, 4)} B ={(0,1), (0, 2), (0, 3), (0,4), (2, 3), (2, 4)} C = { (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4,0), (4,2), (4,4) } D = { (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4). 2. a) { 0,0) , (1,1), (2,2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ...} b) {(0,2), (0,3), (0, 5), (0, 7), (1,2), (2,3), ...} 36
  • 37. Matemática Discreta c) { (6,0), (6,1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), ...} d) { (3,3), (3,4), (3,5), (6,3), (7, 3), (8, 3), ...} e) (0,3), (1,3), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2) (3,3)} f) { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25), (6, 36), ...} 2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos Dados os conjuntos A1, A2, ..., Ak, o produto cartesiano A1 x A2 x ...x Ak é o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , ak) tais que ai ∈ Ai. Se #(A1)= n1, #(A2) = n2, ..., #(Ak)= nk então #(A1 x A2 x ... x Ak) = n1. n2. ... . nk. Exemplo 2. 5. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos. a) X x Y x Z b) X x Y x Y c) X x X x X d) Y x X x Y x Z X x Y x Z = {(1, a, m), (1, a, n), (1, a, p), (1, b, m), (1, b, n), (1, b, p) , (2, a, m), (2, a, n), (2, a, p), (2, b, m), (2, b, n), (2, b, p)} b) X x Y x Y = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), {(2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b)}. Exemplo 2. 5. 1. Se A é o conjunto das letras maiúsculas do alfabeto português (26 letras) e B é o conjunto dos naturais de 0 a 9,represente sob a forma de conjunto, todas as placas de automóveis possíveis no Brasil. Quantas são essas placas? Uma placa consiste em três letras seguidas por quatro algarismos. O número total de placas possíveis é dado pelo cardinal do produto cartesiano A x A x A x B x B x B x B. # (A x A x A x B x B x B x B) = 26 x 26x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104 = 175.760.000 placas. Aprenda Praticando - Exercícios 2.5 Nesses exercícios, você terá oportunidade de explorar o conceito 37
  • 38. Matemática Discreta de produto cartesiano envolvendo mais do que dois conjuntos. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos. a) X x X x X b) Y x X x Y x Z 2. Calcular o cardinal dos conjuntos produto cartesiano da primeira questão. 3. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z : -1 ≤ x ≤ 2} e B = {y ∈ Z : -1 ≤ y ≤ 1}, pede-se: a) Enumerar os elementos do conjunto A x B b) Enumerar os elementos do conjunto B x A c) Obter (A x B ) ∩ ( B x A ) d) Obter o cardinal de (A x B ) ∪ ( B x A ) 2.6. Identidades de conjuntos. As operações entre conjuntos, tais como: união, interseção, diferença, diferença simétrica e complemento satisfazem diversas propriedades. Essas propriedades são apresentadas na forma de igualdade entre conjuntos e são chamadas de identidades de conjuntos. Identidades de Conjuntos Exemplo 2. 6. 1: Prove que A ∩ (B - A) = ∅ usando as identidades de conjuntos. Prova: A ∩ (B-A) = A ∩ (B ∩ A) pela definição de diferença = A ∩ ( A ∩ B) pela propriedade comutativa = (A ∩ A) ∩ B pela propriedade associativa 38
  • 39. Matemática Discreta = ∅ ∩ B pela propriedade de complemento = ∅ por definição de interseção Exemplo 2. 6. 2: Prove que A ∪ (B - A) = A ∪ B usando as identidades de conjuntos A ∪ (B-A) = A ∪ (B ∩ A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A ) = (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B. Exemplo 2.6.3: Provar a igualdade de De Morgan A ∪ B = A ∩ B Teremos que provar que: A ∪ B ⊆ A ∩ B e que A ∩ B ⊆ A ∪ B , usando as definições das operações entre conjuntos. 1.Suponha que x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∪ B. 3.De 2 temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A e x∈ B . 5. De 4, temos que x∈ A ∩ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A∩B 1.Suponha que x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∈ A e x∈ B 3.De 2 temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∉ A ∪ B. 5.De 4, temos que x ∈ A ∪ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A ∩ B Logo A ∪ B = A ∩ B . Exemplo 2. 6. 4: Provar que A ∩ B = A ∪ B (Igualdade de De Morgan), usando as definições das operações entre conjuntos. 1.Seja x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∩ B. 3.De 2 escrevemos x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 5.De 4, temos que x ∈ A ∪ B e, assim A ∩ B ⊆ A ∪ B . 1.Seja x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 3.De 2, temos que x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 escrevemos x ∉ A ∩ B. 5.De 4, temos que x ∈ A ∩ B e, assim, A ∪ B ⊆ A ∩ B . Logo A ∩ B = A ∪ B . Exemplo 2. 6. 5: Provar que A = A , usando as definições das operações entre conjuntos. Seja x ∈ A . Então x ∉ A . Logo x ∈ A. Assim provamos que A ⊆ A. Seja x ∈ A. Então x ∉ A . Logo x ∈ A . Provamos que A ⊆ A . Logo A=A. 39
  • 40. Matemática Discreta Exemplo 2. 6. 6: Mostre por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C então (A – B) – C = A – (B ∪ C). Devemos construir as tabelas de pertinência do conjunto do primeiro membro e do segundo membro. Os conjuntos iguais apresentam tabelas de pertinência iguais. Exemplo 2.6.7: Mostre, por meio da tabela de pertinência que dados os conjuntos A, B e C tem-se que ( ∩ C) ⊕ ( ∩ C) = ( ⊕ B - C A B A ) Exemplos 2. 6.7: Simplifique (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B ( . (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B = ((A  A) (B  A) ∪ A ∩ B = ( ) (f  ( B  A))  A  B = (B ∩ A)  ( A  B ) = ((B∩ A ) ∪ A) ∪ B = A B = A B . 40
  • 41. Matemática Discreta Aprenda praticando - Exercícios 2.6 Nos exercícios seguintes, pede-se que você apresente, por meio da tabela de pertinência de conjuntos, uma prova da igualdade de conjuntos. Compartilhe com seus colegas as tabelas de pertinência feitas por você. 1. Considere os conjuntos A, B e C. Prove, por meio da tabela de pertinência que: a) A ∩ (B - A) = ∅ b) A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C c) A∪(B-A) = A∪B d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A e) A – B = A ∩ B f) (A – B) – C = (A - C) – B g) (A – B) – C = (A - C) – (B – C). 2. Prove por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C, as igualdades abaixo são verdadeiras. 3. Use a tabela de pertinência para mostrar que (A ∪ B) - (A ∩B) = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B. 4. Use a tabela de pertinência para verificar se (A ∩ B ) ∩ A ∩ B = (A∪B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B. 41
  • 42. Matemática Discreta Saiba Mais As operações com conjuntos estudadas nesse capítulo apresentam propriedades importantes que tem relação com outras estruturas que serão vistas nos capítulos seguintes. Sugerimos consultar os seguintes livros para aprofundar os seus conhecimentos em relação às operações entre conjuntos, suas propriedades, as diversas formas de provar a igualdade entre conjuntos: - ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997. - ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. - GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. - LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004 - Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 42
  • 43. Matemática Discreta Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática A Lógica Matemática é base para qualquer estudo nas áreas de Computação e Informática. Muitas demonstrações em Matemática e muitos algoritmos em Ciência da Computação usam expressões lógicas, tais como,“se P então Q” ou “se P e Q então P ou Q”. De modo que, para desenvolver qualquer algoritmo, em conseqüência, qualquer software, é necessário ter o conhecimento dos fundamentos da Lógica. Existem linguagens de programação, tais como Prolog e Haskel, que são desenvolvidas de acordo com o paradigma lógico. Nesse capítulo, seguiremos os fundamentos da Lógica Booleana Acesse (George Boole2, 1815 – 1864), conjunto de princípios e métodos usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas. 2. http://www. santarita.g12.br/ Uma proposição é uma construção (sentença, frase, matematicos/gm1/ pensamento) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática, o george_boole.htm tipo de juízo é o verdadeiro (V) ou falso (F), não ambos. Para uma dada proposição p, denota-se por V(p) o seu valor verdade, de modo que V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F, se p é falsa. São proposições: p: 6 é um número primo q: (72)3 = 76 r: =1, 4142 s: Linux é um software livre. Para cada uma delas, o valor-verdade é como segue: V(p) = F, V(q)= V, V(r) = F, V(s) = V. Não são proposições: p: Como vai você? q: Não chegue atrasado! r: x + 2 = 5 t: “O que estou dizendo agora é mentira”. 43
  • 44. Matemática Discreta 3.1 Proposições compostas. As proposições estudadas até aqui são ditas proposições simples, no sentido de que não podem ser decompostas em proposições mais simples. É possível, a partir de proposições simples, construir proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas, usando os conectivos lógicos ∨ (OU), ∧ (E), ¬ (NÃ0). Negação ¬p. A negação de uma proposição é construída introduzindo a palavra não de forma apropriada ou prefixando- se a expressão “não é fato que”, como nos exemplos a seguir:. Considerando uma proposição p, sua negação é denotada por ¬p. Alguns autores usam a notação ~p, outros usam p’. p: Linux é um software livre ¬p : Linux não é um software livre. q: Paris não fica na França. ¬q : Paris fica na França. r : 2 ≥ 1,5 ¬ r : 2 < 1,5 A tabela-verdade descreve todas as possibilidades dos valores lógicos de uma proposição. A tabela lista todas as possíveis combinações de valores-verdade V ou F para as componentes simples envolvidas na composição da proposição composta. Quando a proposição é composta de duas proposições simples, sua tabela-verdade contém quatro linhas. Em geral, se uma proposição é composta de n proposições simples, sua tabela-verdade contém 2n linhas. Vamos iniciar a construção das tabelas-verdade? Iniciaremos com Atenção a tabela da negação. Negação. A tabela – verdade da negação apresenta apenas Você percebeu duas linhas, pois envolve uma só proposição. semelhança da tabela ao lado com alguma tabela envolvendo conjuntos? Recorde a tabela de pertinência do complementar de um conjunto! Isto é, se p é verdadeira, então ¬p é falsa. Se p é falsa, então ¬p é verdadeira. Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q, denota-se por p ∧ q ( lê-se p e q ), tem valor lógico verdadeiro quando p e q são 44
  • 45. Matemática Discreta ambas verdadeiras e, tem valor lógico falso, em qualquer outro caso. Abaixo segue a tabela da conjunção exemplos. Atenção E agora, você percebeu semelhança da tabela ao lado com a tabela de pertinência da interseção conjuntos? p: Windows é um sistema operacional q: Java é uma linguagem de programação. p∧q : Windows é um sistema operacional e q: Java é uma linguagem de programação V(p∧q)=V p: Windows é um sistema operacional. q: Java é uma planilha eletrônica p∧q : Windows é um sistema operacional e Java é uma planilha eletrônica V(p∧q)=F p: Windows é um editor de textos. q: Java é uma linguagem de programação p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma linguagem de programação V(p∧q)=F p: Windows é um editor de textos. q: Java é uma planilha eletrônica. p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma planilha eletrônica V(p∧q)=F Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q, denota-se por p ∨ q ( lê-se p ou q ) reflete a noção de que pelo menos uma das proposições deve ser verdadeira para que a resultante seja verdadeira. De modo que, a proposição p ∨ q é verdadeira, se pelo menos uma das proposições é verdadeira; falsa, se as proposições 45
  • 46. Matemática Discreta são todas falsas. A tabela-verdade da disjunção é : Atenção Nesta tabela, você percebeu semelhança com a tabela de pertinência da união conjuntos? Exemplos: p: Windows é um sistema operacional. q: C++ é uma linguagem de programação. p∨q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma linguagem de programação V(p∨q)=V p: Windows é um sistema operacional. q: C++ é uma planilha eletrônica p ∨ q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma planilha eletrônica V(p ∨ q)=V p: Windows é um editor de textos. 46
  • 47. Matemática Discreta q: C++ é uma linguagem de programação p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma linguagem de programação V(p ∨ q)=V p: Windows é um editor de textos. q: C++ é uma planilha eletrônica. p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma planilha V(p ∨ q)=F Condicional. (Implicação). A condicional envolvendo duas proposições p e q, denota-se por p → q que é lida: “Se p então q”. A proposição p é chamada premissa (antecedente) e a proposição q é dita conclusão (conseqüente). A condicional reflete a noção de que, partindo-se de uma premissa verdadeira (p verdadeira) obrigatoriamente chega-se a uma conclusão verdadeira (q verdadeira), para que a condicional p → q seja verdadeira. Partindo-se de uma premissa falsa, qualquer conclusão pode ser considerada, e a condicional é verdadeira. A condicional é falsa apenas quando a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa. Resumo: a condicional p → q é: Falsa, quando p é verdadeira e q falsa. Verdadeira, nos outros casos. A tabela-verdade da condicional é: 47
  • 48. Matemática Discreta Exemplo: Analisaremos a seguinte situação condicional: Pedro diz: “Se chover domingo então ficarei estudando”. Vamos considerar as seguintes hipóteses e vejamos se Pedro cumpriu sua palavra (V): a) Domingo choveu (V) e Pedro ficou estudando (V). Pedro cumpriu com a sua palavra (V) b) Domingo choveu (V) e Pedro não ficou estudando (F). Pedro não cumpriu sua palavra (F) c) Domingo não choveu (F) e Pedro ficou estudando (V). Pedro cumpriu sua palavra (V), pois não disse o que faria se não chovesse. Nesse caso, poderia ou não ficar estudando. d) Domingo não choveu (F) e Pedro não ficou estudando (F). Pedro cumpriu sua palavra (V), pelos motivos explicados na letra (c). Exemplos: Considere as proposições seguintes: p: Recife fica no Brasil q: 2 + 3=4 48
  • 49. Matemática Discreta r: 2 + 2 = 4 t: Recife fica na Índia p → r : Se Recife fica no Brasil então 2 + 2 = 4 V(p→ r) = V p → q : Se Recife fica no Brasil então 2 + 3 = 4 V(p→ q) = F t → q : Se Recife fica na Índia então 2 + 3 = 4 V(t→ q) = V q → r : Se 2 + 3 = 4 então 2 + 2 = 4 V(q→ r) = V Bicondicional. A bicondicional envolve duas proposições p e q, é denotada por p↔q e é lida: “p se somente se q”, traduz a noção de uma dupla condicional, uma no sentido “ida” p→q e outra no sentido “volta” q→p.A tabela-verdade da bicondicional é dada abaixo: Isto é, a bicondicional é verdadeira quando as proposições são ambas verdadeiras ou ambas falsas. A bicondicional é falsa, quando as proposições p e q têm valores-verdade distintos. Observe que a bicondicional p↔q tem o mesmo significado que (p→q) ∧(q→p). Faça a tabela-verdade. Duas proposições p e q são logicamente equivalentes se têm tabelas-verdade idênticas e escrevemos p ≡ q Observe que a tabela-verdade da condicional p→q é a mesma da proposição composta ¬ p∨q Dizemos que a condicional p → q é equivalente a ¬p∨q, isto é, p → q ≡ ¬p∨q 49
  • 50. Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.1 Você vai agora praticar a construção de tabela-verdade de proposições compostas e verificar as que são equivalentes, comparando a última coluna de cada uma delas. 1. Mostre que as proposições abaixo são equivalentes, em cada caso: a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q) b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q) c) p→q ≡ ¬(p∧¬q) d) p ∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r) e) ¬(p→q) ≡ p∧¬q f) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧¬q) g) p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q) Respostas dos Exercícios 3.1 Apresentamos as respostas de alguns exercícios. Em relação aos outros exercícios, comente com seus colegas. Dificuldade? Peça ajuda ao seu tutor. 50
  • 51. Matemática Discreta a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q) b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q) c) p→q ≡ ¬(p ∧¬ q) 3.2 Tautologias e Contradições Tautologia (V) é uma proposição que toma o valor V para todas as possíveis atribuições de valor V e/ou F para as suas componentes simples nela presentes. Por exemplo, p ∨ ¬ p. Contradição (F) é uma proposição que toma o valor F para todas as possíveis atribuições de valor V e/ou F para suas componentes simples nela presentes. Por exemplo, p ∧ ¬ p Contingência é uma proposição cuja tabela-verdade consta V e F. Por exemplo, a conjunção p ∧ q e a disjunção são exemplos de contingências. 51
  • 52. Matemática Discreta Exemplo 3.2.1 A proposição p →(p∨q) é uma tautologia. Confira a sua tabela-verdade. Exemplo 3.2.2 A proposição (p→q) ∧(p∧ ¬ q) é uma contradição. Confira a sua tabela-verdade. Aprenda Praticando - Exercícios 3.2 Decida quais as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências. Faça a tabela. 1. Quais proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências? a) (p∨¬q) ∨(p∨q) b) (p∧q) → (p∨q) c) ¬p → (q→p) d) (x ∧ (x → y)) → y e) ((x→y) ∧ (y→z)) → (x→z) 52
  • 53. Matemática Discreta f) (p∨ ¬q) → (p→¬q) g) (¬p ∨ q) → (p→q) h) (p∧q) → (p↔q) i) (¬p) ∧(p∧¬q) j) ¬(p∨q) → (p↔q) j) (p→q) ↔(¬q→¬p) 2. Qual o valor-verdade das seguintes proposições? a) 8 é par ou 6 é ímpar b) 8 é par e 6 é ímpar c) 8 é impar ou 6 é ímpar d) Se 8 é ímpar, então 6 é par. e) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar f) Se 8 é impar ou 6 é par, então 8 < 6. g) Se 8 é par, e 6 é ímpar então 6 > 8. Respostas dos Exercícios 3.2 1. a) Tautologia b) Tautologia. c) Contingência. d) Tautologia. e) Tautologia. f) Tautologia g) Tautologia. h) Tautologia. i) Contingência. j) Tautologia. k) Tautologia. 2. a) V. b) V. c) F. d) V. e) V. f) F g) V. 3.3 Negação de conjunção e de disjunção DE MORGAN Considere a conjunção p ∧ q e a disjunção p ∨ q. A negação da conjunção é denotada por ¬(p ∧ q) e é equivalente a ¬p ∨ ¬q. 53
  • 54. Matemática Discreta A negação da disjunção é expressa por ¬(p ∨ q) e é equivalente a ¬p ∧ ¬q. Confira fazendo a tabela-verdade: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e de ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. 3.4 Álgebra das proposições. Você observou, nesse capítulo, que as proposições, a exemplo dos conjuntos, satisfazem várias propriedades que estão listadas na tabela abaixo. Cabe ao leitor, identificar aquelas propriedades que correspondem às dos conjuntos: Exemplo 3.3.1 a) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é “Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá”. b) A negação de 2 < 7 ou 3 é par é : 2 ≥ 7 e 3 é ímpar. Exemplo 3.3.2. Considere as seguintes proposições: p: Rosas são vermelhas. q:Violetas são azuis. r: Cravos são brancos. s: Cravos são vermelhos. A forma simbólica usando os conectivos ∧, ∨ , ¬ , → e ↔, das seguintes proposições compostas: a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. a) p∧q 54
  • 55. Matemática Discreta b)Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis. b) ¬p ∨¬q c) Cravos são brancos ou vermelhos. c) r∨s d) Cravos não vermelhos ou violetas não são azuis. d) ¬s∨¬q e) Não é verdade que violetas são azuis e rosas são vermelhas. e) ¬(q∨p) f) É falso que cravos são vermelhos ou brancos. f) ¬(s∨r) g) Se cravos são brancos, então cravos são vermelhos e violetas são azuis. g) r → s ∧ q h) Se rosas não são vermelhas, então violetas não são azuis ou cravos não são brancos. h) ¬p →¬ q ∨ ¬r i) Se violetas são azuis e cravos brancos, então é falso que cravos são brancos ou vermelhos. i) (q∧r)→¬(r∨s) j) Rosas são vermelhas se e somente se cravos são brancos. j) p ↔r Exemplo 3.3.3. Os conectivos lógicos E (AND) , OU (OR) e Não (NOT), correspondentes, respectivamente a, ∧, ∨ e ¬, são usados em algumas linguagens de programação conjuntamente com expressões verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final. Suponha as seguintes variáveis “Fluxo_de_saída”, “Fluxo _de_entrada” e “Pressão” e o seguinte programa de computador: If [ (Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada) and Pressão <1000 )] do Ponha água; 55
  • 56. Matemática Discreta Else do Desligue a máquina; Pondo P = Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada e Q = Pressão <1000, a expressão usada no programa se escreve P ∧¬ (P ∧Q). Essa expressão pode ser simplificada assim: P ∧¬ (P ∧Q) = P ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) = (P ∧¬P) ∨ (P ∧¬Q) = 0 ∨ (P ∧¬Q) = P ∧¬Q. Assim o programa poderia ser reescrito na forma: If ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ( Pressão < 1000)) do Ponha água; else do Desligue a máquina; Exemplo 3. 3. 4 Suponha que P, Q e R representam condições que serão verdadeiras ou falsas quando certo programa é executado. O programa manda realizar uma tarefa somente quando P ou Q for verdadeira ( mas não ambas) e R for falsa. Escreva uma proposição usando os conectivos and , or e not que seja verdadeira apenas dessas condições. Resp. ( (P and not Q) or (not P and Q) and not R ) ) ou seja ( (P ∧¬Q) ∨ ( ¬P ∧Q) ) ∧ ¬R. Exemplo 3. 3. 5 Reescreva o programa abaixo com uma expressão condicional mais simples. A função impar(número) tem valor verdadeiro se n é ímpar. Se não ( (valor 1 < valor 2) ou ímpar (número) ) ou ( não (valor 1 < valor 2) e ímpar(número)) então faça Alguma Coisa; Caso contrário faça Outra Coisa; Resp. Sugestão: Ponha A = valor 1 < valor 2 e B = impar(número) A expressão condicional é : ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) Assim, ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) = ( ¬A ∧ ¬B) ∨( ¬A ∧B) = ¬A ∧( ¬B ∨ B) = ¬A∧(T) = ¬A 56
  • 57. Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.3 Novamente, solicitamos que revise o conteúdo dessa seção e resolva os exercícios seguintes. 1. Determinar as proposições compostas por conjunção ∧ com as proposições simples p e q, antecedidas ou não por negação ¬, que satisfazem a cada um das tabelas-verdade abaixo indicadas. 2. Repetir o exercício com disjunção ∨. 3. Repetir o exercício com condicional →. 4. Mostre por meio da tabela-verdade que as proposições p→q e ¬q → ¬ p são equivalentes. Use a equivalência para resolver as questões seguintes. 57
  • 58. Matemática Discreta 5. (ESAF / AFTN) Considere as seguintes afirmações: - Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. - Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. - Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 6. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. b) Rodrigo é culpado. c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. d) Rodrigo mentiu. e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu 58
  • 59. Matemática Discreta Respostas dos Exercícios 3.3 e 3.4 1. 5. e 6. c. 3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. Considere as seguintes sentenças p: 3 + 6 = 9 q: x + 4 < 9. A sentença p, como sabemos, é verdadeira, ao passo que, nada podemos afirmar sobre o valor lógico da sentença q enquanto x não for identificado. Dependendo do valor de x, esta sentença pode assumir o valor verdadeiro ou falso. Nesse caso, a sentença q é dita uma sentença aberta ou função proposicional. De um modo geral, p(x) significa que x tem a propriedade p. Nas sentenças abertas p(x), p(y), os símbolos x, y são chamados de Atenção variáveis. O conjunto de valores que a variável pode assumir constitui A sentença ∀ x, o seu conjunto universo U. O subconjunto de U para os quais o valor p(x) é verdadeira se o conjunto-verdade lógico da sentença aberta é verdadeiro é o conjunto V, dito conjunto- de p(x) e o seu conjunto universo verdade da sentença aberta. Exemplos. são iguais, isto é, U=V e, falsa , se a) Considere a proposição p(x) “x + 2 > 9 “ com x ∈ N. O conjunto- ≠ V. U verdade V = {8, 9, 10 ,l 1, ....} b) A proposição p(x) “x + 7 < 4“ com x ∈ N tem conjunto verdade V = φ. c) A proposição p(x) “ x + 7 > 4 “ com x ∈ N tem V = N. Os exemplos acima mostram que, se uma proposição p(x) é definida para x do universo U, então p(x) pode ser verdade para todo Atenção x ∈ U, para algum x ∈ U, ou para nenhum x ∈ U. A sentença ∃x, p(x) é verdadeira se o conjunto-verdade 3.5.1 Quantificadores. de p(x) é não vazio, V ≠ φ e, falso se V =φ Usaremos o símbolo ∀, chamado quantificador universal, para exprimir o fato de que “ para todo x em um conjunto, a proposição 59
  • 60. Matemática Discreta p(x) é verdadeira”. Uma proposição do tipo “ Para todo x, p(x) “ é simbolicamente denotada por “∀x, p(x)”. Exemplos: ∀x∈N, x  = x é verdadeira pois V(p(x)) = N ∀x∈Z, x  = x é falsa, pois V(p(x)) = N ≠ Z ∀x∈N*, x2 + 1 ≥ 2 é verdadeira, pois V(p(x)) = N* ∀x∈Z, x2 ≥ 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = Z Analogamente, no caso de proposições que envolvem expressões do tipo “existe”, “há pelo menos um”, “algum”, usaremos o símbolo ∃, chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para um ou mais elementos de um dado conjunto U a proposição p(x) é Atenção verdadeira. Uma proposição do tipo “existe um x tal que p(x) ” pode ser escrita simbolicamente: “∃x, p(x)”. A negação da sentença ∀x, p(x) Exemplo: A proposição “ ∃x, x∈N” tem os seguintes significados: é ∃x, ¬ p(x). Logo, ¬ (∀x, p(x)) “ existe um x tal que x∈N”, “algum número é natural”, “existe pelo é equivalente a ∃x, menos um número natural”. ¬ p(x). Exemplos: ∃n, n ∈ N : n + 2 = 5 é verdadeira, pois V(p(n)) = { 3 } ≠∅ Atenção ∃x, x ∈ N: x + 2 = 0 é falsa, pois V(p(x)) = ∅ A negação da sentença ∃x, ∃x∈{1, 2, -3, -4}, x2 + x - 6 = 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = {2, -3} p(x) é ∀x, ¬ p(x). Logo, ¬ ∃ (x, p(x)) ∃n, n ∈ N, n! < 10 é verdadeira, pois V(p(n)) = {0, 1, 2, 3} é equivalente a∀x, ¬ p(x). 3.5.2 Negação de sentenças quantificadas Exemplos: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5 } a) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 = 10 é ∀x∈A, x + 3 ≠ 10 b) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 < 5 é ∀x∈A, x + 3 ≥ 5 c) A negação de ∀x∈A, x + 3 < 10 é ∃x ∈ A, x + 3 ≥ 10 d) A negação de ∀x∈A, x + 3 ≤ 7 é ∃x ∈ A, x + 3 > 7 60
  • 61. Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.4 1.Escreva as proposições seguintes utilizando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos ∀ e/ou ∃ ). a) Todo inteiro é primo. b) Há um inteiro que não é primo. c) Existe um inteiro cujo quadrado é 4. d) Todos os inteiros são divisíveis por 5. e) Algum inteiro é divisível por 7. f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo. g) Para todo número inteiro x, existe um inteiro y tal que x.y =1. h) Existem dois inteiros x e y tais que x/y =10. 2. Escreva a negação de cada uma das proposições do problema anterior. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente. 3. Assinale como verdadeiras ou falsas as proposições abaixo relativas aos números inteiros: a) ∀x, ∀y, x + y = 0 b) ∀x, ∃y, x + y = 0 c) ∃x, ∀y, x + y = 0 d) ∃x, ∃y, x + y = 0 e) ∀x, ∀y, x.y = 0 f) ∀x, ∃y, x.y = 0 g) ∃x, ∀y, x.y = 0 h) ∃x, ∃y, x.y = 0. 4. Para cada uma das proposições seguintes, escreva a negação. a) ∀x ∈ Z, x < 0. b) ∃ x ∈ Z, x = x + 1 c) ∃ x ∈ N, x > 10 d) ∀ x ∈ N, x + x = 2x e) ∃ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x > y. f) ∀ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y. 61
  • 62. Matemática Discreta g) ∀ x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0. 5. Mostre por meio da tabela-verdade se as proposições abaixo são equivalentes: a) p ∧ p ⇔ p b) p ∨ p ⇔ p c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ∧ q ⇔ q ∧ p e) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r) f) p∨(q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r) g) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r) h) ( p → q) ⇔ ( q’ → p’) 6. Considere as seguintes sentenças abertas cujo domínio consiste nos números inteiros Z: O(x) : x é impar L(x) : x < 10 G(x) : x > 9 Qual o valor-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas?: a) ∃x : O(x) b) ∀x [ L(x) → O(x) ] c) ∃x [ L(x) ∧ G(x) ] d) ∀x [L(x) ∨ G(x)] 7. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras e que as proposições “y = z” e “y = t” são falsas, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) (x = 0 ) ∧(x = y) → (y ≠ z) b) (x ≠ 0 ) ∨ (y = t) → (y = z) c) (x = 0 ) → (x ≠ y) ∨( y ≠ t) d) (x ≠ 0 ) ∨(x ≠ y) → (y ≠ z) 8. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir, considerando o conjunto universo de todos os números inteiros Z. a) ∀n, n2 ≥ 0 b) ∃n, n2 = 2 c) ∀n, n2 ≥ n d) ∀n ∃m, n2 < m. e) ∃n ∀m, n < m2 f) ∃n ∀m, n + m = 0, 62